湖北省云學(xué)聯(lián)盟部分重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2024年湖北云學(xué)部分重點(diǎn)高中高二年級9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：鐘祥市第一中學(xué)命題人：王金濤?張倩?邵琪審題人：范德憲考試時(shí)間：2024年9月11日15：00：00時(shí)長：120分鐘滿分：150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分?在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡得，根據(jù)題意列出不等式組求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋忠驗(yàn)榇藦?fù)數(shù)在第二象限，所以，解得.故選：B.2.平行六面體中，為與的交點(diǎn)，設(shè)，用表示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由平行六面體的性質(zhì)和空間向量的線性運(yùn)算即可求解；【詳解】如圖：由平行六面體的性質(zhì)可得，故選：D.3.被譽(yù)為“湖北烏鎮(zhèn)，荊門麗江”的莫愁村，位于湖北省鐘祥市.高高的塔樓，是整個(gè)莫愁村最高的建筑，登樓遠(yuǎn)跳，可將全村風(fēng)景盡收眼底.塔樓的主體為磚石砌成的正四棱臺，如圖所示，上底面正方形的邊長約為8米，下底面正方形的邊長約為12米，高約為15米，則塔樓主體的體積（單位：立方米）約為（）A.2400 B.1520 C.1530 D.2410【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用棱臺的體積公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，正四棱臺上底面邊長約為8米，下底面邊長約為12米，高約為15米，可得正四棱臺的上底面面積為平方米，下底面面積為平方米，則塔樓主體的體積約為立方米.故選：B.4.某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競賽，比賽分為筆試和實(shí)驗(yàn)操作測試，該同學(xué)參加這兩項(xiàng)測試的結(jié)果相互不受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，在實(shí)驗(yàn)操作中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，則該同學(xué)在這次測試中僅有一項(xiàng)測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式與互斥事件的概率加法公式可求概率.【詳解】根據(jù)題意可得該同學(xué)在這次測試中僅有一項(xiàng)測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為：．故選：C.5.已知，若不能構(gòu)成空間一個(gè)基底，則（）A.3 B.1 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】直接利用基底的定義和共面向量求出結(jié)果.【詳解】若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，共面，存在，使，即，解得，故選：.6.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且，若角的內(nèi)角平分線，則的最小值為（）A.8 B.4 C.16 D.12【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)，結(jié)合余弦定理求，再根據(jù)，結(jié)合面積公式得到，進(jìn)而求出的最小值，再根據(jù)數(shù)量積定義求.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?/p>

由，所以，化簡得到，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，所以的最小值為.故選：A．7.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記錄骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)結(jié)果，設(shè)事件；事件：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為5；事件；事件.則下列說法正確的是（）A.事件與事件為互斥事件 B.事件與事件為互斥事件C.事件與事件相互獨(dú)立 D.事件與事件相互獨(dú)立【答案】D【解析】【分析】分別寫出事件、、、所包含的基本事件，根據(jù)互斥事件的定義判斷A，B；根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷C，D.【詳解】解：由題意可知；；；；對于A，因?yàn)椋允录c事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)椋允录c事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)椋?，，所以事件與事件不相互獨(dú)立，故錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，，，所以事件與事件相互獨(dú)立，故正確.故選：D.8.現(xiàn)有一段底面周長為厘米和高為12厘米的圓柱形水管，是圓柱的母線，兩只蝸牛分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從點(diǎn)沿上底部圓弧順時(shí)針方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到達(dá)點(diǎn)，另一只從沿下底部圓弧逆時(shí)針方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到達(dá)點(diǎn)，則此時(shí)線段長（單位：厘米）為（）A. B. C.6 D.12【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件建系結(jié)合弧長得出角及點(diǎn)的坐標(biāo)，最后應(yīng)用空間向量兩點(diǎn)間距離計(jì)算.【詳解】應(yīng)用圓柱的特征取上下底面的圓心為軸，再過作的垂線為軸，如圖建系，過向圓作垂線垂足為，，設(shè)圓半徑為，所以，所以，則，同理，過向圓O作垂線垂足為P1，則，所以.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)?中位數(shù)?標(biāo)準(zhǔn)差?極差分別記為.由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，其平均數(shù)?中位數(shù)?標(biāo)準(zhǔn)差?極差分別記為，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)新舊數(shù)據(jù)間樣本的數(shù)字特征的關(guān)系對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，平均數(shù)，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，極差，所以ACD選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ACD10.設(shè)是空間內(nèi)正方向兩兩夾角為的三條數(shù)軸，向量分別與軸?軸.軸方向同向的單位向量，若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在斜坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記作，則下列說法正確的有（）A.已知，則B.已知，則向量C.已知，則D.已知，則三棱錐的外接球體積【答案】AB【解析】【分析】先明確，.根據(jù)求，判斷A的真假；根據(jù)判斷B的真假；計(jì)算判斷C的真假；判斷三棱錐的形狀，求其外接球半徑及體積，判斷D的真假.【詳解】由題意：，.對A：因?yàn)椋?故A正確；對B：因?yàn)?，，所以，所?故B正確；對C：，，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對D：由題意，三棱錐是邊長為1的正四面體.如圖：過作平面，垂足為，則在的中線上，且，因?yàn)?，，所以?設(shè)正四面體外接球球心為，則點(diǎn)在上，且亦為正四面體內(nèi)切球球心，設(shè)，.則，所以正四面體外接球的體積為：.故D錯(cuò)誤.故選：AB11.在圓錐中，為高，為底面圓的直徑，圓錐的底面半徑為，母線長為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，圓錐底面上點(diǎn)在以為直徑的圓上（不含兩點(diǎn)），點(diǎn)在上，且，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，則（）A.三棱錐的外接球體積為定值B.直線與直線不可能垂直C.直線與平面所成的角可能為D.【答案】AD【解析】【分析】由條件結(jié)合線面垂直判定定理證明平面，由此證明，再證明點(diǎn)為三棱錐的外接球球心，判斷A，證明平面，由此證明，判斷B；證明平面，由此可得為直線與平面所成的角，解三角形求其正弦，判斷C，證明，解三角形求，結(jié)合基本不等式求其范圍，判斷D.詳解】連接，對于A，易知平面，平面，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上（不含、），所以，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，為的中點(diǎn)，，所以，所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，所以三棱錐的外接球的半徑為r=1，所以三棱錐的外接球體積為定值，A正確；由已知，，，，所以所以為等腰三角形，連接，又為的中點(diǎn)，故，又，，平面，平面，則平面，又平面，所以，故B錯(cuò)誤．因?yàn)槠矫?，又平面，所以，又，，平面，平面，則平面，所以在平面上的射影為，所以為直線與平面所成的角，設(shè)，則，又，所以，所以，令，則，解得，即，與矛盾，C錯(cuò)誤；對于D中，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，所以，所以，，由基本不等式可得，即，所以，D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決多面體的外接球問題的關(guān)鍵在于由條件確定其外接球的球心的位置，由此確定外接球的半徑.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】【解析】【分析】將代入方程求解即可.【詳解】代入方程，得，化簡得，故，解得，故填：13.已知向量滿足，則______.【答案】##【解析】【分析】先利用坐標(biāo)運(yùn)算求解，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合模的公式列式求得，從而利用數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所?故答案為：14.的內(nèi)角的對邊分別為，若，且的面積為，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換以及余弦定理可得，即可利用面積可得有根，即可利用判別式求解.【詳解】由可得，即，由于，故，由于，故，因此，故，，的面積為，故，由于，，故，將代入可得，化簡得，將其代入，且可得，則，解得，或，（舍去）故最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由可得有實(shí)數(shù)根，利用判別式求解.四?解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16?17小題15分，第18?19小題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.的內(nèi)角的對邊分別為，已知（1）求；（2）若點(diǎn)在上，且滿足，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等變換，結(jié)合三角形內(nèi)角的取值范圍、特殊角的三角函數(shù)值求解即可；（2）利用向量的線性運(yùn)算、余弦定理、基本不等式、三角形面積公式即可求解.【小問1詳解】，由正弦定理得，，，，，，，，.【小問2詳解】，，，又，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，的面積，即面積的最大值為.16.某地區(qū)有小學(xué)生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網(wǎng)絡(luò)“防溺水”網(wǎng)絡(luò)知識問答，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取220名學(xué)生，對其成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該地區(qū)所有學(xué)生中知識問答成績的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）成績位列前10%的學(xué)生平臺會生成“防溺水達(dá)人”優(yōu)秀證書，試估計(jì)獲得“防溺水達(dá)人”的成績至少為多少分；（3）已知落在60,70內(nèi)的平均成績?yōu)?7，方差是9，落在內(nèi)的平均成績是73，方差是29，求落在內(nèi)的平均成績和方差.（附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量?樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：.記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均數(shù)為，則總體樣本方差）【答案】（1）平均數(shù)為，眾數(shù)為.（2）.（3）平均數(shù)為，方差為.【解析】【分析】（1）在頻率分布直方圖中，平均數(shù)等于每組的組中值乘以每組的頻率之和；眾數(shù)是最高矩形橫坐標(biāo)的中點(diǎn)，據(jù)此求解.（2）依題意可知題目所求是第分位數(shù)，先判斷第分位數(shù)落在哪個(gè)區(qū)間再求解即可；（3）先求出每組的比例，再根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)及方差求解即可.【小問1詳解】一至六組的頻率分別為，平均數(shù).由圖可知，眾數(shù)為.以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)所有學(xué)生中知識問答成績平均數(shù)為分，眾數(shù)為分.【小問2詳解】前4組頻率之和為，前5組的頻率之和為，第分位數(shù)落在第5組,設(shè)為x，則，解得.“防溺水達(dá)人”的成績至少為分.【小問3詳解】)的頻率為，)的頻率為，所以的頻率與的頻率之比為的頻率與的頻率之比為設(shè)內(nèi)的平均成績和方差分別為，依題意有，解得，解得，所以內(nèi)的平均成績?yōu)?，方差?17.如圖，在長方體中，，點(diǎn)在棱上移動(dòng).（1）當(dāng)點(diǎn)在棱的中點(diǎn)時(shí)，求平面與平面所成的夾角的余弦值；（2）當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最小，最小值為【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求平面與平面所成的夾角的余弦值；（2）設(shè)，可求得平面的一個(gè)法向量，直線的方向向量，利用向量法可得，可求正弦值的最小值.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)點(diǎn)在棱的中點(diǎn)時(shí)，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成的夾角的余弦值為；【小問2詳解】設(shè)，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，令，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.18.甲?乙?丙三人玩“剪刀?石頭?布”游戲（剪刀贏布，布贏石頭，石頭贏剪刀），規(guī)定每局中：①三人出現(xiàn)同一種手勢，每人各得1分；②三人出現(xiàn)兩種手勢，贏者得2分，輸者負(fù)1分；③三人出現(xiàn)三種手勢均得0分.當(dāng)有人累計(jì)得3分及以上時(shí)，游戲結(jié)束，得分最高者獲勝，已知三人之間及每局游戲互不受影響.（1）求甲在一局中得2分的概率；（2）求游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率；（3）求游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束的概率.【答案】（1）13（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可畫出樹狀圖，得到甲得2分情況有9種，從而可求解；（2）游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，則第一局乙丙得負(fù)一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，第二局乙丙得負(fù)1分，然后求出每種情況的概率從而可求解；（3）游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束總共有4種情況：①僅1人得3分，②有2人得分為3分，③僅1人得4分，④有2人分別得4分，然后求出每種情況的概率從而可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，畫出樹狀圖，如圖：所以每局中共有種情況，其中甲在一局中得2分的情況有（出手勢順序按甲乙丙）：（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、（石頭、石頭、剪刀）、（石頭、剪刀、石頭）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、布、石頭）、（布、石頭、布）、（布、石頭、石頭）、一共有9種情況，所以甲在一局中得2分的概率.【小問2詳解】游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：①第一局甲得2分，第二局甲得1分：則乙第一局得負(fù)1分，第二局得1分；則丙第一局得負(fù)1分，第二局得1分；由（1）中樹狀圖可知滿足情況有：第一局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）此時(shí)概率為種情況，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，第二局乙丙得負(fù)1分，則乙第一局得1分，第二局得負(fù)1分；則丙第一局得1分，第二局得負(fù)1分；由（1）中樹狀圖可知滿足情況有：第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）第二局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、此時(shí)概率為，綜上所述：游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率.【小問3詳解】游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束總共有4種情況：①僅1人得3分，記事件為A，則；②有2人得分為3分，記事件為B，③僅1人得4分，記事件C：一人得4分，另兩人各負(fù)2分：，一人得4分，一人得負(fù)2分，一人得1分：，一人得4分，另兩人各1分：，；④有2人分別得4分，記為事件D：則綜上所述：游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束的概率.19.在空間直角坐標(biāo)系中，己知向量，點(diǎn).若直線以為方向向量且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程表示為.（1）已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點(diǎn)法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；（2）已知平面的點(diǎn)法式方程可表示為，平