遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2024年9月高三聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由指對數(shù)運(yùn)算分別得出集合,再應(yīng)用交集定義運(yùn)算即可.【詳解】由題可知,,,因此.故選：A.2.命題“，”的否定是（）A， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，且必須否定結(jié)論即得.【詳解】命題“，”的否定是“，”．故選：B．3.已知是無窮數(shù)列，，則“對任意的，都有”是“是等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分性和必要性的判斷，直接論證即可.【詳解】對任意的，都有，令，可以得到，因此是公差為的等差數(shù)列；若，則，，，可得，故“對任意的，都有”是“是等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A4.函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移即可求解.【詳解】的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到的圖象故選：A．5.通常用聲強(qiáng)來度量聲音的強(qiáng)弱，假設(shè)講話瞬間發(fā)出聲音的聲強(qiáng)為，則經(jīng)過t秒后這段聲音的聲強(qiáng)變?yōu)椋渲惺且粋€常數(shù).定義聲音的聲強(qiáng)衰減到原來的所需的時間為，則約為（）附：，．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用指對數(shù)轉(zhuǎn)化得出，再應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算律結(jié)合計算即可.【詳解】由題意，，即，等號兩邊同時取自然對數(shù)得，即，所以．故選：B．6.已知數(shù)列的前n項和為．若，，則（）A.48 B.50 C.52 D.54【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，即可根據(jù)奇偶項分別為等差數(shù)列，分組求和，或者利用為等差數(shù)列，即可由等差求和公式求解.【詳解】方法一：∵①，∴當(dāng)時，②，①-②得當(dāng)時，，∴中奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等差數(shù)列，公差均為2．∵，∴當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，．∴．方法二：∵，∴，，∴數(shù)列是以7為首項，4為公差的等差數(shù)列，∴．故選：C．7.已知函數(shù)，對任意的都有，且，則下列說法不正確的是（）A. B.是奇函數(shù)C.是上的增函數(shù) D.【答案】C【解析】【分析】對于A，取即得；對于B，使代入推理即得；對于C，通過推理得到，取反例進(jìn)行驗證即可否定結(jié)論；對于D，取，，推理得到是首項為1，公差為1的等差數(shù)列即得.【詳解】對于A，在中，令，得到，因此，所以選項A正確；對于B，令，得到，即，所以選項B正確；對于C，由可化為，，記，則，不妨取函數(shù)，顯然符合條件，則，因，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，令，，得，即，又，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，，故D正確.故選：C.8.若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令可得，令，即可求出，令，，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，即可求出的取值范圍.【詳解】令，即．令，定義域為0,+∞，，令，易知在0,+∞上單調(diào)遞增，且．令，，則函數(shù)有兩個零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增；所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則，解得，即實數(shù)的取值范圍是．故選：A．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是得到，從而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個交點.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】先由題意得，對于A，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得解；對于B，結(jié)合A得即可得解；對于C，舉一反例，如，時即可判斷；對于D，由A結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性即可得解.【詳解】因為，所以，當(dāng)時，為減函數(shù)，；當(dāng)時，為增函數(shù)，解得，故選項A錯誤；對于B，由A得，即，故選項B正確；對于C，當(dāng)，時，，故選項C錯誤；對于D，在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以由A得，選項D正確.故選：BD10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點和兩個極值點，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)周期以及最值可得，即可判斷A，代入驗證即可求解B，根據(jù)整體法求解函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C,由整體法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解D.【詳解】由題圖得，，又，所以，選項A正確；即，由，得，，解得，，又，所以，故，因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，選項B正確；令，，解得，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，則函數(shù)在區(qū)間上先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，選項C錯誤；因為，，由，得，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點和兩個極值點，則，解得，選項D錯誤．故選：AB．11.若定義在R上的函數(shù)，滿足，，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是周期為4的周期函數(shù)C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用與得到，然后利用，得到的周期性，然后得到周期；再利用fx+2=?fx與得到為偶函數(shù)；利用fx+2=?fx得到f1+f2+f3+f4=0【詳解】因為，所以．又因為，所以．又，則，即fx+2=?fx，所以，故是周期為4因為，所以也是周期為4的周期函數(shù)，選項B正確；因為，則，則，所以f?x=fx，所以為偶函數(shù)，選項因為fx+2=?fx，令，得，即，令，得，即f2+f4故f1+f2由，得，所以，選項D錯誤．故選：ABC．【點睛】當(dāng)有兩個函數(shù)時，需要根據(jù)其函數(shù)關(guān)系消元，得到一個函數(shù)的關(guān)系，然后得出的性質(zhì)；最后再利用與的關(guān)系求解相關(guān)的一些性質(zhì)即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知正實數(shù)a，b滿足，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合應(yīng)用基本不等式得出乘積的最大值.【詳解】因為正實數(shù)a，b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，故ab的最大值為．故答案為：．13.設(shè)集合，．若；則a=________．【答案】2【解析】【分析】先化簡，再利用集合的性質(zhì)，以及集合的計算求解即可.【詳解】因為，，所以，所以是整數(shù)，且，再由集合中元素的互異性知，，．所以a是整數(shù)，且，，，得．當(dāng)時，，，故，滿足條件．故答案為：2．14.已知且時，不等式恒成立，則正數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】將a視為主元，利用基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，從而得當(dāng)時，恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求解即可.【詳解】解：將a視主元，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故當(dāng)時，恒成立.設(shè)，則，易知單調(diào)遞增，且，①若，即時，則，所以在單調(diào)遞增，故只需，即，解得；②若，即時，，即時，恒成立.綜上，m的取值范圍是.故答案為：【點睛】方法點睛：對于多參元恒成立問題，常將其中一個參數(shù)看成主元進(jìn)行轉(zhuǎn)化，已達(dá)到化多參為單參目的.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若是函數(shù)的極小值點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，由求解即可；（2）求導(dǎo)，由，，分類討論即可【小問1詳解】（1）當(dāng)時，，，由解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】，時，或.①若，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，因此時，函數(shù)取極小值；②若，當(dāng)或時，，因此不是函數(shù)的極值點；③若，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，因此時，函數(shù)取極大值.綜上，a的取值范圍是.16.已知函數(shù)．（1）求曲線的對稱軸；（2）已知，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先化簡的解析式，再根據(jù)對稱軸公式即可求解；(2)先代入函數(shù)求出，再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，再根據(jù)即可求解.【小問1詳解】，，，由，得曲線的對稱軸為；【小問2詳解】由題意可得，即，又，則，即，所以，故.17.如圖，已知斜三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让妫瑐?cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，，點E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先連接，，然后證明平面平面，然后利用面面平行性質(zhì)定理證明平面即可；（2）先找到垂直關(guān)系，然后建立空間直角坐標(biāo)系，計算即可.【小問1詳解】證明：因為點，，分別為棱，，的中點，連接，，則，，又因為平面，平面，所以平面，同理可得平面ABC，因為，平面，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面ABC．【小問2詳解】解：側(cè)面是矩形，所以，又因為平面平面，平面平面，所以平面，又平面，因此．在菱形中，，因此是等邊三角形，又是的中點，所以，從而得．如圖，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．因為，所以，因此，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為m=x由，得，由，得，令，得，設(shè)平面的法向量為n=x由，得，由，得，令，得，．所以二面角的余弦值為．18.已知正項數(shù)列滿足，，且對于任意，滿足．（1）求出數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，證明：數(shù)列的前n項和；（3）設(shè)，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)得出，兩相減可得，從而可以得出為定值，即為等差數(shù)列，從而得解；（2）先由（1）求出，然后利用，再利用裂項相消求和即可得證；（3）由，結(jié)合進(jìn)行縮放，再結(jié)合裂項相消法求和即可得證.【小問1詳解】因為，，，當(dāng)時，，計算得，由，可得，兩相減可知，整理可得，所以為定值，定值為，所以所以為等差數(shù)列，故．【小問2詳解】證明:由（1）得，所以，，故因為，所以，所以，即【小問3詳解】證明：，因為，所以．另解：．19.對于數(shù)列，定義：如果函數(shù)使得數(shù)列的前項和小于，則稱數(shù)列是“控制數(shù)列”.（1）設(shè)，證明：存在，使得等差數(shù)列是“控制數(shù)列”；（2）設(shè)，判斷數(shù)列是否為“控制數(shù)列”，并說明理由；（3）仿照上述定義，我們還可以定義：如果存在實數(shù)使得數(shù)列的前項積小于，則稱數(shù)列是“特控數(shù)列”.設(shè)，其中，證明：數(shù)列是“特控數(shù)列”.【答案】（1）證明見解析（2）是，理由見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合等差數(shù)列求和公式，令，，即可得證；（2）構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得，即可得，從而可得數(shù)列前項小于；（3）借助第二問中所得得到時，，從而得到當(dāng)時，有，再構(gòu)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到其單調(diào)性從而證明即可得證.【小問1詳解】不妨設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，前n項和為，則，取，，，則，有，即，即存在，使得等差數(shù)列是