人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三4.11幾何圖形初步章末八大題型總結(jié)(培優(yōu)篇)(學(xué)生版+解析)

專題4.11幾何圖形初步章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直線、射線、線段、角的相關(guān)概念辨析】 1【題型2根據(jù)線段間的關(guān)系判斷結(jié)論】 2【題型3根據(jù)線段間的關(guān)系求線段長(zhǎng)度】 3【題型4鐘表中的角度計(jì)算】 4【題型5根據(jù)角與角之間的關(guān)系判斷結(jié)論】 5【題型6根據(jù)角與角之間的關(guān)系求角度】 7【題型7線段中的分類討論思想問題】 8【題型8角度中的分類討論思想問題】 10【題型1直線、射線、線段、角的相關(guān)概念辨析】【例1】（2023上·河南·七年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┫铝姓Z句正確的有(

)（1）線段AB就是A、B兩點(diǎn)間的距離；（2）畫射線AB=10cm；（3）A，B兩點(diǎn)之間的所有連線中，最短的是線段AB；（4）在直線上取A，B，C三點(diǎn)，若AB=5cm，BC=2cm，則AC=7cm．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-1】（2023上·黑龍江牡丹江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段條數(shù)為m，小于平角的角的個(gè)數(shù)為n，則n?m的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式1-2】（2023上·天津北辰·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，辰辰同學(xué)根據(jù)圖形寫出了四個(gè)結(jié)論：①圖中有兩條直線；②圖中有5條線段；③射線AC和射線AD是同一條射線；④直線BD經(jīng)過點(diǎn)C．其中結(jié)論正確的結(jié)論是．【變式1-3】（2023上·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖,已知A、B、C、D四點(diǎn),根據(jù)下列要求畫圖:(1)畫直線AB、射線AD；(2)畫∠CDB；(3)找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P既在AC上又在BD上.【題型2根據(jù)線段間的關(guān)系判斷結(jié)論】【例2】（2023上·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，D、E順次為線段AB上的兩點(diǎn)，AB=20，C為AD的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若BE?DE=0，則AE?CD=7 B．若BE?DE=2，則AE?CD=7C．若BE?DE=4，則AE?CD=7 D．若BE?DE=6，則AE?CD=7【變式2-1】（2023上·湖北咸寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），點(diǎn)D，E，P分別是線段AC，BC，DE的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①圖中的點(diǎn)D，P，C，E都是動(dòng)點(diǎn)；②AD>BE；③AB=2DE；④當(dāng)AC=BC時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合．其中正確的是．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【變式2-2】（2023上·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，B在線段AC上，且BC=3AB，D是線段AB的中點(diǎn)，E是BC的三等分點(diǎn)，則下列結(jié)論：①EC=13AE，②DE=5BD，③BE=13A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④【變式2-3】（2023上·福建泉州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，AB=30，C為射線AB上一點(diǎn)，BC比AC的4倍少20，P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，M為BP的中點(diǎn)，N為QM的中點(diǎn)，以下結(jié)論：①BC=2AC；②運(yùn)動(dòng)過程中，QM的長(zhǎng)度保持不變；③AB=4NQ；④當(dāng)BQ=PB時(shí)，t=12，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【題型3根據(jù)線段間的關(guān)系求線段長(zhǎng)度】【例3】（2023上·河南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知線段AB=23，BC=15，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)．

(1)求線段AM的長(zhǎng)；(2)在CB上取一點(diǎn)N，使得CN:NB=2:3，求線段MN的長(zhǎng)．【變式3-1】（2023上·河北承德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)題意，補(bǔ)全解題過程．如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，E為線段AB上一點(diǎn)，且AE:EB=2:5，若EC=3，求線段AB的長(zhǎng)度．

解：設(shè)AE=2x，∵AE:EB=2:5，∴EB=______，∴AB=AE+______=______，∵C為AB的中點(diǎn)，∴AC=______=______，∴EC=______?AE=______，∵EC=3，∴x=______，∴AB=7x=______．【變式3-2】（2023上·河南南陽·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，線段BD=13AB=14CD，點(diǎn)M、N分別是線段AB、

【變式3-3】（2023上·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB=12，AC=8，求MN的長(zhǎng)；

（2）設(shè)AB=a，C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），①如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即AM=13AC，BN=②若M，N分別是AC，BC的n等分點(diǎn)，即AM=1nAC，BN=【題型4鐘表中的角度計(jì)算】【例4】（2023上·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解：在鐘面上，把一周分成12個(gè)大格，每個(gè)大格分成5個(gè)小格，所以每個(gè)大格對(duì)應(yīng)的是30°角，每個(gè)小格對(duì)應(yīng)的是6°角，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是0.5度，分針每分針轉(zhuǎn)過的角度是6度．(1)解決問題：當(dāng)時(shí)鐘的時(shí)刻是8：30時(shí)，求此時(shí)分針與時(shí)針?biāo)鶌A的銳角的度數(shù)．(2)8：00開始幾分鐘后分針第一次追上時(shí)針．(3)設(shè)在8：00時(shí)，分針的位置為OA，時(shí)針的位置為OB，運(yùn)動(dòng)后的分針為OP，時(shí)針為OQ．問：在8：00~9：00之間，從8：00開始運(yùn)動(dòng)幾分鐘，OB，OP，OQ這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線？【變式4-1】（2023上·福建寧德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，鐘表的秒針因故障停滯不動(dòng)，時(shí)針與分針正常運(yùn)行．小晶發(fā)現(xiàn)3點(diǎn)整時(shí)，秒針正好是時(shí)針與分針夾角的角平分線，經(jīng)過m分鐘后，秒針又一次成為時(shí)針與分針夾角的角平分線，則m的最小值是．

【變式4-2】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）七年級(jí)學(xué)生小聰和小明完成了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)《鐘面上的數(shù)學(xué)》后，制作了一個(gè)模擬鐘面，如圖所示，點(diǎn)O為模擬鐘面的圓心，M、O、N在一條直線上，指針OA、OB分別從OM、ON出發(fā)繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，OA順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，OB逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，OA運(yùn)動(dòng)速度為每秒轉(zhuǎn)動(dòng)15°，OB運(yùn)動(dòng)速度為每秒轉(zhuǎn)動(dòng)5°，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（(1)當(dāng)t=3秒時(shí)，求∠AOB的度數(shù)；(2)當(dāng)OA與OB第三次重合時(shí)，求∠BOM的度數(shù)；(3)在OA與OB第四次重合前，當(dāng)t=___________時(shí)，直線MN平分∠AOB．【變式4-3】（2023上·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在圖1中畫射線OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大??；(3)如圖2，若線段OA與OB分別為同一鐘表上某一時(shí)刻的時(shí)針與分針，∠AOB＝60°，在時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，OM始終平分∠AOB，則經(jīng)過多少分鐘后，∠BOM的度數(shù)第一次等于50°．【題型5根據(jù)角與角之間的關(guān)系判斷結(jié)論】【例5】（2023上·湖北襄陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，OB在∠AOC內(nèi)部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分線，∠BOC=3∠COE，則下列結(jié)論：①∠EOC=13∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=12

【變式5-1】（2023上·江蘇蘇州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知∠AOB=∠BOC=∠COD，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．OB、OC分別平分∠AOC、∠BODB．∠AOD=∠AOB+∠AOCC．∠BOC=D．∠COD=【變式5-2】（2023上·貴州銅仁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知O為直線AB上一點(diǎn)，將直角三角板MON的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，若OC是∠MOB的平分線，則下列結(jié)論正確的是（

）∠AOM=3∠NOC B．∠AOM=2∠NOC C．2∠AOM=3∠NOC D．3∠AOM=5∠NOC【變式5-3】（2023上·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知射線OC在∠AOB內(nèi)部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，現(xiàn)給出以下4個(gè)結(jié)論：①∠DOE=∠AOF；②2∠DOF=∠AOF?∠COF；③∠AOD=∠BOC；④∠EOF=12∠COF+∠BOF【題型6根據(jù)角與角之間的關(guān)系求角度】【例6】（2023上·黑龍江大慶·七年級(jí)?？计谀┮阎螦OB=120°，從∠AOB的頂點(diǎn)O引出一條射線OC，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，將射線OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°形成∠COD．

(1)如圖1，若∠AOD=90°，比較∠AOC和∠BOD的大小，并說明理由；(2)作射線OE，射線OE為∠AOD的平分線，設(shè)∠AOC=α．①如圖2，當(dāng)0°<α<60°，若射線OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度數(shù)；②當(dāng)α≠60°時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊螮OC與∠BOD之間的數(shù)量關(guān)系．【變式6-1】（2023上·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，OE平分∠BOD，∠AOB=90°，∠COD=110°，∠AOD=40°，求∠COE的度數(shù)．【變式6-2】（2023下·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，在直線AB同側(cè)任作射線OC，OD，使得∠COD=90

(1)如圖1，過點(diǎn)O作射線OE，使OE平分∠AOC，當(dāng)∠COE=25°時(shí)，(2)如圖2，過點(diǎn)O作射線OE，當(dāng)OE恰好為∠AOD的角平分線時(shí)，求出∠BOD與∠COE的數(shù)量關(guān)系．【變式6-3】（2023上·河南南陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問題．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師提出了如下問題：已知點(diǎn)O在直線AB上，∠COE=90°，在同一平面內(nèi)，過點(diǎn)O作射線OD，滿足∠AOC=2∠AOD．當(dāng)∠BOC=40°時(shí)，如圖1所示，求∠DOE的度數(shù)．

甲同學(xué)：以下是我的解答過程（部分空缺）解：如圖2，∵點(diǎn)O在直線AB上，∴∠AOB=°，∵∠BOC=40°，∴∠AOC=°，∵∠AOC=2∠AOD，∴OD平分∠AOC，∴∠COD=12∠AOC=∵∠DOE=∠COD+∠COE，∠COE=90°，∴∠DOE=°．乙同學(xué)：“我認(rèn)為還有一種情況．”請(qǐng)完成以下問題：(1)請(qǐng)將甲同學(xué)解答過程中空缺的部分補(bǔ)充完整．(2)判斷乙同學(xué)的說法是否正確，若正確，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出另一種情況對(duì)應(yīng)的圖形，并求∠DOE的度數(shù)，寫出解答過程；若不正確，請(qǐng)說明理由．(3)將題目中“∠BOC=40°”的條件改成“∠BOC=α”，其余條件不變，當(dāng)α在90°到180°之間變化時(shí)，如圖3所示，α為何值時(shí)，∠COD=∠BOE成立？請(qǐng)直接寫出此時(shí)α的值．【題型7線段中的分類討論思想問題】【例7】（2023上·江西吉安·七年級(jí)?？计谀┰谕恢本€上有A,B,C,D不重合的四個(gè)點(diǎn)，AB=8,BC=3,CD=5，則AD的長(zhǎng)為．【變式7-1】（2023上·山西晉城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CB的中點(diǎn)，且AB=9cm

(1)圖中共有___________條線段；(2)求AD的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)E在直線AB上，且EA=3cm，直接寫出DE【變式7-2】（2023上·湖北武漢·七年級(jí)?？计谀┮阎本€l上線段AB=6、線段CD=2(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè))．(1)若線段BC=1，則線段AD=；(2)如圖2，點(diǎn)P、Q分別為AD、BC的中點(diǎn)，求線段PQ的長(zhǎng)度；(3)若線段CD從點(diǎn)B開始以1個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)A開始以2個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N是線段BD的中點(diǎn)，若MN=2DN，求線段CD運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．【變式7-3】（2023上·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有公共端點(diǎn)C的兩條線段AC，BC組成一條折線A?C?B，若該折線A?C?B上一點(diǎn)D把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個(gè)點(diǎn)D叫做這條折線的“折中點(diǎn)”．

（1）若AC=BC，點(diǎn)D與重合（填A(yù)、B、C）；（2）若E為線段AC中點(diǎn)，EC=5cm，CD=2cm，則BC的長(zhǎng)為【題型8角度中的分類討論思想問題】【例8】（2023上·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，∠BOC=40°，OD平分∠AOC．

(1)求∠AOD的度數(shù)；(2)作射線OE，使∠BOE=23∠COE(3)在（2）的條件下，作∠FOH=90°，使射線OH在∠BOE的內(nèi)部，若∠DOF=3∠BOH，∠COE>90°直接寫出∠AOH的度數(shù)．【變式8-1】（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知∠AOB=18°，∠AOC=3∠AOB，則∠BOC的度數(shù)是．【變式8-2】（2023上·廣東肇慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在同一平面內(nèi)，∠AOB=90°，∠AOC=25°，∠COD=50°，∠BOD>15°，求∠BOD的度數(shù)．【變式8-3】（2023上·廣東珠?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）已知O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．

(1)在圖1中，若∠AOC=28°，求∠DOE的度數(shù)；(2)在圖1中，若∠AOC=α，求∠DOE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；(3)將圖1中的∠DOC繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，且保持射線OC在直線AB上方，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠AOC的度數(shù)是多少時(shí)，∠COE=32專題4.11幾何圖形初步章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直線、射線、線段、角的相關(guān)概念辨析】 1【題型2根據(jù)線段間的關(guān)系判斷結(jié)論】 4【題型3根據(jù)線段間的關(guān)系求線段長(zhǎng)度】 8【題型4鐘表中的角度計(jì)算】 12【題型5根據(jù)角與角之間的關(guān)系判斷結(jié)論】 18【題型6根據(jù)角與角之間的關(guān)系求角度】 22【題型7線段中的分類討論思想問題】 29【題型8角度中的分類討論思想問題】 34【題型1直線、射線、線段、角的相關(guān)概念辨析】【例1】（2023上·河南·七年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┫铝姓Z句正確的有(

)（1）線段AB就是A、B兩點(diǎn)間的距離；（2）畫射線AB=10cm；（3）A，B兩點(diǎn)之間的所有連線中，最短的是線段AB；（4）在直線上取A，B，C三點(diǎn)，若AB=5cm，BC=2cm，則AC=7cm．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間距離的定義可以判斷A、C，根據(jù)射線的定義可以判斷B，據(jù)題意畫圖可以判斷D．【詳解】∵線段AB的長(zhǎng)度是A、B兩點(diǎn)間的距離，∴（1）錯(cuò)誤；∵射線沒有長(zhǎng)度，∴（2）錯(cuò)誤；∵兩點(diǎn)之間，線段最短∴（3）正確；∵在直線上取A，B，C三點(diǎn)，使得AB=5cm，BC=2cm，當(dāng)C在B的右側(cè)時(shí)，如圖，AC=5+2=7cm當(dāng)C在B的左側(cè)時(shí)，如圖，AC=5-2=3cm，綜上可得AC=3cm或7cm，∴（4）錯(cuò)誤；正確的只有1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段與射線的定義，線段的和差，熟記基本定義，以及兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023上·黑龍江牡丹江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段條數(shù)為m，小于平角的角的個(gè)數(shù)為n，則n?m的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)線段的定義和小于平角的角的性質(zhì)得出m，n的值，再代入求解即可．【詳解】由題意得m=7，n=8故n?m=8?7=1故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段和平角的問題，掌握線段的定義和平角的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023上·天津北辰·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，辰辰同學(xué)根據(jù)圖形寫出了四個(gè)結(jié)論：①圖中有兩條直線；②圖中有5條線段；③射線AC和射線AD是同一條射線；④直線BD經(jīng)過點(diǎn)C．其中結(jié)論正確的結(jié)論是．【答案】①③【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義結(jié)合圖形即可分析判斷求解．【詳解】解：①直線是沒有端點(diǎn)，向兩邊無限延伸，圖中有兩條直線，分別是：直線BC和直線BD，故①說法正確；②直線上兩點(diǎn)及兩點(diǎn)之間的部分是線段，圖中有6條線段，分別是：線段AB、線段BC、線段BD、線段AC、線段CD、線段AD，故②說法錯(cuò)誤；③射線AC和射線AD是同一條射線，都是以點(diǎn)A為端點(diǎn)，同一方向的射線，故③說法正確；④直線BD和直線BC相交于點(diǎn)B，直線BD經(jīng)過點(diǎn)B，不經(jīng)過點(diǎn)C，故④說法錯(cuò)誤，故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查直線、射線、線段的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并區(qū)分相關(guān)定義．【變式1-3】（2023上·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖,已知A、B、C、D四點(diǎn),根據(jù)下列要求畫圖:(1)畫直線AB、射線AD；(2)畫∠CDB；(3)找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P既在AC上又在BD上.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）利用直線以及射線的定義畫出圖形即可；（2）利用角的定義作射線DC，DB即可；（3）連接AC，與BD的交點(diǎn)即為所求．【詳解】解：（1）如圖所示：直線AB、射線AD即為所求；（2）如圖所示：∠CDB即為所求；（3）如圖所示：點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直線、射線以及角的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【題型2根據(jù)線段間的關(guān)系判斷結(jié)論】【例2】（2023上·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，D、E順次為線段AB上的兩點(diǎn)，AB=20，C為AD的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若BE?DE=0，則AE?CD=7 B．若BE?DE=2，則AE?CD=7C．若BE?DE=4，則AE?CD=7 D．若BE?DE=6，則AE?CD=7【答案】D【分析】先利用中點(diǎn)的含義及線段的和差關(guān)系證明AE?CD=CE,再逐一分析即可得到答案.【詳解】解：∵C為AD的中點(diǎn)，∴AC=CD=1∵BE?DE=0，則BE=DE=1∴AE?CD=AC+CD+DE?CD=AC+DE=CD+DE=CE=1故A不符合題意；∵BE?DE=2，則BE=DE+2,∴2CD+DE+DE+2=20,∴CD+DE=CE=9,同理：AE?CD=CE=9,故B不符合題意；∵BE?DE=4，則BE=DE+4,∴2CD+DE+DE+4=20,∴CD+DE=CE=8,同理：AE?CD=CE=8,故C不符合題意；∵BE?DE=6，則BE=DE+6,∴2CD+DE+DE+6=20,∴CD+DE=CE=7,同理：AE?CD=CE=7,故D符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的和差關(guān)系，線段的中點(diǎn)的含義，掌握“線段的和差關(guān)系即中點(diǎn)的含義證明AE?CD=CE”是解本題的關(guān)鍵【變式2-1】（2023上·湖北咸寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），點(diǎn)D，E，P分別是線段AC，BC，DE的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①圖中的點(diǎn)D，P，C，E都是動(dòng)點(diǎn)；②AD>BE；③AB=2DE；④當(dāng)AC=BC時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合．其中正確的是．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【答案】①③④【分析】①由題意可知隨著C的運(yùn)動(dòng)，D、P、E都在動(dòng)，故正確；②可以推得當(dāng)C點(diǎn)在AB中點(diǎn)左邊（不含中點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，AC<BC，故錯(cuò)誤；③由題意及中點(diǎn)的性質(zhì)可知正確；④由題意，當(dāng)AC=BC時(shí)，C為DE中點(diǎn)，根據(jù)已知，P也為DE中點(diǎn)，所以點(diǎn)P與點(diǎn)C重合．【詳解】解：①∵點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），點(diǎn)D，E，P分別是線段AC，BC，DE的中點(diǎn)，∴D、E隨著C的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P隨著D、E的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此，隨著C的運(yùn)動(dòng)，D、P、E都在動(dòng)，∴本選項(xiàng)正確；②∵AD=∴當(dāng)C點(diǎn)在AB中點(diǎn)左邊（不含中點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于AC<BC，∴AD<BE，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③由題意可知：DC=1∴DE=1④由③可知，當(dāng)AC=BC時(shí)，DC=EC，所以C為DE中點(diǎn)，又P也為DE中點(diǎn)，∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∴本選項(xiàng)正確．故答案為①③④．【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)的應(yīng)用，熟練掌握中點(diǎn)的意義和性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2023上·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，B在線段AC上，且BC=3AB，D是線段AB的中點(diǎn)，E是BC的三等分點(diǎn)，則下列結(jié)論：①EC=13AE，②DE=5BD，③BE=13A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)題中的已知條件，結(jié)合圖形，對(duì)結(jié)論進(jìn)行一一論證，從而選出正確答案．【詳解】解：∵E是BC的三等分點(diǎn)，BC=3AB，∴EC=13BC∴AB=EC，∴AB+BE=EC+BE，∴AE=BC，∴EC=1故①正確；∵EC=1∴AE=3EC，∵AB=EC，∴AE=3AB，∵D是線段AB的中點(diǎn)，∴AD=BD=1∴DE=AE?AD=3AB?1∴DE=5故②正確；∵BE=2AB，AE=3AB∴1∵BE=AE?AB=3AB?AB=2AB，∴BE∴BE=2故③正確；∵BC=3AB，AD=1∴6∵AE=3AB，∴AE=6故④正確；綜上，正確的有①②③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，中點(diǎn)的定義，用幾何式子正確表示相關(guān)線段，結(jié)合圖形進(jìn)行線段的和差計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023上·福建泉州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，AB=30，C為射線AB上一點(diǎn)，BC比AC的4倍少20，P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，M為BP的中點(diǎn)，N為QM的中點(diǎn)，以下結(jié)論：①BC=2AC；②運(yùn)動(dòng)過程中，QM的長(zhǎng)度保持不變；③AB=4NQ；④當(dāng)BQ=PB時(shí)，t=12，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)AB=30，BC比AC的4倍少20可分別求出AC與BC的長(zhǎng)度；分別表示出BM、BQ，由QM=BM+BQ即可得QM的值；由N為QM的中點(diǎn)得NQ=12【詳解】∵AB=30，BC比AC的4倍少20，∴AC=10，BC=20，∴BC=2AC，①正確；∵P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分別為2單位/秒和1單位/秒的速度，∴BP=30-2t，BQ=t，∵M(jìn)為BP的中點(diǎn)，N為QM的中點(diǎn)，∴PM=MB=15-t，MQ=MB+BQ=15，NQ=7.5，∴運(yùn)動(dòng)過程中，QM的長(zhǎng)度保持不變，AB=4NQ，②③正確；∵PB=30-2t，BQ=t，當(dāng)BQ=PB時(shí)，，∴30-2t=t，解方程得：t=10，④錯(cuò)誤；∴①②③項(xiàng)結(jié)論正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想推出相關(guān)線段之間的關(guān)系式.【題型3根據(jù)線段間的關(guān)系求線段長(zhǎng)度】【例3】（2023上·河南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知線段AB=23，BC=15，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)．

(1)求線段AM的長(zhǎng)；(2)在CB上取一點(diǎn)N，使得CN:NB=2:3，求線段MN的長(zhǎng)．【答案】(1)4(2)MN的長(zhǎng)度是10【分析】（1）根據(jù)線段的和差關(guān)系，可得AC=8，根據(jù)點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，可得AM=1（2）由CN:NB=2:3，求得CN=6,根據(jù)點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，求得MC，根據(jù)MN=MC+NC即可求解．【詳解】（1）解：線段AB=23，BC=15，∴AC=AB?BC=23?15=8，又∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)．∴AM=12AC=12（2）解：∵BC=15，CN:NB=2:3，∴CN=2又∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，AC=8，∴MC=1∴MN=MC+NC=4+6=10，即MN的長(zhǎng)度是10．【點(diǎn)睛】本題考查了線段和差的計(jì)算，線段中點(diǎn)的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023上·河北承德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)題意，補(bǔ)全解題過程．如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，E為線段AB上一點(diǎn)，且AE:EB=2:5，若EC=3，求線段AB的長(zhǎng)度．

解：設(shè)AE=2x，∵AE:EB=2:5，∴EB=______，∴AB=AE+______=______，∵C為AB的中點(diǎn)，∴AC=______=______，∴EC=______?AE=______，∵EC=3，∴x=______，∴AB=7x=______．【答案】5x；EB；7x；12AB或BC；3.5x；AC；【分析】根據(jù)線段之間的關(guān)系按照推理過程即可解答．【詳解】設(shè)AE=2x，∵AE:EB=2:5，∴EB=5x，∴AB=AE+EB=7x，∵C為AB的中點(diǎn)，∴AC=BC=3.5x，∴EC=AC?AE=1.5x，∵EC=3，∴x=2，∴AB=7x=14，故答案為：5x；EB；7x；12AB或BC；3.5x；AC；【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離以及推理過程的完整書寫，解題的關(guān)鍵是正確理解題干中的信息和把握?qǐng)D中的線段關(guān)系．【變式3-2】（2023上·河南南陽·七年級(jí)校考期末）如圖，線段BD=13AB=14CD，點(diǎn)M、N分別是線段AB、

【答案】48【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得AB與BD的關(guān)系，CD與BD的關(guān)系，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得AM與BM的關(guān)系，DN與NC的關(guān)系，根據(jù)線段的和差，可得BD的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得答案．【詳解】解：∵BD=1∴AB=3BD，CD=4BD．∵點(diǎn)M、N分別是線段AB、CD的中點(diǎn)，AM=BM=12AB=∵BN=DN?BD=2BD?BD=BD，BC=CD?BD=4BD?BD=3BD，∴MN=BM+BN=3解得BD=8．∴AC=AB+BC=3BD+3BD=6BD=48cm【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，熟練的利用線段的和差倍分關(guān)系建立方程解題是關(guān)鍵．【變式3-3】（2023上·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB=12，AC=8，求MN的長(zhǎng)；

（2）設(shè)AB=a，C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），①如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即AM=13AC，BN=②若M，N分別是AC，BC的n等分點(diǎn)，即AM=1nAC，BN=【答案】（1）6；（2）①23a【分析】（1）由中點(diǎn)的定義可得MC=12AC,CN=（2）由AM=13AC，BN=13（3）仿照（2）的過程求解即可．【詳解】解：（1）∵M(jìn)，N分別是AC，BC的中點(diǎn)∴MC=∵AB=12∴MN=MC+CN=（2）①∵AM=∴MC=∵AB=a∴MN=MC+CN=2②∵AM=∴CM=∴MN=CM+MN=CM+CN=∴AB=a∴MN=n?1【點(diǎn)睛】本題考查線段的中點(diǎn)、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義及線段和差運(yùn)算．【題型4鐘表中的角度計(jì)算】【例4】（2023上·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解：在鐘面上，把一周分成12個(gè)大格，每個(gè)大格分成5個(gè)小格，所以每個(gè)大格對(duì)應(yīng)的是30°角，每個(gè)小格對(duì)應(yīng)的是6°角，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是0.5度，分針每分針轉(zhuǎn)過的角度是6度．(1)解決問題：當(dāng)時(shí)鐘的時(shí)刻是8：30時(shí)，求此時(shí)分針與時(shí)針?biāo)鶌A的銳角的度數(shù)．(2)8：00開始幾分鐘后分針第一次追上時(shí)針．(3)設(shè)在8：00時(shí)，分針的位置為OA，時(shí)針的位置為OB，運(yùn)動(dòng)后的分針為OP，時(shí)針為OQ．問：在8：00~9：00之間，從8：00開始運(yùn)動(dòng)幾分鐘，OB，OP，OQ這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線？【答案】(1)75°(2)48011(3)48013分鐘或960【分析】（1）根據(jù)8：30時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是2.5個(gè)大格，可得所夾的銳角的度數(shù)；（2）計(jì)算出8：00時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A鈍角的度數(shù)，設(shè)x分鐘后分針第一次追上時(shí)針，利用追擊問題列方程，即可求解；（3）分OB平分∠QOP，OP平分∠QOB，OQ平分∠POB三種情況，利用角的和、差、倍數(shù)關(guān)系列方程，即可求解．【詳解】（1）解：8：30時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是2.5個(gè)大格，2.5×30°=75°，即分針與時(shí)針?biāo)鶌A的銳角的度數(shù)是75°．（2）解：設(shè)x分鐘后分針第一次追上時(shí)針．8：00時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A鈍角是8個(gè)大格，8×30°=240°，由題意，6x?0.5x=240，解得x=480即8：00開始48011（3）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)m分鐘后，OB，OP，OQ這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線．分三種情況：如圖①，當(dāng)OB平分∠QOP時(shí)，∠QOB=∠POB，∴0.5m=240?6m，解得m=480如圖②，當(dāng)OP平分∠QOB時(shí)，∠QOB=2∠POB，∴0.5m=26m?240解得m=960如圖③，當(dāng)OQ平分∠POB時(shí)，∠POB=2∠QOB，∴6m?240=2×0.5m，解得m=48；綜上，運(yùn)動(dòng)48013分鐘或96023分鐘或48分鐘后，OB，OP，【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，以及角平分線的定義，能夠計(jì)算出任一時(shí)刻時(shí)針與分針之間的角度是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023上·福建寧德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，鐘表的秒針因故障停滯不動(dòng)，時(shí)針與分針正常運(yùn)行．小晶發(fā)現(xiàn)3點(diǎn)整時(shí)，秒針正好是時(shí)針與分針夾角的角平分線，經(jīng)過m分鐘后，秒針又一次成為時(shí)針與分針夾角的角平分線，則m的最小值是．

【答案】720【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)分針轉(zhuǎn)一圈再回到秒針左側(cè)時(shí)，秒針再次平分時(shí)針與分針夾角，此時(shí)經(jīng)過的時(shí)間最少，分針每分鐘走360°60°=6°，時(shí)針每分鐘走30°60°=12°，根據(jù)題意得：∠AOB=∠BOC=45°，經(jīng)過m【詳解】解：

∵3點(diǎn)整時(shí)，秒針正好是時(shí)針與分針夾角的角平分線，分針在秒針的左側(cè)，秒針不動(dòng)，∴當(dāng)分針轉(zhuǎn)一圈再回到秒針左側(cè)時(shí)，秒針再次平分時(shí)針與分針夾角，此時(shí)經(jīng)過的時(shí)間最少，分針每分鐘走360°60°=6°，時(shí)針每分鐘走根據(jù)題意得：∠AOB=∠BOC=45°，經(jīng)過m分鐘后，∠AOA1=360°?6°×m∵OB平分∠A∴∠A∴∠A∴360?6m+45=45+1解得：m=720故答案為：72013【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的定義，正確理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）七年級(jí)學(xué)生小聰和小明完成了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)《鐘面上的數(shù)學(xué)》后，制作了一個(gè)模擬鐘面，如圖所示，點(diǎn)O為模擬鐘面的圓心，M、O、N在一條直線上，指針OA、OB分別從OM、ON出發(fā)繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，OA順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，OB逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，OA運(yùn)動(dòng)速度為每秒轉(zhuǎn)動(dòng)15°，OB運(yùn)動(dòng)速度為每秒轉(zhuǎn)動(dòng)5°，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（(1)當(dāng)t=3秒時(shí)，求∠AOB的度數(shù)；(2)當(dāng)OA與OB第三次重合時(shí)，求∠BOM的度數(shù)；(3)在OA與OB第四次重合前，當(dāng)t=___________時(shí)，直線MN平分∠AOB．【答案】(1)120°(2)45°(3)18或54秒【分析】（1）根據(jù)∠AOB=180°?∠AON?∠BON，求出∠AON、∠BON即可．（2）設(shè)t秒后第三次重合，由題意得15t+5t=360×2+180，解方程求出t，進(jìn)一步即可求出∠BOM的度數(shù)．（3）先用t的代數(shù)式表示∠BON和∠AON，然后根據(jù)∠BON=∠AON求出t的值，即可得到答案．【詳解】（1）解：當(dāng)t=3秒時(shí)，∴∠AOM=15°×3=45°，∠BON=5°×3=15°，∴∠AOB=180°?45°?15°=120°；（2）解：設(shè)t秒后第三次重合，由題意得15t+5t=360×2+180，解得t=45，5°×45?180°=45°．答：∠BOM的度數(shù)為45°；（3）解：在OA與OB第一次重合前，直線MN不可能平分∠AOB；在OA與OB第一次重合后第二次重合前，∠BON=5t°，∠AON=依題意有5t=15t?180，解得t=18；在OA與OB第二次重合后第三次重合前，直線MN不可能平分∠AOB；在OA與OB第三次重合后第四次重合前，∠BON=360?5t°，依題意有360﹣解得t=54．故當(dāng)t=18或54秒時(shí)，直線MN平分∠AOB．故答案為：18或54秒．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023上·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在圖1中畫射線OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大??；(3)如圖2，若線段OA與OB分別為同一鐘表上某一時(shí)刻的時(shí)針與分針，∠AOB＝60°，在時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，OM始終平分∠AOB，則經(jīng)過多少分鐘后，∠BOM的度數(shù)第一次等于50°．【答案】(1)30°(2)20°(3)8011【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義即可得出答案；（2）根據(jù)題意分類討論，分為射線OC在∠AOB內(nèi)部和外部?jī)煞N情況計(jì)算即可；（3）根據(jù)鐘表轉(zhuǎn)動(dòng)求出時(shí)針和分針轉(zhuǎn)動(dòng)的速度，再根據(jù)分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度-時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度=∠AOB增加的度數(shù)，建立方程解出答案即可．【詳解】（1）解：∵∠AOB＝60°，OM平分∠AOB，∴∠BOM=1（2）當(dāng)射線OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，如圖所示，∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，∴∠BON=1∴∠MON=∠BOM?∠BON=30°?10°=20°；當(dāng)射線OC在∠AOB外部時(shí)，如圖所示，∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，∴∠BON=1∴∠MON=∠BOM+∠BON=30°+10°=40°；綜上所述，∠MON的度數(shù)為20°或（3）∵OM平分∠AOB，∠BOM＝50°∴∠AOB=2∠BOM=100°設(shè)經(jīng)過x分鐘后，∠BOM的度數(shù)第一次等于50°，∵分針OB的運(yùn)動(dòng)速度為每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)：360°60時(shí)針OA的運(yùn)動(dòng)速度為每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)：360°12×60∴6°x?0.5°x=100°?60°，解得x=80所以經(jīng)過8011分鐘后，∠BOM【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，分類討論思想，一元一次方程的應(yīng)用之行程問題，分類討論思想和方程思想是本題的關(guān)鍵．【題型5根據(jù)角與角之間的關(guān)系判斷結(jié)論】【例5】（2023上·湖北襄陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，OB在∠AOC內(nèi)部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分線，∠BOC=3∠COE，則下列結(jié)論：①∠EOC=13∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=12

【答案】①②④【分析】根據(jù)∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，得到∠AOB=∠COE，進(jìn)而得到∠AOE=∠BOC，根據(jù)OD是∠AOB的平分線，得到∠AOD=∠BOD=1【詳解】解：∵∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，∴∠AOB=∠COE，∴∠AOB+∠BOE=∠COE+∠BOE，∴∠AOE=∠BOC，∴∠AOE=3∠COE，∠AOE=3∠AOB，∴∠COE=1∴∠BOE=2∠AOB，∵OD是∠AOB的平分線，∴∠BOD=∠AOD=1∴∠BOE=2∠AOB=4∠BOD，∴∠DOE=5∠BOD，故②正確；∵∠AOE=3∠AOB，∠BOC=3∠AOB，∴∠AOE+∠BOC=6∠AOB，∴12∵∠BOE=2∠AOB，∴∠BOE≠1∵65∠BOC?∠AOD=∴∠AOE=6故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算．正確的識(shí)圖，理清角度之間的和差，倍數(shù)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023上·江蘇蘇州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知∠AOB=∠BOC=∠COD，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．OB、OC分別平分∠AOC、∠BODB．∠AOD=∠AOB+∠AOCC．∠BOC=D．∠COD=【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義和角的和差逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、∵∠AOB=∠BOC=∠COD，∴OB、OC分別平分∠AOC、∠BOD，故正確；B、∵∠AOB=∠BOC=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∴∠AOD=∠AOB+∠AOC，故正確；C、∵∠BOC═∠AOC-∠AOB，∵∠AOB=∠BOC=∠COD，∴∠AOC=23∴∠BOC=23D、∵∠AOB=∠COD，∴∠COD=∠AOD-∠BOC-∠AOB，∴2∠COD=∠AOD-∠BOC，∴∠COD=12故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義和角的和差是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023上·貴州銅仁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知O為直線AB上一點(diǎn)，將直角三角板MON的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，若OC是∠MOB的平分線，則下列結(jié)論正確的是（

）∠AOM=3∠NOC B．∠AOM=2∠NOC C．2∠AOM=3∠NOC D．3∠AOM=5∠NOC【答案】B【分析】先求解2∠BON=180°?2∠AOM,利用角平分線的定義再求解∠AOM=180°?2∠BOC=180°?2∠BON?2∠CON,從而可得答案.【詳解】解：∵∠MON=90°,∴∠AOM=90°?∠BON,∴2∠BON=180°?2∠AOM,∵OC平分∠BOM,∴∠MOC=∠BOC=1∴∠AOM=180°?2∠BOC=180°?2∠BON?2∠CON,∴∠AOM=180°?(180°?2∠AOM)?2∠CON,∴∠AOM=2∠CON.故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是角的和差運(yùn)算，角平分線的定義，熟練的運(yùn)用角的和差關(guān)系探究角與角之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.【變式5-3】（2023上·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知射線OC在∠AOB內(nèi)部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，現(xiàn)給出以下4個(gè)結(jié)論：①∠DOE=∠AOF；②2∠DOF=∠AOF?∠COF；③∠AOD=∠BOC；④∠EOF=12∠COF+∠BOF【答案】①②④【分析】①根據(jù)OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，得出∠AOD=∠COD=12∠AOC，∠BOE=∠COE=12②根據(jù)角度之間的關(guān)系得出∠DOF=12∠BOC=∠COE③無法證明∠AOD=∠BOC；④根據(jù)∠DOF=12∠BOC=∠COE，得出∠EOF=∠COD【詳解】解：①∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，∴∠AOD=∠COD=12∠AOC∠AOF=∠BOF=1∵∠AOC+∠BOC=∠AOB，∴∠DOC+∠COE=∠AOD+∠BOE=1即∠DOE=1∴∠DOE=∠AOF，故①正確；②∵∠DOF=∠DOE?∠EOF======∠AOF?∠COF=∠BOF?∠COF=∠BOC，∴2∠DOF=∠AOF?∠COF，故②正確；③∠AOD與∠BOC不一定相等，故③錯(cuò)誤；④根據(jù)解析②可知，∠DOF=1∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠COF+∠DOF=∠COD，∵∠COF+∠BOF=∠COF+∠AOF=∠AOC=2∠COD，∴∠EOF=1綜上分析可知，正確的有①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，根據(jù)角度之間的關(guān)系得出∠DOF=1【題型6根據(jù)角與角之間的關(guān)系求角度】【例6】（2023上·黑龍江大慶·七年級(jí)?？计谀┮阎螦OB=120°，從∠AOB的頂點(diǎn)O引出一條射線OC，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，將射線OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°形成∠COD．

(1)如圖1，若∠AOD=90°，比較∠AOC和∠BOD的大小，并說明理由；(2)作射線OE，射線OE為∠AOD的平分線，設(shè)∠AOC=α．①如圖2，當(dāng)0°<α<60°，若射線OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度數(shù)；②當(dāng)α≠60°時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊螮OC與∠BOD之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)∠AOC=∠BOD，理由見解析(2)①40°②∠COE=【分析】（1）根據(jù)∠AOC=∠AOD?∠COD=30°，∠BOD=∠AOB?∠AOD=30°，即可確定兩個(gè)角的大小；（2）①根據(jù)角平分線的定義可得∠AOE=2∠AOC=2α，∠COD=∠COE+∠DOE=3α，根據(jù)∠COD=60°列方程，求出α的值，再根據(jù)∠BOD=∠AOB?∠AOD計(jì)算即可；②分兩種情況：當(dāng)0°<α<60°時(shí)，當(dāng)60°<α<120°時(shí)，分別根據(jù)角平分線的定義，角的和差計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∠AOC=∠BOD，理由如下：∵∠COD=60°，∠AOD=90°，∴∠AOC=∠AOD?∠COD=30°，又∵∠AOB=120°∴∠BOD=∠AOB?∠AOD=30°，∴∠BOD=∠AOC；（2）①∵OC恰好平分∠AOE，∴∠AOC=∠EOC=α，∴∠AOE=2∠AOC=2α，∵OE為∠AOC的平分線，∴∠DOE=∠AOE=2α，∴∠COD=∠COE+∠DOE=3α，∵∠COD=60°，∴3α=60°，∴α=20°，∴∠BOD=∠AOB?∠AOD=120°?4α=40°；②分情況討論：當(dāng)0°<α<60°時(shí)，

∵∠BOD=∠AOB?∠COD?∠AOC=60°?α，∵∠AOD=α+60°，OE為∠AOD的平分線，∴∠AOE=1∴∠COE=∠AOE?∠AOC=1∴∠COE=1當(dāng)60°<α<120°時(shí)，

∵∠BOD=∠AOC+∠COD?∠AOB=α?60°，∵∠AOD=α+60°，OE為∠AOD的平分線，∴∠AOE=1∴∠COE=∠AOC?∠AOE=α?1∴∠COE=1綜上所述，∠COE=1【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，角的計(jì)算，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023上·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，OE平分∠BOD，∠AOB=90°，∠COD=110°，∠AOD=40°，求∠COE的度數(shù)．【答案】85°【分析】由余角的定義可求得∠BOD=50°，再由角平分線的定義可得∠DOE=25°，即可求∠COE的度數(shù)．【詳解】解：∵∠AOB=90°，∠AOD=40°，∴∠BOD=∠AOB?∠AOD=50°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1∵∠COD=110°，∴∠COE=∠COD?∠DOE=85°．【點(diǎn)睛】本題主要考查余角，角平分線的定義，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．【變式6-2】（2023下·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，在直線AB同側(cè)任作射線OC，OD，使得∠COD=90

(1)如圖1，過點(diǎn)O作射線OE，使OE平分∠AOC，當(dāng)∠COE=25°時(shí)，(2)如圖2，過點(diǎn)O作射線OE，當(dāng)OE恰好為∠AOD的角平分線時(shí)，求出∠BOD與∠COE的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)40°(2)∠BOD=2∠COE【分析】（1）由已知得出∠AOC+∠BOD=90°，由角平分線定義得出∠EOC=12∠AOC（2）由已知得出∠AOC=90°?∠BOD，由角平分線定義得出∠AOE=12∠AOD=【詳解】（1）∵∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵OE為∠AOC的角平分線，∴∠COE=1∴∠AOC=25°×2=50°，∴∠BOD=90°?∠AOC=90°?50°=40°；（2）∵∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠AOC=90°?∠BOD，∵OE為∠AOD的角平分線，∴∠AOC+∠COE=12∠AOD=45°+∴90°?2∠COE=90°?∠BOD，即∠BOD=2∠COE．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算以及角平分線定義；弄清各個(gè)角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023上·河南南陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問題．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師提出了如下問題：已知點(diǎn)O在直線AB上，∠COE=90°，在同一平面內(nèi)，過點(diǎn)O作射線OD，滿足∠AOC=2∠AOD．當(dāng)∠BOC=40°時(shí)，如圖1所示，求∠DOE的度數(shù)．

甲同學(xué)：以下是我的解答過程（部分空缺）解：如圖2，∵點(diǎn)O在直線AB上，∴∠AOB=°，∵∠BOC=40°，∴∠AOC=°，∵∠AOC=2∠AOD，∴OD平分∠AOC，∴∠COD=12∠AOC=∵∠DOE=∠COD+∠COE，∠COE=90°，∴∠DOE=°．乙同學(xué)：“我認(rèn)為還有一種情況．”請(qǐng)完成以下問題：(1)請(qǐng)將甲同學(xué)解答過程中空缺的部分補(bǔ)充完整．(2)判斷乙同學(xué)的說法是否正確，若正確，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出另一種情況對(duì)應(yīng)的圖形，并求∠DOE的度數(shù)，寫出解答過程；若不正確，請(qǐng)說明理由．(3)將題目中“∠BOC=40°”的條件改成“∠BOC=α”，其余條件不變，當(dāng)α在90°到180°之間變化時(shí)，如圖3所示，α為何值時(shí)，∠COD=∠BOE成立？請(qǐng)直接寫出此時(shí)α的值．【答案】(1)180，140，70，160(2)正確，理由見解析，∠DOE=60°或160°(3)α=120°或144°【分析】（1）根據(jù)平角定義和角平分線的定義補(bǔ)充即可；（2）由題意，還有∠AOD在∠AOC的外部時(shí)的情況，根據(jù)平角定義求解即可；（3）由題意，∠BOE=∠COD=α?90°，∠AOC=180°?α，分∠AOD在∠AOC的內(nèi)部和∠AOD在∠AOC的外部，由∠AOC=2∠AOD求出α即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)O在直線AB上，∴∠AOB=180°，∵∠BOC=40°，∴∠AOC=140°，∵∠AOC=2∠AOD，∴OD平分∠AOC，∴∠COD=1∵∠DOE=∠COD+∠COE，∠COE=90°，∴∠DOE=160°，故答案為：180；140；70；160；（2）解：正確，理由如下：當(dāng)∠AOD在∠AOC的外部時(shí)，如圖所示：

∵點(diǎn)O在直線AB上，∴∠AOB=180°，∵∠BOC=40°，∴∠AOC=140°，∵∠AOC=2∠AOD，∴∠AOD=70°，∵∠COE=90°，∴∠BOE=50°，∴∠DOE=∠AOB?∠AOD?∠BOE，∴∠DOE=60°，綜上所述，∠DOE=60°或160°；（3）解：∵∠BOC=α，∠COD=∠BOE，∴∠BOE=∠COD=α?90°，∠AOC=180°?α，當(dāng)∠AOD在∠AOC的內(nèi)部時(shí)，如圖，

∵∠AOC=2∠AOD，∴OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠COD，即∠AOC=2∠COD∴180°?α=2α?90°解得：α=120°；當(dāng)∠AOD在∠AOC的外部時(shí)，如圖，

∵∠AOC=2∠AOD，∴∠AOD=1∵∠COD=∠AOC+∠AOD，∴α?90°=180°?α+1解得：α=144°，綜上，α=120°或144°．【點(diǎn)睛】本題考查角的運(yùn)算、角平分線的有關(guān)計(jì)算、平角定義，能根據(jù)圖形進(jìn)行角度運(yùn)算，能利用分類討論思想解決問題是解答的關(guān)鍵．【題型7線段中的分類討論思想問題】【例7】（2023上·江西吉安·七年級(jí)?？计谀┰谕恢本€上有A,B,C,D不重合的四個(gè)點(diǎn)，AB=8,BC=3,CD=5，則AD的長(zhǎng)為．【答案】6或10或16【分析】由于沒有圖形，故A,B,C,D四點(diǎn)相對(duì)位置不確定，分：點(diǎn)C在B的左側(cè)、右側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)、右側(cè)等，不同情況畫圖分別求解即可．【詳解】解：I．當(dāng)點(diǎn)C在B的右側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)時(shí)，如圖：

∵AB=8，BC=3，CD=5，∴AD=AB+BC?CD=8+3?5=6，II．當(dāng)點(diǎn)C在B的右側(cè)，點(diǎn)D在C的右側(cè)時(shí)，如圖：

∴AD=AB+BC?CD=8+3+5=16，III．當(dāng)點(diǎn)C在B的左側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)時(shí)，如圖：

∴AD=AB?BC?CD=8?3?5=0，點(diǎn)A、D重合，不合題意，IV．當(dāng)點(diǎn)C在B的左側(cè)，點(diǎn)D在C的右側(cè)時(shí)，如圖：

∴AD=AB?BC+CD=8?3+5=10，點(diǎn)A、D重合，不合題意，綜上所述：AD的長(zhǎng)為6或10或16故答案為：6或10或16．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類討論、利用線段之間的和差關(guān)系得到AD的長(zhǎng)度．【變式7-1】（2023上·山西晉城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CB的中點(diǎn)，且AB=9cm

(1)圖中共有___________條線段；(2)求AD的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)E在直線AB上，且EA=3cm，直接寫出DE【答案】(1)6(2)6.75cm(3)3.75cm或9.75cm【分析】（1）根據(jù)線段的定義找出線段即可；（2）根據(jù)線段的中點(diǎn)和兩條線段的和的定義，求出結(jié)果；（3）由于點(diǎn)E在直線AB上的具體位置不確定，故應(yīng)分點(diǎn)E在點(diǎn)A的左邊和點(diǎn)E在點(diǎn)A的右邊兩種情況分別求解．【詳解】（1）圖中有6條線段，它們是線段AC，AD，AB，CD，CB，DB．故答案為：6．（2）∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，AB=9cm∴AC=CB=1∵點(diǎn)D是線段CB的中點(diǎn)，∴CD=DB=1∴AD=AC+CD=6.75（3）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左邊，EA=3cm∴DE=AE+AD=9.75cm當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的右邊，EA=3cm∴DE=AD?AE=3.75故答案為：3.75cm或9.75cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，線段中點(diǎn)的定義和線段和差的定義，熟練掌握各線段之間的和差以及倍數(shù)關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023上·湖北武漢·七年級(jí)?？计谀┮阎本€l上線段AB=6、線段CD=2(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè))．(1)若線段BC=1，則線段AD=；(2)如圖2，點(diǎn)P、Q分別為AD、BC的中點(diǎn)，求線段PQ的長(zhǎng)度；(3)若線段CD從點(diǎn)B開始以1個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)A開始以2個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N是線段BD的中點(diǎn)，若MN=2DN，求線段CD運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．【答案】(1)7或9(2)PQ=2；(3)線段CD運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s或18【分析】（1）①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；（2）設(shè)BC=x，則AD=AB+BC+CD=8+x，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到PD=12AD=4+（3）線段CD運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則AM=2t，BC=t，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∵AB=6，∴AC=5，∴AD=AC+CD=7；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，∵AB=6，∴AD=AB+BC+CD=9，∴線段AD=7或9；故答案為：7或9；（2）解：設(shè)BC=x，則AD=AB+BC+CD=8+x，∵點(diǎn)P、Q分別為AD、BC的中點(diǎn)，∴PD=12AD=4+∴PQ=PD?CD?CQ=4+1（3）解：線段CD運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則AM=2t，∴BM=AB?AM=6?2t或BM=AM?AB=2t?6，BD=BC+CD=t+2，∵點(diǎn)N是線段BD的中點(diǎn)，∴DN=BN=1∵M(jìn)N=2DN，∴6?2t+12t+1=2解得：t=2或t=18．故線段CD運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s或18【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，依據(jù)線段的和差關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023上·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有公共端點(diǎn)C的兩條線段AC，BC組成一條折線A?C?B，若該折線A?C?B上一點(diǎn)D把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個(gè)點(diǎn)D叫做這條折線的“折中點(diǎn)”．

（1）若AC=BC，點(diǎn)D與重合（填A(yù)、B、C）；（2）若E為線段AC中點(diǎn)，EC=5cm，CD=2cm，則BC的長(zhǎng)為【答案】C6或14【分析】（1）由折中點(diǎn)的含義、線段和差關(guān)系，可得CD=0，即可確定答案；（2）分兩種情況：點(diǎn)D在線段AC上與點(diǎn)D在線段BC上，利用中點(diǎn)的意義及折中點(diǎn)的含義即可求解．【詳解】（1）解：由折中點(diǎn)含義得：AD=CD+BC，而AC=BC，AD=AC?CD，∴AC?CD=CD+AC，∴CD=0，即點(diǎn)D與點(diǎn)C重合；故選：C；（2）解：當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，則CD+BC=AD=AC?CD，∴BC=A