2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（北師大版）第2章 一元二次方程（壓軸題專練）（解析版）

第2章一元二次方程（壓軸題專練）題型01：公式法解一元二次方程1．將關(guān)于的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于的一次多項式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且，則的值為．【答案】【分析】先利用得到，代入得到化為，然后解方程得，從而得到的值．【解析】解：，,解得，，故答案為：．【點睛】本題考查了高次方程：通過適當(dāng)?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解，所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程，也有的通過因式分解來解，通過把一元二次方程變形為用一次式表示二次式，從而達(dá)到“降次”的目的，這是解決本題的關(guān)鍵．2．閱讀下面的例題：分解因式：．解：令得到一個關(guān)于的一元二次方程，，．解得，；．這種因式分解的方法叫求根法，請你利用這種方法完成下面問題：(1)已知代數(shù)式對應(yīng)的方程解為和7，則代數(shù)式分解后為；(2)將代數(shù)式分解因式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題中給出的求根法的定義即可得出答案；（2）先令，得到一個關(guān)于的一元二次方程，用求根公式求出它的兩根，然后代入即可．【解析】（1）解：代數(shù)式對應(yīng)的方程解為和7，代數(shù)式分解后為，故答案為：；（2）解：令，得到一個關(guān)于的一元二次方程，，，，解得，，．【點睛】本題主要考查的是求根法因式分解，公式法解一元二次方程，對于二次三項式的因式分解有：，其中、是的兩根，理解并掌握題目中的求根法因式分解是解題的關(guān)鍵．題型02：換元法解一元二次方程3．閱讀下列材料：方程：是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋膺@個方程得：，．當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴所以原方程有四個根：，，，．在這個過程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．(1)利用換元法解方程得到方程的解為______．(2)若，求的值．(3)利用換元法解方程：．【答案】(1)，(2)(3)，【分析】（1）設(shè)，代入得到，解得，，當(dāng)時，，得到，此方程無解；當(dāng)時，，得到，；（2）設(shè)，代入得到．解得，，根據(jù)，得到；（3）設(shè)，則，代入得到，得到，解得，檢驗后得到，得到，得到，，檢驗后即得．【解析】（1）設(shè)，則，于是原方程可變?yōu)椋膺@個方程得：，，當(dāng)時，，移項得：，∵，∴此方程無解，當(dāng)時，，解得，；故答案為：，；（2）設(shè)，則該方程變?yōu)椋獾茫?，．∵∴，即?）設(shè)，則，原方程變形為：，去分母，得，即解得，．

經(jīng)檢驗，是分式方程的根．∴即解得：，．經(jīng)檢驗，是分式方程的根．

∴原分式方程的解為：，．【點睛】本題主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握換元法的一般步驟設(shè)元、換元、解元、還原幾步．解分式方程注意驗根．4．閱讀材料，解答問題：材料1為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．材料2

已知實數(shù)m，n滿足，且，顯然m，n是方程的兩個不相等的實數(shù)根，由韋達(dá)定理可知．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：解方程：．(2)間接應(yīng)用：已知兩個不相等實數(shù)m，n滿足：，求的值．(3)拓展應(yīng)用：已知實數(shù)x，y滿足：，求的值．【答案】(1)(2)(3)7【分析】（1）仿照題意利用換元法解方程即可；（2）仿照題意利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)，，則可得，進(jìn)一步得到，再證明，推出；由，可得，即．【解析】（1）解：設(shè)，則方程可化為，∴，∴或，∴或（舍去），∴；（2）解：∵實數(shù)m，n滿足：，∴實數(shù)m，n是方程的兩個實數(shù)根，∴，∴；（3）解：設(shè)，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了換元法解方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．5．閱讀材料，解答問題：材料一：已知實數(shù)a，滿足，，則可將a，b看作一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根．材料二：已知實數(shù)a，滿足，，將兩邊同除以，得，即，則可將a，看作一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根．請根據(jù)上述材料，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答下列問題：(1)已知實數(shù)a，滿足，，求的值；(2)已知實數(shù)a，b滿足，，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)材料二，采用換元法解一元二次方程，即可求解．【解析】（1）解：∵實數(shù)，滿足，，∴可將，看作方程的兩個不相等的實數(shù)根，，，；（2）解：在方程的兩邊同時除以得，又∵實數(shù)滿足，且，∴可將，看作方程的兩個不相等的實數(shù)根，，，．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，換元法解一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會模仿例題解決問題．6．閱讀材料，解答問題：【材料1】為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．【材料2】已知實數(shù)，滿足，，且，顯然，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為；(2)間接應(yīng)用：已知實數(shù)，滿足：，且，求的值．【答案】(1)，，，(2)或或【分析】（1）利用換元法解方程，設(shè)，則原方程可化為，解關(guān)于的方程得到，，則或，然后分別解兩個元二次方程即可；（2）根據(jù)已知條件，當(dāng)時，，解關(guān)于的一元二次方程得，則；當(dāng)時，把、看作方程的兩不相等的實數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再變形得到，然后利用整體代入的方法計算．【解析】（1）解：，設(shè)，則原方程可化為，解得：，，當(dāng)時，，解得：，，當(dāng)時，，解得：，，∴原方程的解為，，，，故答案為：，，，；（2）解：∵實數(shù)，滿足：，且，當(dāng)時，，解關(guān)于的一元二次方程，得：，∴；當(dāng)時，則、是方程的兩不相等的實數(shù)根，∴，，∴；∴的值為或或．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，；也考查了換元法，解一元二次方程，求代數(shù)式的值，運用了恒等變換的思想．掌握查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型03：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用7．閱讀材料．材料：若一元二次方程的兩個根為，，則，．(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則，．(2)類比探究：已知實數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實數(shù)，分別滿足，，且，求的值．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）直接根據(jù)閱讀材料可得答案；（2）由題意得出，可看作方程的兩個根，據(jù)此知，，將其代入計算可得；（3）把變形為，據(jù)此可得實數(shù)和可看作方程的兩根，繼而知，，進(jìn)一步代入計算可得．【解析】（1）解：，，故答案為：；；（2）∵，，且，∴，可看作方程的兩個根，∴，，∴，∴的值為；（3）∵，分別滿足，，且，∴，∴和可看作方程的兩根，∴，，∴，∴的值為．【點睛】本題考查分式的化簡求值，因式分解的應(yīng)用，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立合適的方程及分式的混合運算順序和運算法則．8．對于一元二次方程，下列說法：①若a＋b＋c＝0，則方程必有一根為x＝1；②若方程有兩個不相等的實根，則方程無實根；③若方程兩根為，且滿足，則方程，必有實根，；④若是一元二次方程的根，則其中正確的（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式及根的定義以及求根公式逐個判斷排除．【解析】解：①若，則是方程的解，故①正確；②方程有兩個不相等的實根，，則方程的判別式，方程必有兩個不相等的實根，故②錯誤；③∵方程兩根為，且滿足，∴，令，，∴方程有兩個實數(shù)根，令兩根分別為，∴，，∴方程，必有實根，，故③正確；④若是一元二次方程的根，則由求根公式可得：，，，故④正確．故正確的有①③④，故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程根的判斷，根據(jù)方程形式，判斷根的情況是求解本題的關(guān)鍵．9．（1）是關(guān)于的一元二次方程的兩實根，且，求的值．（2）已知：，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，設(shè)，，…，．根據(jù)根的定義，有，，將兩式相加，得，于是，得．根據(jù)以上信息，解答下列問題：①直接寫出，的值．②經(jīng)計算可得：，，，當(dāng)時，請猜想，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】（1）1；（2）①，；②，證明見解析【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出，．由，可得，即得出關(guān)于k的一元二次方程，解出k的值，再根據(jù)一元二次方程根的判別式驗證，舍去不合題意的值即可；（2）①根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，進(jìn)而可求出，；②由一元二次方程的解的定義可得出，兩邊都乘以，得：①，同理可得：②，再由①+②，得：．最后結(jié)合題意即可得出，即．【解析】解：（1）∵是關(guān)于的一元二次方程的兩實根，∴，，∴，整理，得：，解得：，．當(dāng)時，，∴此時原方程沒有實數(shù)根，∴不符合題意；當(dāng)時，，∴此時原方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴符合題意，∴的值為1；（2）①∵，∴．∵，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，，∴，；②猜想：．證明：根據(jù)一元二次方程根的定義可得出，兩邊都乘以，得：①，同理可得：②，由①+②，得：，∵，，，∴，即．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解的定義．掌握一元二次方程的根的判別式為，且當(dāng)時，該方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，該方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，該方程沒有實數(shù)根．熟記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：和是解題關(guān)鍵．10．定義：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，若，且，則稱這個方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，因，，所以一元二次方程為“限根方程”．請閱讀以上材料，回答下列問題：(1)判斷一元二次方程是否為“限根方程”，并說明理由；(2)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，且兩根滿足，求k的值；(3)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范圍．【答案】(1)此方程為“限根方程”，理由見解析(2)k的值為2(3)m的取值范圍為或【分析】（1）解該一元二次方程，得出，再根據(jù)“限根方程”的定義判斷即可；（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，代入，即可求出，．再結(jié)合“限根方程”的定義分類討論舍去不合題意的值即可；（3）解該一元二次方程，得出或．再根據(jù)此方程為“限根方程”，即得出此方程有兩個不相等的實數(shù)根，結(jié)合一元二次方程根的判別式即可得出，且，可求出m的取值范圍．最后分類討論即可求解．【解析】（1）解：，，∴或，∴．∵，，∴此方程為“限根方程”；（2）∵方程的兩個根分比為，∴，．∵，∴，解得：，．分類討論：①當(dāng)時，原方程為，∴，，∴，，∴此時方程是“限根方程”，∴符合題意；②當(dāng)時，原方程為，∴，，∴，，∴此時方程不是“限根方程”，∴不符合題意．綜上可知k的值為2；（3），，∴或，∴或．∵此方程為“限根方程”，∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，且，∴，即，∴且．分類討論：①當(dāng)時，∴，∵，∴，解得：；②當(dāng)時，∴，∵，∴，解得：．綜上所述，m的取值范圍為或．【點睛】本題考查解一元二次方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式．讀懂題意，理解“限根方程”的定義是解題關(guān)鍵．題型04：一元二次方程有關(guān)的新定義題型11．根據(jù)絕對值定義：可將表示為，故化簡可得，，或四種不同結(jié)果，給出下列說法：①化簡一共有8種不同的結(jié)果；②化簡一共有8種不同的結(jié)果；③若，（為正整數(shù)），則當(dāng)時，．以上說法中正確的個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】①由于的結(jié)果分別有2種，則的結(jié)果共有種；②根據(jù)的取值范圍化簡絕對值可得當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，；則的結(jié)果共有4種；③根據(jù)題意可得，再由求出的值即可【解析】解：①的結(jié)果有兩種，的結(jié)果有兩種，的結(jié)果有兩種，的結(jié)果共有種，故①說法正確；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，；的結(jié)果共有4種情況，故②說法錯誤；③解得，或（舍去）故③說法正確，∴正確的說法有2個，故選：C【點睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，熟練掌握絕對值的性質(zhì)、一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵12．根據(jù)絕對值的定義可知，下列結(jié)論正確的個數(shù)有（

）①化簡一共有8種不同的結(jié)果；②的最大值是5；③若，（為正整數(shù)），則當(dāng)時，；④若關(guān)于的方程有2個不同的解，其中為常數(shù)，則或A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】由、、的結(jié)果分別有2種，則的結(jié)果共有種，可判斷①；根據(jù)的取值，化簡運算即可判斷②；根據(jù)【解析】解：、、的結(jié)果分別有2種，的結(jié)果共有種，故①正確；當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故②錯誤；是正整數(shù)，，，，，當(dāng)時，，故③正確；，當(dāng)或時，，，方程有2個不同的解，，解得：，當(dāng)時，，，方程有2個不同的解，，解得：，故④錯誤；綜上，正確的有①③，故選：C．【點睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，絕對值的性質(zhì)，一元二次方程的判別式，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．13．定義：如果代數(shù)式（，、、是常數(shù)）與（，、、是常數(shù)），滿足，，，則稱這兩個代數(shù)式A與B互為“同心式”，下列四個結(jié)論：（1）代數(shù)式：的“同心式”為；（2）若與互為“同心式”，則的值為1；（3）當(dāng)時，無論x取何值，“同心式”A與B的值始終互為相反數(shù)；（4）若A、B互為“同心式”，有兩個相等的實數(shù)根，則．其中，正確的結(jié)論有（

）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)同心式的定義結(jié)合代數(shù)式和方程求解即可【解析】根據(jù)同心式的定義：（1）∵，∴代數(shù)式：的“同心式”不是；故（1）是錯誤的；（2）∵與互為“同心式”，∴，解得：，∴，故（2）是正確的；（3）當(dāng)時，且，，∴，，即A與B的值始終互為相反數(shù)，故（3）是正確的；（4）∵A、B互為“同心式”，∴，，∵有兩個相等的實數(shù)根，∴有兩個相等的實數(shù)根，∴，即，故（4）是正確的；故選：C【點睛】本題根據(jù)新定義和題目的要求構(gòu)建方程，考查了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，解題的關(guān)鍵是理解題目中的新定義．題型05：存在性問題14．如圖，在矩形中，，點P從點A沿向點B以的速度移動，同時點Q從點B沿邊向點C以的速度移動．當(dāng)其中一點達(dá)到終點時，另一點也隨之停止．設(shè)P，Q兩點移動的時間為，求：(1)當(dāng)x為何值時，為等腰三角形；(2)當(dāng)x為何值時，的面積為；(3)當(dāng)x為何值時，為等腰三角形．【答案】(1)當(dāng)時，是等腰三角形(2)x為1或5時，的面積為(3)x為或時，是等腰三角形【分析】（1）由題意得，得，當(dāng)為等腰三角形時，，得出方程，解方程即可；（2）由三角形面積公式列出一元二次方程，解方程即可；（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)時，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②當(dāng)時，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，根據(jù)題意得：，∴，當(dāng)為等腰三角形時，，∴，解得：，即當(dāng)時，是等腰三角形；（2）解：由題意得：，整理得：，解得：，答：當(dāng)x為1或5時，的面積為；（3）解：根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)時，如圖1所示：在和中，由勾股定理得：，，∴，解得：或（不合題意舍去），∴；②當(dāng)時，如圖2所示：在和中，，，∴，解得：或（不合題意舍去），∴．綜上所述，當(dāng)x為或時，是等腰三角形．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形面積公式、一元二次方程的解法、勾股定理、分類討論等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在中，，，，點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿向點B勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)以每秒2cm的速度沿向點C勻速運動，到達(dá)點C后返回點B，當(dāng)有一點停止運動時，另一點也停止運動，設(shè)運動時間為秒．(1)當(dāng)時，直接寫出P，Q兩點間的距離．(2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．(3)是否存在，使得的面積等于，若存在，請求出的值：若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)或．【分析】（1）求出，，再利用勾股定理即可求出；（2）因為，所以當(dāng)是等腰三角形時，只有，表示出，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；利用，即可求出t的值；（3）由（2）可知：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；利用，解關(guān)于t的方程即可．【解析】（1）解：當(dāng)時，由題意可知：，，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴是等腰三角形時，只有，由題意可知：，∵Q從點B出發(fā)以每秒2cm的速度沿向點C勻速運動，到達(dá)點C后返回點B，當(dāng)有一點停止運動時，另一點也停止運動，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；∵∴，解得：，故不符合題意；，解得：，符合題意；，解得：，符合題意；綜上所述：或；（3）解：假設(shè)存在t使得的面積等于，由（2）可知：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴當(dāng)時，；解得：或（舍去）當(dāng)時，，解得：或（舍去）；當(dāng)時，，因為，故無解，綜上所述，當(dāng)或時的面積等于．【點睛】本題考查動點問題，等腰三角形的定義，勾股定理，一元二次方程的幾何應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，結(jié)合圖形表示出的值．16．如圖，在中，，厘米，厘米，點D在上，且厘米．現(xiàn)有兩個動點P，Q分別從點A和點B同時出發(fā)，其中點P以4厘米/秒的速度沿向終點C運動；點Q以5厘米/秒的速度沿向終點C運動．過點P作交于點E，連接．設(shè)動點運動時間為t秒．(1)；（用t的代數(shù)式表示）(2)連接，并運用割補(bǔ)的思想表示的面積（用t的代數(shù)式表示）；(3)是否存在某一時刻t，使四邊形是平行四邊形，如果存在，請求出t，如果不存在，請說明理由；(4)當(dāng)t為何值時，為直角三角形．【答案】(1)(2)(3)存在，(4)或【分析】（1）用減去的長即可；（2）連接，由平行線的性質(zhì)可得，由，可求出，再利用三角形面積公式計算即可；（3）由平行四邊形的性質(zhì)可得，可得，可求的值；（4）分兩種情況討論，利用直角三角形的性質(zhì)和面積和差關(guān)系可求解．【解析】（1）解：由題意可得：；（2）如圖1，連接，，，cm，，，，，∴；（3）四邊形是平行四邊形，，，，∴當(dāng)時，使四邊形是平行四邊形；（4）如圖2，當(dāng)時，，，又，四邊形是平行四邊形，，，；當(dāng)時，，，，，，，，，，，，（不合題意舍去），綜上所述：或時，為直角三角形．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．題型06：一元二次方程的幾何應(yīng)用17．在凸四邊形中，，．(1)如圖1，將繞點A旋轉(zhuǎn)得到，畫出圖形，并寫出的度數(shù)；(2)如圖2，已知．①求證：；②若，求的面積．【答案】(1)圖見解析，；(2)①見解析；②．【分析】（1）根據(jù)題意，畫出圖形，設(shè)為延長線上的一點，利用三角形外角的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求解即可；（2）①作出，連接，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到為等邊三角形，再利用勾股定理即可求證；②利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得分別求得對應(yīng)三角形的面積，即可求解．【解析】（1）解：圖形如下，設(shè)為延長線上的一點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，由三角形外角的性質(zhì)可得：，，∴；（2）①證明：作出，連接，如下圖：由（1）可得，即，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，∴，∴為等邊三角形，即∴；②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∵∴，，，，過點作，如下圖：設(shè)，由①可得，在中，，，∴，，在，∵∴，解得或，負(fù)值舍去即或，則或，，【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．18．已知，在中，，，點D是邊上一點（點D不與點A，C重合），連接，將繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．

(1)①如圖1，當(dāng)，點D是的中點時，請猜想：與數(shù)量關(guān)系是；②如圖2，當(dāng)，點D是邊上任意一點時，①中的結(jié)論是否依然成立？說明理由．(2)如圖3，若，，直接寫出的面積的最大值．【答案】(1)①；②成立，見解析(2)【分析】（1）①延長，過點E作于點F，證明，得出，，證明，得出，即，得出，根據(jù)勾股定理得出．②延長，過點E作于點F，證明，得出，，證明，得出，即，得出，根據(jù)勾股定理得出；（2）連接，延長，過點E作于點F，證明、都是等邊三角形，得出，，，證明，得出，，求出，得出，根據(jù)勾股定理得出，設(shè)，則，，根據(jù)三角形面積公式得出，根據(jù)，得出，得出時，最大，且最大值為．【解析】（1）解：①延長，過點E作于點F，如圖所示：

則，∵，∴，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：；②成立；理由如下：延長，過點E作于點F，如圖所示：則，∵，∴，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（2）解：連接，延長，過點E作于點F，如圖所示：

∵，∴，∵，，∴、都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，∵，∴，∴當(dāng)時，最大，且最大值為，∴的面積的最大值為．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積的計算，含30度角直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明三角形全等．題型07：一元二次方程與平面直角坐標(biāo)系19．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點，過點作軸的平行線，點是在直線上位于第一象限內(nèi)的一個動點，連接．(1)求出__________；(2)若平分，求點的坐標(biāo)；(3)已知點是直線上一點，若是以為直角邊的等腰直角三角形，求點的坐標(biāo).【答案】(1)40(2)或(3)或.【分析】（1）先求出點的縱坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可.（2）設(shè)根據(jù)平分可得，再根據(jù)兩點之間的距離公式求出的值即可得點的坐標(biāo).（3）設(shè),分兩種情況討論：①當(dāng)且時；②當(dāng),且時.畫出圖形，構(gòu)造三垂直模型，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等列出關(guān)于的方程組，求出的值即可求得點的坐標(biāo).【解析】（1）如圖1，作軸與，∵，軸，點是在直線，（2）設(shè)平分，

解得，∴點的坐標(biāo)或.（3）設(shè)當(dāng)，且時，①如圖2，點在直線上方時，過點作直線則軸于點，過點作于點,則又，解得.則則.②如圖3，由得解得.則∴.

當(dāng),且時,如圖4

作軸于，軸于,則，則，解得，則，.綜上，點的坐標(biāo)為或.【點睛】本題綜合性較強(qiáng)，難度較大.主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想.注意第（3）小題考慮問題要全面.正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵.20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點F的坐標(biāo)為．點E的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點F和點E，直線與直線相交于點P．(1)求直線的表達(dá)式和點P的坐標(biāo)；(2)矩形的邊在y軸的正半軸上，點A與點F重合，點B在線段上，邊平行于x軸，且，將矩形沿射線的方向平移，邊始終與x軸平行，已知矩形以每秒個單位的速度勻速移動（點A移動到點E時止移動），設(shè)移動時間為t秒．①當(dāng)時，A點坐標(biāo)是_________，移動t秒時，D點坐標(biāo)為_________，②矩形在移動過程中，B、C、D三點中有且只有一個頂點落在直線或上時，矩形會發(fā)出紅光，請直接寫出矩形發(fā)出紅光時t的值；③若矩形在移動的過程中，直線交直線于點N，交直線于點M．當(dāng)?shù)拿娣e等于18時，請直接寫出此時t的值．【答案】(1)，點P坐標(biāo)為(2)①，；②或；③【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）①利用平移的性質(zhì)即可求解；②分情況討論，當(dāng)點D在直線上時，利用點D與點A的橫坐標(biāo)之差為9，列式計算求解即可；當(dāng)點B在直線上時，點A的縱坐標(biāo)比點B的縱坐標(biāo)高6個單位，列式計算求解即可；③設(shè)點A橫坐標(biāo)為a，則點D橫坐標(biāo)為，再用a表示出，，用a表示出和上的高，利用三角形面積公式求解即可．【解析】（1）解：設(shè)直線的表達(dá)式為，∵直線過點，，∴，解得，直線的表達(dá)式為．聯(lián)立，得，解得，，∴點P坐標(biāo)為；（2）解：①∵，，∴，，，∵矩形以每秒個單位的速度沿射線的方向勻速移動，相當(dāng)于矩形以每秒1個單位的速度沿y的方向向下勻速移動，或以每秒2個單位的速度沿x的方向向右勻速移動，∴當(dāng)時，A點坐標(biāo)是，即；當(dāng)時，D點坐標(biāo)是；故答案為：，；②如圖，當(dāng)點D在直線上時，∵，∴點D與點A的橫坐標(biāo)之差為9，∴將直線與直線的解析式變?yōu)?，∴，解得，則點A的坐標(biāo)為：，則，∵點A速度為每秒個單位，∴；如圖，當(dāng)點B在直線上時，∵，∴點A的縱坐標(biāo)比點B的縱坐標(biāo)高6個單位，∴直線的解析式減去直線的解析式得，解得，則點A坐標(biāo)為，則，∵點A速度為每秒個單位，，故t值為或；③如圖，設(shè)直線交于點H，設(shè)點A橫坐標(biāo)為a，則點D橫坐標(biāo)為，∴，，∴，此時點P到距離為：，∵的面積等于18，∴，解得（舍去），∴，則此時t為，當(dāng)時，的面積等于18．【點睛】本題是代數(shù)幾何綜合題，涉及到待定系數(shù)法、兩直線的交點坐標(biāo)、勾股定理、三角形的面積等，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識、運用分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．題型08：一元二次方程的實際應(yīng)用21．正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計劃在元宵節(jié)前用21天的時間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？(2)為保證手工湯圓的最佳風(fēng)味，湯圓店計劃把達(dá)21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計，每袋手工湯圓的成本為13元，售價為25元時每天可售出225袋，售價每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價25元銷售2天后，余下8天進(jìn)行降價促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時每袋應(yīng)降價多少元？【答案】(1)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓(2)促銷時每袋應(yīng)降價3元【分析】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，利用這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套做等量關(guān)系列出方程即可；（2）設(shè)促銷時每袋應(yīng)降價元，利用最終獲利40500元做等量關(guān)系列出方程即可．【解析】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，依題意得，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，答：總