蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列12.1證明【十大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題12.1證明【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1命題的概念】 1【題型2判斷命題的真假】 2【題型3互逆命題】 2【題型4三角形內(nèi)角和的運(yùn)用】 3【題型5三角形外角的運(yùn)用】 4【題型6直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用】 5【題型7平行線性質(zhì)的運(yùn)用】 7【題型8平行線判定的運(yùn)用】 8【題型9平行公理的運(yùn)用】 9【題型10推理與論證】 10【題型1命題的概念】【例1】（2022秋·湖南婁底·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列語(yǔ)句是命題的是（）（1）兩點(diǎn)之間，線段最短；（2）如果x2＞0，那么x（3）如果兩個(gè)角的和是90度，那么這兩個(gè)角互余；（4）過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線．A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（2）（4）【變式1-1】（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)期末）下列句子中，屬于命題的是（

）A．直線AB和CD垂直嗎？ B．過(guò)線段AB的中點(diǎn)C作AB的垂線C．同旁內(nèi)角不互補(bǔ)，兩直線不平行 D．已知a2=1，求【變式1-2】（2022春·寧夏固原·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列語(yǔ)句：①鈍角大于90°；②兩點(diǎn)之間，線段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁內(nèi)角不互補(bǔ)，兩直線不平行．其中不是命題的是____________．【變式1-3】（2022春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）判斷下列語(yǔ)句是否是命題．如果是，請(qǐng)寫出它的題設(shè)和結(jié)論．(1)內(nèi)錯(cuò)角相等；(2)對(duì)頂角相等；(3)畫一個(gè)60°的角．【題型2判斷命題的真假】【例2】（2022秋·廣西貴港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題中：其中是假命題的個(gè)數(shù)共有（

）①如果a+b=0，那么a=b=0；②如果a=3，那么③三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；④如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是對(duì)頂角；⑤三角形的內(nèi)角和等于180°；⑥兩個(gè)銳角的和是鈍角．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式2-1】（2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列命題中，是真命題的為（

）A．相等的角是對(duì)頂角 B．兩直線平行，同旁內(nèi)角相等C．同位角相等 D．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行【變式2-2】（2022春·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）將命題“等角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果……那么……”的形式，可寫成________________，該命題是_________（填“真命題”或“假命題”）．【變式2-3】（2022春·山西·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）判斷下列命題的真假，如果是假命題，請(qǐng)舉一個(gè)反例，真命題不需要舉例．（1）鈍角的補(bǔ)角是銳角；（2）一個(gè)角的余角小于這個(gè)角；（3）如果a=b，那么【題型3互逆命題】【例3】（2022秋·四川樂(lè)山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）命題“實(shí)數(shù)a、b，若a=b，則a2=b【變式3-1】（2022春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）命題“若?3a>?3b，則a<b”的逆命題是________．【變式3-2】（2022春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）下列各命題都成立，寫出它們的逆命題，這些逆命題成立嗎？(1)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．(2)如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等．【變式3-3】（2022春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知命題“如果a=b，那么a=(1)寫出此命題的條件和結(jié)論；(2)寫出此命題的逆命題；(3)判斷此命題的逆命題是真命題還是假命題，如果是假命題，請(qǐng)舉出一個(gè)反例進(jìn)行說(shuō)明．【題型4三角形內(nèi)角和的運(yùn)用】【例4】（2022秋·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在探究證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”時(shí)，飛翔班的同學(xué)作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的是（

）A．延長(zhǎng)BC至D過(guò)C作CE∥AB B．過(guò)A作DE∥C．過(guò)D作DE∥BC D．過(guò)P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC【變式4-1】（2022秋·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在研究三角形內(nèi)角和等于180°的證明方法時(shí)，小虎給出了下列證法．證明：在△ABC中，作CD⊥AB（如圖），∵CD⊥AB（已知）∴∠ADC=∠BDC=90°（直角定義）∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°（直角三角形兩銳角互余）∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°（等式的性質(zhì)）∴∠A+∠B+∠ACB=180°．請(qǐng)你判斷上述小虎同學(xué)的證法是否正確，如果不正確，寫出一種你認(rèn)為較簡(jiǎn)單的證明三角形內(nèi)角和定理的方法．【變式4-2】（2022春·山東濰坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線a∥b，直線AB與直線a，b分別相交于點(diǎn)A、B，AC交直線b于點(diǎn)C．（1）若AC⊥AB，∠1=54°49′．求∠2的度數(shù)：（2）請(qǐng)說(shuō)明∠ABC+∠BCA+∠CAB=180o．【變式4-3】（2022秋·重慶合川·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)F．(1)若∠A=54°，∠ABC=50°，求∠CFD的度數(shù)；(2)求證：2∠BFC=∠A+180°．【題型5三角形外角的運(yùn)用】【例5】（2022秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交于點(diǎn)P，若∠A=50°，則∠BPC等于（

）A．110° B．120° C．130° D．160°【變式5-1】（2022秋·海南海口·七年級(jí)校聯(lián)考期末）將一塊等腰直角三角板和一塊含30°角的直角三角板按圖所示方式疊放，則∠DOC等于（

）A．45° B．60° C．75° D．105°【變式5-2】（2022秋·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在BC邊上（點(diǎn)B，C除外），點(diǎn)E在AC邊上，且∠ADE=∠AED．(1)若∠B=∠C=45°，∠BAD=60°，求∠CDE的度數(shù)；(2)求證：∠BAD=2∠CDE．【變式5-3】（2022秋·安徽蕪湖·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在BC邊上（點(diǎn)B、C除外）點(diǎn)E在AC邊上，且∠4=∠AED．(1)如圖1，若∠B=∠C=45°．①當(dāng)∠1=60°時(shí)，求∠2的度數(shù)；②試推導(dǎo)∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系．(2)深入探究：如圖2，若∠B=∠C，但∠C≠45°，其他條件不變，試探究∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，要求有簡(jiǎn)單的推理過(guò)程．【題型6直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用】【例6】（2022秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中∠ABC=∠BCD=90°，∠A=30°，∠D=45°，AC與BD交于點(diǎn)P，則∠BPC的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【變式6-1】（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，將其折疊使點(diǎn)A落在BC邊上的A'處，折痕為CD，則【變式6-2】（2022秋·黑龍江牡丹江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線．∠B>∠C．(1)若∠B=60°，∠C=36°，則∠DAE=______°．(2)若∠B=α，∠C=β，探究∠DAE與α、β的數(shù)量關(guān)系？【變式6-3】（2022秋·河南駐馬店·七年級(jí)校考期末）如圖1，將兩塊直角三角板的直角頂點(diǎn)A疊放在一起．(1)若∠PAQ=45°，則∠CAB=；若∠CAB=130°，則∠PAQ=；(2)猜想∠CAB與∠PAQ的大小有何關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖2，若是兩個(gè)同樣的直角三角尺45°銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，猜想∠PAB與∠CAQ的大小又有何關(guān)系，并說(shuō)明理由．【題型7平行線性質(zhì)的運(yùn)用】【例7】（2022秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，現(xiàn)將一個(gè)含30°角的直角三角尺EFG按如圖方式放置，其中頂點(diǎn)F、G分別落在直線AB，CD上，GE交AB于點(diǎn)H，若∠EHB=50°，則∠AFG的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．115° D．120°【變式7-1】（2022秋·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一副三角板和一張對(duì)邊平行的紙條按下列方式擺放，含45°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含30°的三角板的一個(gè)頂點(diǎn)在含45°角的三角板的一邊上，則∠1的度數(shù)是（）A．30° B．20° C．15° D．14°【變式7-2】（2022秋·四川樂(lè)山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，BC平分∠ABD交AD于點(diǎn)E．(1)證明：∠1=∠3；(2)若AD⊥BD于點(diǎn)D，∠CDA=34°，求∠3的度數(shù)．【變式7-3】（2022秋·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AM∥BN，∠A=60°，點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM(1)求∠CBD(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試判斷∠APB與∠(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB=∠ABD【題型8平行線判定的運(yùn)用】【例8】（2022春·浙江杭州·七年級(jí)期末）下列圖形中，能由∠1＝∠2得到AB∥CD的是（

）A． B．C． D．【變式8-1】（2022秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知條件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180°；⑤∠5+∠6=180°；⑥【變式8-2】（2022春·安徽滁州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，BD平分∠ABC，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)G在AC上，F(xiàn)C與BD相交于點(diǎn)H，∠3＋∠4＝180°，試說(shuō)明∠1＝∠2（請(qǐng)通過(guò)填空完善下列推理過(guò)程）解：∵∠3＋∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（

）．∴∠3＋∠FHD＝180°（等量代換）．∴FG∥BD（

）．∴＝∠ABD（

）．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝（

）．∴∠l＝∠2（

）．【變式8-3】（2022秋·海南?？凇て吣昙?jí)校考期末）點(diǎn)E在射線DA上，點(diǎn)F、G為射線BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠DBF=∠DEF，∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F右側(cè)時(shí)，①試說(shuō)明：BD∥②試說(shuō)明∠DGE=∠BDG?∠FEG；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論②是否成立，若不成立，請(qǐng)寫出正確結(jié)論；（不用說(shuō)理）(3)如圖3，在（2）的條件下，P為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DM平分∠BDG，交BC于點(diǎn)M，DN平分∠PDM，交EF于點(diǎn)N，連接NG，若DG⊥NG，∠B?∠DNG=∠EDN，求∠B的度數(shù)．【題型9平行公理的運(yùn)用】【例9】（2022春·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13A．23° B．33° C．44° D．46°【變式9-1】（2022秋·四川眉山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，若∠1=40°，∠2=50°，∠3=65°則∠4=_______．【變式9-2】（2022春·廣東河源·七年級(jí)校考期末）如圖，已知AB∥EF，GC⊥CF，∠ABC=65°，∠【變式9-3】（2022秋·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題提出（1）如圖1，若點(diǎn)A在B處的北偏東38°方向上，在C處的北偏西46°方向上，則∠BAC=．問(wèn)題探究（2）如圖2，直線l1∥l2，且l3分別與l1，l2交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線AB問(wèn)題應(yīng)用（3）某模具公司生產(chǎn)如圖3所示的刀片，刀柄外形是一個(gè)直角梯形（下底挖去一小半圓），若小刀的刀片上、下平行，則認(rèn)為該刀片合格，經(jīng)過(guò)測(cè)量可得∠1+∠2=90°，你認(rèn)為這樣小刀的模具合格嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型10推理與論證】【例10】（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）我們的數(shù)學(xué)教材中有一個(gè)“搶30的游戲”，現(xiàn)在改為“甲、乙二人搶20”的游戲．游戲規(guī)則是：甲先說(shuō)“1”或“1、2”乙接著甲的數(shù)往下說(shuō)一個(gè)或兩個(gè)數(shù)，然后又輪到甲再接著乙的數(shù)往下說(shuō)一個(gè)或兩個(gè)數(shù)，甲、乙反復(fù)輪流說(shuō)，每次每人說(shuō)一個(gè)或兩個(gè)數(shù)都可以，但不能連續(xù)說(shuō)三個(gè)數(shù)，也不能一個(gè)數(shù)也不說(shuō)．誰(shuí)先搶到20，誰(shuí)就獲勝．因?yàn)榧紫日f(shuō)，你認(rèn)為誰(shuí)會(huì)獲勝？請(qǐng)你分析獲勝策略、推理說(shuō)明獲勝的道理．【變式10-1】（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）問(wèn)：在8×8的國(guó)際象棋盤上最多可以放多少個(gè)“+”字形（其中每D隊(duì)注1：在兩隊(duì)比賽中，以入球數(shù)多的一方為勝注2：假設(shè)甲，乙兩隊(duì)比賽中，甲入球數(shù)為3，失球數(shù)為2（即乙隊(duì)入球數(shù)為2），則我們把甲、乙兩隊(duì)的比賽成績(jī)記為：甲隊(duì)：乙隊(duì)=3：2根據(jù)上表，回答下列問(wèn)題（1）由于C隊(duì)已賽了3場(chǎng)，即C隊(duì)和其他的隊(duì)都已經(jīng)比賽過(guò)，則他們之間的比賽成績(jī)?yōu)镃：A=；C：B=；C：D=；（2）根據(jù)表格，D隊(duì)到目前為止共比賽了場(chǎng)，其中勝了場(chǎng)；（3）根據(jù)表格，請(qǐng)問(wèn)D隊(duì)到目前為止共入球幾個(gè)，失球幾個(gè)，并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．專題12.1證明【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1命題的概念】 1【題型2判斷命題的真假】 3【題型3互逆命題】 5【題型4三角形內(nèi)角和的運(yùn)用】 7【題型5三角形外角的運(yùn)用】 10【題型6直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用】 14【題型7平行線性質(zhì)的運(yùn)用】 18【題型8平行線判定的運(yùn)用】 22【題型9平行公理的運(yùn)用】 29【題型10推理與論證】 33【題型1命題的概念】【例1】（2022秋·湖南婁底·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列語(yǔ)句是命題的是（）（1）兩點(diǎn)之間，線段最短；（2）如果x2＞0，那么x（3）如果兩個(gè)角的和是90度，那么這兩個(gè)角互余；（4）過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線．A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（2）（4）【答案】C【分析】命題是表示帶有判段意義的陳述語(yǔ)句,利用命題的定義分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：（1）兩點(diǎn)之間，線段最短，它是命題；（2）如果x2＞0，那么x【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的定義,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握命題的定義.【變式1-1】（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)期末）下列句子中，屬于命題的是（

）A．直線AB和CD垂直嗎？ B．過(guò)線段AB的中點(diǎn)C作AB的垂線C．同旁內(nèi)角不互補(bǔ)，兩直線不平行 D．已知a2=1，求【答案】C【分析】對(duì)一件事情作出判斷的語(yǔ)句叫做命題，根據(jù)定義判斷即可．【詳解】解：A．是問(wèn)句，不是命題，故該選項(xiàng)不符合題意，B．是作圖，沒(méi)有對(duì)一件事情作出判斷，不是命題，故該選項(xiàng)不符合題意，C．對(duì)一件事情作出判斷，是命題，故該選項(xiàng)符合題意，D．沒(méi)有對(duì)一件事情作出判斷，不是命題，故該選項(xiàng)不符合題意，，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了命題的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．對(duì)一件事情作出判斷的語(yǔ)句叫做命題，注意，假命題也是命題．【變式1-2】（2022春·寧夏固原·七年級(jí)校考階段練習(xí)）下列語(yǔ)句：①鈍角大于90°；②兩點(diǎn)之間，線段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁內(nèi)角不互補(bǔ)，兩直線不平行．其中不是命題的是____________．【答案】④【分析】根據(jù)命題的定義：對(duì)一件事情作出判斷，是陳述句，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①鈍角大于90°、②兩點(diǎn)之間，線段最短、⑤同旁內(nèi)角不互補(bǔ)，兩直線不平行，都對(duì)事情作出了判斷，因此都屬于命題；③明天可能下雨，沒(méi)有對(duì)一件事情作出判斷，因此不是命題；④作AD⊥BC屬于作圖語(yǔ)言，并未進(jìn)行判斷，因此不是命題，故選④．【點(diǎn)睛】本題考查命題的定義：是否對(duì)一件事情進(jìn)行了判斷，而且是陳述句．【變式1-3】（2022春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）判斷下列語(yǔ)句是否是命題．如果是，請(qǐng)寫出它的題設(shè)和結(jié)論．(1)內(nèi)錯(cuò)角相等；(2)對(duì)頂角相等；(3)畫一個(gè)60°的角．【答案】(1)是命題．題設(shè)是：兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，結(jié)論是：這兩個(gè)角相等(2)是命題．題設(shè)是：兩個(gè)角是對(duì)頂角，結(jié)論是：這兩個(gè)角相等(3)不是命題【分析】（1）先根據(jù)命題的定義判斷，然后找到相應(yīng)的條件和結(jié)論作為命題的題設(shè)和結(jié)論即可；（2）先根據(jù)命題的定義判斷，然后找到相應(yīng)的條件和結(jié)論作為命題的題設(shè)和結(jié)論即可；（3）根據(jù)命題的定義判斷即可．【詳解】（1）解：是命題．題設(shè)是：兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，結(jié)論是：這兩個(gè)角相等；（2）是命題．題設(shè)是：兩個(gè)角是對(duì)頂角，結(jié)論是：這兩個(gè)角相等；（3）不是命題．【點(diǎn)睛】本題考查了命題，解決本題的關(guān)鍵是理解命題是判斷一件事情的語(yǔ)句，命題的題設(shè)為條件部分，結(jié)論為由條件得到的結(jié)論．【題型2判斷命題的真假】【例2】（2022秋·廣西貴港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題中：其中是假命題的個(gè)數(shù)共有（

）①如果a+b=0，那么a=b=0；②如果a=3，那么③三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；④如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是對(duì)頂角；⑤三角形的內(nèi)角和等于180°；⑥兩個(gè)銳角的和是鈍角．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)、對(duì)頂角的定義、三角形的內(nèi)角和定理及銳角和鈍角的定義等知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：①如果a+b=0，那么a、b互為相反數(shù)，故原命題錯(cuò)誤，為假命題，符合題意②如果a=3，那么a=±3③三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，正確，是真命題，不符合題意；④如果∠1=∠2，那么∠1和∠2不一定是對(duì)頂角，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，符合題意；⑤三角形的內(nèi)角和等于180°，正確，是真命題，不符合題意；⑥兩個(gè)銳角的和不一定是鈍角，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，符合題意．假命題有4個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義及性質(zhì)．【變式2-1】（2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列命題中，是真命題的為（

）A．相等的角是對(duì)頂角 B．兩直線平行，同旁內(nèi)角相等C．同位角相等 D．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可獲得答案．【詳解】A.對(duì)頂角相等，但相等的角不一定是對(duì)頂角，原命題是假命題，不符合題意；B.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，原命題是假命題，不符合題意；C.兩直線平行，同位角相等，原命題是假命題，不符合題意；D.經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，是真命題，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題、對(duì)頂角、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2022春·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）將命題“等角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果……那么……”的形式，可寫成________________，該命題是_________（填“真命題”或“假命題”）．【答案】如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角的補(bǔ)角也相等真命題【分析】命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成．題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．命題常?？梢詫憺椤叭绻敲础钡男问?，如果后面接題設(shè)，那么后面接結(jié)論．題設(shè)成立，結(jié)論也成立的叫真命題；而題設(shè)成立，不保證結(jié)論成立的為假命題．【詳解】解：把“等角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果…那么…”的形式是：如果兩個(gè)角是等角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等；這個(gè)命題正確，是真命題，故答案為：如果兩個(gè)角是等角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等，真命題．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理，命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言，任何一個(gè)命題非真即假，要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．【變式2-3】（2022春·山西·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）判斷下列命題的真假，如果是假命題，請(qǐng)舉一個(gè)反例，真命題不需要舉例．（1）鈍角的補(bǔ)角是銳角；（2）一個(gè)角的余角小于這個(gè)角；（3）如果a=b，那么【答案】（1）真命題；（2）假命題，舉例見(jiàn)解析；（3）假命題，舉例見(jiàn)解析【分析】（1）鈍角的補(bǔ)角是銳角，該命題是真命題；（2）一個(gè)角的余角不一定小于這個(gè)角，該命題是假命題，舉出反例即可；（3）如果a=b，那么a與【詳解】（1）鈍角的補(bǔ)角是銳角，該命題是真命題．（2）一個(gè)角的余角小于這個(gè)角，該命題是假命題．反例：45°的余角是45°，與本身相等．（3）如果a=b，那么反例：?2=2，但是【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷、補(bǔ)角、余角以及絕對(duì)值的概念，熟記相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．【題型3互逆命題】【例3】（2022秋·四川樂(lè)山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）命題“實(shí)數(shù)a、b，若a=b，則a2【答案】若a2＝b2，則a＝b當(dāng)a＝2，b＝﹣2，則a2＝b2，而a≠b（答案不唯一）【分析】根據(jù)真假命題的定義進(jìn)行判斷，再舉出反例即可．【詳解】解：命題“實(shí)數(shù)a、b，若a＝b，則a2＝b2”的逆命題是：若a2＝b2，則a＝b，逆命題是假命題，舉反例：如，當(dāng)a＝2，b＝﹣2，則a2＝b2，而a≠b，故答案為：若a2＝b2，則a＝b；當(dāng)a＝2，b＝﹣2，則a2＝b2，而a≠b，（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查的是命題與定理，用到的知識(shí)點(diǎn)是真假命題的定義，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題，判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉相關(guān)的性質(zhì)定理．【變式3-1】（2022春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）命題“若?3a>?3b，則a<b”的逆命題是________．【答案】若a<b，則-3a>-3b【分析】根據(jù)逆命題睥定義求解即可．【詳解】解：若?3a>?3b，則a<b的逆命題是若a<b，則-3a>-3b，故答案為：若a<b，則-3a>-3b．【點(diǎn)睛】本題考查逆命題，熟練掌握逆命題的定義“一個(gè)命題的題設(shè)是另一個(gè)命題結(jié)論，結(jié)論是另一個(gè)命題的題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題互為逆命題”是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）下列各命題都成立，寫出它們的逆命題，這些逆命題成立嗎？(1)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．(2)如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等．【答案】(1)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；成立(2)如果兩個(gè)角相等、那么這兩個(gè)角是直角；不成立【分析】（1）將題設(shè)，結(jié)論互換，寫出逆命題，再進(jìn)行判斷即可；（2）將題設(shè)，結(jié)論互換，寫出逆命題，再進(jìn)行判斷即可；【詳解】（1）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得出逆命題成立；（2）如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等的逆命題是如果兩個(gè)角相等、那么這兩個(gè)角是直角，根據(jù)相等的角不一定是直角，可以判斷逆命題不成立．【點(diǎn)睛】本題考查逆命題，判斷命題的真假．熟練掌握逆命題的改寫方法是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知命題“如果a=b，那么a=(1)寫出此命題的條件和結(jié)論；(2)寫出此命題的逆命題；(3)判斷此命題的逆命題是真命題還是假命題，如果是假命題，請(qǐng)舉出一個(gè)反例進(jìn)行說(shuō)明．【答案】(1)條件為：a=b；結(jié)論為：a(2)如果a=b(3)假命題，反例不唯一【分析】（1）“如果”后面的部分為條件，“那么”后面的部分為結(jié)論；（2）交換題目中命題的結(jié)論和題設(shè)的位置即可；（3）舉出反例即可．【詳解】（1）解：此命題的條件為：a=b，結(jié)論為：a=（2）此命題的逆命題為：如果a=b，那么（3）此命題的逆命題是假命題，當(dāng)a,b為相反數(shù)時(shí)，它們的絕對(duì)值相等，但本身不相等，如a=2,b=?2時(shí)，2=?2，而【點(diǎn)睛】本題考查的是命題與定理，用到的知識(shí)點(diǎn)是真假命題的定義，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題，交換命題的中題設(shè)和結(jié)論即為原命題的逆命題．【題型4三角形內(nèi)角和的運(yùn)用】【例4】（2022秋·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在探究證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”時(shí)，飛翔班的同學(xué)作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的是（

）A．延長(zhǎng)BC至D過(guò)C作CE∥AB B．過(guò)A作DE∥C．過(guò)D作DE∥BC D．過(guò)P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC【答案】C【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】A、∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∠B=∠ECD，由∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，得∠BCA+∠BAC+∠B=180°，故A不符合題意；B、∵DE∥BC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，由∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°，得C、∵DE∥BC，∠B=∠ADE，∠C=∠AED，無(wú)法證得三角形的內(nèi)角和等于D、如圖，∵DE∥BC，∴∠B=∠AOE=∠BOP，∠C=∠AMP，∵∠A+∠AMP=∠AOP，∴∠A+∠C=∠AOP，∵∠BOP+∠AOP=180°，∴∠BOP+∠A+∠C=180°∴∠A+∠B+∠C=180°，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，熟悉以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2022秋·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在研究三角形內(nèi)角和等于180°的證明方法時(shí)，小虎給出了下列證法．證明：在△ABC中，作CD⊥AB（如圖），∵CD⊥AB（已知）∴∠ADC=∠BDC=90°（直角定義）∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°（直角三角形兩銳角互余）∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°（等式的性質(zhì)）∴∠A+∠B+∠ACB=180°．請(qǐng)你判斷上述小虎同學(xué)的證法是否正確，如果不正確，寫出一種你認(rèn)為較簡(jiǎn)單的證明三角形內(nèi)角和定理的方法．【答案】不正確，理由見(jiàn)解析【分析】根據(jù)不能用命題本身證明本身，可得判斷小虎的做法不正確，再過(guò)點(diǎn)C作直線MN，使MN∥AB，證明∠B=∠NCB，【詳解】解：小虎的做法不正確，過(guò)點(diǎn)C作直線MN，使MN∥∵M(jìn)N∥∴∠B=∠NCB，∠A=∠MCA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠MCA+∠NCB+∠BCA=180°（平角定義）∴∠B+∠A+∠ACB=180°（等量代換）【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的證明，理解題意確定小虎的做法不正確是解本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022春·山東濰坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線a∥b，直線AB與直線a，b分別相交于點(diǎn)A、B，AC交直線b于點(diǎn)C．（1）若AC⊥AB，∠1=54°49′．求∠2的度數(shù)：（2）請(qǐng)說(shuō)明∠ABC+∠BCA+∠CAB=180o．【答案】（1）35°11′；（2）見(jiàn)解析.【分析】（1）依據(jù)直線a∥b，AC⊥AB，利用平行線的性質(zhì)和余角得到∠2；（2）依據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠4=∠ABC，∠3=∠BCA，再由∠BAC+∠4+∠3=180°即可說(shuō)明.【詳解】解：（1）∵直線a∥b，∴∠3=∠1=54°49′，又∵AC⊥AB，∴∠2=90°-∠3=35°11′；（2）∵a∥b，∴∠4=∠ABC，∠3=∠BCA，而∠BAC+∠4+∠3=180°，∴∠ABC+∠BCA+∠BAC=180o.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和的證明，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)定理.【變式4-3】（2022秋·重慶合川·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)F．(1)若∠A=54°，∠ABC=50°，求∠CFD的度數(shù)；(2)求證：2∠BFC=∠A+180°．【答案】(1)63(2)見(jiàn)解析【分析】（1）先利用三角形內(nèi)角和定理得到∠ACB=76°，再結(jié)合角平分線的定義可求解∠（2）利用角平分線的定義可求解∠BFC=180°【詳解】（1）解：∵∠A=54∴∠∵△ABC的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)∴∠CBF=1∴∠∴（2）證明:∵△ABC的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)F，∴∴∠BFC=∵∴∴即2【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°本題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和把∠BFC與∠A聯(lián)系起來(lái)．【題型5三角形外角的運(yùn)用】【例5】（2022秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交于點(diǎn)P，若∠A=50°，則∠BPC等于（

）A．110° B．120° C．130° D．160°【答案】C【分析】首先根據(jù)BE⊥AC，∠A=50°可得∠ABE的度數(shù)，然后根據(jù)CD⊥AB可得∠CDB的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：∵BE⊥AC，∠A=50°，∴∠ABE=90°?∠A=90°?50°=40°∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠BPC=∠PDB+∠DBP=90°+40°=130°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和等于180°、三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022秋·海南?？凇て吣昙?jí)校聯(lián)考期末）將一塊等腰直角三角板和一塊含30°角的直角三角板按圖所示方式疊放，則∠DOC等于（

）A．45° B．60° C．75° D．105°【答案】C【分析】根據(jù)∠C=30°，得到∠BAC=60°，進(jìn)而得到∠DAO=30°，利用三角形的外角得到∠DOC=∠ADB+∠DAO即可得解．【詳解】解：由圖可知：∠C=30°，∠D=45°，∠BAD=∠ABC=90°，則：∠BAC=60°，∴∠DAO=∠BAD?∠BAC=30°，∴∠DOC=∠ADB+∠DAO=75°；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角板中角度的計(jì)算，三角形的外角的性質(zhì)．熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022秋·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在BC邊上（點(diǎn)B，C除外），點(diǎn)E在AC邊上，且∠ADE=∠AED．(1)若∠B=∠C=45°，∠BAD=60°，求∠CDE的度數(shù)；(2)求證：∠BAD=2∠CDE．【答案】(1)30°(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠ADC=∠BAD+∠B=105°，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠BAC=180°?45°?45°=90°，得出∠DAE=∠BAC?∠BAD=30°，求出∠ADE=∠AED=1（2）設(shè)∠BAD=x，根據(jù)三角形外角求出∠ADC=∠BAD+∠B=∠B+x，根據(jù)角度之間的關(guān)系求出∠CDE=1【詳解】（1）解：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠BAD+∠B=105°，∵∠B=∠C=45°，∴∠BAC=180°?45°?45°=90°，∴∠DAE=∠BAC?∠BAD=30°，∴∠ADE=∠AED=1∴∠CDE=105°?75°=30°；（2）證明：設(shè)∠BAD=x，∴∠ADC=∠BAD+∠B=∠B+x，∵∠B=∠C，∴∠BAC=180°?2∠C，∴∠DAE=∠BAC?∠BAD=180°?2∠C?x，∴∠ADE=∠AED=1∴∠CDE=∠ADC?∠ADE=∠B+x?∠C?1∴∠BAD=2∠CDE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【變式5-3】（2022秋·安徽蕪湖·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在BC邊上（點(diǎn)B、C除外）點(diǎn)E在AC邊上，且∠4=∠AED．(1)如圖1，若∠B=∠C=45°．①當(dāng)∠1=60°時(shí)，求∠2的度數(shù)；②試推導(dǎo)∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系．(2)深入探究：如圖2，若∠B=∠C，但∠C≠45°，其他條件不變，試探究∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，要求有簡(jiǎn)單的推理過(guò)程．【答案】(1)①30°；②∠1=2∠2，見(jiàn)解析(2)∠1=2∠2，見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠ADC，結(jié)合圖形計(jì)算即可；②設(shè)∠BAD=x,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出（2）設(shè)∠BAD=x,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出【詳解】（1）①∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠1+∠B=105°，∠DAE=∠BAC?∠1=30°，∴∠ADE=∠4=75°，∴∠2=105°?75°=30°；②∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠1+45°，∵∠DAE=90°?∠1，∴∠ADE=∠AED=12180°?90°+∠1=45°+1（2）設(shè)∠1=x，∴∠ADC=∠1+∠B=∠B+x,∠DAE=∠BAC?∠1=180°?2∠C?x，∴∠4=∠AED=∠C+12x∴∠1=2∠2．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和是解題的關(guān)鍵．【題型6直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用】【例6】（2022秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中∠ABC=∠BCD=90°，∠A=30°，∠D=45°，AC與BD交于點(diǎn)P，則∠BPC的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】D【分析】先由直角三角形的性質(zhì)求出∠CBD=45°，從而得出∠ABD=45°，然后由三角形外角性質(zhì)得出結(jié)果．【詳解】解：∵∠BCD=90°，∠D=45°，∴∠CBD=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABD=∠ABC?∠CBD=45°，∵∠A=30°，∴∠BPC=∠A+∠ABD=75°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，將其折疊使點(diǎn)A落在BC邊上的A'處，折痕為CD，則【答案】10【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A=50°，再由折疊的性質(zhì)得到∠CA'D=50°【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠B=40°，∴∠A=50°，由折疊的性質(zhì)可知，∠CA∴∠A故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟知三角形一個(gè)外角的度數(shù)等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角度數(shù)之和是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022秋·黑龍江牡丹江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線．∠B>∠C．(1)若∠B=60°，∠C=36°，則∠DAE=______°．(2)若∠B=α，∠C=β，探究∠DAE與α、β的數(shù)量關(guān)系？【答案】(1)12(2)∠DAE=【分析】（1）首先計(jì)算出∠BAC的度數(shù)，然后再根據(jù)角平分線定義可得∠BAE的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余計(jì)算出∠BAD的度數(shù)，進(jìn)而可得∠DAE的度數(shù)；（2）由（1）知∠DAE=∠BAE?∠BAD，再把∠BAE=12∠BAC【詳解】（1）解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=36°，∴∠BAC=180°?∠B+∠C∵AE是△ABC的角平分線，∴∠BAE=1∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°?∠B=90°?60°=30°，∴∠DAE=∠BAE?∠BAD=42°?30°=12°．故答案為：12．（2）∠DAE=1理由如下：∵在△ABC中，∠B=α，∠C=β，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=180°?α?β，∵AE是△ABC的角平分線，∴∠BAE=∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°?∠B=90°?α，∵∠DAE=∠BAE?∠BAD，∴∠DAE=1【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和，三角形的角平分線和高的定義，直角三角形兩銳角互余．解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和為180°，理清角之間的關(guān)系．【變式6-3】（2022秋·河南駐馬店·七年級(jí)?？计谀┤鐖D1，將兩塊直角三角板的直角頂點(diǎn)A疊放在一起．(1)若∠PAQ=45°，則∠CAB=；若∠CAB=130°，則∠PAQ=；(2)猜想∠CAB與∠PAQ的大小有何關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖2，若是兩個(gè)同樣的直角三角尺45°銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，猜想∠PAB與∠CAQ的大小又有何關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)135°，50°；(2)∠CAB=180°?∠PAQ；見(jiàn)解析(3)∠PAB=90°?∠CAQ．見(jiàn)解析【分析】（1）∠PAQ=45°，根據(jù)角的和差定義求出∠BAP=45°，則∠CAB=∠BAP+∠CAP；若∠CAB=130°，則∠BAP=∠CAB?∠CAP，再進(jìn)一步求出∠PAQ即可；（2）∠CAB與∠PAQ的大小為∠CAB=180°?∠PAQ，利用等角的余角相等求出∠CAQ=∠BAP即可解答；（3）∠PAB與∠CAQ的大小關(guān)系為∠PAB=90°?∠CAQ，利用∠PAC+∠CAQ=45°，∠BAC+∠CAQ=45°求出∠PAC=∠BAC即可解答．【詳解】（1）∵∠PAQ=45°，∠BAQ=90°，∴∠BAP=45°，∵∠CAP=90°，∴∠CAB=∠BAP+∠CAP=45°+90°=135°；∵∠CAB=130°，∴∠BAP=∠CAB?∠CAP=130°?90°=40°，∴∠PAQ=∠BAQ?∠BAP=90°?40°=50°．故答案為：135°，50°；（2）∠CAB=180°?∠PAQ，利用如下：∵∠CAQ+∠PAQ=90°，∠BAP+∠PAQ=90°，∴∠CAQ=∠BAP，∴∠BAP=90°?∠PAQ，∴∠CAB=∠PAQ+2∠BAP=∠PAQ+2(90°?∠PAQ)=180°?∠PAQ，即∠CAB=180°?∠PAQ；（3）∠PAB=90°?∠CAQ，理由如下：∵∠PAC+∠CAQ=45°，∠BAC+∠CAQ=45°，∴∠PAC=∠BAC，∠BAC=45°?∠CAQ，∴∠PAB=∠CAQ+2∠BAC=∠CAQ+2(45°?∠CAQ)=90°?∠CAQ．即∠PAB=90°?∠CAQ．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，角的和差定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握角的和差定義，屬于中考?？碱}型．【題型7平行線性質(zhì)的運(yùn)用】【例7】（2022秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，現(xiàn)將一個(gè)含30°角的直角三角尺EFG按如圖方式放置，其中頂點(diǎn)F、G分別落在直線AB，CD上，GE交AB于點(diǎn)H，若∠EHB=50°，則∠AFG的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．115° D．120°【答案】B【分析】由對(duì)頂角相等可得∠AHG=∠EHB=50°，再由平行線的性質(zhì)可得∠EGD=50°，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AFG的度數(shù)．【詳解】解：∵GE交AB于點(diǎn)H，∴∠AHG=∠EHB=50°，∵AB∥∴∠EGD=∠AHG=50°，∵∠FGE=60°，∴∠FGD=∠FGE+∠EGD=60°+50°=110°，∵AB∥∴∠AFG=∠FGD=110°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式7-1】（2022秋·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一副三角板和一張對(duì)邊平行的紙條按下列方式擺放，含45°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含30°的三角板的一個(gè)頂點(diǎn)在含45°角的三角板的一邊上，則∠1的度數(shù)是（）A．30° B．20° C．15° D．14°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠2=∠3+∠1=45°，即可得解．【詳解】解：由題意，得：∠2=45°,∠3=30°，l1∴∠2=∠3+∠1=45°，∴∠1=45°?∠3=15°；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角板中角度的計(jì)算，平行線的性質(zhì)．熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022秋·四川樂(lè)山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，BC平分∠ABD交AD于點(diǎn)E．(1)證明：∠1=∠3；(2)若AD⊥BD于點(diǎn)D，∠CDA=34°，求∠3的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠3=28°．【分析】（1）由角平分線的定義得到∠1=∠2，由AB∥CD可得∠2=∠3，根據(jù)等量代換可得∠1=∠3；（2）由垂直的定義得出∠ADB=90°，可得∠CDB=∠CDA+∠ADB=124°，由平行線的性質(zhì)得出∠ABD=56°，根據(jù)角平分線的定義即可得解．【詳解】（1）證明：∵BC平分∠ABD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3；（2）解：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∵∠CDA=34°，∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=34°+90°=124°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∴∠ABD=180°-124°=56°，∵BC平分∠ABD，∴∠1=∠2=12∠ABD=1∵∠1=∠3，∴∠3=28°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022秋·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AM∥BN，∠A=60°，點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM(1)求∠CBD(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試判斷∠APB與∠(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB=∠ABD【答案】(1)60°(2)∠APB=2(3)30°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A+∠ABN=180°，∠ABN=120°，根據(jù)角平分線的定義得出∠CBP=12∠ABP（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，又（3）由平行線的性質(zhì)得出∠ACB=∠CBN【詳解】（1）解：如圖，∵AM∥∴∠∵∠∴∠∵BC、BD分別平分∠ABP和∠∴∠CBP=12∠ABP，∠DBP=∴∠CBD=12（2）∠APB=2理由如下：∵AM∥∴∠APB=∠又∵BD平分∠PBN∴∠∴∠APB=2∠ADB．（3）∵AM∥∴∠∵∠∴∠CBN=∠∴∠∴∠ABC=14【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型8平行線判定的運(yùn)用】【例8】（2022春·浙江杭州·七年級(jí)期末）下列圖形中，能由∠1＝∠2得到AB∥CD的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐一判斷即可．【詳解】∵中由∠1＝∠2不能得到AB∥CD，∴不符合題意；∵中由∠1＝∠2得到AD∥CB，∴不符合題意；∵中由∠1＝∠2不能得到AB∥CD，∴不符合題意；∵中由∠1＝∠2得到AB∥CD，∴符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定定理，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2022秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知條件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180°；⑤∠5+∠6=180°；⑥【答案】①③④⑤⑥【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可判斷①；根據(jù)同位角相等，兩直線平行，即可判斷③；根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，即可判斷④；根據(jù)同角的補(bǔ)交相等可得∠4=∠6，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行，即可判斷⑤；過(guò)點(diǎn)B作BD∥b，則∠3=∠ABD，從而得出∠2=∠CBD，進(jìn)而得出【詳解】解：①∵∠1=∠2，∴a∥故①能夠判定直線a∥②∠2=∠3不能判定a∥③∵∠3=∠5，∴a∥故③能夠判定直線a∥④∵∠3+∠4=180∴a∥故④能夠判定直線a∥⑤∵∠5+∠6=180°，∴∠4=∠6，∴∴a∥故⑤能夠判定直線a∥⑥過(guò)點(diǎn)B作BD∥∵BD∥∴∠3=∠ABD，∵∠7=∠2+∠3，∠7=∠ABD+∠CBD，∴∠2=∠CBD，∴BD∥∴a∥故⑥能夠判定直線a∥綜上：能夠判定直線a∥故答案為：①③④⑤⑥．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；平行于同一直線的兩直線互相平行．【變式8-2】（2022春·安徽滁州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，BD平分∠ABC，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)G在AC上，F(xiàn)C與BD相交于點(diǎn)H，∠3＋∠4＝180°，試說(shuō)明∠1＝∠2（請(qǐng)通過(guò)填空完善下列推理過(guò)程）解：∵∠3＋∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（

）．∴∠3＋∠FHD＝180°（等量代換）．∴FG∥BD（

）．∴＝∠ABD（

）．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝（

）．∴∠l＝∠2（

）．【答案】對(duì)頂角相等，∠FHD，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，∠ABD，兩直線平行，同位角相等，∠2，角平分線的定義，等量代換．【分析】求出∠3+∠FHD＝180°，根據(jù)平行線的判定得出FG∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠ABD，根據(jù)角平分線的定義得出∠ABD＝∠2即可．【詳解】解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（對(duì)頂角相等），∴∠3+∠FHD＝180°（等量代換），∴FG∥BD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），∴∠1＝∠ABD（兩直線平行，同位角相等），∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠2（角平分線的定義），∴∠1＝∠2（等量代換），故答案為：對(duì)頂角相等，∠FHD，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，∠ABD，兩直線平行，同位角相等，∠2，角平分線的定義，等量代換．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022秋·海南?？凇て吣昙?jí)?？计谀c(diǎn)E在射線DA上，點(diǎn)F、G為射線BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠DBF=∠DEF，∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F右側(cè)時(shí)，①試說(shuō)明：BD∥②試說(shuō)明∠DGE=∠BDG?∠FEG；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論②是否成立，若不成立，請(qǐng)寫出正確結(jié)論；（不用說(shuō)理）(3)如圖3，在（2）的條件下，P為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DM平分∠BDG，交BC于點(diǎn)M，DN平分∠PDM，交EF于點(diǎn)N，連接NG，若DG⊥NG，∠B?∠DNG=∠EDN，求∠B的度數(shù)．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；(2)∠DGE＝∠BDG＋∠FEG，理由見(jiàn)解析；(3)60°【分析】（1）①根據(jù)角平分線的定義即可得到∠BDG＝∠ADG，從而可得∠ADG＝∠DGB，則AB∥BC，可得∠DEF＝∠EFG，即可得到∠DBF＝∠EFG，從而證明BD∥EF；②過(guò)點(diǎn)G作GH∥DB交（2）過(guò)點(diǎn)G作GK∥DB交AD于K，則KG∥EF，可得∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，即可得到∠DGE＝∠（3）設(shè)∠BDM=∠MDG=α，則∠BDG=∠EDG=∠DGB=2α∠PDE=180°?4α，∠PDM=180°?α，由角平分線的定義可得∠PDN=∠MDN=12∠PDM=（1）證明：①∵DG平分∠BDE，∴∠BDG＝∠ADG，又∵∠BDG＝∠BGD，∴∠ADG＝∠DGB，∴AD∥∴∠DEF＝∠EFG，∵∠DBF＝∠DEF，∴∠DBF＝∠EFG，∴BD∥②過(guò)點(diǎn)G作GH∥DB交DA于點(diǎn)H，由①得BD∥∴GH∥DB∥EF，∴∠BDG＝∠DGH，∠FEG＝∠EGH，∴∠DGE＝∠DGH-∠EGH，∴∠DGE=∠BDG-∠FEG；（2）解：過(guò)點(diǎn)G作GK∥DB交AD于同理可證BD∥∴KG∥∴∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，∴∠DGE＝∠DGK＋∠KGE，∴∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；（3）解：設(shè)∠BDM=∠MDG=α，則∠BDG=∠EDG=∠DGB=2α，∠PDE=180°?∠BDE=∵DN平分∠PDM，∴∠PDN=∠MDN=∴∠EDN=∠PDN?∠PDE=90°?∵DG⊥NG，∴∠DGN=90∴∠DNG=∵DE∥∴∠B=∠PDE=180∵∠B?∠DNG=∠EDN，∴180°∴α=30∴∠B=180【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，垂直的定義，余角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是能夠熟知平行線的性質(zhì)與判定條件．【題型9平行公理的運(yùn)用】【例9】（2022春·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13A．23° B．33° C．44° D．46°【答案】C【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)、角的和差可得∠EAB+∠ECD=∠AEC=66°，同樣的方法可得∠F=∠FAB+∠FCD，再根據(jù)角的倍分可得【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB，則∴∠AEG=∠EAB,∠CEG=∠ECD，∴∠EAB+∠ECD=∠AEG+∠CEG=∠AEC=66同理可得：∠F=∠FAB+∠FCD，∵∠EAF=1∴∠FAB=2∴∠F=∠FAB+∠FCD=2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角的和差倍分，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式9-1】（2022秋·四川眉山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，若∠1=40°，∠2=50°，∠3=65°則∠4=_______．【答案】55°/55度【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，過(guò)點(diǎn)M作【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，過(guò)點(diǎn)M作∵AB∥CD，∴AB∥EF∥MN∥CD，∴∠GEF=∠1=40°，∠HMN=∠2=50°，∵∠3=∠HMN+∠EMN=65°，∴∠EMN=65°?50°=15°，∵∠EMN=∠MEF=15°，∴∠4=∠GEF+∠MEF=40°+15°=55°；故答案為：55°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022春·廣東河源·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知AB∥EF，GC⊥CF，∠ABC=65°，∠【答案】∠【分析】過(guò)C作CD//EF，根據(jù)AB//CD//EF，可得∠BCD，∠DCF的度數(shù)，又GC⊥CF，可得∠GCF，從而得到∠BCG的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過(guò)C作CD//EF，∵AB//CD//EF，∴∠BCD=∠ABC=65°，∠DCF=∠EFC=40°，∵GC⊥CF，∴∠GCF=90°，∴∠GCD=90°?∠DCF=90°?40°=50°，∴∠BCG=∠BCD?∠GCD=65°?50°=15°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．【變式9-3】（2022秋·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題提出（1）如圖1，若點(diǎn)A在B處的北偏東38°方向上，在C處的北偏西46°方向上，則∠BAC=．問(wèn)題探究（2）如圖2，直線l1∥l2，且l3分別與l1，l2交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線AB問(wèn)題應(yīng)用（3）某模具公司生產(chǎn)如圖3所示的刀片，刀柄外形是一個(gè)直角梯形（下底挖去一小半圓），若小刀的刀片上、下平行，則認(rèn)為該刀片合格，經(jīng)過(guò)測(cè)量可得∠1+∠2=90°，你認(rèn)為這樣小刀的模具合格嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）84°

（2）35°

（3）合格；理由見(jiàn)解析【分析】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BD，利用平行線的性質(zhì)可得：∠BAF=∠ABD，（2）如圖2，點(diǎn)P在線段AB上，過(guò)點(diǎn)P作PM∥l1，運(yùn)用平行線的性質(zhì)可得∠CPM=∠1=15°（3）模具合格，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得∠AEF=∠1，再根據(jù)等角