2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（北師大版）第5章 投影與視圖（壓軸題專練）（解析版）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（北師大版）

第5章投影與視圖（壓軸題專練）題型01：由三視圖求幾何體需要最多或最少小正方體問題1．如圖，某幾何體的主視圖和它的左視圖，則搭建這樣的幾何體最少需要的小正方體為（

）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】A【分析】根據(jù)主視圖和左視圖分析即可．【解析】解：∵主視圖有4個小正方體組成，左視圖有3個小正方體組成，∴幾何體的底層最少3個小正方體，第二層最少有1個小正方體，因此組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)為個，故選：．【點睛】本題考查由幾何體判斷三視圖，考查了對三視圖的熟練掌握程度，也體現(xiàn)了對空間想象能力的考查，解題的關(guān)鍵是掌握“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就容易得到答案．2．由個相同的小正方體堆成的幾何體，其主視圖、俯視圖如下所示，則的最大值是（）A．16 B．18 C．19 D．20【答案】B【分析】根據(jù)主視圖、俯視圖是分別從物體正面和上面看，所得到的圖形即可求出答案．【解析】∵由主視圖知在最左邊前后兩層每層3個立方體，中間3個每層2個立方體和最右邊前兩排每層3個立方體，∴n的最大值是：3×2+3×2+3×2=18，故選：B．【點睛】此題主要考查了由三視圖判斷幾何體，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．3．（1）一個幾何體由一些大小相同的小正方體搭成，如圖是從上面看這個幾何體的形狀圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小正方體的個數(shù)，請在網(wǎng)格中畫出從正面和左面看到的幾何體的形狀圖．（2）用小立方塊搭一幾何體，使它從正面看，從左面看，從上面看得到的圖形如圖所示．請在從上面看到的圖形的小正方形中填人相應(yīng)的數(shù)字，使得小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù)．其中，圖1填人的數(shù)字表示最多組成該幾何體的小立方塊的個數(shù)，圖2填入的數(shù)字表示最少組成該幾何體的小立方塊的個數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)俯視圖中小正方體的個數(shù)結(jié)合主視圖，主視圖是從前面向后看得到的圖形，從正面看分左中右三列，左邊列有2個正方形，中間列有3個正方形，右邊列有4個正方形畫出圖形，根據(jù)俯視圖中小正方體的個數(shù)結(jié)合左視圖，左視圖是從左邊向右看得到的圖形，從左邊看分左中右三列，左邊列1個正方形，中間列4個正方形，右邊列2個正方形畫出圖形即可；（2）根據(jù)俯視圖的圖形兩行三列，中間列一行，從正面看分左中右三例，左邊列3個正方形，中間列1個正方形，右邊列2個正方形，從左面看，分兩行，前行后行，前行2個正方形，后行3個正方形，左列前行可以是1個正方體或2個正方體，左列后行3個正方體，中間列只有前行1個正方體，右邊列前行2個正方體，右邊列后行可以1個或2個正方體，最多10個正方體如圖1，最少8個正方體如圖2在俯視圖中標出個數(shù)即可．【解析】解：（1）從正面看分左中右三列，左邊列有2個正方形，中間列有3個正方形，右邊列有4個正方形，如圖從左邊看分左中右三列，左邊列1個正方形，中間列4個正方形，右邊列2個正方形，如圖所示：（2）從正面看分左中右三例，左邊列3個正方形，中間列1個正方形，右邊列2個正方形，從左面看，分兩行，前行后行，前行2個正方形，后行3個正方形，左列前行可以是1個正方體或兩個正方體，，左列后行3個正方體，中間列只有前行1個正方體，右邊列前行2個正方體，后列可以1個或2個正方體，最多10個正方體如圖1，最少8個正方體如圖2．根據(jù)題意，填圖如下：【點睛】本題考查根據(jù)俯視圖畫主視圖與左視圖，根據(jù)主視圖與左視圖確定組成圖形的正方體的個數(shù)，從立體圖形到平面圖形的轉(zhuǎn)化三視圖，由平面圖形三視圖到立體圖形還原幾何體空間想象能力，本題難度較大，培養(yǎng)空間想象力，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．4．在平整的地面上，由若干個完全相同的棱長為10cm的小正方體堆成一個幾何體，如圖①所示.(1)請你在方格紙中分別畫出這個幾何體的主視圖和左視圖;(2)若現(xiàn)在手頭還有一些相同的小正方體，如果保持這個幾何體的主視圖和俯視圖不變，Ⅰ.在圖①所示幾何體上最多可以添加個小正方體;Ⅱ.在圖①所示幾何體上最多可以拿走個小正方體;Ⅲ.在題Ⅱ的情況下，把這個幾何體放置在墻角，使得幾何體的左面和后面靠墻，其俯視圖如圖②所示，若給該幾何體露在外面的面噴上紅漆，則需要噴漆的面積最少是多少平方厘米?【答案】(1)見解析；(2)Ⅰ.2個小正方體；Ⅱ.2個小正方體；Ⅲ.1900平方厘米.【分析】（1）根據(jù)幾何體可知主視圖為3列，第一列是三個小正方形，第二列是1個小正方形，第三列是2個小正方形；左視圖是三列，第一列是3個正方形，第二列是3個正方形，第三列是1個正方形；（2）I.可在正面第一列的最前面添加2個小正方體，故答案為：2II.可以拿走最左側(cè)第2排兩個，也可以拿走最左側(cè)3排兩個，故答案為：2III.若拿走最左側(cè)第2排兩個，能噴漆的面有19個，若拿走最左側(cè)第3排兩個，能噴漆的面有21個，根據(jù)面積公式計算即可.【解析】(1)畫圖(2)Ⅰ.可在正面第一列的最前面添加2個小正方體；Ⅱ.可以拿走最左側(cè)第2排兩個，也可以拿走最左側(cè)3排兩個；2個小正方體;Ⅲ.若拿走最左側(cè)第2排兩個，噴涂面積為平方厘米；若拿走最左側(cè)第3排兩個，噴涂面積為平方厘米；綜上所述，需要噴漆的面積最少是1900平方厘米.【點睛】此題考查幾何體的三視圖，能正確觀察幾何體得到不同方位的視圖是解題的關(guān)鍵，根據(jù)三視圖對應(yīng)添加或是減少時注意保證某些視圖的正確性，需具有很好的空間想象能力.5．用若干大小相同的小正方體搭一個幾何體，使得從正面和從上面看到的這個幾何體的形狀如圖所示完成下列問題：(1)搭成滿足如圖所示主視圖和俯視圖的幾何體最多需要個小正方體，請在網(wǎng)格中畫出用最多小正方體搭成的幾何體的左視圖；(2)搭成滿足如圖所示主視圖和俯視圖的幾何體最少需要個小正方體，用最少小正方體搭成的幾何體共有種不同形狀．(3)用8塊小正方體搭成滿足如圖所示主視圖和俯視圖的幾何體一共有多少種不同形狀？【答案】(1)10，圖見解析(2)7，6(3)9【分析】（1）在俯視圖中，寫出最多時，小正方體的個數(shù)，可得結(jié)論；（2）利用俯視圖，結(jié)合主視圖的特征，解決問題即可；（3）根據(jù)題意判斷即可．【解析】（1）解：搭成滿足如圖所示主視圖和俯視圖的幾何體最多需要：2+2+2+2+2＝10（個），左視圖如圖所示．故答案為：10；（2）搭成滿足如圖所示主視圖和俯視圖的幾何體最少需要3個小正方體，用最少小正方體搭成的幾何體共有6種不同形狀．故答案為：7，6；（3）∵從俯視圖可知下層有5塊小正方體，∴上層有3個小正方體，當右側(cè)放2個小正方體時，有3種形狀，當右側(cè)放1塊小正方體時，有2×3=6種形狀，∴用8塊小正方體搭成滿足如圖所示主視圖和俯視圖的幾何體一共有9種不同形狀．【點睛】本題考查由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是理解三視圖的定義，屬于中考常考題型．6．如圖，觀察由棱長為1的小立方體擺成的圖形，尋找規(guī)律：如圖①中共有1個小立方體，其中1個看得見，0個看不見；如圖②中共有8個小立方體，其中7個看得見，1個看不見；如圖③中共有27個小立方體，其中19個看得見，8個看不見，…(1)第6個圖形中，看得見的小立方體有___個；(2)猜想并寫出第n個圖形中看不見的小立方體的個數(shù).【答案】（1）91；（2）(n－1)3個．【解析】分析：由題意可知，共有小立方體個數(shù)為序號數(shù)×序號數(shù)×序號數(shù)，看不見的小正方體的個數(shù)=（序號數(shù)-1）×（序號數(shù)-1）×（序號數(shù)-1），看得見的小立方體的個數(shù)為共有小立方體個數(shù)減去看不見的小正方體的個數(shù)．詳解：(1)當n＝1時，看不見的小立方體的個數(shù)為(1－1)3＝0(個)；當n＝2時，看不見的小立方體的個數(shù)為(2－1)3＝1(個)；當n＝3時，看不見的小立方體的個數(shù)為(3－1)3＝8(個)；…當n＝6時，看不見的小立方體的個數(shù)為(6－1)3＝125(個)，∴看得見的小立方體有63－125＝216－125＝91(個)；(2)第n個圖形中看不見的小立方體的個數(shù)為(n－1)3個．點睛：解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時，后一個圖形與前一個圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論．7．在桌面上，有6個完全相同的小正方體對成的一個幾何體，如圖所示．（1）請畫出這個幾何體的三視圖．（2）若將此幾何A的表面噴上紅漆（放在桌面上的一面不噴），則三個面上是紅色的小正方體有____個．（3）若另一個幾何體B與幾何體A的主視圖和左視圖相同，而小正方體個數(shù)則比幾何體A多1個，則共有______種添法.請在圖2中畫出幾何體B的俯視圖可能的兩種不同情形．（4）若現(xiàn)在你的手頭還有一些相同的小正方體可添放在幾何體A上，要保持主視圖和左視圖不變，則最多可以添___________個．【答案】（1）詳見解析；（2）2個；（3）4種；（4）4個.【分析】見詳解.【解析】（1）如下圖（2）三個面是紅色的有2個,為從上往下數(shù)第二行第一列的那兩個.（3）4種添發(fā)；見下圖,答案不唯一.（4）由圖可知該幾何體最多有10個正方體,幾何體A只有6個小正方體,10-6=4,所以最多可以添加4個正方體.【點睛】本題考查了物體的三視圖,中等難度,培養(yǎng)看圖能力、空間感是解題關(guān)鍵.8．綜合與實踐問題情境：在棱長為1的正方體右側(cè)拼搭若干個棱長小于或等于1的其它正方體，使拼成的立體圖形為一個長方體．如圖1，是兩個棱長為1的正方體搭成的長方體，圖2是從上面看這個長方體得到的平面圖形，它由兩個正方形組成．操作探究：(1)如圖3是在棱長為1的正方體右側(cè)拼搭了4個棱長小于1的正方體形成的長方體，請畫出從上面看這個長方體得到的平面圖形；(2)已知一個長方體是按上述方式拼成的，組成它的正方體不超過10個，且若從上面看這個長方體得到的平面圖形由4個正方形組成．請從A，B兩題中任選一題作答，我選擇題．A．請畫出從上面看這個長方體得到的平面圖形．（請畫出所有可能的圖形）B．請畫出從上面看這個長方體得到的平面圖形．（請畫出所有可能的圖形，并在所畫圖形的下方直接寫出拼成該長方體所需的正方體的總個數(shù)）【答案】(1)畫圖見解析；(2)見解析.【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形即可；(2)有四種可能的圖形，第一種：4個棱長為1的正方體排成一行；第二種：左右各1個棱長為1的正方體，中間4個棱長為的正方體（2行2列擺放）；第三種：左邊1個棱長為1的正方體，右邊9個棱長為的正方體（3行3列擺放）；第四種：左邊1個棱長為1的正方體，右邊1個棱長為和10個棱長為的正方體.【解析】解：(1)由圖3可得，從上面看這個長方體得到的平面圖形為：(2)若選A題：由題可得，從上面看這個長方體得到的平面圖形為：

若選B題：由題可得，從上面看這個長方體得到的平面圖形為：

【點睛】本題涉及的知識點：物體的三視圖.題型02：相似三角形在投影中的應(yīng)用9．如圖1是一種浴室壁掛式圓形鏡面折疊鏡，AB，CD，EF可在水平面上轉(zhuǎn)動，連接軸BD分別垂直AB和CD，EF過圓心，點C在EF的中垂線上，且CD＝EF，cm，如圖2是折疊鏡俯視圖，墻面PI與PQ互相垂直，在折疊鏡轉(zhuǎn)動過程中，EF與墻面PI始終保持平行，當點E落在PQ上時，AE＝30cm，此時A，B，F(xiàn)三點共線，則EF＝cm；將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AB′，當B'C⊥AB′時，測得點B′與E′到PQ的距離之比B'G：E′H=16：11，則B'G＝cm．【答案】【分析】連接BE，BF，過點作于J．首先證明∠EBF=90°，利用勾股定理求出EB，再利用相似三角形的性質(zhì)求出BF，利用勾股定理可得EF．設(shè)=16kcm，=11kcm，利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理構(gòu)建方程求出k即可．【解析】解：連接BE，BF，過點作于J．由題意，CE=CF=CB，∴∠EBF=90°，∵AB=24cm，AE=30cm，∴EB=（cm），∵∠AEB+∠FEB=90°，∠F+∠FEB=90°，∴∠AEB=∠F，∵∠ABE=∠EBF=90°，∴△ABE∽△EBF，∴，∴，∴FB=，∴EF=（cm），∵，∴設(shè)=16kcm，=11kcm，∵四邊形是矩形，∴=16k（cm），∴16k-11k=5k（cm），∵（cm），∴cm，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴（cm），在Rt△中，則有，解得，（不合題意的根已舍去）∴（cm）．故答案為：．【點睛】本題考查三視圖的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．10．日晷是我國古代利用日影測定時刻的一種計時儀器，它由“晷面”和“晷針”組成，古人常用的日晷有水平式日晷（圖1）和赤道式日晷（圖2）．其中水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度且“晷面”與地面平行；赤道式日晷的“晷面”與赤道面平行當太陽光照在日晷上時，晷針的影子就會投向晷面．隨著時間的推移，晷針的影子在晷面上慢慢地移動，以此來顯示時刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均勻，赤道式日晷的“晷面”刻度則是均勻的．

（1）如圖1，當水平式日晷放在緯度為（即）位置時，晷針與晷面的夾角為°．（2）如圖3，將兩種日晷的“晷針”重合，n小時后，兩種日晷對應(yīng)的時刻一致，即兩種晷“晷針”的影子所在的直線相交于點．此時與滿足的關(guān)系式．【答案】【分析】（1）根據(jù)水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度求解即可；（2）過點作于點，證明，根據(jù)平行投影證明，根據(jù)，得出即可．【解析】解：（1）∵水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度，∴當水平式日晷放在緯度為（即）位置時，晷針與晷面的夾角為；故答案為：；（2）過點作于點，如圖所示：

則，∴，根據(jù)題意可知，赤道日晷的晷面與晷針垂直，∴，∴，∴，∴，根據(jù)平行投影可知，當12點時，點在水平方向的投影為點E，經(jīng)過n小時后，的投影在上，因此，∵，

∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平移投影的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，發(fā)揮空間想象能力，根據(jù)平行投影得出．11．操作與研究：如圖，被平行于的光線照射，于D，在投影面上．(1)指出圖中線段的投影是______，線段的投影是______．(2)問題情景：如圖1，中，，，我們可以利用與相似證明，這個結(jié)論我們稱之為射影定理，請證明這個定理．(3)【結(jié)論運用】如圖2，正方形的邊長為15，點O是對角線的交點，點E在上，過點C作，垂足為F，連接，①試利用射影定理證明；②若，求的長．【答案】(1)，(2)見解析；(3)①見解析；②．【分析】（1）根據(jù)題意，即可解答；（2）通過證明得到，然后利用比例性質(zhì)即可得到；（3）①根據(jù)射影定理得，，則，即，加上，于是可根據(jù)相似三角形的判定得到結(jié)論；（2）②先計算出，，，再利用（1）中結(jié)論得到，代入數(shù)據(jù)即可求解．【解析】（1）解：根據(jù)題意，圖中線段的投影是，線段的投影是．故答案為：，；（2）證明：如圖，∵，，∴，而，∴，∴，∴；（3）①證明：如圖，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，即，而，∴；②∵，而，∴，在中，，在中，，∵，∴，即，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．也考查了射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．12．甲、乙、丙三個學(xué)習小組于同一時刻在陽光下對校園中一些物體進行了測量，下面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖①，測得一根直立于平地、長為80cm的竹竿的影長為60cm．乙組：如圖②，測得學(xué)校旗桿的影長為900cm．丙組：如圖③，測得校園景燈？（燈罩視為圓柱體，燈桿粗細忽略不計）的燈罩部分影長為90cm，燈桿被陽光照射到的部分長為50cm，未被照射到的部分長為32cm．(1)請你根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗桿的高度．(2)請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，解答下列問題：①求燈罩底面半徑的長；②求從正面看燈罩得到的圖形的面積和從上面看燈罩得到的圖形的面積．【答案】(1)學(xué)校旗桿的高度為12m(2)①燈罩底面半徑的長為24cm；②從正面看燈罩得到的圖形面積為2688(cm2)，從上面看燈罩得到的圖形面積為576π(cm2)【分析】（1）根據(jù)平行投影的性質(zhì)，得到三角形相似，列式計算即可；（2）①易得：，得到，即可得解；②易得：，得到，證明，求出，進而求出的長，進而求出從正面看燈罩得到的圖形的面積和從上面看燈罩得到的圖形的面積即可．【解析】（1）解：由題意，可知：，∴，即：，∴；答：學(xué)校旗桿的高度為．（2）解：①根據(jù)題意可知，，∴，即．∴，∴燈罩底面半徑的長為24cm．②∵太陽光為平行光，∴，∴，由題意，可知：，，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴，∴，∴從正面看燈罩為矩形，面積為：，從上面看燈罩為圓形，面積為：．【點睛】本題考查平行投影，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及三視圖．熟練掌握平行投影的性質(zhì)，證明三角形全等和相似，是解題的關(guān)鍵．題型03：新定義題13．空間任意選定一點，以點為端點作三條互相垂直的射線，，．這三條互相垂直的射線分別稱作軸、軸、軸，統(tǒng)稱為坐標軸，它們的方向分別為（水平向前），（水平向右），（豎直向上）方向，這樣的坐標系稱為空間直角坐標系．將相鄰三個面的面積記為，且的小長方體稱為單位長方體，現(xiàn)將若干個單位長方體在空間直角坐標系內(nèi)進行碼放，要求碼放時將單位長方體所在的面與軸垂直，所在的面與軸垂直，所在的面與軸垂直，如圖所示．若將軸方向表示的量稱為幾何體碼放的排數(shù)，軸方向表示的量稱為幾何體碼放的列數(shù)，軸方向表示的量稱為幾何體碼放的層數(shù)；如圖是由若干個單位長方體在空間直角坐標內(nèi)碼放的一個幾何體，其中這個幾何體共碼放了排列層，用有序數(shù)組記作(1，2，6)，如圖的幾何體碼放了排列層，用有序數(shù)組記作(2，3，4)．這樣我們就可用每一個有序數(shù)組表示一種幾何體的碼放方式．（1）有序數(shù)組(3，2，4)所對應(yīng)的碼放的幾何體是_____；（2）圖是由若干個單位長方體碼放的一個幾何體的三視圖，則這種碼放方式的有序數(shù)組為(___，____，____)，組成這個幾何體的單位長方體的個數(shù)為____個；（3）為了進一步探究有序數(shù)組的幾何體的表面積公式，某同學(xué)針對若干個單位長方體進行碼放，制作了下列表格：根據(jù)以上規(guī)律，請直接寫出有序數(shù)組的幾何體表面積的計算公式；（用表示）（4）當時，對由個單位長方體碼放的幾何體進行打包，為了節(jié)約外包裝材料，我們可以對個單位長方體碼放的幾何體表面積最小的規(guī)律進行探究，請你根據(jù)自己探究的結(jié)果直接寫出使幾何體表面積最小的有序數(shù)組，這個有序數(shù)組為(___，___，___)，此時求出的這個幾何體表面積的大