北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列1.7三角形的證明全章十二類必考壓軸題(北師大版)同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題1.7三角形的證明全章十二類必考壓軸題【北師大版】必考點(diǎn)1必考點(diǎn)1等腰三角形的存在性問題1．（2022秋·廣東茂名·八年級茂名市第一中學(xué)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b(b≠0)的圖象經(jīng)過A(?1,0)，B(0,2)，D三點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上方，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且OC=5OA，連接BC，CD，已知(1)求直線AB的表達(dá)式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在線段AD，CD上分別取點(diǎn)M，N，使得MN∥x軸，在x軸上取一點(diǎn)P，連接MN，NP，MP，2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級?？计谥校┤鐖D，ΔABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A?B?C?A運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒t>0(1)點(diǎn)P運(yùn)動結(jié)束，運(yùn)動時(shí)間t=______；(2)當(dāng)點(diǎn)P到邊AB、AC的距離相等時(shí)，求此時(shí)t的值；(3)在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，是否存在t的值，使得△ACP為等腰三角形，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．3．（2022秋·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在等腰△ABC中，∠CAB=∠CBA，作射線BC，AD是腰BC的高線，E是△ABC外射線BC上一動點(diǎn)，連結(jié)AE．(1)當(dāng)AD=4，BC=5時(shí)，求CD的長；(2)當(dāng)BC=CE時(shí)；求證：AE⊥AB；(3)設(shè)△ACD的面積為S1，△ACE的面積為S2，且S1S2=184．（2022秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、D分別在y軸、x軸上，點(diǎn)A?a，b，Cb，a，且a，b滿足3a?b2+b?6(1)求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；(2)如圖2，連接AC，BD交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P為(3)若OC=210，在x軸上存在點(diǎn)F，使△COF是以CO為腰的等腰三角形，請直接寫出F5．（2022秋·廣東廣州·八年級校聯(lián)考期中）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Aa,0、B0,b，且a、b滿足：a?1=?b2+6b?9，點(diǎn)A、C關(guān)于(1)求點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若BC⊥CD，BA⊥EA，且BD=BE，連接ED交x軸于點(diǎn)M，求證：DM=ME；(3)如圖2，若BC⊥CD，且BC=CD，直線BC上存在某點(diǎn)Gm,3m+3，使△DFG為等腰直角三角形(點(diǎn)D、F，G按逆時(shí)針方向排列)，請直接寫出點(diǎn)F必考點(diǎn)2必考點(diǎn)2等腰三角形與勾股定理、全等綜合1．（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為邊在AB上方作等邊△ABD，以BC為邊在BC右側(cè)作等邊△CBE，連接ED并延長交AC于點(diǎn)G(1)求證：△CAB≌(2)求證：AG=DG．(3)連接CD并延長交BE于F，若AB=2，當(dāng)CF⊥BE時(shí)，求CD2．（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，CD，BE是△ABC的兩條高線，且它們相交于Q，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，連接DF，DF與BE相交于點(diǎn)P，已知BD=CD．(1)求證BQ=AC(2)若BE平分∠ABC．①求證：DP=DQ；②若AC=8，求BP的長．3．（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D1，在等邊△ABC的AC、BC邊上各取一點(diǎn)D、E，AE、BD相交于點(diǎn)F，∠BFE=60°．(1)求證：AD=CE；(2)如圖2，過點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G．①若BE=2EC=2，求BG的長；②若BF=2AF，連接CF，求∠CFE的度數(shù)．4．（2022秋·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)N為AC中點(diǎn)，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，連結(jié)CD．已知BD:AD:CD=2:3:4,CD=8．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿線段BA向終點(diǎn)A運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t（秒）．(1)求證：CD⊥AB．(2)若△BPN為等腰三角形時(shí)，求t的值．(3)如圖2，動點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，另有一點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿線段DC向終點(diǎn)C運(yùn)動，速度為13個單位/秒，連結(jié)BQ,PQ，將線段BQ,PQ繞點(diǎn)Q分別向順時(shí)針和逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段QE和QF，當(dāng)E,C,F三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出5．（2022春·安徽合肥·八年級合肥市廬陽中學(xué)?？计谥校﹩栴}發(fā)現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC，D為BC邊所在直線上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，以AD為邊作Rt△ADE，且AD=AE，根據(jù)∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，得到∠BAD=∠CAE，結(jié)合AB=AC，AD=AE得出△BAD≌△CAE，發(fā)現(xiàn)線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為BD=CE，位置關(guān)系為(1)探究證明：如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE，AB=AC，AD=AE，且點(diǎn)D在BC邊上滑動（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），連接①則線段BC，DC，CE之間滿足的等量關(guān)系式為；②求證：BD(2)拓展延伸：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=13cm，CD=5cm，求必考點(diǎn)3必考點(diǎn)3等腰三角形與圖形變換1．（2022秋·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB的中點(diǎn)，連接AE，DF交于點(diǎn)N，將△ABE沿AE翻折，得到△AGE，AG交DF于點(diǎn)M，延長EG交AD的延長線于點(diǎn)H，連接CG，ME，取ME的中點(diǎn)O，連接NO，GO．則以下結(jié)論不正確的是（

）A．∠GCE=∠AEB B．AE⊥DFC．S四邊形MNOG=12．（2022秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，以△ABC∠ABC>120°三邊為邊向外作等邊三角形，分別記△ABC，△ABD，△BCE，△ACF面積為S，S1，S2，S3，作△ABD關(guān)于AB對稱的△ABM，連接MF，BF．若△ABC≌△BMF，則∠ABC=__________，S33．（2022秋·河南安陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，(1)觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷(3)拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=4．（2022秋·北京朝陽·九年級三里屯一中?？计谥校┤鐖D，在等腰Rt△ABC中，將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α<90°，得到線段AD，連接CD，作∠BAD的平分線AE，交BC于E(1)①根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；②請用等式寫出∠BAD與∠BCD的數(shù)量關(guān)系．(2)分別延長CD和AE交于點(diǎn)F，①直接寫出∠AFC的度數(shù)；②用等式表示線段AF，CF，DF的數(shù)量關(guān)系，并證明．5．（2022秋·吉林延邊·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在兩個等腰直角三角形ABC和DEF中，∠ACB=∠DEF=90°，把兩個三角形放置在平面直角坐標(biāo)系上，邊EF在x軸上，點(diǎn)F和點(diǎn)O重合．DE=2，點(diǎn)A0,3，點(diǎn)C3,0，將△DEF沿DF翻折，點(diǎn)E落在點(diǎn)(1)點(diǎn)G的坐標(biāo)為________．(2)將四邊形DEFG沿x軸方向往右平移，平移距離是x．①當(dāng)點(diǎn)G在邊AC上時(shí)，x=________．②當(dāng)x=2時(shí)，四邊形DEFG與△ABC的重疊部分的面積為_______．③如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在邊EF上時(shí)（點(diǎn)C與點(diǎn)E、F不重合），求四邊形DEFG與△ABC的重疊部分的面積．（用含x的式子來表示）(3)在（2）的條件下，若x<5，當(dāng)四邊形DEFG與△ABC的重疊部分的圖形為軸對稱圖形時(shí)，直接寫出x的取值范圍．6．（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A0,3，點(diǎn)(1)如圖1，點(diǎn)C為點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接BC，判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，作△ABC關(guān)于點(diǎn)B的中心對稱圖形△EBD，△E'B'D'為△EBD沿著(3)如圖3，點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，連接AM，將AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段NM，若N點(diǎn)恰好在某一條直線上運(yùn)動，請求出該直線的函數(shù)表達(dá)式．必考點(diǎn)4必考點(diǎn)4等腰三角形中的動態(tài)變化1．（2022秋·江蘇常州·八年級校考期中）如圖1，在△ABC中，AB=AC，D為射線BC上（不與B、C重合）一動點(diǎn)，在AD的右側(cè)射線BC的上方作△ADE．使得AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．(1)找出圖中的一對全等三角形，并證明你的結(jié)論；(2)延長EC交AB的延長線于點(diǎn)F，若∠F=45°，①利用（1）中的結(jié)論求出∠DCE的度數(shù)；②當(dāng)△ABD是等腰三角形時(shí)，直接寫出∠ADB的度數(shù)；(3)當(dāng)D在線段BC上時(shí)，若線段BC=3，△ABC面積為3，則四邊形ADCE周長的最小值是．2．（2022秋·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)N為AC中點(diǎn)，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，連結(jié)CD．已知BD:AD:CD=2:3:4,CD=8．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿線段BA向終點(diǎn)A運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t（秒）．(1)求證：CD⊥AB．(2)若△BPN為等腰三角形時(shí)，求t的值．(3)如圖2，動點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，另有一點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿線段DC向終點(diǎn)C運(yùn)動，速度為13個單位/秒，連結(jié)BQ,PQ，將線段BQ,PQ繞點(diǎn)Q分別向順時(shí)針和逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段QE和QF，當(dāng)E,C,F三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出3．（2022秋·云南昆明·八年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限，OB=AB，∠BOP=150°．(1)如圖1，求證：△OAB是等邊三角形；(2)如圖1，若點(diǎn)M為y軸正半軸上一動點(diǎn)，以BM為邊作等邊三角形BMN，連接NA并延長交x軸于點(diǎn)P，求證：AP=2AO；(3)如圖2，若BC⊥BO，BC=BO，點(diǎn)D為CO的中點(diǎn)，連接AC、DB交于E，請問AE、BE與CE之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．4．（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D1，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的高線．動點(diǎn)D在線段AM（點(diǎn)D與點(diǎn)A重合除外）上時(shí)，以CD為一邊且在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．(1)若DM=MC，則∠ACD=度，∠BCE=度；(2)判斷AD與(3)如圖2，若AB=12，P、Q兩點(diǎn)在直線BE上且滿足CP=CQ=10，試求(4)在第（3）小題的條件下，當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長線（或反向延長線）上時(shí)，判斷PQ的長是否為定值，若是，請直接寫出PQ的長；若不是，請簡單說明理由．5．（2022·遼寧葫蘆島·八年級校考期中）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)E是直線BC上一動點(diǎn)，以DE為一邊作等邊△DEF，連接CF．(1)如圖1，若點(diǎn)E在邊BC上，且DE⊥BC，垂足為E，求證：CD=2CE；(2)如圖1，若點(diǎn)E在邊BC上，且DE⊥BC，垂足為E，求證：CE+(3)如圖2，若點(diǎn)E在射線CB上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．必考點(diǎn)5必考點(diǎn)5等腰三角形中的最值1．（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若2．（2022春·四川成都·八年級成都外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，ΔABC是等邊三角形，AB＝6，E是靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，D是直線BC上一動點(diǎn)，線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得線段EF，當(dāng)點(diǎn)D3．（2022秋·四川成都·八年級石室中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,12，點(diǎn)B為x軸上一動點(diǎn)，以AB為邊在直線AB的右側(cè)作等邊三角形ABC．若點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)，連接PC，則PC的長的最小值為____________．4．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？计谥校┤鐖D1．已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D和E分別是直線AB和AC邊上的動點(diǎn)，連接CD和BE相交于點(diǎn)F．(1)如圖1．點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，點(diǎn)D為AB三等分點(diǎn)且BD<AD，若S△DBF=1，求(2)如圖2．已知∠DFB=60°，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，連接DH交BE于點(diǎn)Q，連接CQ并延長交AD于點(diǎn)M，若DM=MQ，探究CH、CQ、CE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)如圖3．已知BC=83，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在BA延長線上且CE=AD，連接ED并以ED為邊向左側(cè)作等邊△DEH，點(diǎn)M為AC上一點(diǎn)且AC=4AM，當(dāng)MH取最小值時(shí)請直接寫出△DAE5．（2022秋·重慶·八年級校考期中）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC．(1)如圖1，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在AB邊上，連接MD，過點(diǎn)M作ME⊥MD交AC于點(diǎn)E，連接AM，求證：AD=CE；(2)如圖2，在（1）的條件下，過點(diǎn)A作AF∥MD交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)G在AB邊上，連接CG交AF于點(diǎn)N，交DM于點(diǎn)H，若GA=GN，求證：CN=AE?CE；(3)如圖3，已知點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在BA延長線上且CE=2AD，連接ED并以ED為邊向左側(cè)作等腰直角△DEH，且∠EDH=90°，DH=DE，點(diǎn)M為AC上一點(diǎn)且BC=2CM，當(dāng)MH取最小值時(shí)請直接寫出6．（2022秋·重慶·八年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┰诘妊黂t△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD(1)如圖1所示，AD=AP，且AD平分∠BDP，若DP=5，CD=3，則BC=．(2)如圖2所示，過點(diǎn)A作AS⊥BC于點(diǎn)S，AS=2，點(diǎn)R在BC上，且BR=DS，連接AR，則當(dāng)AD+AR取最小值時(shí)，求DS的長；(3)如圖3所示，以AD為斜邊作等腰Rt△AED，連接BE并延長交AC于點(diǎn)F，若AG⊥AE，CG⊥AC，猜想AG與EF必考點(diǎn)6必考點(diǎn)6勾股定理與網(wǎng)格問題1．（2022春·北京海淀·八年級人大附中?？计谥校┬”趯W(xué)習(xí)了勾股定理的趙爽弦圖后，嘗試用小正方形做類似的圖形，經(jīng)過嘗試后，得到如圖：長方形ABCD內(nèi)部嵌入了6個全等的正方形，其中點(diǎn)M，N，P，Q分別在長方形的邊AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，則小正方形的邊長為_____．2．（2022秋·浙江·八年級期末）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中．每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊，向外作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點(diǎn)E,F,G,H都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖．例如，在圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形ABCD的邊長為26，此時(shí)正方形EFGH的面積為52．問：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長為26時(shí)，正方形EFGH的面積的所有可能值是________(不包括52)．3．（2022秋·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）如圖，每個小正方形的邊長為1，剪一剪，拼成一個正方形，那么這個正方形的邊長是____.4．（2022春·全國·八年級統(tǒng)考期末）圖中的虛線網(wǎng)格是等邊三角形網(wǎng)格,它的每一個小三角形都是邊長為1的等邊三角形.(1)邊長為1的等邊三角形的高=____;

(2)圖①中的?ABCD的對角線AC的長=____;

(3)圖②中的四邊形EFGH的面積=____.

5．（2022秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5，10，13，求這個三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：；思維拓展：（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為5a，22a，17a（a＞0），請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．探索創(chuàng)新：（3）若△ABC三邊的長分別為m26．（2022秋·全國·八年級期中）方格紙中每個小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點(diǎn)連線為邊的多邊形稱為“格點(diǎn)多邊形”．（1）在圖1中確定格點(diǎn)D，并畫出一個以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形，使其為軸對稱圖形（一種情況即可）；（2）直接寫出圖2中△FGH的面積是；（3）在圖3中畫一個格點(diǎn)正方形，使其面積等于17．7．（2022春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在8×4的正方形網(wǎng)格中，按△ABC的形狀要求，分別找出格點(diǎn)C，且使BC=5，并且直接寫出對應(yīng)三角形的面積．必考點(diǎn)7必考點(diǎn)7勾股定理與折疊問題1．（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，在ΔABC中，AB=AC，點(diǎn)D在線段AC上，現(xiàn)將ΔABC沿著BD翻折后得到ΔA'BD，A'B交AC于點(diǎn)E，A'D//BC2．（2022秋·浙江·八年級期末）△ABC中，AB=42，AC=6，∠A=45°，折疊△ABC，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)D處，折痕EF交AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)D由B向A連續(xù)移動過程中，點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長記為m，則BC=________，m3．（2022秋·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，D為BC邊上的一動點(diǎn)，把△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，CD的長為__________．4．（2022春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠BAC=90°,∠C=30°,AB=3，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，將△CDE沿著DE翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，當(dāng)FE⊥AC時(shí)，F(xiàn)E=________．5．（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）統(tǒng)考期末）如圖，將長方形紙片ABCD沿MN折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上點(diǎn)A'處，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D'，連接A'D'交邊CD于點(diǎn)E，連接CD'，若AB=9，AD=66．（2022秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，AB=25，AC=105，AP垂直直線BC于點(diǎn)P(1)當(dāng)BC=25時(shí)，求AP的長；(2)當(dāng)AP=20時(shí)，①求BC的長；②將△ACP沿直線AC翻折后得到△ACQ，連接BQ，請直接寫出△BCQ的周長為___________．必考點(diǎn)8必考點(diǎn)8以弦圖為背景的計(jì)算1．（2022春·浙江·八年級期末）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗(yàn)證勾股定理．在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AC=a,AB=b(a<b)．如圖所示作矩形HFPQ，延長CB交HF于點(diǎn)G．若正方形BCDE的面積等于矩形BEFG面積的3倍，則ab的值為（

A．24 B．22 C．5?12．（2022秋·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國算書《網(wǎng)醉算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1，是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為(

)A．121 B．110 C．100 D．903．（2022秋·全國·八年級期中）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要紐帶．?dāng)?shù)學(xué)家歐幾里得利用下圖驗(yàn)證了勾股定理．以直角三角形ABC的三條邊為邊長向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，連接BI，CD，過點(diǎn)C作CJ⊥DE于點(diǎn)J，交AB于點(diǎn)K．設(shè)正方形ACHI的面積為S1，正方形BCGF的面積為S2，矩形AKJD的面積為S3，矩形KJEB的面積為S4，下列結(jié)論中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2；④S1S4＝S3S2，正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2022秋·江蘇·八年級期中）如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四個小正方形的面積之和等于8，則最大正方形的邊長為__．5．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足S1(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S3，請判斷S1、必考點(diǎn)9必考點(diǎn)9勾股定理的證明方法1．（2022秋·江蘇南京·八年級南京市第二十九中學(xué)校考期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．將Rt△ABC繞點(diǎn)O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖所示．該圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù)．（1）請利用這個圖形證明勾股定理；（2）請利用這個圖形說明a2＋b2≥2ab，并說明等號成立的條件；（3）請根據(jù)（2）的結(jié)論解決下面的問題：長為x，寬為y的長方形，其周長為8，求當(dāng)x，y取何值時(shí)，該長方形的面積最大？最大面積是多少？2．（2022秋·河南鄭州·八年級?？计谥校?1)我國著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個矩形分成四個全等的直角三角形，用四個全等的直角三角形拼成丁一個大的正方形（如圖1），這個矩形稱為趙爽弦圖，驗(yàn)證了一個非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a2＋b2＝c2，稱為勾股定理.證明：∵大正方形面積表示為S＝c2，，又可表示為S＝4×12ab＋(b－a)2∴4×12ab＋(b－a)2＝c2∴______________即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.(2)愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形(如圖2)，也能驗(yàn)證這個結(jié)論，請你幫助小明完成驗(yàn)證的過程.(3)如圖3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，請你添加適當(dāng)?shù)妮o助線，證明結(jié)論a2＋b2＝c2.3．（2022·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期中）公元3世紀(jì)初，我國學(xué)家趙爽證明勾定理的圖形稱為“弦圖”．1876年美國總統(tǒng)Garfeild用圖1（點(diǎn)C、點(diǎn)B、點(diǎn)C′三點(diǎn)共線）進(jìn)行了勾股定理的證明．△ACB與△BC′B′是一樣的直角三角板，兩直角邊長為a，b，斜邊是c．請用此圖1證明勾股定理．拓展應(yīng)用l：如圖2，以△ABC的邊AB和邊AC為邊長分別向外作正方形ABFH和正方形ACED，過點(diǎn)F、E分別作BC的垂線段FM、EN，則FM、EN、BC的數(shù)量關(guān)系是怎樣？直接寫出結(jié)論．拓展應(yīng)用2：如圖3，在兩平行線m、n之間有一正方形ABCD，已知點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在直線m、n上，過點(diǎn)D作直線l∥n∥m，已知l、n之間距離為1，l、m之間距離為2．則正方形的面積是．4．（2022秋·江蘇蘇州·八年級蘇州中學(xué)?？计谥校┕垂啥ɡ硎菐缀螌W(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．證法如下：把兩個全等的直角三角形（Rt△ACB?Rt△DAE）如圖1放置，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE點(diǎn)E在邊AC上，現(xiàn)設(shè)Rt△ACB兩直角邊長分別為CB=a、CA=b，斜邊長為AB=c，請用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理（1）請根據(jù)上述圖形的面積關(guān)系證明勾股定理（2）如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，CD為兩個村莊（看作直線上的兩點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個村莊的距離為千米．（3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BC=16千米，要在AB上建造一個供應(yīng)站P，使得PC=PD，請用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點(diǎn)的位置并求出AP的距離．（4）借助上面的思考過程，當(dāng)1<x<11時(shí)，求代數(shù)式x25．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足S1(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S3，請判斷S1、必考點(diǎn)10必考點(diǎn)10立體幾何中求最短路徑1．（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，一長方體木塊長AB=6，寬BC=5，高BB1=2，一直螞蟻從木塊點(diǎn)A處，沿木塊表面爬行到點(diǎn)C1A．89 B．85 C．125 D．802．（2022秋·江蘇·八年級期中）愛動腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時(shí)遇到下面的問題：已知，如圖一個棱長為8cm無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上爬行3cm，最后在沿內(nèi)壁面正方形ABCD上爬行，最終到達(dá)內(nèi)壁BC的中點(diǎn)M，甲蟲所走的最短路程是______cm3．（2022秋·陜西西安·八年級?？计谀┤鐖D，長方體的長為3，寬為2，高為4，點(diǎn)B在棱上，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為1，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短路程是______．4．（2022秋·陜西西安·八年級校考期末）如圖，圓柱底面半徑為2πcm，高為9cm，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A5．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學(xué)?？计谀┰谝粋€長6+22米，寬為4米的長方形草地上，如圖推放著一根三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長平行且大于場地寬AD，木塊的主視圖的高是2米的等腰直角三角形，一只螞蟻從點(diǎn)A處到C6．（2022秋·江蘇·八年級期末）如圖①，長方體長AB為8cm，寬BC為6cm，高BF為4cm．在該長體的表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？(1)螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)G，且經(jīng)過棱EF上一點(diǎn)，畫出其最短路徑的平面圖，并標(biāo)出它的長．(2)設(shè)該長方體上底面對角線EG、FH相交于點(diǎn)O（如圖②），則OE＝OF＝OG＝OH＝5cm．①螞蟻從點(diǎn)B爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長為cm；②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上，設(shè)BP長為acm，求螞蟻從點(diǎn)P爬行到點(diǎn)O的最短路的長（用含a的代數(shù)式表示）．必考點(diǎn)11必考點(diǎn)11勾股定理的實(shí)際應(yīng)用1．（2022春·廣東東莞·八年級校考階段練習(xí)）如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，它飛行的最短路程是________．2．（2022秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，A、B兩塊試驗(yàn)田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進(jìn)行修筑．（1）請判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計(jì)算說明．3．（2022秋·重慶·八年級校聯(lián)考期末）如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=30°，在A處有一所中學(xué)，AP=120米，此時(shí)有一輛消防車在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行駛，假設(shè)消防車行駛時(shí)周圍100米以內(nèi)有噪音影響．（1）學(xué)校是否會受到影響？請說明理由．（2）如果受到影響，則影響時(shí)間是多長？4．（2022秋·陜西西安·八年級西安市第八十五中學(xué)?？计谥校締栴}探究】(1)如圖①，點(diǎn)E是正△ABC高AD上的一定點(diǎn),請?jiān)贏B上找一點(diǎn)F，使EF=12(2)如圖②，點(diǎn)M是邊長為2的正△ABC高AD上的一動點(diǎn)，求12【問題解決】(3)如圖③，A、B兩地相距600km,AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路，點(diǎn)B到AC的最短距離為360km．今計(jì)劃在鐵路線AC上修一個中轉(zhuǎn)站M，再在BM間修一條筆直的公路。如果同樣的物資在每千米公路上的運(yùn)費(fèi)是鐵路上的兩倍。那么，為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運(yùn)費(fèi)達(dá)到最小值，請確定中轉(zhuǎn)站M的位置,并求出AM的長．(結(jié)果保留根號)5．（2022春·湖南長沙·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為某街心公園的平面圖，經(jīng)測量AB=BC=AD=100米，CD=1003米，且∠B=90°（1）求∠DAB的度數(shù)；（2）若BA為公園的車輛進(jìn)出口道路（道路的寬度忽略不計(jì)），工作人員想要在點(diǎn)D處安裝一個監(jiān)控裝置來監(jiān)控道路BA的車輛通行情況，已知攝像頭能監(jiān)控的最大范圍為周圍的100米（包含100米），求被監(jiān)控到的道路長度為多少？6．（2022秋·陜西寶雞·八年級?？茧A段練習(xí)）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，此時(shí)某臺風(fēng)中心在海域B處，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心風(fēng)力為12級，每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心25千米，臺風(fēng)就會減弱一級，如圖所示，該臺風(fēng)中心正以20千米/時(shí)的速度沿BC方向移動．已知AD⊥BC且AD=12AB（1）A城市是否會受到臺風(fēng)影響？請說明理由．（2）若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長？（3）該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級？必考點(diǎn)12必考點(diǎn)12勾股定理與全等綜合1．（1）如圖1，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD為BC邊上的中線．求中線AD的取值范圍；（提示：延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE）（2）如圖2，在△ABC中，∠A=90°，D是BC邊的中點(diǎn)，∠EDF=90°，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠A=90°，∠D=120°，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別邊AB、CD上，且EF⊥EG，若AF=4，DG=23，求GF2．如圖，已知△ACB和△ECF中，∠ACB=∠ECF=90°，AC=BC，CE=CF，連接AE.BF交于點(diǎn)O．(1)求證：△ACE≌△BCF；(2)求∠AOB的度數(shù)；(3)連接BE，AF，求證BE3．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如圖1，在△ADE中，AD＝AE，點(diǎn)D在線段BC上，∠DAE＝∠BAC=90°，連接CE，請寫出：①BD和CE之間的位置和數(shù)量關(guān)系為、；②BD、CD和AE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在△ADE中，AD＝AE，連接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于點(diǎn)F，AE＝4，AC＝7，求線段BE的長；（3）如圖3，點(diǎn)D是等邊△ABC外一點(diǎn)，∠ADC＝75°，若CD＝3，AD=2，則BD的長為，請簡要寫出解答過程．4．如圖1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD,△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上．（1）證明∠ECA=∠DAB；（2）猜想AE,AB,AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖2，若AE=4,AC=80，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，求CF5．如圖①，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P為線段CD上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)C．D重合）．PE⊥PA、PB與BC的延長線交于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F，連接AE、AP、BP．

（1）求證：AP=BP．（2）求∠EAP的度數(shù)．（3）探究線段BC．PD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．6．如圖，在△ABC中，∠A=90°，D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線DF、DE交直線AC、AB于點(diǎn)F、E，且DE⊥DF，連接EF．（1）如圖1，求證：EF（2）如圖2，若∠C=30°，AB=6，AF=3，請直接寫出線段EF7．【圖形定義】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)【性質(zhì)探究】如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，試探究兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)【拓展應(yīng)用】如圖2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以AC和AB為直角邊向外作等腰Rt△ACD和等腰專題1.7三角形的證明全章十二類必考壓軸題【北師大版】必考點(diǎn)1必考點(diǎn)1等腰三角形的存在性問題1．（2022秋·廣東茂名·八年級茂名市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b(b≠0)的圖象經(jīng)過A(?1,0)，B(0,2)，D三點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上方，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且OC=5OA，連接BC，CD，已知(1)求直線AB的表達(dá)式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在線段AD，CD上分別取點(diǎn)M，N，使得MN∥x軸，在x軸上取一點(diǎn)P，連接MN，NP，MP，【答案】(1)線段AB的表達(dá)式y(tǒng)=2x+2(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4)(3)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為15,【分析】（1）利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式；（2）根據(jù)三角形面積公式得到D到AC的距離等于B點(diǎn)到AC的距離的2倍，即D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，然后利用直線AB的解析式計(jì)算函數(shù)值為4所對應(yīng)的自變量的值，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)．（3）先求出直線CD的表達(dá)式,再求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3?2a,2a+2)，分情況討論即可.【詳解】（1）解：將點(diǎn)A(?1,0),B(0,2)代入y=kx+b(k≠0)，得?k+b=0b=2解得∴線段AB的表達(dá)式y(tǒng)=2x+2（2）已知OC=5OA，且點(diǎn)C在x軸正半軸上，∴點(diǎn)C(5,0)，AC=OA+OC=5+1=6∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,2m+2)，如解圖①，過點(diǎn)D作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)H，則DH=2m+2∴即12×6×(2m+2)=12，解得∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4)（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為15,125或?1將點(diǎn)D(1,4),C(5,0)代入y=k'x+b∴直線CD的表達(dá)式y(tǒng)=?x+5．已知點(diǎn)M在線段AD:y=2x+2上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,2a+2)，則?1≤a≤1，∵M(jìn)N∥x軸，且點(diǎn)N在∴將y=2a+2代入y=?x+5，得，2a+2=?x+5，解得x=3?2a．∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3?2a,2a+2)分三種情況討論：①如解圖②，當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,0)∵M(jìn)N=MP，∴3?2a?a=2a+2解得：a=1∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為1②如解圖③，當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)與①中情況相同；③如解圖④，當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，MP=NP，∠MPN=90°，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交MN于點(diǎn)Q，易得點(diǎn)Q為MN的中點(diǎn)，且PQ=MQ，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為∴MQ=∵PQ=MQ，∴3?3a解得a=?1∴2a+2=∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為?綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為15,【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：求一次函數(shù)y=kx+b,則需要兩組2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級?？计谥校┤鐖D，ΔABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A?B?C?A運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒t>0(1)點(diǎn)P運(yùn)動結(jié)束，運(yùn)動時(shí)間t=______；(2)當(dāng)點(diǎn)P到邊AB、AC的距離相等時(shí)，求此時(shí)t的值；(3)在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，是否存在t的值，使得△ACP為等腰三角形，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)12(2)15(3)存在，t=52或3或18【分析】（1）根據(jù)勾股定理定理求出AC長，從而根據(jù)時(shí)間=路程÷速度計(jì)算即可得到答案；（2）當(dāng)點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上，點(diǎn)P到邊AB、AC的距離相等時(shí)，結(jié)合角平分線的性質(zhì)和勾股定理列方程求解即可得到t的值；（3）分四種情況：當(dāng)P在AB上且AP=CP時(shí)，當(dāng)P在AB上且AP=CA=3時(shí)，當(dāng)P在AB上且AC=PC時(shí)，當(dāng)P在BC上且AC=PC=3時(shí)，分別依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到t的值．【詳解】（1）解：∵ΔABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，∴AC=10∴=6+8+10=24cm∵點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A?B?C?A運(yùn)動，∴點(diǎn)P運(yùn)動結(jié)束，運(yùn)動時(shí)間t=24故答案為：12；（2）解：當(dāng)點(diǎn)P到邊AB、AC的距離相等時(shí)，AP平分∠BAC，如圖，過P作PD⊥AB于D，∵AP平分∠BAC，∠C=90°，∴PD=PC，AD=AC=6，∴BD=10?6=4，設(shè)PD=PC=y，則BP=8?y，在RtΔBPD中，BD∴42+∴CP=3，BP=5，∴t=AB+BP∴當(dāng)點(diǎn)P到邊AB、AC的距離相等時(shí)，t的值為152（3）解：根據(jù)題意，可分四種情況：①如圖，當(dāng)P在AB上且AP=CP時(shí)，∠A=∠ACP，而∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，∴∠B=∠BCP，∴CP=BP，∴P是AB的中點(diǎn)，即AP=1∴t=AP②如圖，當(dāng)P在AB上且AP=CA=6時(shí)，t=AP③如圖，當(dāng)P在AB上且AC=PC時(shí)，過C作CD⊥AB于D，則CD=AC·BC∴RtΔACD中，AD=∴AP=2AD=36∴t=AP④如圖，當(dāng)P在BC上且AC=PC=6時(shí)，BP=8?6=2，∴t=AB+PB綜上所述，當(dāng)t=52或3或185或6s【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定以及勾股定理的綜合運(yùn)用．畫出圖形，利用分類討論的思想是解第（3）題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在等腰△ABC中，∠CAB=∠CBA，作射線BC，AD是腰BC的高線，E是△ABC外射線BC上一動點(diǎn)，連結(jié)AE．(1)當(dāng)AD=4，BC=5時(shí)，求CD的長；(2)當(dāng)BC=CE時(shí)；求證：AE⊥AB；(3)設(shè)△ACD的面積為S1，△ACE的面積為S2，且S1S2=18【答案】(1)3(2)證明見解析(3)滿足條件的BEBC的值為2或【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）證明CA=CE=CB，推出∠CEA=∠CAE，∠CAB=∠B，利用三角形內(nèi)角和定理，可得結(jié)論；（3）由S△ACD：S△ACE=18：25，推出CD：CE=18：25，設(shè)CD=18k，CE=25k【詳解】（1）解：∵∠CAB=∠B，∴AC=BC=5，∵AD⊥BE，∴∠ADC=90°，∴CD=A（2）證明：∵BC=CE，AC=CB，∴AC=CE=CB，∴∠CEA=∠CAE，∠CAB=∠B，∵∠AEC+∠B+∠EAB=180°，∴2∠AEB+2∠B=180°，∴∠AEB+∠B=90°，∴∠EAB=90°，∴AE⊥AB；（3）解：∵S△ACD：S△ACE∴CD：CE=18：25，設(shè)CD=18k，CE=25k，則DE=7k，∵AD⊥EC，DE≠CD，∴AC≠AE，當(dāng)CE=CA=25k時(shí)，BC=CA=25k，∴BE=BC+CE=50k，BEBC當(dāng)AE=EC=25k時(shí)，AD=A∴AC=A∴BC=AC=30k，∴BE=BC+CE=55k，∴BE綜上所述，滿足條件的BEBC的值為2或11【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的面積計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、D分別在y軸、x軸上，點(diǎn)A?a，b，Cb，a，且a，b滿足3a?b2+b?6(1)求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；(2)如圖2，連接AC，BD交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P為(3)若OC=210，在x軸上存在點(diǎn)F，使△COF是以CO為腰的等腰三角形，請直接寫出F【答案】(1)A?2，(2)見解析(3)?210，0或2【分析】（1）根據(jù)平方的非負(fù)性即可求出a和b的值，從而得出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)C作CH∥AB交BD于點(diǎn)H，由題意證明△ABP≌△CHPAAS，得出AP=CP，即證明點(diǎn)P（3）分類討論：①當(dāng)OC=OF，且點(diǎn)F在x軸負(fù)半軸時(shí)，②當(dāng)OC=OF，且點(diǎn)F在x軸正半軸時(shí)和③當(dāng)OC=CF時(shí)，再分別根據(jù)等腰三角形的定義和性質(zhì)結(jié)合題意即可求解．【詳解】（1）∵a，b滿足3a?b2又∵3a?b2≥0，∴3a?b=0，b?6=0，解得：a=2，b=6．∴A?2，6（2）如圖2，過點(diǎn)C作CH∥AB交BD于點(diǎn)H，∵A?2，6∴CD=AB=2．∵AB⊥y軸，DO⊥y軸，∴AB∥∴CH∥∵CD⊥OD，∴CD⊥CH．∵OB=OD，∠BOD=90°，∴∠ODB=45°．∵∠CDO=∠DCH=90°，∴∠CDH=∠CHD=45°，∴CH=CD=AB．∵AB∥∴∠BAP=∠HCP．在△ABP和△CHP中，∠APB=∠CPH∠BAP=∠HCP∴△ABP≌∴AP=CP，即點(diǎn)P為AC中點(diǎn)；（3）∵要使△COF是以CO為腰的等腰三角形，∴可分類討論：①當(dāng)OC=OF，且點(diǎn)F在x軸負(fù)半軸時(shí)，如圖，∵OC=210∴OF=210∴F(?210②當(dāng)OC=OF，且點(diǎn)F在x軸正半軸時(shí)，如圖，∵OC=210∴OF=210∴F(210③當(dāng)OC=CF時(shí)，如圖，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，∵C點(diǎn)坐標(biāo)為(6，∴OE=6，∴OF=2OE=12，∴F(12，綜上可知F點(diǎn)坐標(biāo)為?210，0或2【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)等知識，掌握平方的非負(fù)性，會利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想解題是關(guān)鍵．5．（2022秋·廣東廣州·八年級校聯(lián)考期中）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Aa,0、B0,b，且a、b滿足：a?1=?b2+6b?9，點(diǎn)A、C關(guān)于(1)求點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若BC⊥CD，BA⊥EA，且BD=BE，連接ED交x軸于點(diǎn)M，求證：DM=ME；(3)如圖2，若BC⊥CD，且BC=CD，直線BC上存在某點(diǎn)Gm,3m+3，使△DFG為等腰直角三角形(點(diǎn)D、F，G按逆時(shí)針方向排列)，請直接寫出點(diǎn)F【答案】(1)A1,0，(2)見解析(3)?1,0或4,0或?11,0【分析】（1）由a?1=?b2+6b?9變形得a?1+（2）作EN∥CD，交x軸于點(diǎn)N，先證明Rt△BCD≌Rt△BAE，再證明△CMD≌（3）作DL⊥x軸于點(diǎn)L，先證明△DCB是等腰直角三角形，再證明△BOC≌△CLD，則L?4,0，D?4,1，再按點(diǎn)F與點(diǎn)C重合、DG=GF且∠DGF=90°和DF=GD且∠FDG=90°，分別求出相應(yīng)的m的值，再求出點(diǎn)【詳解】（1）解：由a?1=?b2∵a?1≥0，∴a?1=0，解得，a=1，b=3，∵A1,0，B（2）證明：如圖1，作EN∥CD，交x軸于點(diǎn)N，則∵BC⊥CD，BA⊥EA，Z43243sd∴∠BCD=∠BAE=90°，∵點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對稱，∴C?1,0，y軸是線段AC∴CB=AB，∵BD=BE，∴Rt△BCD≌∴CD=AE；∵CB=AB，∴∠BCA=∠BAC，∵∠DCM+∠BCA=90°，∠EAC+∠BAC=90°，∴∠DCM=∠EAC，∴∠ENM=∠EAC，∴AE=NE，∴CD=NE，∵∠CMD=∠NME，∴△CMD≌△NMEAAS∴DM=ME．（3）解：如圖2，∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∵BC=CD，∴△DCB是等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合、點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)，則△DFG為等腰直角三角形，∴F?1,0如圖2，作DL⊥x軸于點(diǎn)L，則∠BOC=∠CLD=90°，∵∠CBO=90°?∠OCB=∠DCL，BC=CD，∴△BOC≌△CLDAAS∴BO=CL=3，OC=LD=1，∴OL=OC+CL=1+3=4，∴L?4,0，D如圖3，DG=GF，∠DGF=90°，由題意得，Gm,3m+3∴過點(diǎn)G作QR∥x軸交y軸于點(diǎn)K，作DR⊥QR于點(diǎn)R，F(xiàn)Q⊥QR于點(diǎn)Q，則∴∠DGR=90°?∠QGF=∠GFQ，∴△DGR≌△GFQAAS∴RG=QF=3m+3，∴R?4,3m+3由RK=4得，3m+3?m=4，解得，m=1∴GQ=DR=3m+3?1=3×1∵OF=KQ∴x∴F4,0如圖4，DF=GD，∠FDG=90°，作GH∥x軸，作DH⊥x軸于點(diǎn)P，交GH于點(diǎn)∵∠DPF=∠H=90°，∴∠FDP=90°?∠GDH=∠DGH，∴△DPF≌△GHDAAS∴DP=GH=1，∴m=?4+1，解得，m=?3，∴G?3,?6∴PF=HD=1??6∵P?4,0∴x∴F?11,0綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為?1,0或4,0或?11,0．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平面直角坐標(biāo)系、軸對稱的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助線，構(gòu)造全等三角形，解第（3）題時(shí)應(yīng)注意分類討論．必考點(diǎn)2必考點(diǎn)2等腰三角形與勾股定理、全等綜合1．（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為邊在AB上方作等邊△ABD，以BC為邊在BC右側(cè)作等邊△CBE，連接ED并延長交AC于點(diǎn)G(1)求證：△CAB≌(2)求證：AG=DG．(3)連接CD并延長交BE于F，若AB=2，當(dāng)CF⊥BE時(shí)，求CD【答案】(1)見解析(2)見解析(3)3【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)即可證明△CAB≌（2）由△CAB≌△EDB得到∠BAC=∠BDE=90°，推出（3）先求出BC的長，再分別求出CF、DF的長，即可求解．【詳解】（1）∵△ABD，△CBE都是等邊三角形，∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=DB，BC=BE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，∴∠ABC=∠DBE，∴△BAC≌△BDE（SAS（2）由（1）得：△BAC≌△BDE∴∠BAC=∠BDE=90°，∴∠BDG=90°∵△ABD，△CBE都是等邊三角形，∴∠DAB=∠DBA=60°，∴∠GDA=∠BDG?∠ADG=30°，∠GAD=∠BAC?∠DAB=30°∴∠GDA=∠GAD，∴AG=DG，（3）如圖：∵CF⊥BE，△CBE是等邊三角形，∴F為BE的中點(diǎn)，∴BF=EF=∵連結(jié)CD并延長交BE于F，CF⊥BE，BF=EF∴DB=DE，由（1）得：△BAC≌△BDE∴AC=DE，∴AC=DB=AB=2∵∠BAC=90°，∴BC=∴BF=∵CF⊥BE，∴CF=由（2）得∠BDE=90°，∵DB=DE，∠BDE=90°，∴△DBE是等腰直角三角形∵CF⊥BE，△DBE是等腰直角三角形∴∠DBF=∠FDB=45°∴DF=BF=1∴CD=CF?DF=【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是明確等邊三角形中三線合一的性質(zhì)的應(yīng)用．2．（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，CD，BE是△ABC的兩條高線，且它們相交于Q，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，連接DF，DF與BE相交于點(diǎn)P，已知BD=CD．(1)求證BQ=AC(2)若BE平分∠ABC．①求證：DP=DQ；②若AC=8，求BP的長．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②BP=4【分析】（1）根據(jù)AAS證明△BDQ≌△CDA，即可證明結(jié)論；（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，求出∠DQB=∠DPQ=67.5°，根據(jù)等角對等邊即可得出答案；②過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，證明DM=PM=PF，設(shè)DM=PM=PF=x，用x表示出PQ=PD=DM2+PM2=2x，BF=FC=DF=x+2x，證明Rt△BPF≌Rt【詳解】（1）證明：∵CD、BE是△ABC的高線，∴∠BDQ=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠DBQ+∠BAE=90°，∠DQB+∠DBQ=90°，∴∠DQB=∠DAC，∵BD=CD，∠BDQ=∠ADC，∴△BDQ≌△CDAAAS∴BQ=AC；（2）證明：①∵∠BDC=90°，BD=CD，∴∠DBC=∠DCB=1∵BE平分∠ABC，∴∠DBQ=∠QBC=1∴∠DQB=90°?∠DBQ=67.5°，∵BD=CD，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，∴DF⊥BC，∠BDF=∠CDF=1∵∠DPQ為△BDP的外角，∴∠DPQ=∠DBP+∠BDP=67.5°，∴∠DPQ=∠DQP，∴DP=DQ；②過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，如圖所示：則∠PMD=90°，∵∠MDP=45°，∴∠MPD=90°?45°=45°，∴∠MDP=∠MPD，∴MD=MP，∵PM⊥BD，PF⊥BF，BP平分∠ABC，∴PM=PF，∴DM=PM=PF，設(shè)DM=PM=PF=x，則PQ=PD=D∵∠BDC=90°，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，∴BF=FC=DF=x+2∵PM=PF，BP=BP，∴Rt△BPF≌∴BM=BF=DF=x+2∴BD=BM+MD=x+2∵BQ=AC=8，∴在Rt△BDQBD即2x+2∴x2在Rt△BPFB======32，∴BP=32=42【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，等腰三角形的判定和性質(zhì)．3．（2022秋·浙江杭州·八年級校考期中）如圖1，在等邊△ABC的AC、BC邊上各取一點(diǎn)D、E，AE、BD相交于點(diǎn)F，∠BFE=60°．(1)求證：AD=CE；(2)如圖2，過點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G．①若BE=2EC=2，求BG的長；②若BF=2AF，連接CF，求∠CFE的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①3217【分析】（1）證明△ABD≌△CAEASA（2）①過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，利用等邊三角形的性質(zhì)與勾股定理，求出AH、AE，然后由三角形面積公式可求出BG的長；②連接CF、CG，先由直角三角形性質(zhì)求得BF=2FG，又因BF=2AF，從而求得FG=AF，則BF=AG，繼而可證△AFD≌△CGESAS，得到AF=CG，∠DAF=∠ECG，則∠CGE=∠DAF+∠ACG=∠ECG+∠ACG=∠ACB=60°，F(xiàn)G=CG，所以∠CFE=∠FCG，又由∠CGE=∠CFG+∠FCG，即可由∠CFE=【詳解】（1）解：∵等邊△ABC，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，∴∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°，∵∠BAE+∠ABD=∠BFE=60°，∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，∠BAD=∠ACEAB=CA∴△ABD≌△CAEASA∴AD=CE；（2）解：①過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵BE=2EC=2，∴CE=1，BC=3，∵等邊△ABC，AH⊥BC，∴CH=12BC=32∴AH=A∴AE=A∴S△ABC∵BE=2EC=2，∴S∵S∴12∴BG=3②連接CF、CG，∵∠BFE=60°，BG⊥AE，∴∠FBG=30°，∴BF=2FG，∵BF=2AF，∴FG=AF，∴BF=AG，由（1）知：△ABD≌△CAE，AD=CE，∴∠ADB=∠AEC，BD=AE，即BF+FD=AG+GE，∴FD=GE，在△AFD和△CGE中，AD=CE∠ADF=∠CEG∴△AFD≌△CGESAS∴AF=CG，∠DAF=∠ECG，∴∠CGE=∠DAF+∠ACG=∠ECG+∠ACG=∠ACB=60°，∵FG=AF∴FG=CG，

∴∠CFE=∠FCG，∵∠CGE=∠CFG+∠FCG，∴∠CFE=1【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積，本題屬三角形綜合題目，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江溫州·八年級校考期中）如圖1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)N為AC中點(diǎn)，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，連結(jié)CD．已知BD:AD:CD=2:3:4,CD=8．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿線段BA向終點(diǎn)A運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t（秒）．(1)求證：CD⊥AB．(2)若△BPN為等腰三角形時(shí)，求t的值．(3)如圖2，動點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，另有一點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿線段DC向終點(diǎn)C運(yùn)動，速度為13個單位/秒，連結(jié)BQ,PQ，將線段BQ,PQ繞點(diǎn)Q分別向順時(shí)針和逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段QE和QF，當(dāng)E,C,F三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出【答案】(1)證明見詳解；(2)t的值為6514或65(3)485【分析】（1）設(shè)BD=2x，AD=3x，CD=4x，則AB=5x，再利用勾股定理的逆定理證明即可；（2）如圖1中，，取AD得中點(diǎn)H，連接NH，分兩種情況：PB=PN，PB=BN，分別求解即可；（3）如圖2中，過點(diǎn)E作EK⊥CD于點(diǎn)K，過點(diǎn)F作FJ⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)J，證得BP=2CQ，由此構(gòu)建方程求解即可．【詳解】（1）證明：設(shè)BD=2x，AD=3x，CD=4x，則AB=5x，∴AC=AB=5x，∴AD2∴△ACD是直角三角形，∴CD⊥AB；（2）如圖1中，取AD得中點(diǎn)H，連接NH，∵BD：AD：CD=2：3：4，CD=8，∴BD=3，AD=6，∵CD⊥AB，∴AB=AC=6∴AN=CN，NH=12CD=4∴BN=HN當(dāng)PB=PN時(shí)，t2∴t=65當(dāng)BP=BN時(shí)，t=65∵點(diǎn)P在AB上運(yùn)動，∴不可能NB=NP，綜上所述，滿足條件的t的值為6514或65（3）如圖2中，過點(diǎn)E作EK⊥CD于點(diǎn)K，過點(diǎn)F作FJ⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)J，∵∠EKQ=∴∠BQD+∠EQK=90°∴∠BQD=∵QB=QE，∴△BQD≌△QKE（AAS），∴QD=EK，BD=KQ，同理可證△PDQ≌△QJF，∴DQ=JF，DP=QJ，∴EK=FJ，∵∠EKC=∠J=90°∴△EKC≌△FJC（AAS），∴CK=CJ，∴QK+JQ=CQ?CK+CQ+CJ=2CQ=BD+PD=PB，∴t=28?∴t=48故答案為：485【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．5．（2022春·安徽合肥·八年級合肥市廬陽中學(xué)?？计谥校﹩栴}發(fā)現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC，D為BC邊所在直線上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，以AD為邊作Rt△ADE，且AD=AE，根據(jù)∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，得到∠BAD=∠CAE，結(jié)合AB=AC，AD=AE得出△BAD≌△CAE，發(fā)現(xiàn)線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為BD=CE，位置關(guān)系為(1)探究證明：如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE，AB=AC，AD=AE，且點(diǎn)D在BC邊上滑動（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），連接①則線段BC，DC，CE之間滿足的等量關(guān)系式為；②求證：BD(2)拓展延伸：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=13cm，CD=5cm，求【答案】(1)①BC=DC+EC；②見解析(2)AD=62【分析】（1）①由SAS證得△BAD≌△CAE，得到BD=EC，可得BC=DC+BD=DC+EC；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ACE=∠B=45°，得到∠DCE=90°，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）拓展延伸作AE⊥AD，使AE=AD，連接CE，DE，證明△BAD≌△CAE，得到【詳解】（1）①解：BC=DC+EC，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=EC，∴BC=DC+BD=DC+EC，故答案為：BC=DC+EC；②證明：∵Rt△ABC中，AB=AC∴∠B=∠ACB=45°，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE∴BD在Rt△ADE中，A∵AD=AE，∴ED∴BD（2）解：作AE⊥AD，使AE=AD，連接CE，則△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADE=45°，∵∠ABC=∠ACB=45°，∴AB=AC，∠BAC=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE=13，∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，∴∠EDC=90°，∴DE=C∵∠DAE=90°，∴AD=AE=2【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定由性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的判定等知識；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．必考點(diǎn)3必考點(diǎn)3等腰三角形與圖形變換1．（2022秋·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB的中點(diǎn)，連接AE，DF交于點(diǎn)N，將△ABE沿AE翻折，得到△AGE，AG交DF于點(diǎn)M，延長EG交AD的延長線于點(diǎn)H，連接CG，ME，取ME的中點(diǎn)O，連接NO，GO．則以下結(jié)論不正確的是（

）A．∠GCE=∠AEB B．AE⊥DFC．S四邊形MNOG=1【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，得到BE=GE,∠AEB=∠AEG=12∠BEG，繼而得到CE=GE，得到∠EGC=∠ECG，利用外角的性質(zhì)，推出∠GCE=∠AEB；易證△ABE≌△DAF，得到∠ADF=∠BAE，進(jìn)而得到∠ADF+∠DAN=90°，推出AE⊥DF，根據(jù)三角形的中線平分面積，得到SΔMON=12SΔMEN，S【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠DAF=∠B=∠BCD=∠CDA=90°，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB的中點(diǎn)，∴AF=BF=BE=CE，∵將△ABE沿AE翻折，得到△AGE，∴BE=GE,∠AEB=∠AEG=1∴CE=GE，∴∠EGC=∠ECG，∵∠BEG=∠EGC+∠ECG=2∠ECG，∴∠GCE=∠AEB；故A選項(xiàng)正確；在△ABE和△DAF中，AD=AB∠B=∠DAF∴△ABE≌△DAFSAS∴∠ADF=∠BAE，∴∠ADF+∠DAN=∠BAE+∠DAN=90°，∴∠AND=90°，∴AE⊥DF；故選項(xiàng)B正確；∵O為ME的中點(diǎn)，∴SΔMON=∴S四邊形由折疊知：S四邊形∴S四邊形∵△ABE≌△DAF，∴S△ABE∴S△AND∴S四邊形∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA=∠AEG，∴HA=HE，在Rt△ABE中，AE≠2BE∴∠BAE≠30°,∠AEB≠60°，∴∠DAE≠60°，∴△AEH不是等邊三角形；故選項(xiàng)D錯誤；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，以△ABC∠ABC>120°三邊為邊向外作等邊三角形，分別記△ABC，△ABD，△BCE，△ACF面積為S，S1，S2，S3，作△ABD關(guān)于AB對稱的△ABM，連接MF，BF．若△ABC≌△BMF，則∠ABC=__________，S3【答案】

150°；

3S+S【分析】根據(jù)△ABD，△ACF，△ABM為等邊三角形，證明△AMF≌△BMF，從而求出∠ABC的度數(shù)；把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，AC邊落在FC得到△FNC，連接NB，證明△FNC≌△ABC，△NCB≌【詳解】∵△ABC∴AC=BF，∠ABC=∠BMF∵由題意知：△ABD，△ACF，△ABM為等邊三角形，∴BF=AF=AC，AM=BM=AB∵M(jìn)F=MF∴△AMF∴∠ABC=∠AMF=∠BMF=把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，AC邊落在FC得到△FNC，連接NB，則△FNC≌∴NC=BC，∠FCN=∠ACB∴∠NCB=∠FCA=∠NCA+∠FCN=60°∴△NCB為等邊三角形且△NCB∵NC=BC，F(xiàn)B=FC，F(xiàn)N=FN∴△FNB綜上所述：S△FMBS△AMB=∴S【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是能夠證明三角形全等，進(jìn)而求出面積的關(guān)系．3．（2022秋·河南安陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，(1)觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷(3)拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=【答案】(1)PM=PN(2)△PMN是等腰直角三角形，證明見解析(3)49【分析】（1）利用三角形的中位線得出PM=12CE，PN=12（2）先判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=12（3）先判斷出BD最大時(shí)，△PMN的面積最大，而BD最大是AB+AD=【詳解】（1）解：∵點(diǎn)P，N是∴PN∥BD，∵點(diǎn)P，M是∴PM∥CE，∵AB=∴BD=∴PM=∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵∠BAC=∴∠ADC+∠ACD=∴∠MPN=∴PM⊥PN故答案為：PM=PN，（2）解：由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD=∵AB=∴△ABD≌∴∠ABD同（1）的方法，利用三角形的中位線得，PM=12CE，PN=1∴PM=∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，∵∠DPN=∴∠MPN==∠ACB+∠ABD+∠DBC∵∠BAC=∴∠ACB+∠ABC=∴∠MPN=∴△PMN是等腰直角三角形；（3）解：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=∴PM最大即BD最大時(shí)，△PMN面積最大，∴點(diǎn)D在BA的延長線上，∴BD=∴PM=∴S△【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是判斷出PM=12CE，PN=12BD，解（2）的關(guān)鍵是判斷出△ABD4．（2022秋·北京朝陽·九年級三里屯一中校考期中）如圖，在等腰Rt△ABC中，將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α<90°，得到線段AD，連接CD，作∠BAD的平分線AE，交BC于E(1)①根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；②請用等式寫出∠BAD與∠BCD的數(shù)量關(guān)系．(2)分別延長CD和AE交于點(diǎn)F，①直接寫出∠AFC的度數(shù)；②用等式表示線段AF，CF，DF的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)①見解析；②∠BAD=2∠BCD(2)①∠AFC=45°；②AF=【分析】（1）①根據(jù)題意結(jié)合角平分線的作法作圖即可；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AC=AD，∠DAC=α，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求出∠D=90°?12α，進(jìn)而可求出∠BCD=∠ACD?∠ACB=45°?12（2）①如圖，由角平分線的定義可求出∠BAF=∠DAF=12∠BAD=45°?12α，從而可求出∠CAF=∠DAF+∠CAD=45°+12α，進(jìn)而即可求出∠AFC=180°?∠CAF?∠ACF=45°；②過點(diǎn)A作AG⊥CF．易證明△AFG是等腰直角三角形，得出AF=【詳解】（1）解：①補(bǔ)全圖形如下，②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AC=AD，∠DAC=α，∴∠D=∠ACD=1∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∠BAC=90°，∴∠BCD=∠ACD?∠ACB=90°?1∵∠BAD=∠BAC?∠DAC=90°?α=2(45°?1∴∠BAD=2∠BCD；（2）解：①如圖，由（1）可知∠ACF=90°?12α∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAF=∠DAF=1∴∠DAF=45°?1∴∠CAF=∠DAF+∠CAD=45°?1∴∠AFC=180°?∠CAF?∠ACF=180°?(45°+1②如圖，過點(diǎn)A作AG⊥CF．∵∠AFC=45°，∴△AFG是等腰直角三角形，∴AF=2∵AC=AD，AG⊥CF，∴DG=CG=1∵CD=CF?DF，∴DG=1∴FG=DF+DG=DF+1∴AF=2【點(diǎn)睛】本題考查作圖—角平分線，角平分線的定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理等知識．正確作出圖形并會連接輔助線是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·吉林延邊·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在兩個等腰直角三角形ABC和DEF中，∠ACB=∠DEF=90°，把兩個三角形放置在平面直角坐標(biāo)系上，邊EF在x軸上，點(diǎn)F和點(diǎn)O重合．DE=2，點(diǎn)A0,3，點(diǎn)C3,0，將△DEF沿DF翻折，點(diǎn)E落在點(diǎn)(1)點(diǎn)G的坐標(biāo)為________．(2)將四邊形DEFG沿x軸方向往右平移，平移距離是x．①當(dāng)點(diǎn)G在邊AC上時(shí)，x=________．②當(dāng)x=2時(shí)，四