江蘇省南通市名校聯(lián)盟2025屆高三8月模擬演練數(shù)學試題

數(shù)學試卷本試題卷共4頁，19題．全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知M,N為集合Ⅰ的非空真子集，且M,N不相等，若，則（）A.M B.N C.I D.【答案】A【解析】【分析】由交集為空集可確定兩集合包含關(guān)系，進而得到并集結(jié)果.【詳解】故選：【點睛】本題考查集合運算中的交集和并集運算，關(guān)鍵是能夠通過交集運算結(jié)果確定集合的包含關(guān)系.2.已知點P在拋物線上，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)點P的坐標為，則，求其最小值即可.【詳解】設(shè)點P的坐標為，則，且，又因為，所以當時，有最小值.所以的最小值為.故選：D3.某地區(qū)想實行階梯電價，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)居民用電量信息如下：分位數(shù)50%分位數(shù)70%分位數(shù)80%分位數(shù)90%分位數(shù)用電量160176215230如果要求約70%的居民用電在第一階梯內(nèi)，約20%的居民用電在第二階梯內(nèi)，可確定第二階梯電價的用電量范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用百分位數(shù)的含義結(jié)合條件即得.【詳解】∵約70%的居民用電在第一階梯內(nèi)，約20%的居民用電在第二階梯內(nèi)，∴由表中數(shù)據(jù)可得，第二階梯電價的用電量范圍為.故選：C.4.已知向量，，對任意實數(shù)，恒有，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由兩邊平方得：，設(shè)，轉(zhuǎn)化為則對任意實數(shù)恒成立，求解出，然后判斷即可.【詳解】由兩邊平方得：，設(shè)，則對任意實數(shù)恒成立，所以，即，所以，即，，所以.故選：B5.把8個相同的籃球分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，不同的分發(fā)種數(shù)為（）A.70 B.99 C.110 D.165【答案】D【解析】【分析】相同元素的分配問題用“隔板法”即可.【詳解】當8個相同的藍球只分給其中1人時，有4種分法；當8個相同的藍球分給其中的2人時，先從4人里面選出2人，再將8個相同的藍球排成一排，形成的7個空里面選出1個空插入1個“隔板”即可，此時有種分法；當8個相同的藍球分給其中的3人時，先從4人里面選出3人，再將8個相同的藍球排成一排，形成的7個空里面選出2個空插入2個“隔板”即可，此時有種分法；當8個相同的藍球分給其中的4人時，每人至少一個，此時將8個相同的藍球排成一排，形成的7個空里面選出3個空插入3個“隔板”即可，此時有種分法；因此把8個相同的藍球分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人時，不同的分發(fā)種數(shù)有：故選：D.6.設(shè)函數(shù)若無最大值，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用分段函數(shù)的解析式，作出函數(shù)與直線的圖象，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象分析即可求解【詳解】因為作出函數(shù)與直線的圖象，它們的交點是，O0,0，，由，則令，可得或，當或時，，則單調(diào)遞增，當時，，則單調(diào)遞減，所以是的極大值點，是的極小值點，由圖象可知，當時，有最大值f?1=2或，當時，有，此時無最大值，故實數(shù)取值范圍為.故選：A.7.當時，曲線與交點的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】分別畫出與在上的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷即可.【詳解】與在上的函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知，兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)為6個.故選：D.8.已知函數(shù)，其中n是自然數(shù)，則的最小值為（）A.50 B.100 C.110 D.190【答案】B【解析】分析】去掉絕對值，由等差數(shù)列求和公式化簡求解即可.【詳解】要使取得最小值,則正整數(shù)必然在區(qū)間上，則因為,所以當或時,有最小值100.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列關(guān)于方程的結(jié)論中，正確的有（）A.方程的兩根互為共軛復數(shù)B.若，則方程兩根互為共軛復數(shù)C.若x為方程的一個虛根，則也為方程的根D.若，則方程的兩根一定都為正數(shù)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)判別式來確定AD；求出方程的解來確定BC；【詳解】對于A：，不確定其正負，故方程可能有實數(shù)根也可能有復數(shù)根，A錯誤；對于B：當時，，解得，兩根為共軛復數(shù)，B正確；對于C：當時，方程的根為，即一個根為虛數(shù)時，它的共軛復數(shù)也是方程的根，C正確；對于D：當時，，不確定其正負，方程可能無實數(shù)根，D錯誤.故選：BC.10.設(shè)A、B、C、D是空間中四個不同的點，下列命題中正確的是（）A.若AC與BD共面，則AD與BC共面B.若AC與BD是異面直線，則AD與BC也是異面直線C.若，則AD=BCD.若，則AD⊥BC【答案】ABD【解析】【分析】利用平面的性質(zhì)可判斷AB，利用空間四邊形及線面垂直的判定定理可判斷CD．【詳解】對于選項A，若與共面，則與共面，正確；對于選項B，若與是異面直線，則四點不共面，則與是異面直線，正確；如圖，空間四邊形中，AB＝AC，DB＝DC，則AD與BC不一定相等，故C錯誤；對于D，當四點共面時顯然成立，當四點不共面時，取BC的中點M，連接AM、DM，則，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，故D正確.故選：ABD.11.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則下列說法中正確的是（）A.將數(shù)列的前m項去掉，其余各項依次構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列B.數(shù)列，，，…，是等差數(shù)列C.將數(shù)列的前m項去掉，其余各項依次構(gòu)成的數(shù)列不是等比數(shù)列D.數(shù)列，，，，…，是等比數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】由等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】對于A:設(shè)an的公差為，將數(shù)列an的前m項去掉，其余各項依次為，則故構(gòu)成的數(shù)列依然是等差數(shù)列，正確；對于B：因為數(shù)列an是等差數(shù)列，所以數(shù)列，，，…，，所以構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，正確；對于C：設(shè)bn的公比為，等比數(shù)列去掉前m項后，其余各項依次為，所以依然構(gòu)成等比數(shù)列，錯誤；對于D：設(shè)bn公比為,所以，故數(shù)列，，，，…，是等比數(shù)列，正確.故選:ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，是雙曲線的兩個焦點，點M在E上，如果，則的面積為______．【答案】16【解析】【分析】根據(jù)題意求出a,b,c,由及雙曲線的定義求出，再利用三角形面積公式求解即可.【詳解】由題意得,所以,不妨設(shè),根據(jù)雙曲線定義可得①，又,所以②，聯(lián)立①②解得,所以的面積.故答案為：16.13.已知函數(shù)和，如果直線l同時是和的切線，稱l是和的公切線，若和有且僅有一條公切線，則______．【答案】##【解析】【分析】假設(shè)切點坐標，利用導數(shù)的幾何意義可利用，分別表示出的方程，由為公切線可確定方程組，化為一元二次方程后，利用可求得.【詳解】由得：；由得：；設(shè)與相切于點，與相切于點，所以的方程為或，即的方程為或，所以，則，所以，解得：，故答案：14.將正整數(shù)數(shù)列1，2，3，4，5，…的各項按照上小下大、左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：將每行的第一個數(shù)與每行的最后一個數(shù)依次相加，前行的和為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)表找出規(guī)律，利用累加法求出每行的第一個數(shù)與每行的最后一個數(shù)的通項公式，進而即可求解.【詳解】設(shè)每行的第一個數(shù)構(gòu)成數(shù)列，每行的最后一個數(shù)構(gòu)成數(shù)列，，則由數(shù)表可知，，，……，所以數(shù)列的遞推公式為，，所以，，當時，成立，同理，，，……，所以數(shù)列的遞推公式為，，所以，，當時，成立，所以每行的第一個數(shù)與每行的最后一個數(shù)依次相加的和，注意第一行的首尾為同一個數(shù)1，所以前行的和，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知銳角中，，（1）求證：；（2）設(shè)，求AB邊上的高.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用和差角的正弦公式、同角公式推理計算即得.（2）利用同角公式求出，再結(jié)合（1）的結(jié)論及和角的正切求出即可列式計算得解.【小問1詳解】由，得，即，兩式相除得，所以.【小問2詳解】在銳角中，，，則，，即有，將代入上式并整理得，而，解得，，設(shè)邊上的高為，則，由，得，所以邊上的高等于16.已知橢圓的中心是坐標原點O，它的短軸長為，一個焦點F的坐標為，點M的坐標為，且．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）如果過點M的直線與橢圓相交于點P，Q兩點，且，求直線的方程．【答案】（1）橢圓方程為,離心率等于.（2）.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出橢圓的方程，直接求出離心率；（2）設(shè)，利用“設(shè)而不求法”把OP⊥OQ轉(zhuǎn)化為，求出斜率k，即可求出直線方程.【小問1詳解】因為短軸長為，所以.,所以.因為,所以,且橢圓的焦點在x軸上,由得：,由c>0,解得c=2.所以,所以橢圓方程為,離心率等于.【小問2詳解】由(1)可知M(3,0),則該點在橢圓外,所以過該點的直線PQ的斜率必然存在.可設(shè)直線PQ的方程為,聯(lián)立得.設(shè)，由根與系數(shù)關(guān)系可知:，.由OP⊥OQ得,即，解得:,符合,所以直線PQ的方程為.17.乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運動員間進行，比賽采用7局4勝制(即先勝4局者獲勝，比賽結(jié)束)，假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同．(1)求甲以4比1獲勝的概率；(2)求乙獲勝且比賽局數(shù)多于5局的概率；(3)求比賽局數(shù)的分布列．【答案】(1)；(2)；(3)見解析.【解析】【分析】（1）甲4中1獲勝，說明共比賽5局，甲在前4局中勝3局且第5局勝，由此可計算出概率為；（2）多于5局說明比賽6局或7局，即4比2或4比3，分別計算概率后相加可得；（3）按賽制，比賽局數(shù)取值依次可為4、5、6、7，即4比0,4比1,4比2,4比3，分別計算概率，由，可得分布列．【詳解】（1）由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率都是，記“甲以4比1獲勝”為事件，則；（2）記“乙獲勝且比賽局數(shù)多于5局”為事件，因為，乙以4比2獲勝的概率為，乙以4比3獲勝的概率為，所以．（3）設(shè)比賽的局數(shù)為，則的可能值為4，5，6，7，，比賽局數(shù)的分布列為：456718.設(shè)函數(shù)．（1）若，，證明：曲線是中心對稱圖形；（2）若，且函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)c的取值范圍；（3）證明：“”是有三個不同的零點的必要不充分條件．【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）代入的值，計算發(fā)現(xiàn)，即可判斷的對稱性；（2）代入的值，令，求導，確定單調(diào)性以及極值，進而可得實數(shù)c的取值范圍；（3）通過研究的導函數(shù)與的圖像與x軸有兩個交點得到關(guān)系，確定必要性，然后通過舉例確定充分性.【小問1詳解】當，時，函數(shù)fx=x而，所以，所以fx的圖象關(guān)于點對稱，所以曲線為中心對圖形．【小問2詳解】當，函數(shù)，令，可得，令，只需與有3個交點，，令，解得或，列表如下：x00?單調(diào)遞增0單調(diào)遞減單調(diào)遞增即有在處取得極大值，且為0；在處取得極小值，且為，由函數(shù)有三個不同的零點，可得，解得，所以c的取值范圍是；【小問3詳解】若有三個不同零點，令，可得的圖象與x軸有3個不同的交點，即有三個單調(diào)區(qū)間，即為導函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，可得，即，為．若．即有的圖象與x軸有兩個交點，當，時，滿足，即與x軸交于，，則的零點為兩個，綜上，是有三個不同零點的必要不充分條件．【點睛】方法點睛：零點問題（1）直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．（3）利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．19.日常生活中，較多產(chǎn)品的包裝盒呈正四棱柱狀，比如月餅盒.烘焙店在售賣月餅時，為美觀起見，通常會用彩繩對月餅盒做一個捆扎，常見的捆扎方式有兩種，如圖（A）、（B）所示，并配上花結(jié).圖（A）中，正四棱柱的底面是正方形，且，.（1）若，記點關(guān)于平面的對稱點為，點關(guān)于直線的對稱點為.（?。┣缶€段的長；（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.（2）據(jù)烘焙店的店員說，圖（A）這樣的捆扎不僅漂亮，而且比圖（B）的十字捆扎更節(jié)省彩繩.你同意這種說法嗎？請給出你的理由.（注意，此時、、、、、、、這8條線段可能長短不一）【答案】（1）（ⅰ）（?、。?（2）答案見解析【解析】【分析】（1）（?。┮詾樵c，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量為可求出點H到平面的距離，即可求出；（ⅱ）求出直線的方向向量與平面ABCD的法向量，由線面角的向量公式即可得出答案.（2）分別求出圖(A)和圖(B)中彩繩長度的最小值，比較它們的大小即可得出答案.【小問1詳解】（?。┤鐖D，以為原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為則有，取得點H到平面的距離，線段的長為（ⅱ）設(shè)為的中點，則且，