人教版2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)同步講義專題22.1二次函數(shù)【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專題22.1二次函數(shù)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1辨別二次函數(shù)】 1【題型2由二次函數(shù)的定義求字母的值】 2【題型3由二次函數(shù)的定義求字母的取值范圍】 2【題型4二次函數(shù)的一般形式】 2【題型5求二次函數(shù)的值】 3【題型6判斷函數(shù)關(guān)系】 3【題型7列二次函數(shù)關(guān)系式(幾何圖形)】 4【題型8列二次函數(shù)關(guān)系式(增長(zhǎng)率)】 5【題型9列二次函數(shù)關(guān)系式(循環(huán))】 6【題型10列二次函數(shù)關(guān)系式(銷售)】 6知識(shí)點(diǎn)1：二次函數(shù)的定義一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y=a次函數(shù)的一般形式．【題型1辨別二次函數(shù)】【例1】（23-24九年級(jí)上·江西南昌·階段練習(xí)）下列函數(shù)解析式中，y一定是x的二次函數(shù)的是（

）A．y=2ax2 B．y=2x+a2 C．【變式1-1】（23-24九年級(jí)上·安徽安慶·階段練習(xí)）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（

）A．y=2x?1 B．y=x2?1 C．y=【變式1-2】（23-24九年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）下列函數(shù)關(guān)系式中，二次函數(shù)的個(gè)數(shù)有（）（1）y=3(x?1)2+1；（2）y=1x2?x；（3）S=3?2A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-3】（23-24九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）下列函數(shù)①y=5x?5；②y=3x2?1；③y=4x3?3x【題型2由二次函數(shù)的定義求字母的值】【例2】（23-24九年級(jí)下·廣東東莞·期中）已知函數(shù)y=m?1xm2【變式2-1】（23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如果y=2x|m|+3x?1是關(guān)于x的二次函數(shù)，則【變式2-2】（23-24九年級(jí)上·湖北·周測(cè)）如果函數(shù)y=k?1xk2?k+2+kx?1【變式2-3】（23-24九年級(jí)下·廣東廣州·期末）如果y=k?3xk－1+x?3是二次函數(shù)，佳佳求出【題型3由二次函數(shù)的定義求字母的取值范圍】【例3】（23-24九年級(jí)上·上海嘉定·期末）如果函數(shù)y=k?1x2+kx?1（k是常數(shù)）是二次函數(shù)，那么【變式3-1】（23-24九年級(jí)上·浙江嘉興·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)y=m2?m(1)若這個(gè)函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)，求m的值．(2)若這個(gè)函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，求m的取值范圍．【變式3-2】（23-24九年級(jí)上·廣東江門·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=a2?1x2A．a(chǎn)≠1 B．a(chǎn)≠?1 C．a(chǎn)≠±1 D．為任意實(shí)數(shù)【變式3-3】（23-24九年級(jí)下·四川遂寧·期中）已知函數(shù)y=(m2-2)【題型4二次函數(shù)的一般形式】【例4】（23-24九年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）二次函數(shù)y=x2?3x+5的二次項(xiàng)是，一次項(xiàng)系數(shù)是【變式4-1】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）把二次函數(shù)y=?4(1+2x)(【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的三種形式，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的三種形式.【變式4-2】（23-24九年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）二次函數(shù)y=(x?2)(5?2x)的二次項(xiàng)系數(shù)是．【變式4-3】（23-24九年級(jí)上·廣東汕尾·階段練習(xí)）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和為．【知識(shí)點(diǎn)2列二次函數(shù)關(guān)系式】(1)理解題意：找出實(shí)際問(wèn)題中的已知量和変量（自變量，因變量），將文字或圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言；(2)分析關(guān)系：找到已知量和變量之間的關(guān)系，列出等量關(guān)系式；(3)列函數(shù)表達(dá)式：設(shè)出表示變量的字母，把等量關(guān)系式用含字母的式子替換，將表達(dá)式寫成用自變量表示的函數(shù)的形式.【題型5求二次函數(shù)的值】【例5】（23-24九年級(jí)下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，質(zhì)量一定的水的體積Vcm3與溫度t°C之間的關(guān)系滿足二次函數(shù)V=18t【變式5-1】（23-24九年級(jí)上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）某車的剎車距離ym與開(kāi)始剎車時(shí)的速度xm/s之間滿足二次函數(shù)y=116x2【變式5-2】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）把一個(gè)物體以20m/s的速度豎直上拋，該物體在空中的高度h(m)與時(shí)間t(s【變式5-3】（23-24九年級(jí)上·安徽安慶·階段練習(xí)）如圖，在期末體育測(cè)試中，小朱擲出的實(shí)心球的飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系大致滿足二次函數(shù)y=-A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m【題型6判斷函數(shù)關(guān)系】【例6】（23-24九年級(jí)上·北京朝陽(yáng)·期末）如圖，矩形綠地的長(zhǎng)和寬分別為30m和20m．若將該綠地的長(zhǎng)、寬各增加xm，擴(kuò)充后的綠地的面積為ym2，則y【變式6-1】（23-24九年級(jí)上·浙江嘉興·開(kāi)學(xué)考試）下列函數(shù)關(guān)系中，可以用二次函數(shù)描述的是（）A．圓的周長(zhǎng)與圓的半徑之間的關(guān)系B．三角形的高一定時(shí)，面積與底邊長(zhǎng)的關(guān)系C．在一定距離內(nèi)，汽車行駛速度與行駛時(shí)間的關(guān)系D．正方體的表面積與棱長(zhǎng)的關(guān)系【變式6-2】（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期末）設(shè)y＝y(tǒng)1﹣y2，y1與x成正比例，y2與x2成正比例，則y與x的函數(shù)關(guān)系是（）A．正比例函數(shù) B．一次函數(shù)C．二次函數(shù) D．以上均不正確【變式6-3】（23-24九年級(jí)下·福建福州·期末）如圖，正方形ABCD和⊙O的周長(zhǎng)之和為a（a為常數(shù)）cm，設(shè)圓的半徑為xcm，正方形的邊長(zhǎng)為ycm，陰影部分的面積為Scm2．當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與A．二次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 D．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系【題型7列二次函數(shù)關(guān)系式(幾何圖形)】【例7】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，∠A=90°，AB=AC，BC=20，四邊形EFGH是△ABC的內(nèi)接矩形，如果EF的長(zhǎng)為x，矩形EFGH的面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為．【變式7-1】（23-24九年級(jí)下·遼寧本溪·期中）已知一正方體的棱長(zhǎng)是3cm，設(shè)棱長(zhǎng)增加xcm時(shí)，正方體的表面積增加ycm2，則y與xA．y=6x2?36xC．y=x2+36x【變式7-2】（23-24九年級(jí)上·山西太原·階段練習(xí)）相框邊的寬窄影響可放入相片的大?。鐖D，相框長(zhǎng)26cm，寬22cm，相框邊的寬為x?cm，相框內(nèi)的面積是y?cm2，則【變式7-3】（23-24九年級(jí)上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖所示，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，設(shè)直線x=t截此三角形所得的陰影部分的面積為S，則S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．S=t B．S=12t2 C．【題型8列二次函數(shù)關(guān)系式(增長(zhǎng)率)】【例8】（23-24九年級(jí)上·四川自貢·期末）一部售價(jià)為4000元的手機(jī)，一年內(nèi)連續(xù)兩次降價(jià)，如果每次降價(jià)的百分率都是x，則兩次降價(jià)后的價(jià)格y（元）與每次降價(jià)的百分率x之間的函數(shù)關(guān)系式是（

）A．y=40001?x B．y=4000C．y=80001?x D．【變式8-1】（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）據(jù)省統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2023年第一季度GDP總值約為2.6千億元人民幣，若我市第三季度GDP總值為y千億元人民幣，平均每個(gè)季度GDP增長(zhǎng)的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（

）A．y=2.61+2x B．C．y=2.61+x2 【變式8-2】（23-24九年級(jí)上·安徽蚌埠·階段練習(xí)）為執(zhí)行國(guó)家藥品降價(jià)政策，給人民群眾帶來(lái)實(shí)惠，某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每盒零售價(jià)由16元降為y元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為．【變式8-3】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·階段練習(xí)）某學(xué)校去年對(duì)實(shí)驗(yàn)器材投資為2萬(wàn)元，預(yù)計(jì)今明兩年的投資總額為y萬(wàn)元，年平均增長(zhǎng)率為x．則y與x的函數(shù)解析式．【題型9列二次函數(shù)關(guān)系式(循環(huán))】【例9】（23-24九年級(jí)上·遼寧大連·期中）已知有n個(gè)球隊(duì)參加比賽，每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽的場(chǎng)次數(shù)為m，則m關(guān)于n的函數(shù)解析式為．【變式9-1】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）寒假九(1)班n名同學(xué)為了相互表達(dá)春節(jié)的祝愿，約定每?jī)擅瑢W(xué)之間互發(fā)一次信息，那么互發(fā)信息的總次數(shù)m與n的函數(shù)關(guān)系式可以表示為（）A．m=12n(n+1) B．【變式9-2】（23-24九年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）有一個(gè)人患流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有y人患了流感，每輪傳染中，平均一個(gè)人傳染了x人，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為.【變式9-3】（23-24九年級(jí)上·甘肅定西·階段練習(xí)）籃球聯(lián)賽中，每?jī)蓚€(gè)球隊(duì)之間進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，設(shè)有x個(gè)球隊(duì)參賽計(jì)劃共打y場(chǎng)比賽，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系為．【題型10列二次函數(shù)關(guān)系式(銷售)】【例10】（23-24九年級(jí)上·廣東廣州·期末）某商店購(gòu)進(jìn)某種商品的價(jià)格是7.5元/件，在一段時(shí)間里，單價(jià)是13.5元，銷售量是500件，而單價(jià)每降低1元就可多售出200件，當(dāng)銷售價(jià)為x元/件（7.5<x<13.5）時(shí)，獲取利潤(rùn)y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系為（）A．y=x?7.5500+x C．y=x?7.5500+200x【變式10-1】（23-24九年級(jí)上·安徽·階段練習(xí)）郵購(gòu)一種圖書，每?jī)?cè)定價(jià)36元，另加書價(jià)的4%作為郵費(fèi)，若購(gòu)書x冊(cè)，則付款y（元）與x（冊(cè)）的函數(shù)解析式為（

）A．y=36x+4%x B．y=36C．y=36.04x D．y=35.96x【變式10-2】（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）已知某種產(chǎn)品的成本價(jià)為30元/千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)x（元/千克）有如下關(guān)系：y=?2x+80．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為w（元），則w與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（

）A．w=x?30?2x+80 C．w=30?2x+80 D．【變式10-3】（23-24九年級(jí)上·黑龍江鶴崗·期末）某商店銷售一種銷售成本為40元/千克的水產(chǎn)品，若按50元/千克銷售，一個(gè)月可售出500千克，銷售價(jià)每漲價(jià)1元，月銷售量就減少10千克，則月銷售利潤(rùn)y（單位：元）與售價(jià)x（單位：元/千克）之間的函數(shù)解析式為專題22.1二次函數(shù)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1辨別二次函數(shù)】 1【題型2由二次函數(shù)的定義求字母的值】 3【題型3由二次函數(shù)的定義求字母的取值范圍】 5【題型4二次函數(shù)的一般形式】 6【題型5求二次函數(shù)的值】 7【題型6判斷函數(shù)關(guān)系】 9【題型7列二次函數(shù)關(guān)系式(幾何圖形)】 11【題型8列二次函數(shù)關(guān)系式(增長(zhǎng)率)】 14【題型9列二次函數(shù)關(guān)系式(循環(huán))】 15【題型10列二次函數(shù)關(guān)系式(銷售)】 17知識(shí)點(diǎn)1：二次函數(shù)的定義一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y=次函數(shù)的一般形式．【題型1辨別二次函數(shù)】【例1】（23-24九年級(jí)上·江西南昌·階段練習(xí)）下列函數(shù)解析式中，y一定是x的二次函數(shù)的是（

）A．y=2ax2 B．y=2x+a2 C．【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的識(shí)別，形如y=ax【詳解】解：A，當(dāng)a=0時(shí)，y=2axB，y=2x+a2，y是C，y=2x2?1，yD，y=x故選C．【變式1-1】（23-24九年級(jí)上·安徽安慶·階段練習(xí)）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（

）A．y=2x?1 B．y=x2?1 C．y=【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，能熟記二次函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：形如y=ax2+bx+c（a、b、c【詳解】解：A、函數(shù)y=2x?1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、函數(shù)y=x2?1C、函數(shù)y=xD、函數(shù)y=12x分母中含有故選：C．【變式1-2】（23-24九年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）下列函數(shù)關(guān)系式中，二次函數(shù)的個(gè)數(shù)有（）（1）y=3(x?1)2+1；（2）y=1x2?x；（3）S=3?2A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)．判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡(jiǎn)整理（去括號(hào)、合并同類項(xiàng))后，能寫成y=a【詳解】解：（1）y=3(x?1)（2）y=1（3）S=3?2t（4）y=x（5）y=3x2?x（6）y=mx2+8綜上所述，二次函數(shù)有2個(gè)．故選：B．【變式1-3】（23-24九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）下列函數(shù)①y=5x?5；②y=3x2?1；③y=4x3?3x【答案】②④/④②【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，函數(shù)式為整式且自變量的最高次數(shù)為2，二次項(xiàng)系數(shù)不為0，逐一判斷．【詳解】解：①y=5x?5為一次函數(shù)；②y=3x③y=4x④y=2x⑤y=1x故答案為②④．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，能夠根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷函數(shù)是否屬于二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．【題型2由二次函數(shù)的定義求字母的值】【例2】（23-24九年級(jí)下·廣東東莞·期中）已知函數(shù)y=m?1xm2【答案】?1【分析】根據(jù)定義得：形如y=ax2+bx+c(a、b、c【詳解】解：依題意得：m2+1=2且解得m=?1．故答案為：?1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義．注意：二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a【變式2-1】（23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如果y=2x|m|+3x?1是關(guān)于x的二次函數(shù)，則【答案】±2【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，直接利用二次函數(shù)的定義得出答案．【詳解】解：∵y=2x|m|+3x?1∴m=2解得：m=±2．故答案為：±2．【變式2-2】（23-24九年級(jí)上·湖北·周測(cè)）如果函數(shù)y=k?1xk2?k+2+kx?1【答案】0【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義．根據(jù)二次函數(shù)的定義得到k?1≠0且k2?k+2=2，然后解不等式和方程即可得到【詳解】解：根據(jù)題意，得k?1≠0且k2解得k=0．故答案為：0．【變式2-3】（23-24九年級(jí)下·廣東廣州·期末）如果y=k?3xk－1+x?3是二次函數(shù)，佳佳求出【答案】敏敏【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，由定義得k?1=2，k?3≠0，即可求解；理解定義：“一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、【詳解】解：∵y=k?3∴k?1解得k1=3，又∵k?3≠0，即k≠3，∴k=?1，故敏敏正確．【題型3由二次函數(shù)的定義求字母的取值范圍】【例3】（23-24九年級(jí)上·上海嘉定·期末）如果函數(shù)y=k?1x2+kx?1（k是常數(shù)）是二次函數(shù)，那么【答案】k≠1【分析】根據(jù)：“形如y=ax2+bx+c【詳解】解：由題意，得：k?1≠0，∴k≠1；故答案為：k≠1．【變式3-1】（23-24九年級(jí)上·浙江嘉興·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)y=m2?m(1)若這個(gè)函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)，求m的值．(2)若這個(gè)函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，求m的取值范圍．【答案】(1)m=0；(2)m≠1且m≠0．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)二次函數(shù)的定義即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：依題意m2?m=0且所以m=0；（2）解：依題意m2所以m≠1且m≠0．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的定義、二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念，屬于中考?？碱}型．【變式3-2】（23-24九年級(jí)上·廣東江門·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=a2?1x2A．a(chǎn)≠1 B．a(chǎn)≠?1 C．a(chǎn)≠±1 D．為任意實(shí)數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義可得a2【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的二次函數(shù)y=a∴a解得：a≠±1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)y=ax【變式3-3】（23-24九年級(jí)下·四川遂寧·期中）已知函數(shù)y=(m2-2)【答案】m≠2【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，即可得不等式m2【詳解】解：∵函數(shù)y=(∴m解得m≠±故答案為：m≠2且【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握和運(yùn)用二次函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．【題型4二次函數(shù)的一般形式】【例4】（23-24九年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）二次函數(shù)y=x2?3x+5的二次項(xiàng)是，一次項(xiàng)系數(shù)是【答案】x2?3【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可。【詳解】解：二次函數(shù)y=x2?3x+5的二次項(xiàng)是x2，一次項(xiàng)系數(shù)是故答案為：①x2，②?3，③5【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，要熟練掌握，一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b【變式4-1】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）把二次函數(shù)y=?4(1+2x)(【答案】y【分析】先利用整式的乘法得到y(tǒng)=-4（x-3+2x2-6x），然后去括號(hào)合并即可得到二次函數(shù)的一般式．【詳解】y=?4(1+2x)(x?3)=?4(x?3+2x2?6x)=?8x2+20x+12，故答案為y=?8x2+20x+12.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的三種形式，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的三種形式.【變式4-2】（23-24九年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）二次函數(shù)y=(x?2)(5?2x)的二次項(xiàng)系數(shù)是．【答案】?2【分析】先進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)化成一般式即可．【詳解】解：y=(x?2)(5?2x)=5x?2x=?2x∴二次項(xiàng)系數(shù)是?2，故答案為：?2．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的一般形式，解題的關(guān)鍵是掌握化成一般形式，確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．【變式4-3】（23-24九年級(jí)上·廣東汕尾·階段練習(xí)）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和為．【答案】1【分析】先將其化為一般式，即可求出一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，從而求出結(jié)論．【詳解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6∴一次項(xiàng)系數(shù)為7，常數(shù)項(xiàng)為-6∴一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和為7＋（-6）=1故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查的是二次函數(shù)的一般式，掌握二次函數(shù)的一般形式是解題關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)2列二次函數(shù)關(guān)系式】(1)理解題意：找出實(shí)際問(wèn)題中的已知量和変量（自變量，因變量），將文字或圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言；(2)分析關(guān)系：找到已知量和變量之間的關(guān)系，列出等量關(guān)系式；(3)列函數(shù)表達(dá)式：設(shè)出表示變量的字母，把等量關(guān)系式用含字母的式子替換，將表達(dá)式寫成用自變量表示的函數(shù)的形式.【題型5求二次函數(shù)的值】【例5】（23-24九年級(jí)下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，質(zhì)量一定的水的體積Vcm3與溫度t°C之間的關(guān)系滿足二次函數(shù)V=18t【答案】106【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，細(xì)心計(jì)算是解題的關(guān)鍵．將t=4代入解析式求值即可．【詳解】解：∵V=1當(dāng)t=4°C時(shí)，∴水的體積為106cm3故答案為：106【變式5-1】（23-24九年級(jí)上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）某車的剎車距離ym與開(kāi)始剎車時(shí)的速度xm/s之間滿足二次函數(shù)y=116x2【答案】8【分析】將y=4代入即可求解．【詳解】解：令y=4，則4=1解得：x=8（負(fù)值舍去）故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，將y=4代入是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）把一個(gè)物體以20m/s的速度豎直上拋，該物體在空中的高度h(m)與時(shí)間t(s【答案】2【分析】分析知，高h(yuǎn)=20m有兩種情況，一是在上升過(guò)程某一時(shí)刻高為20，或者是下降時(shí)高為20，把h代入關(guān)系式即可分別得到時(shí)間．【詳解】根據(jù)題意，把h=20代入關(guān)系式得：20t?5t2?20=0,即(t?2)2=0，解得t=2，∴物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s；故答案為2.【點(diǎn)睛】考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征與物理運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的結(jié)合,進(jìn)行準(zhǔn)確的運(yùn)算即可.【變式5-3】（23-24九年級(jí)上·安徽安慶·階段練習(xí)）如圖，在期末體育測(cè)試中，小朱擲出的實(shí)心球的飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系大致滿足二次函數(shù)y=-A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m【答案】C【分析】根據(jù)實(shí)心球落地時(shí)，高度y=0，把實(shí)際問(wèn)題可理解為當(dāng)y=0時(shí)，求x的值即可．【詳解】解：在y=-110-1解得x=-2（舍去）或x=8，∴小朱本次投擲實(shí)心球的成績(jī)?yōu)?米，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用中函數(shù)式中變量與函數(shù)表達(dá)的實(shí)際意義，需要結(jié)合題意，取函數(shù)或自變量的特殊值列方程求解是解題關(guān)鍵．【題型6判斷函數(shù)關(guān)系】【例6】（23-24九年級(jí)上·北京朝陽(yáng)·期末）如圖，矩形綠地的長(zhǎng)和寬分別為30m和20m．若將該綠地的長(zhǎng)、寬各增加xm，擴(kuò)充后的綠地的面積為ym2，則y【答案】二次函數(shù)關(guān)系【分析】根據(jù)矩形面積公式求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式即可得到答案．【詳解】解：由題意得y=30+x∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系，故答案為；二次函數(shù)關(guān)系．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式和二次函數(shù)的定義，正確列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24九年級(jí)上·浙江嘉興·開(kāi)學(xué)考試）下列函數(shù)關(guān)系中，可以用二次函數(shù)描述的是（）A．圓的周長(zhǎng)與圓的半徑之間的關(guān)系B．三角形的高一定時(shí)，面積與底邊長(zhǎng)的關(guān)系C．在一定距離內(nèi)，汽車行駛速度與行駛時(shí)間的關(guān)系D．正方體的表面積與棱長(zhǎng)的關(guān)系【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)，反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的定義一一判斷即可．【詳解】解：A．圓的周長(zhǎng)c與圓的半徑r之間的關(guān)系是：c=2πB．三角形的高h(yuǎn)一定時(shí)S=1C．在一定距離s內(nèi)，故他們之間的關(guān)系是反比例函數(shù)關(guān)系；D．正方體的表面積S與棱長(zhǎng)a的關(guān)系：S=6a2，S和故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【變式6-2】（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期末）設(shè)y＝y(tǒng)1﹣y2，y1與x成正比例，y2與x2成正比例，則y與x的函數(shù)關(guān)系是（）A．正比例函數(shù) B．一次函數(shù)C．二次函數(shù) D．以上均不正確【答案】C【分析】設(shè)y1＝k1x，y2＝k2x2，根據(jù)y＝y(tǒng)1﹣y2得到y(tǒng)＝k1x﹣k2x2，由此得到答案．【詳解】解：設(shè)y1＝k1x，y2＝k2x2，則y＝k1x﹣k2x2，所以y是關(guān)于x的二次函數(shù)，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查列函數(shù)關(guān)系式，正確理解正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（23-24九年級(jí)下·福建福州·期末）如圖，正方形ABCD和⊙O的周長(zhǎng)之和為a（a為常數(shù)）cm，設(shè)圓的半徑為xcm，正方形的邊長(zhǎng)為ycm，陰影部分的面積為Scm2．當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與A．二次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 D．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系【答案】D【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式和正方形的周長(zhǎng)公式先得到y(tǒng)=?12πx+14【詳解】解：∵正方形ABCD和⊙O的周長(zhǎng)之和為acm，圓的半徑為xcm，正方形的邊長(zhǎng)為∴4y+2πx=a，∴y=?1∵S陰影∴S=y∴y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的識(shí)別、正方形的周長(zhǎng)與面積公式，理清題中的數(shù)量關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵．【題型7列二次函數(shù)關(guān)系式(幾何圖形)】【例7】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，∠A=90°，AB=AC，BC=20，四邊形EFGH是△ABC的內(nèi)接矩形，如果EF的長(zhǎng)為x，矩形EFGH的面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】y=?【分析】根據(jù)題意可得△BEH，△CFG是等腰直角三角形，得出【詳解】∵∠A=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°．∵四邊形EFGH是△ABC的內(nèi)接矩形，∴∠EHB=∠FGC=90°，EH=FG，EF=HG，∴∠BEH=∠CFG=45°，∴BH=EH=CG=GF．∵BC=20，EF=x，∴BC?HG=BC?EF=20?x，∴BH=EH=CG=GF=1∴y=x10?故答案為：y=?1【點(diǎn)睛】本題考查了列二次函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24九年級(jí)下·遼寧本溪·期中）已知一正方體的棱長(zhǎng)是3cm，設(shè)棱長(zhǎng)增加xcm時(shí)，正方體的表面積增加ycm2，則y與xA．y=6x2?36xC．y=x2+36x【答案】D【分析】本題考查了列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意直接列式即可作答．【詳解】根據(jù)題意有：y=6x+3故選：D．【變式7-2】（23-24九年級(jí)上·山西太原·階段練習(xí)）相框邊的寬窄影響可放入相片的大小．如圖，相框長(zhǎng)26cm，寬22cm，相框邊的寬為x?cm，相框內(nèi)的面積是y?cm2，則【答案】y=4【分析】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)整理并求出x的取值范圍即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得y=展開(kāi)得：y=572?52x?44x+4整理得：y=4根據(jù)題意，得x>0解得：0<x<11．∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=4x故答案為：y=4【變式7-3】（23-24九年級(jí)上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖所示，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，設(shè)直線x=t截此三角形所得的陰影部分的面積為S，則S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．S=t B．S=12t2 C．【答案】B【分析】Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，可得∠AOB=∠A=45°；再由平行線的性質(zhì)得出∠OCD=∠A=45°，即∠COD=∠OCD=45°，進(jìn)而證明CD=OD=t，最后根據(jù)三角形的面積公式，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：如圖所示，∵Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A=45°，∴∠COD=∠OCD=45°，∴CD=OD=t，∴S=1即：S=1故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)．解題的關(guān)鍵是能夠找到題目中的有關(guān)面積的等量關(guān)系．【題型8列二次函數(shù)關(guān)系式(增長(zhǎng)率)】【例8】（23-24九年級(jí)上·四川自貢·期末）一部售價(jià)為4000元的手機(jī)，一年內(nèi)連續(xù)兩次降價(jià)，如果每次降價(jià)的百分率都是x，則兩次降價(jià)后的價(jià)格y（元）與每次降價(jià)的百分率x之間的函數(shù)關(guān)系式是（

）A．y=40001?x B．y=4000C．y=80001?x D．【答案】B【分析】根據(jù)兩次降價(jià)后的價(jià)格等于原價(jià)乘以（1?每次降價(jià)的百分率）2，列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解．【詳解】解：∵每次降價(jià)的百分率都是x，∴兩次降價(jià)后的價(jià)格y（元）與每次降價(jià)的百分率x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=40001?x故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）據(jù)省統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2023年第一季度GDP總值約為2.6千億元人民幣，若我市第三季度GDP總值為y千億元人民幣，平均每個(gè)季度GDP增長(zhǎng)的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（

）A．y=2.61+2x B．C．y=2.61+x2 【答案】C【分析】第二季度GDP總值為2.61+x，第三季度為2.6【詳解】解：第三季度GDP總值為y=2.61+x故選：C【點(diǎn)睛】本題考查增長(zhǎng)率問(wèn)題，理解固定增長(zhǎng)率下增長(zhǎng)一期、二期后的代數(shù)式表達(dá)是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（23-24九年級(jí)上·安徽蚌埠·階段練習(xí)）為執(zhí)行國(guó)家藥品降價(jià)政策，給人民群眾帶來(lái)實(shí)惠，某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每盒零售價(jià)由16元降為y元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為．【答案】y=16【分析】根據(jù)增長(zhǎng)率問(wèn)題列出函數(shù)解析式即可．【詳解】解：某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每盒零售價(jià)由16元降為y元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：y=161?x即y=16x故答案為：y=16x【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·階段練習(xí)）某學(xué)校去年對(duì)實(shí)驗(yàn)器材投資為2萬(wàn)元，預(yù)計(jì)今明兩年的投資總額為y萬(wàn)元，年平均增長(zhǎng)率為x．則y與x的函數(shù)解析式．【答案】y=2【分析】由已知可得今年投資是2（x+1）萬(wàn)元，明年投資是2（1+x）2萬(wàn)元；故y=2（x+1）+2（1+x）2．【詳解】解：依題意可得y=2（x+1）+2（1+x）2=2故答案為y=2x【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：列二次函數(shù)，解題關(guān)鍵點(diǎn)：理解題意列出函數(shù)關(guān)系式．【題型9列二次函數(shù)關(guān)系式(循環(huán))】【例9】（23-24九年級(jí)上·遼寧大連·期中）已知有n個(gè)球隊(duì)參加比賽，每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽的場(chǎng)次數(shù)為m，則m關(guān)于n的函數(shù)解析式為．【答案】m=【分析】根據(jù)n個(gè)球隊(duì)都要與除自己之外的n?1球隊(duì)個(gè)打一場(chǎng)，因此要打nn?1【詳解】解：根據(jù)題意，得m=n(n?1)故答案為：m=1【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）寒假九(1)班n名同學(xué)為了相互表達(dá)春節(jié)的祝愿，約定每?jī)擅瑢W(xué)之間互發(fā)一次信息，那么互發(fā)信息的總次數(shù)m與n的函數(shù)關(guān)系式可以表示為（）A．m=12n(n+1) B．【答案】D【分析】一共有n名同學(xué)，由于每?jī)擅瑢W(xué)之間互發(fā)一次信息，那么每一名同學(xué)都需給（n-1）名同學(xué)發(fā)一次信息，進(jìn)而得出總次即可．【詳解】∵九(1)班n名同學(xué)為了相互表達(dá)春節(jié)的祝愿，約定每?jī)擅瑢W(xué)之間互發(fā)一次信息，∴互發(fā)信息的總次數(shù)m與n的函數(shù)關(guān)系式可以表示為：m=n(n?1).故答案選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式.【變式9-2】（23-24九年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）有一個(gè)人患流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有y人患了流感，每輪傳染中，平均一個(gè)人傳染了x人，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為.【答案】y=x2+2x+1【詳解】試題解析：第一輪流感后的人數(shù)為1+x,第二輪流感后的人數(shù)為1+x+x(x+1)=x∴y=xy與x之間的函數(shù)關(guān)系式為:y=故答案為y=【變式9-3】（23-24九年級(jí)上·甘肅定西·階段練習(xí)）籃球聯(lián)賽中，每?jī)蓚€(gè)球隊(duì)之間進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，設(shè)有x個(gè)球隊(duì)參賽計(jì)劃共打y場(chǎng)比賽，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系為．【答案】y=【分析】根據(jù)題意找到比賽場(chǎng)數(shù)與球隊(duì)數(shù)量的關(guān)系即可．【詳解】解：每個(gè)球隊(duì)和剩下的x?1個(gè)球隊(duì)比賽，每?jī)蓚€(gè)球隊(duì)之間進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，∴y=xx?1故答案為：y=x【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，正確得出二次函數(shù)的