信息必刷卷01（乙卷文科）之2023年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷（解析版）

絕密★啟用前

2023年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷01

全國乙卷地區(qū)專用

文科數(shù)學(xué)

新課標(biāo)全國卷乙卷試題結(jié)構(gòu)為12道單選題，4道填空題，6道解答題，其中一道解答題是“二選一”

型。其中解答題是4道“基礎(chǔ)型”，2道“壓軸型”，隨著新高考的推進(jìn)，新課標(biāo)全國乙卷地區(qū)也逐漸過渡到

新高考試卷，所以這幾年新課標(biāo)全國卷試題出題也逐漸有新高考的特色，其中一點(diǎn)就是反映在“基礎(chǔ)大題”

的考察難易變化上。

基礎(chǔ)大題主要考察數(shù)列，三角函數(shù)與解三角形，概率分布列，立體幾何這幾個(gè)方面。全國卷這幾年的

難易變化體現(xiàn)在這樣幾方面：

1.兩個(gè)壓軸大題，逐漸把圓錐曲線替換最后的導(dǎo)數(shù)壓軸大題，放到21提為值，作為最后的壓軸大題，

導(dǎo)數(shù)大題前移到20題位置，作為壓軸大題的副壓軸大題來考察。

2..原來的基礎(chǔ)大題三角、數(shù)列、立體幾何、概率等試題考察的位置和試題順序不再固定，而是根據(jù)考

試范圍和難易來打亂調(diào)整。

3.基礎(chǔ)大題試題考察難度，考察內(nèi)容，更加靈活多變，盡可能打破“套路思維”，注重?cái)?shù)學(xué)思維的考察。

4.基礎(chǔ)大題有些題由兩問變?yōu)槿龁?，分散難度，但是增加了數(shù)學(xué)思維的廣度。如本卷第19題。

2022年新課標(biāo)全國卷乙卷試卷試題，把概率統(tǒng)計(jì)大題放到第19題位置，21年是概率統(tǒng)計(jì)在17題位置,

和21年相比較，試題由兩問變成3問，并且此題文理題幾乎一致，試題考察的數(shù)學(xué)知識(shí)覆蓋面更廣，試題

考察背景緊密結(jié)合社會(huì)生產(chǎn)生活，試題考察社會(huì)環(huán)保治理與發(fā)展的相互關(guān)系，雖然是基礎(chǔ)大題，但是涉及

到的數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)應(yīng)用。預(yù)測(cè)2023年新課標(biāo)全國乙卷仍將繼續(xù)這種“變新”。所以作為基礎(chǔ)大題，每一種

類型題，更要注重?cái)?shù)學(xué)思維和社會(huì)實(shí)踐相結(jié)合的考察，同時(shí)更要注意隨著新高考的推廣，今年作為新課標(biāo)

全國卷老教材的考察卷，也會(huì)逐漸體現(xiàn)出“文理一致”的“過渡性”。

同時(shí)也要注意基礎(chǔ)試題在知識(shí)交匯處的考察，考察的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用處理能力綜合度較強(qiáng)，如本試卷的

第7和第13題。第7題考察框圖，但是數(shù)學(xué)能力與知識(shí)的考察卻在橢圓的定義與幾何性質(zhì)運(yùn)用方面，難度

雖然不是壓軸小題的難度，但數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)跨度大，數(shù)學(xué)思維思考面要求廣，是復(fù)習(xí)備考和試卷模擬時(shí)要多

注意多注重的考點(diǎn)之一。

<_________________________________________________________________________________________>

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知全集U=丸集合/={x|l-2xN3},48={x|-34x41},則/口8=()

A.{x|-l<x<l)B.{x|x<-3}

C.{x[x<-31D.{小4-3或xNl}

【答案】B

【分析】化簡(jiǎn)4由補(bǔ)集求得8,即可進(jìn)行交集運(yùn)算.

【詳解】由電8={X|-34X41},得5={小<-3或X>1}.

又4={x|l-2x>3}=1x|x<-lj,所以Ac5={小<_3},

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z=l-6i，則P=()

z-z-2z

A16.R1G.r1V3.n1V3.

44224422

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及除法運(yùn)算即可化簡(jiǎn)求解.

【詳解】由z=l-VL-得1=1+后，|z|=2,z1=(l-后)(1+后)=4,所以

同=21_=]-盤

z-z-2z4-2（1-抬i）1+亞4

故選：A

3.下列四個(gè)函數(shù)中，最小正周期與其余三個(gè)函數(shù)不同的是()

\2.c\1-cos2x

A./x=cosx+smxcosxB.f\x}=----------------

2sinxcosx

C./(x)=cos(x+1)+cos(x-D./(x)=sin卜+?卜os(x+V

【答案】C

【分析】結(jié)合二倍角、輔助角及和差角公式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再計(jì)算周期比較即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,/(x)=--方生+gsin2x=^lin-,.二7二兀

選項(xiàng)B：sinxw0且cosxwO,/（、）=!02，n，）=2sin*=tanx；?7=兀

2sinxcosx2sinxcosx

對(duì)于選項(xiàng)C,/'（x）=—cosx------sinx+—cosx+^—sinx=cosT=2TI

v72222

對(duì)于選項(xiàng)D,/（x）=,sin2（x+彳]二,sin（2x+jT=n,

故選：C.

4.若雙曲線/一耳=1e>o）的漸近線與圓/+/-以+3=0相切，則*=（）

K

A.2B.QC.1D.立

3

【答案】D

【分析】由題得，雙曲線漸近線為y=±日，圓心為（2,0）,半徑為1,根據(jù)相切得不工=1即可解決.

2

【詳解】由題知，雙曲線/-方=1/>0）焦點(diǎn)在X軸上，其中a=I,b=%,

EI（X-2）2+/=1,其中圓心為（2,0）,半徑為1,

所以漸近線為y=士去，其中一條為卜=丘，即去一夕=0,

因?yàn)殡p曲線的漸近線與圓紅-2『+『=1相切，

所以Y==l，解得&=正，

W+13

故選：D

5.某校舉辦了迎新年知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)選取了100人的成績整理后畫出的頻率分布直方圖如下，則根據(jù)此頻

率分布直方圖，下列結(jié)論不正確的是（）

A.該校約有一半學(xué)生成績高于70分B.該校不及格人數(shù)比例估計(jì)為25%

C.估計(jì)該校學(xué)生成績的中位數(shù)為70分D.估計(jì)該校學(xué)生的平均成績超過了70分

【答案】D

【分析】由頻率分布直方圖求得分?jǐn)?shù)在［40,50）和［80,90）的頻率，然后確定分?jǐn)?shù)高于70分的頻率，低于60

分的頻率，從而可判斷ABC,由頻率分布直方圖計(jì)算均值判斷D.

【詳解】由頻率分布直方圖知分?jǐn)?shù)在［40,50）和［80,90）的頻率為（1-0.15-0.25-0.35-0.05*；=0.1,

因此成績高于70分的頻率為0.35+0.1+0.05=0.5,A正確；

不及格人數(shù)即分?jǐn)?shù)低于60分的頻率為0.1+0.15=0.25,B正確；

由選項(xiàng)A的計(jì)算知C正確；

平均成績?yōu)?5x0.1+55x0.15+65x0.25+75x0.35+85x0.1+95x0.05=68.5,D錯(cuò)誤，

故選：D.

6.設(shè)陽，N為實(shí)數(shù)，則“1。82，>1。822”是“0.2"'>0.2"”的（）

mn

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性分別化簡(jiǎn)02">0.2"和1082,>1。82,，根據(jù)充分條件和必要條件

mn

的定義判斷兩者關(guān)系.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)V=10g2X為（0,+8）上的單調(diào)遞增函數(shù)，又Iog2_t>log2,，所以L>_L>0,所以0<用<〃，

mnmn

又函數(shù)y=02”在（7，+8）上單調(diào)遞減，所以o.2">0.2",所以“10821>10821”是“02">0.2"”的充分條件,

mn

因?yàn)楹瘮?shù)y=02',在（-8，+8）上單調(diào)遞減，又0.2'">0.2"，所以加<〃，當(dāng)加為負(fù)數(shù)時(shí)，!沒有對(duì)數(shù)值，所

m

以“l(fā)og2，>log2」”不是“0.2“>0.2"”的必要條件，所以“唾2工>Iog2'”是“0.2">0.2"”的充分不必要條件，

mnmn

A正確，

故選：A.

7.某算法的程序框圖如圖所示，則執(zhí)行該程序后輸出的S等于（）

A.24B.26C.30D.32

【答案】D

【分析】確定函數(shù)表示橢圓的上半部分，"表示橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離，S表示距離之和，畫出圖像

計(jì)算得到答案.

1--,即《+匚1,

【詳解】y=5.（yNO）,表示橢圓的上半部分,

161625

焦點(diǎn)為6（0,3）,^（0,-3）,d表示橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離，S衣小距離之和,

如圖所示：

S=44+4片+4片+4耳+漢6+4E+4E=3X（2Q）+Q_C=7Q_C=32.

故選：D

8.如圖，直線//平面垂足為0,正四面體N8C。（所有棱長都相等的三棱錐）的棱長為2,C在平面

a內(nèi)，8是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)0到4。的距離最大時(shí)，該正四面體在平面a上的射影面積為（）

A.y/3B.走C.V2D.1+也

22

【答案】D

【分析】由題意知點(diǎn)。是以BC為直徑的球面上的點(diǎn)，得到。到的距離為四面體上以BC為直徑的球面

上的點(diǎn)到/。的距離，最大距離為8c與/。的公垂線+半徑.再由取得最大距離時(shí)，冊(cè)直平面08C,

旦平行平面a求解.

【詳解】因?yàn)橹本€/工平面a,垂足為。，所以點(diǎn)。是以3c為直徑的球面上的點(diǎn)，

所以。到40的距離為四面體上以BC為直徑的球面上的點(diǎn)到/。的距離，

最大距離為AD到球心的距離+半徑，即BC與AD的公垂線+半徑，如圖所示：

取8C的中點(diǎn)E,力。的中點(diǎn)尸，連接/E,ED,EF,因?yàn)?

所以EFJ./O,EFIBC,EF=.AE2-AF?=J(2x日)2-(|)=0,

所以。到4。的最大距離為夜+1，此時(shí)，OELBC,NBCO=45°,

當(dāng)取得最大距離時(shí)，/￡＞垂宜平面O8C,且平行平面a,

所以投影是以為底，。到40的距離投影，即FG=(&+l)cos45o=l+孝為高的等腰三角形，其面積

_16

212)2

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是明確。到40的最大距離為為5c與40的公垂線+球半徑，由。,民尸共

線得到OE1BC,ZBC0=45。而得解.

9.已知函數(shù)/(xXtams-*)儂＞。,。35)與直線y=a交于兩點(diǎn)，且線段48長度的最小值為:，若將

函數(shù)/(x)的圖象向左平移1個(gè)單位后恰好關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則。的最大值為()

itc兀-3兀c7兀

A.-B.-C.—D.—

8448

【答案】C

【分析】確定函數(shù)的最小正周期，可求得。=3,根據(jù)圖像的平移變換可得平移后函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)

TTKTT

的對(duì)稱性可求出伊=彳-或，左eZ,依據(jù)0＜9＜兀，即可求得答案.

【詳解】由題意知，函數(shù)Ax)的最小正周期T=g,則2=],得。=3.

所以/(x)=tan(3x-s),將函數(shù)/(x)的圖象向左平移專個(gè)單位長度，

得到夕=^113(x+=tan(3x+：e)的圖象，

因?yàn)樵搱D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則:一夕="，左eZ,所以9=2-"#eZ

4242

當(dāng)人＞0時(shí)，kwZ,甲＜金,不合題意，當(dāng)人=0時(shí)，8=；，

又0＜夕＜兀，所以當(dāng)左=一1時(shí)，。取電，當(dāng)上4一2,-3,…時(shí)，—,不合題意，

44

故夕最大值為3尊兀，

4

故選：C

10.如圖，在正三棱柱N8C-48c中，2BB\=3AB,。是棱8c的中點(diǎn)，￡■在棱Cg上，且CG=3CE,

則異面直線4。與耳￡所成角的余弦值是()

A.迎B.如C.如D.正

6432

【答案】B

【分析】取棱8片靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)F,取棱8g的中點(diǎn)H,取的中點(diǎn)G,連接44,DH,A}F,

DF.證明。F//B￡,得4QF是異面直線4。與qE所成的角（或補(bǔ)角）.設(shè)/5=4,用余弦定理計(jì)算出

余弦值.

【詳解】取棱靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)尸，取棱用￡的中點(diǎn)H,取用尸的中點(diǎn)G,連接4"，DH,4F,

DF.

由已知CE=；CG=；8A=81G,又CE//8。，所以CEqG是平行四邊形，BtE//CG,

同時(shí)可得尸是8G中點(diǎn)，而。是8c中點(diǎn)、,所以。尸//CG.

所以。尸〃鳥￡,則乙4。尸是異面直線/Q與所成的角（或補(bǔ)角）.

又DHHCC\,CG1平面4AG，則。，_L平面4AG，4"u平面44G，則DHI&H,

設(shè)“8=4,貝l]B81=6,從而4/7=26，DH=6,80=2,BF=2,與尸=44=4,

故4尸=40,4￡>=4石，DF=272.在尸中，

由余弦定理可得cos"DF=竇">=乎.

24QDF4

所以異面直線4。與B、E所成的角的余弦值為逅.

4

故選：B.

11.在中，己知4=60。，BC=2,。為8c的中點(diǎn)，則線段長度的最大值為()

A.1B.72C.yfiD.2

【答案】C

【分析】由余弦定理得到〃+c2=4+bc,再利用基本不等式得到bea,然后由而=g(靜+就)求解.

【詳解】解：EH余弦定理得=/+。2-2bccos/=b2+。2-6c,

即4=〃+/_兒，即從+。2=4+歷，

所以4=〃+C2一bcNbc，/.be<4,當(dāng)且僅當(dāng)h=c時(shí)等號(hào)成立.

—?1—?—?

因?yàn)?O=3(ZB+4C),所以___zx，

2AD2=；伊2+元2+2方.碼=#2+/+20仁卜*+02+A)

——(4+bc+6c)W—(4+8)=3,|ADV3,故選：C.

44

3tr<0

12.已知函數(shù)/(x)=,e2x，若/(司)=/(工2)(西工工2)，則為+%2的最大值為()

A.—B.21n3—3

2

C.In3—2D.—ln3—1

2

【答案】D

【分析】分析函數(shù)/(X)的單調(diào)性，設(shè)石<0<々，可得出玉+乙=七-4e*，構(gòu)造函數(shù)

g(x)=x-*e'(x>0)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)的最大值，即可得解.

3r2r<0

【詳解】因?yàn)?(力=、2，］］0，則函數(shù)〃x)在(-8,0］上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增,

不妨設(shè)玉<0<超，有3x；=e%,可得匹=_苴*,有多+*2=%一立—

令g(x)=x-也e'(x>0),有g(shù)<x)=l-巫el令g'(x)>0,可得0<x<；ln3,

令g'(x)<0,可得

可得函數(shù)g（x）的增區(qū)間為（0，；ln3）,減區(qū)間為（；ln3,+oo）,

可得g（x）max=g（jn3）=3n3-§x@=3n3-l,故占+%的最大值為:In3-L

故選：D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知Z是單位向量，*=（1,-1），若向量￡與向量3夾角。e1°，9，寫出一個(gè)滿足上述條件的向量￡.

【答案】1號(hào),-力|（答案不唯一）

【分析】設(shè)￡=（cos（9,sin。），取a=^,根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示可得cos]=cos（e+：）

進(jìn)而。=-5-2E,%CZ,即可求解.

6

【詳解】設(shè)a=（cos6?,sin0）,又向量￡與否=（1,-1）的夾角ac（0,；）,

則a-b=cos?-sin<9=￡cos（。+,|?|=l,|i|=五，

7i-r+、

ab

不妨取貝i|兀'\4J（,it1,

?切以"i°""cosa=cos—=-』=-----）=-----=cosn\0+—）

1212\a\\b\y[2｛4J

TTTTTT

得2=6+北+2E#￡Z,則。=——2kit,kwZ,

1246

當(dāng)攵=0時(shí)，8=■，此時(shí)故答案為：

14.已知〃cN?，將數(shù)列｛2〃-1｝與數(shù)列｛"-I｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列｛〃〃｝,則

111

—I--------1----------1---------=

%〃2《0?

【答案】2

【分析】分析可知｛2〃-1｝是正奇數(shù)列，根據(jù)題意求得a“=4〃2—1,然后利用裂項(xiàng)相消法可求得

J-+-L+…+-L的值

%?2?!0

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛2〃-1｝是正奇數(shù)列，

對(duì)于數(shù)列｛/_[｝,當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，設(shè)〃=24-19€V），則〃2一1=（2左-1）2一1=4可〃-1）為偶數(shù)；

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，設(shè)〃=2M%eN*）,則〃2_1=4/7為奇數(shù)，

1111（11A

所以,。，，=4〃9則丁E=（21）（2〃+l）=Nk2^r1

因此,

故答案為：—.

15.△48C的內(nèi)角A、B、。所對(duì)的邊分別為。、b、c,且QCOS(8-C)+Qcos/=2jJcsin'cos4,

=2,則A/SC的面積為.

【答案】B

2

【分析】利用三角恒等變換以及正弦定理化簡(jiǎn)可得出tan/的值，結(jié)合角A的取值范圍可得出角A的值，利

用余弦定理可求得兒的值，再利用?:角形的面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閏os4=cos[兀一(8+C)]=-cos(^+C),

所以,2V§csinBcosA=acos（8—C）一4cos（8+C）

=a［（cosBcosC+sin5sinC）-（cosBcosC-sinsinC）］=2〃sin8sinC,

因?yàn)锳、B、CG(0,7t),貝iJsin3〉0,所以，tzsinC=>/3ccosA>

由正弦定理可得sin4sinC=V3sinCcosA，

因?yàn)閟inC>0,所以，sinZ=V^cosZ>0/UJtan%=W，可得"=

由余弦定理可得2=b2+c2-a2=26ccosA=bc，

因U：匕，S=—bcs\nA=—x2x—.

：iRC2222

故答案為：也.

2

22

16.已知橢圓。:5+,=1(°>6>0)的左右焦點(diǎn)為耳，入,過耳的直線交橢圓C于尸，。兩點(diǎn)，若

麗=：配，且|西卜|詞，則橢圓C的離心率為.

【答案】

【分析】根據(jù)橢圓的定義，線段比例關(guān)系和余弦定理即可求解.

因?yàn)閨麗卜同間=2c,

所以西|=2“_巧卜為-2c,

--4一

又尸耳二產(chǎn)，

所以阿T西卜：(2"2c)=g(…)，

所以|明卜2"函=2?-|(?-e)=^+y,

在三角形片呷「即￡=色筌第宜二.

#2a-2c)+(2c)2-^+

在三角形01PB中，cosZFPtF2=*---------J----------產(chǎn)一=^—，

2.：(2a-2c)-2c

以上兩式相等整理得(5"-7c)(“-c)=0,故5a=7c或”=c(舍去)，

故￡c==5，故答案為：5

a77

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)試題考生

都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.（12分）如圖所示，已知三棱臺(tái)/8C-48cl中，AB,1BB,,CBt1BB,,ZABB、=NCBB、=60°,

AB1BC,網(wǎng)=1.

(1)求二面角4-84-C的余弦值;

(2)設(shè)E、尸分別是棱NC、4G的中點(diǎn)，若EF/平面/8C,求棱臺(tái)Z8C-4AG的體積?

【答案】（1）—§

Q唔

【分析】（1）由二面角定義可得二面角Z-8區(qū)-C的平面角為48°,結(jié)合垂直關(guān)系及余弦定理求其余弦

值即可；

（2）將棱臺(tái)補(bǔ)全為棱錐0-Z8C,利用垂直關(guān)系證明面/與C,進(jìn)而得到相關(guān)線段垂直并求出線段的

長度，根據(jù)V=Vo-ABC-嘰,眄求體積.

【詳解】（I）因?yàn)镃BJBB、,所以二面角力的平面角為NZ8c.

因?yàn)镹4BBI=NCBBI=60°,所以/q=（?片=百，AB=CB=2.

因?yàn)?818C,所以4。=20.

因?yàn)镹=留+CB；-2AB,CBXcos44耳C,

所以cosZAB?=一；，故二面角A-BB1-C余弦值為.

（2）因?yàn)閆8C-44G是三棱臺(tái)，所以直線44、BB,、CG共點(diǎn)，設(shè)其交點(diǎn)為0,

因?yàn)镋、尸分別是棱AC、4a的中點(diǎn)，所以直線E尸經(jīng)過點(diǎn)0.

因?yàn)?q_L881,CB]1BB],4用「。用=用且u面力用。，所以面/修。，

又EB]u面AB】C,所以J_EB、.

因?yàn)镋B=6，叫=1，所以N8/E=45。.

因?yàn)镋尸1平面4BC,E8u平面所以E尸1E3,

所以EF=sin/EBB1=也,OE=EB=-j2,故尸為的中點(diǎn).

2

三棱臺(tái)為8C-48c的體積＞=:%/C=9!XOEXS/=當(dāng)?

O031Z

()

（1）證明:數(shù)列｛外｝為等差數(shù)列;

（2）設(shè)a=（T）（〃+1）,求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和S”

T工n+1

【答案】（1）證明見解析

（2）（-1）"——--

八）8/2+1212

【分析】（1）將條件5二嗜中的％變?yōu)榘祝缓笳砑纯勺C明:

（2）求出數(shù)列｛"｝的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求和.

【詳解】（1）當(dāng)“22時(shí)，：=與'=：-；=1-驍，

T“2a,,22a,,22T“

，l=g-號(hào)，即7；-加=2,

11dl—\

又當(dāng)〃=1時(shí)，——,得［=4=3,

..?數(shù)列｛（,｝是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；

（2）由（1）得（=2〃+1,

(-1)"(〃+1)1

則b=(-071M

n⑵？+1乂2〃+3)4(2“+12n+3)

,S-1

""4355779')熹

n

--A+(_i)_L_=(-1)"—!---------

413'，加+3」'7&?+1212

19.（12分）移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個(gè)人消費(fèi)等領(lǐng)域.截至2022年底，我國移動(dòng)物

聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達(dá)18.45億戶，成為全球主要經(jīng)濟(jì)體中首個(gè)實(shí)現(xiàn)“物超人”的國家.右圖是2018-2022年移動(dòng)物聯(lián)

網(wǎng)連接數(shù)匹與年份代碼t的散點(diǎn)圖，其中年份2018-2022對(duì)應(yīng)的t分別為1-5.

必億戶”

25'

20-

15-

10-*

5-*

0012345f

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān).計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),并推斷它們的相關(guān)程度；

(2)⑴假設(shè)變量x與變量y的〃對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)為(x/,y1),(X2,竺)，…，(xn,yn),兩個(gè)變量滿足一元線性回歸

?yr—bx+e〃

模型八~、，(隨機(jī)誤差e,=%-bx,).請(qǐng)推導(dǎo)：當(dāng)隨機(jī)誤差平方和0=Zd取得最小值時(shí)，參

[￡(e)=0,D(e)=cr-

數(shù)b的最小二乘估計(jì).

fy=bx+e

(ii)令變量=則變量x與變量y滿足一元線性回歸模型~、，利用⑴中結(jié)論求

[E(e)=0n,￡>(e)=cr

y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù).

21一。(嗎-卬)

25_5

附：樣本相關(guān)系數(shù)r=I=76.9,27.2,=60.8,

V769?27.7

【答案】(1)〃=0.98,這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，口相關(guān)程度很強(qiáng).

⑵(i)3=嚀一：(ii)經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=2.72x；預(yù)測(cè)2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)23.04億戶.

i=\

【分析】(1)根據(jù)相關(guān)系數(shù)計(jì)算，若r>0兩個(gè)變量正相關(guān)，若廠<0兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，卜|越接近于1說明線

性相關(guān)越強(qiáng).

⑵⑴整理得0根據(jù)二次函數(shù)求最小值時(shí)6的取值；

/=1/=1/=!

(ii)根據(jù)8計(jì)算公式求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并代入f=7可預(yù)測(cè)2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù).

【詳解】(1)由散點(diǎn)圖可以看出樣本點(diǎn)都集中在一條直線附近，由此推斷兩個(gè)變量線性相關(guān).

因?yàn)?=1(1+2+3+4+5)=3,

5

所以￡(^-02=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,

/=1

2(—乂嗎-歷)

27.227.227.2,

所以「=1=10.98

JlOx76.9-V76927/7

所以這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，口相關(guān)程度很強(qiáng).

⑵⑴。=￡，2=￡（匕-如『=￡（V”加區(qū)+方與；）

1=1,=1/=1

=及比xf-26力+力匕2,

/=1;=1?=1

_n_

要使。取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)3=與一.

1=1

55

（/,.-r）（.-w）

YW）

（ii）由⑴知6T=2=H-----------='=2.72,

2片EO.-O210

/=11=1

5

所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程V=2.72x,又一自嗎60.8，…，

■w=——=---=12.16

55

所以當(dāng)1=7時(shí)，則x=7-3=4,w=y+了=2.72x4+12.16=23.04,

所以預(yù)測(cè)2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)23.04億戶.

20.（12分）已知函數(shù)/（x）=41nx-o￥+竺!（a>0）.

（1）當(dāng)。=；,求/‘（X）的極值.

（2）當(dāng)“21時(shí)，設(shè)g（x）=2e*-4x+2a,若存在再,％e1,2,/（占）>g（x2）,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（e為自然

對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828...）

【答案】（1）極小值為3；極大值為41n7-3

⑵口，4）

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出極值即可；

（2）存在占,超^g,2，使/（X>>g5），轉(zhuǎn)化為在區(qū)間；，2上/（x）11m>,即可求解.

【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?,+8）,

1、X7

當(dāng)a=］時(shí)，/(x)=41nx--+—,

令/'(x)>0,可得1cx<7,令/(x)<0,可得0<xVl或x>7,

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(()，1),(7,+oo),單調(diào)增區(qū)間為(1,7)

，x=l時(shí),函數(shù)取得極小值為3；x=7時(shí),函數(shù)確定極大值為41n7-3；

(2)+4："("+3)(x>0),令Mx)=-"+4x-(a+3),

若,則△=16-4/-124=-(0-1)(0+4)40,

：.f(x)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞減，

.?.當(dāng)a21時(shí)，/(x)在；,2上單調(diào)遞減，

.../(X)在；,2匕的最大值為/(；)=Tln2+|“+6,

g'(x)=2ev-4,令g'(x)=0,得x=ln2,

當(dāng)xe；,ln2)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(ln2,2］時(shí)，g,(x)>0,：.g(x)單調(diào)遞增,

???g(x)在I，2上的最小值為g(ln2)=4-41n2+2a,

_3,

由題意可知一41rl2+—。+6>4—4姑2+2。,解得。<4,

2

XVa>1,

?,?實(shí)數(shù)a的取值范圍為［1,4).

21.(12分)如圖，已知點(diǎn)P(2,2)是焦點(diǎn)為尸的拋物線C:/=2px(p<0)上一點(diǎn)，A,8是拋物線C上異

于尸的兩點(diǎn)，且直線以，P8的傾斜角互補(bǔ)，若直線以的斜率為4(左>1).

(1)求拋物線方程；

(2)證明：直線的斜率為定值并求出此定值；

_dd

(3)令焦點(diǎn)E到直線N8的距圖d,求商一廬目的最大值.

【答案】(l)_/=2x

（2）證明見解析，

⑶及

【分析】（1）待定系數(shù)法求解拋物線方程；

（2）設(shè)出宜線方程，聯(lián)立后得到/點(diǎn)縱坐標(biāo)，同理得到8點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而求出直線的斜率;

5k-士

dd167一下點(diǎn)一，換元后使用基本不等式求出最大值.

（3）在前兩間基礎(chǔ)上用斜率左表達(dá)出網(wǎng)一兩=忑.

（5"/+16

【詳解】⑴解：將點(diǎn)尸（2,2）代入拋物線方程可得：p=l,

所以拋物線C:/=2x；

（2）證明：設(shè)":止-2=他-2）（%>1）,

與拋物線方程聯(lián)立可得：

ky2-2y+4-4k=0,

4-4k2-2k

?,乃力=—；ny.4=一;，

kk

因?yàn)橹本€以，尸8的傾斜角互補(bǔ)，

用-左代4可得：為=-三三

K

k二為一%二乃一為_2=1

因此，"式_區(qū)”+為2,

22

即

12（1-左）-2-2k2（1+無2+2k

（3）解：由（2）可知，kAB=-\,AIJ，^-,B1，,———

2kkkk.

X/\/

2

…2-2k1（2（1-左）1、2-2kn

因此/8號(hào)―-,=-、x-v7=x+2y---p~~=0,

KKK

\7

門、12-2/

尸不。到直線N8的距離,2k25k2-4,

1FBF

_____L=\\-\A=xR-xA==32'

?W|同一畫?阿[小#"[.+*，+小:一25E4I6

._d____d_=5.-432r=16_伊―)&

"\F^~\FB\~2y[5k225k4-24k2+i6~7525k4-24k2+16

44

165k-%I5k一%

逐25人24+工石Uj+小

4

令t=5k——,

k

由2>1,得/>1

d____d__^_t161v1612火

???網(wǎng)一畫y?+]6ygs石2灰一亍

t

當(dāng)且僅當(dāng)」=4n5無-3=4=]=2+2次時(shí)取等號(hào).

k5

所以d兩一d兩的最大值為7V苧s?

（-）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

在平面直角坐標(biāo)系x伽中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程

為0=4sin。，若P為曲線q上的動(dòng)點(diǎn)，將OP繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到。。，動(dòng)點(diǎn)。的軌跡為曲線。2.

（1）求曲線C。的極坐標(biāo)方程：

（2）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（4,當(dāng)｝