人教版八年級數學下冊舉一反三19.8一次函數全章七類必考壓軸題(學生版+解析)

專題19.8一次函數全章七類必考壓軸題【人教版】必考點1必考點1根據情景確定函數圖象1．（2022秋·山西呂梁·八年級?？计谀┮阎獌蓚€等腰直角三角形的斜邊放置在同一直線l上，且點C與點B重合，如圖①所示．△ABC固定不動，將△A′B′C′在直線l上自左向右平移．直到點B′移動到與點C重合時停止．設△A′B′C′移動的距離為x，兩個三角形重疊部分的面積為y，y與x之間的函數關系如圖②所示，則△ABC的直角邊長是（）A．42 B．4 C．32 D．32．（2022秋·廣東汕頭·八年級林百欣中學校考期中）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠A=60°，點P從點A出發(fā)，沿路線A→B→C→D運動．設P點經過的路程為x，以點A，D，P為頂點的三角形的面積為y，則下列圖象能反映y與x的函數關系的是（

）B．C．D．3．（2022春·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在直角坐標系中，有一矩形ABCD，長AD=2，寬AB=1,AB//y軸，AD//x軸．點D坐標為3,1，該矩形邊上有一動點P，沿A→B→C→D→A運動一周，則點P的縱坐標yp與點P走過的路程s之間的函數關系用圖象表示大致是(

A． B．C． D．4．（2022秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）已知甲、乙兩地相距24千米，小明從甲地勻速跑步到乙地用時3小時，小明出發(fā)0.5小時后，小聰沿相同的路線從甲地勻速騎自行車到甲乙兩地中點處的景區(qū)游玩1小時，然后按原來速度的一半騎行，結果與小明同時到達乙地．小明和小聰所走的路程S（千米）與時間t（小時）的函數圖象如圖所示．（1）小聰騎自行車的第一段路程速度是______千米/小時．（2）在整個過程中，小明、小聰兩人之間的距離S隨t的增大而增大時，t的取值范圍是______．5．（2022秋·重慶酉陽·八年級統(tǒng)考期末）為參加“重慶長江三峽國際馬拉松”比賽，甲乙兩運動員相約晨練跑步．甲比乙早1分鐘跑步出門，3分鐘后他們相遇．兩人寒暄2分鐘后，決定進行同向跑步練習，練習時甲的速度是180米/分，乙的速度是240米/分．練習5分鐘后，乙突感身體不適，于是他按原路以出門時的速度返回，直到與甲再次相遇．如圖是甲、乙之間的距離y（千米）與甲跑步所用時間t（分鐘）之間的函數圖象．問甲從他家出發(fā)到他們再次相遇時，一共用了____________分鐘．6．（2022春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）圖①長方形ABCD，AB＝20cm，BC＝16cm，點P從點A出發(fā)，沿A－Ｂ－C－D的路線以每秒2cm的速度勻速運動，到達點D時停止運動．圖②是點P出發(fā)x秒時，△APD的面積Scm2與時間(1)根據題目提供的信息，求出a，b，c的值；(2)寫出點P距離點D的路程y（cm）與時間x（s）的關系式：(3)點P出發(fā)幾秒時，△APD的面積是長方形ABCD面積的15必考點2必考點2三角形的面積與一次函數1．（2022秋·廣東佛山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+1分別交x軸，y軸于點A、B．另一條直線CD與直線AB交于點Ca,6，與x軸交于點D3,0，點P是直線CD上一點（不與點(1)求a的值．(2)當△APC的面積為18時，求點P的坐標．(3)若直線MN在平面直角坐標系內運動，且MN始終與AB平行，直線MN交直線CD于點M，交y軸于點N，當∠BMN=90°時，求△BMN的面積．2．（2022秋·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線AB經過點1,?2，且與x軸交于點A2,0，與y軸交于點B，作直線AB關于y軸對稱的直線BC交x軸于點C，點P為OC(1)求直線AB的函數表達式和點B的坐標；(2)若經過點P的直線l將△ABC的面積分為1:3的兩部分，求所有符合條件的直線l的函數表達式．3．（2022秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，已知點A和點C的坐標分別為0,2和?1,0，過點A、B的直線關系式為y=kx+b(1)點B的坐標為：___________．(2)求直線AB的函數關系式．(3)在x軸上有一個點D，已知直線AD把S△AON的面積分為1:2兩部分，請直接寫出點D(4)在線段AN上是否存在點P，使△ACP的面積為4?若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．(5)直線y=?x+b與△ABC有公共點，直接寫出b的取值范圍．4．（2022春·福建福州·八年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，點M?1，m，N?1，n，原點O關于直線MN的對稱點為A，直線(1)填空：①點A的坐標是______；②當m=1，n=?2時，點P的坐標為______；(2)連接ON，若n=?2m，△ONP的面積為12，求m的值；(3)過點P作MN的垂線，垂足為Q，連接OQ，若mn=?1m≠±1，求證：PQ=OQ5．（2022秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知長方形OABC的頂點O在坐標原點，A、C分別在x、y軸的正半軸上，頂點B（8，6），直線y＝﹣x+b經過點A交BC于D、交y軸于點M，點P是AD的中點，直線OP交AB于點E．(1)求點D的坐標及直線OP的解析式；(2)點N是直線AD上的一動點（不與A重合），設點N的橫坐標為a，請寫出△AEN的面積S和a之間的函數關系式，并請求出a為何值時S＝12；(3)在x軸上有一點T（t，0）（5＜t＜8），過點T作x軸的垂線，分別交直線OE、AD于點F、G，在線段AE上是否存在一點Q，使得△FGQ為等腰直角三角形，若存在，請寫出點Q的坐標及相應的t的值；若不存在，請說明理由．6．（2022春·新疆省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期末）如圖1，點E是正方形ABCD的邊BC上的任意一點（不與B、C重合），EF⊥AE與正方形的外角∠DCG的角平分線交于點F．(1)求證：AE=EF．(2)將圖1放在平面直角坐標系中，如圖2，連DF、BF，BF與AE交于點H，若正方形ABCD的邊長為4，則四邊形ABFD的面積是否隨E點位置的變化而變化？若不變，請求出四邊形ABFD的面積．(3)在的（2）條件下，若S△BCF=4，求四邊形7．（2022春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）將直角坐標系中一次函數的圖像與坐標軸圍成的三角形，叫做此一次函數的坐標三角形（也稱為直線的坐標三角形）．如圖，一次函數y=kx-7的圖像與x、y軸分別交于點A、B，那么△ABO為此一次函數的坐標三角形（也稱為直線AB的坐標三角形）．(1)如果點C在x軸上，將△ABC沿著直線AB翻折，使點C落在點D0,18上，求直線BC(2)如果一次函數y=kx-7的坐標三角形的周長是21，求k值；(3)在（1）（2）條件下，如果點E的坐標是0,8，直線AB上有一點P，使得△PDE周長最小，求此時△PBC的面積．必考點3必考點3一次函數與全等三角形1．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標系中，x軸上一點A4，0，過點A作直線AB⊥x軸，交正比例函數y=34x的圖象于點B．點M從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線OB運動，設其運動時間為t（秒），過點M作MN⊥OB交直線AB于點2．（2022秋·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D，平面直角坐標系中，已知直線y=x上一點P(1,1)，連接PC，以PC為邊做等腰直角三角形PCD，PC=PD，過點D作線段AB⊥x軸，直線AB與直線y=x交于點A，且BD=2AD，直線CD與直線y=x交于點Q，則Q點的坐標是_____．3．（2022秋·山東青島·八年級?？计谀灸Ｐ徒ⅰ咳鐖D，已知直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，過點C任作一條直線l（不與CA、CB重合），過點A作AD⊥l于D，過點B作BE⊥l于E，易證△ACD≌△CBE，進一步得到全等三角形的對應線段和對應角分別相等，這一證明在平面直角坐標系中也被廣泛使用．【模型應用】(1)如圖1，若一次函數y=-x+6的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點．若點B到經過原點的直線l的距離BE的長為4，求點A到直線l的距離AD的長；(2)如圖2，已知直線y=43x+4與y軸交于B點，與x軸交于A點，過點A作AC⊥AB于A，截取AC=AB，過B、C作直線，求直線BC【模型拓展】(3)如圖3，平面直角坐標系中，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，AB于y軸交于點D，點C的坐標為（0，-4），A點的坐標為（8，0），求B、D兩點的坐標．4．（2022秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期末）【操作思考】如圖1所示的網格中，建立平面直角坐標系．先畫出正比例函數y=x的圖像，再畫出△ABC關于正比例函數y=x的圖像對稱的△DEF．【猜想驗證】猜想：點Pa,b關于正比例函數y=x的圖像對稱的點Q驗證點Pa,b證明：如圖2，點Pa,b、Q關于正比例函數y=x的圖像對稱，PH⊥x軸，垂足為H【應用拓展】在△ABC中，點A坐標為3,3，點B坐標為?2,?1，點C在射線BO上，且AO平分∠BAC，則點C的坐標為_________．5．（2022秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線y=kx+b經過點A754,0，點B0,25，與直線y=34x交于點C，點D為直線AB上一動點，過D(1)求直線AB的表達式和點C的坐標；(2)當DE=23OA(3)連接OD，當△OAD沿著OD折疊，使得點A的對應點A1落在直線OC上，直接寫出此時點D6．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，平面直角坐標系中，一次函數y=kx+bk≠0的圖像經過點C4，?6，分別與x軸、y軸相交于點A、B，AB=AC．D0，?3(1)求直線AB的函數表達式；(2)①連接DP，若△DCP的面積為△DCB面積的15，則點P②若射線DP平分∠BDC，求點P的坐標；(3)如圖2，若點C關于直線DP的對稱點為C'，當C'恰好落在x軸上時，點7．（2022秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）已知，在平面直角坐標系xOy中，直線l1:y=34x+3交x軸于點A，B兩點，直線l2:y=kx+b交x軸于點C，D兩點，已知點C(1)求直線l2(2)設l1與l2交于點E，試判斷(3)點P，Q在△ACE的邊上，且滿足△OPC與△OPQ全等（點Q異于點C），直接寫出點Q的坐標．必考點4必考點4一次函數與等腰三角形1．（2022春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y1=kx+bk≠0經過點A7,0和點C3,4，直線y(1)求直線y1=kx+bk≠0(2)點D是射線OA上一動點，點O關于點D的對稱點為點E，過D點作DG⊥x軸，交直線OC于點G．以DE、DG為鄰邊作矩形DEFG．①當點F落在直線AB上時，直接寫出OD長；②當△OAF為等腰三角形時，直接寫出點D的坐標．（寫出一種情況即可）2．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖在平面直角坐標系中，直線y＝﹣43x+4交x軸于點C，交y軸于點B，直線y＝kx+4經過點B，交x軸于點A，且AC＝BC(1)求k的值；(2)以BC為邊在第一象限內作等腰直角△BCD，∠BCD＝90°，BC＝CD，動點P從點O出發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸向右運動，連接PD，設P點運動的時間為t，△PCD的面積為S，請用含t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；(3)在（2）的條件下，在點P運動過程中，當△PCD為等腰三角形時，求P點坐標．3．（2022春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=12x+b與x軸交于點A，直線y=?x+2與x軸交于點B(1)求a和b的值；(2)求△ABC的面積；(3)動點Pm,0在點A的右側，連接PC，當△ACP為等腰三角形時，求m4．（2022春·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線y=-x+10與x軸、y軸分別交于點B和點C，點A的坐標為（8，0），點P（x，y）是直線上第一象限內的一個動點．(1)求△OPA的面積S與x的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)當△OPA的面積為10時，求點P的坐標；(3)在直線BC上是否存在點M，使以O，B，M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．5．（2022秋·全國·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（0，4），B（﹣3，0），C（163，0），一次函數y＝kx+b（0＜k＜43）的圖像經過點B，且分別與線段AC和y軸交于點E、(1)判斷：△ABC是三角形．(2)當BE恰好平分∠ABC時，求點E的坐標．(3)問：是否存在實數k，使△AEF是等腰三角形？若存在，請直接寫出k的值；若不存在，請說明理由．6．（2022秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）已知直線l：y=3x+3與x軸交于點A，點B在直線l上，且位于y軸右側某個位置．(1)求點A坐標；(2)過點B作直線BC⊥AB，交x軸于點C，當△ABC的面積為60時，求點B坐標；(3)在（2）問條件下，D，E分別為射線AO與AB上兩動點，連接DE，DB，是否存在當△ADE為直角三角形同時△DEB為等腰三角形的情況，若存在，求出點E坐標；若不存在，說明理由．7．（2022秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在兩條坐標軸上，∠ACB＝90°，且A（0，4），點C（2，0）．(1)求直線AC的表達式和點B的坐標；(2)作BE⊥x軸于點E，一次函數y＝x＋b經過點B，交y軸于點D．①求△ABD的面積；②在直線AC上是否存在一點M，使得△MAE是以∠AEM為底角的等腰三角形，若存在，請直接寫出點M的橫坐標；若不存在，請說明理由．必考點5必考點5一次函數與等腰直角三角形（或45°角）1．（2022春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期末）（1）問題解決：①如圖1，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=13x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，以AB為腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，點A、B的坐標分別為A②求①中點C的坐標．小明同學為了解決這個問題，提出了以下想法：過點C向x軸作垂線交x軸于點D．請你借助小明的思路，求出點C的坐標；（2）類比探究數學老師表揚了小明同學的方法，然后提出了一個新的問題，如圖2，在平面直角坐標系xOy中，點A坐標0，?7，點B坐標8，0，過點B作x軸垂線l，點P是l上一動點，點D是在一次函數y=?2x+2圖象上一動點，若△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，請求出點2．（2022秋·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y=kx?4k(k≠0)過點Aa,b，交x軸于點B，點C在y軸上，△OBC(1)求點B的坐標；(2)若點A在第二象限，△OAC是以OA為底的等腰直角三角形，求k的值；(3)若直線y=kx?4k(k≠0)經過點C和點Da+2,c，且不論a取何值，都有c>b，求△OAD3．（2022秋·江蘇揚州·八年級?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為3,0，點B的坐標為0,4，點C在y軸上，作直線AC．點B關于直線AC的對稱點B'剛好在x軸上，連接C(1)寫出點B'的坐標，并求出直線AC(2)點D在線段AC上，連接DB、DB'、(3)如圖2，在（2）的條件下，點P從點B出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向原點O運動，到達點O時停止運動，連接PD，過D作DP的垂線，交x軸于點Q，問點P運動幾秒時△ADQ是等腰三角形．4．（2022秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A1,0，B0,2，C?1,?2，直線AB和直線AC的圖象相交于點A(1)求直線AB和直線AC的函數表達式；(2)請直接寫出△ABC的面積為___________，在第一象限，直線AC上找一點D，連接BD，當△ABD的面積等于△ABC的面積時，請直接寫出點D的坐標為___________．(3)點E是直線AB上的一個動點，在坐標軸上找一點F，連接CE，EF，F(xiàn)C，當△CEF是以CE為底邊的等腰直角三角形時，請直接寫出△CEF的面積為___________．5．（2022春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AP的解析式為y=3x?3，此直線交x軸于點P，交y軸于點A，直線x=?2與x軸交于點N．(1)求A，P兩點的坐標；(2)如圖1，若點M在x軸上方，且在直線x=?2上，若△MAP面積等于9，請求出點M的坐標；(3)如圖2，已知點C?2，4，若點B為射線AP上一動點，連接BC，在坐標軸上是否存在點Q，使△BCQ是以BC為底邊的等腰直角三角形，直角頂點為Q6．（2022秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）模型建立：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．(1)求證：△BEC≌△CDA．(2)模型應用：已知直線l1:y=43x+4與y軸交與A點，將直線l1繞著A點順時針旋轉(3)如圖3，矩形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為8,6，A、C分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，設PC=m，已知點D在第一象限，且是直線y=2x?6上的一點，若△APD是不以A為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出點D的坐標．7．（2022秋·江蘇·八年級期末）【模型建立】如圖1，在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線ED經過點C，過點A作AD⊥ED于點D，過點B作BE⊥ED于點E，易證明ΔBEC?Δ【模型應用】(1)如圖1，若AD=3,BE=4，則ΔABC(2)如圖2，已知直線l1:y=43x+4與坐標軸交于點A、B，將直線l1繞點(3)如圖3，在平面直角坐標系中，直線l的函數關系式為：y=2x+1，點A3,2在直線l上找一點B，使直線AB與直線l的夾角為45°，直接寫出點B8．（2022秋·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，直線AB的解析式為y=kx+6，D點坐標為8,0，O點關于直線AB的對稱點C點在直線AD上．（1）求直線AB的解析式；（2）如圖2，在x軸上是否存在點F，使△ABC與△ABF的面積相等，若存在求出F點坐標，若不存在，請說明理由；（3）如圖3，過點G5,2的直線l:y=mx+b．當它與直線AB夾角等于45°時，求出相應m必考點6必考點6一次函數與動點最值問題1．（2022秋·陜西西安·八年級西安市鐵一中學校考期末）已知直線y=?x+5與y軸交于A點，與x軸交于B點，過點M(1,?2)的正比例函數圖象上有一個動點P，則AP的最小值為（

）A．5 B．25 C．3 2．（2022秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點A1,3，點B3,4，點D是一次函數y=?x+2上的點，連接AD，BD，則AD+BD的最小值是（A．25 B．33 C．43．（2022秋·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，線段AC所在直線的解析式為y=?x+4，點E是AB的中點，點P是AC上一動點，則PB+PE的最小值是____________．4．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=kx+bk≠0的圖像經過A4,0、(1)k=______，b=______．(2)已知M?1,0、N①在直線AB上找一點P，使PM=PN．用無刻度直尺和圓規(guī)作出點P（不寫畫法，保留作圖痕跡）；②點P的坐標為______；③點Q在y軸上，那么PQ+NQ的最小值為______．5．（2022秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）已知，一次函數y=(2?t)x+4與y=?(t+1)x?2的圖像相交于點P，分別與y軸相交于點A、B．其中t為常數，t≠2且t≠?1．(1)求線段AB的長；(2)試探索△ABP的面積是否是一個定值？若是，求出△ABP的面積；若不是，請說明理由；(3)當t為何值時，△ABP的周長最小，并求出△ABP周長的最小值．6．（2022秋·山西大同·八年級大同市第六中學校?？计谀┤鐖D，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A?6,4，B?4,0，(1)作△ABC關于y軸的軸對稱圖形得△A1B(2)已知點P是x軸上一點，則當PC1+PC7．（2022秋·陜西西安·八年級西安市鐵一中學校考期末）問題提出：(1)如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P為高AE上的動點，過點P作PH⊥AC于H，則PHAP問題探究：(2)如圖2，在平面直角坐標系中，直線y=?3x+23與x軸、y軸分別交于點A、B．若點P是直線AB上一個動點，過點P作PH⊥OB于H問題解決：(3)如圖3，在平面直角坐標系中，長方形OABC的OA邊在x軸上，OC在y軸上，且B6,8．點D在OA邊上，且OD=2，點E在AB邊上，將△ADE沿DE翻折，使得點A恰好落在OC邊上的點A'處，那么在折痕DE上是否存在點P使得必考點7必考點7一次函數的應用1．（2022春·福建廈門·八年級期末）某自動販賣機售賣A、B兩種盲盒，B種盲盒的價格比A種盲盒價格的6倍少60元，該販賣機存儲的A種盲盒不低于22個，B種盲盒的數量不少于A種的2倍，且最多可存儲兩種盲盒100個，某天上午售賣后，工作人員及時補貨，將售賣機裝滿，該天下午，由于系統(tǒng)bug，B種盲盒的價格變?yōu)樵瓉鞟種的價格，而A種的價格變?yōu)樵瓉韮r格的5倍少50元后再打了個六折，下午A種盲盒的銷量變?yōu)樯衔绲?倍，而B種盲盒的銷量不變，結果上午的銷售額比下午多390元，其中兩種盲盒的價格均為整數，則下午販賣的盲盒的銷售額最多可為____________元．2．（2022春·黑龍江鶴崗·八年級期末）哈爾濱至名山風景區(qū)的高鐵工程已經進入施工階段，現(xiàn)要把248噸物資從伊春運往綏化和鶴崗兩地，用大、小兩種貨車共20輛恰好能一次性運完這批貨物，已知大、小兩種貨車的載重量分別是每輛16噸和10噸，運往綏化和鶴崗的運費如表：車型綏化（元/輛）鶴崗（元/輛）大貨車620700小貨車400550(1)兩種貨車各有多少輛？(2)若安排9量貨車前往綏化，其余貨車前往鶴崗，設前往綏化的大貨車為a輛，且運往綏化的物資不少于120噸，那么一共有多少種運送方案？其中那種方案運費最省錢？3．（2022秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）某商店出售普通練習本和精裝練習本，150本普通練習本和100本精裝練習本銷售總額為1450元；200本普通練習本和50本精裝練習本銷售總額為1100元．(1)求普通練習本和精裝練習本的銷售單價分別是多少？(2)該商店計劃再次購進500本練習本，普通練習本的數量不低于精裝練習本數量的3倍，已知普通練習本的進價為2元/個，精裝練習本的進價為7元/個，設購買普通練習本x個，獲得的利潤為W元；①求W關于x的函數關系式②該商店應如何進貨才能使銷售總利潤最大？并求出最大利潤．4．（2022春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）已知A，B兩地相距25km．甲8：00由A地出發(fā)騎電動自行車去B地，平均速度為20km/h；乙在8：15由A地出發(fā)乘汽車也去B地，平均速度為40km/h．(1)分別寫出兩個人的行程關于時刻的函數解析式，在同一坐標系中畫出函數的圖象；(2)乙能否在途中超過甲？如果能超過，請結合圖象說明，何時超過？(3)設甲、乙兩人之間的距離為d，試寫出關于時刻的函數解析式，并畫出此函數的圖象．5．（2022春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）某市A，B兩個蔬菜基地得知四川C，D兩個災民安置點分別急需蔬菜240t和260t的消息后，決定調運蔬菜支援災區(qū)，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，現(xiàn)將這些蔬菜全部調運C，D兩個災區(qū)安置點從A地運往C，D兩處的費用分別為每噸20元和25元，從B地運往C，D兩處的費用分別為每噸15元和18元．設從B地運往(1)請?zhí)顚懴卤恚⑶髢蓚€蔬菜基地調運蔬菜的運費相等時x的值：CD總計/A200Bx300總計/240260500(2)設A，B兩個蔬菜基地的總運費為w元，求出w與x之間的函數關系式，并求總運費最小的調運方案．6．（2022秋·江蘇·八年級期末）某大學生創(chuàng)業(yè)，購進A、B共300件，進貨時發(fā)現(xiàn)：8件A商品和4件B商品進貨需要72元；4件A商品和3件B商品進貨需要38元，設B的件數80≤x≤200，A，B的總售價分別為函數z1，z2.z1與銷售件數之間是一次函數的關系，如下表：銷售件數x01234總售價010203040z2與x的函數關系如圖所示：(1)直接寫出z1，z2與x的函數關系；(2)設銷售A，B兩種商品所獲利總利潤為y元，求y與x之間的函數解析式；(3)大學生引進的300件A，B商品全部售完，共獲利350元，他計劃每件A，B商品捐給學?；鸱謩e捐2m元，m元，捐款數恰好為總成本的10%，求m的值．7．（2022春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）某裝修公司與甲、乙兩家品牌供應商簽訂長期供應某款門鎖的供貨合同，該公司每月向每家供應商至少訂購門鎖20把，根據業(yè)務需求，該裝修公司每月向兩家供應商訂購該款門鎖共200把．五月份該公司向甲、乙兩家供應商支付門鎖的費用分別是4400元和12000元，甲供應商門鎖的單價是乙供應商的1.1倍．(1)五月份甲、乙兩家供應商門鎖的單價分別是多少元？(2)受國際金屬價格波動的影響，六月份，甲供應商門鎖的單價在五月份的基礎上提高了a（a>0）元，乙供應商的單價提高了15%．若在乙供應商處購買的門鎖數量不少于甲的一半，則如何安排進貨才能使裝修公司的進貨成本最少？最少進貨成本是多少？專題19.8一次函數全章七類必考壓軸題【人教版】必考點1必考點1根據情景確定函數圖象1．（2022秋·山西呂梁·八年級校考期末）已知兩個等腰直角三角形的斜邊放置在同一直線l上，且點C與點B重合，如圖①所示．△ABC固定不動，將△A′B′C′在直線l上自左向右平移．直到點B′移動到與點C重合時停止．設△A′B′C′移動的距離為x，兩個三角形重疊部分的面積為y，y與x之間的函數關系如圖②所示，則△ABC的直角邊長是（）A．42 B．4 C．32 D．3【答案】C【分析】由當A'B'與AB重合時，即x=m，此時B'走過的距離為m，重疊部分面積達到最大值，為△A'B'C'的面積，結合題意即可求出m的值．再根據，當A'C'【詳解】如圖，當A'B'與AB重合時，即點B'到達B點，此時x=m．此時B'走過的距離為m∵△A∴S△∴A'∴B'如圖，當A'C'與AC重合時，即點C'到達C點，此時x=m+4．此時重疊部分面積即將變小，且∴此時BB∴BC'=B∵△ABC為等腰直角三角形，∴AB=2故選C．【點睛】本題考查圖形的平移，等腰直角三角形的性質，勾股定理，函數的圖象．解題的關鍵是通過函數圖象得到△A2．（2022秋·廣東汕頭·八年級林百欣中學?？计谥校┤鐖D，在邊長為4的菱形ABCD中，∠A=60°，點P從點A出發(fā)，沿路線A→B→C→D運動．設P點經過的路程為x，以點A，D，P為頂點的三角形的面積為y，則下列圖象能反映y與x的函數關系的是（

）B．C．D．【答案】B【分析】過點B作BE⊥AD于點E，根據題意，得出AB=AD=BC=4，∠ABE=30°，再利用直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半，得出AE=2，在利用勾股定理，得出BE=23，然后分三種情況：當點P在線段AB上時，即0≤x≤4時；當點P在BC上運動時，即4≤x≤8；當點P在線段CD上時，即8≤x≤12【詳解】解：如圖1，過點B作BE⊥AD于點E，∵在邊長為4的菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD=BC=4，∴∠ABE=30°，∴AE=2，BE=23當點P在線段AB上時，即0≤x≤4時，如圖2，過點P作PF⊥AD于點F，則AP=x，∴S△ADP∴△ADP的面積隨x的增大而增大；當點P在BC上運動時，即4≤x≤8，S△ADP∴△ADP的面積保持不變；當點P在線段CD上時，即8≤x≤12，如圖3，過點P作PH⊥AD交AD的延長線于點H，∴AB+BC+CP=x，∴DP=12?x，DH=6?12x∴S△ADP∴△ADP的面積隨x的增大而減?。C上可得：當0≤x≤4，y隨x的增大而增大；當4≤x≤8時，y隨x的增大而不變；當8≤x≤12時，y隨x的增大而減?。蔬x：B【點睛】本題考查了動態(tài)問題與函數圖象，涉及菱形的性質、含30°的直角三角形、勾股定理、三角形的面積等知識點，解本題的關鍵在根據點P運動的軌跡，分情況進行討論．3．（2022春·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在直角坐標系中，有一矩形ABCD，長AD=2，寬AB=1,AB//y軸，AD//x軸．點D坐標為3,1，該矩形邊上有一動點P，沿A→B→C→D→A運動一周，則點P的縱坐標yp與點P走過的路程s之間的函數關系用圖象表示大致是(

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據則點P的縱坐標y隨點P走過的路程s之間的函數關系圖象可以分為4部分，當P點在AB上，當P點在BC上，當P點在CD上，點P在AD上即可得出圖象．【詳解】∵矩形ABCD，長AD=2，寬AB=1,矩形邊上有一動點P，沿A→B→C→D→A運動一周，∴點P的縱坐標y隨點P走過的路程s之間的函數關系圖象可以分為4部分，∴P點在AB上，此時縱坐標越來越大，最小值是1，最大值為2，P點在BC上，此時縱坐標為定值2．當P點在CD上，此時縱坐標越來越小，最大值是2，最小值為1，P點在AD上，此時縱坐標為定值1．故選：D．【點睛】此題主要考查了動點問題的函數圖象問題，解決問題的關鍵是分解函數得出不同位置時的函數關系，進而得出圖象．4．（2022秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）已知甲、乙兩地相距24千米，小明從甲地勻速跑步到乙地用時3小時，小明出發(fā)0.5小時后，小聰沿相同的路線從甲地勻速騎自行車到甲乙兩地中點處的景區(qū)游玩1小時，然后按原來速度的一半騎行，結果與小明同時到達乙地．小明和小聰所走的路程S（千米）與時間t（小時）的函數圖象如圖所示．（1）小聰騎自行車的第一段路程速度是______千米/小時．（2）在整個過程中，小明、小聰兩人之間的距離S隨t的增大而增大時，t的取值范圍是______．【答案】

24

0≤t≤0.5，0.75≤x≤1，1.5x≤t≤2【分析】（1）設小聰騎自行車的第一段路程速度是a千米/小時，則第二段路程的速度為12（2）分析題意，結合函數圖象可知，從0≤t≤0.5時，兩人的距離S隨t的增大而增大，當第一次相遇到小聰停下，S隨t的增大而增大，當兩人再次相遇到小聰開始騎行第二段路程時，S隨t的增大而增大．【詳解】（1）設小聰騎自行車的第一段路程速度是a千米/小時，則第二段路程的速度為120.5解得a=24，經檢驗，a=24是原方程的解，故答案為：24∴第一段路程的速度為12千米/小時（2）結合函數圖象可知，從0≤t≤0.5時，兩人的距離S隨t的增大而增大，小明的速度為243當第一次相遇時，8x=24解得x=0.75當第一次相遇到小聰停下，此時0.75≤x≤1，當第二次相遇時，8x=12解得x=1.5小聰開始騎行第二段路程時的時間為x=1+0.5=1.5，當兩人再次相遇到小聰開始騎行第二段路程時，S隨t的增大而增大，此時1.5≤x≤2．當x>2時，因為小聰的速度大于小明的速度，則兩人的距離隨t的增大而減小，綜上所述，0≤t≤0.5，0.75≤x≤1，1.5x≤t≤2時，S隨t的增大而增大，故答案為：0≤t≤0.5，0.75≤x≤1，1.5x≤t≤2【點睛】本題考查了分式方程的應用，函數圖象，從函數圖象獲取信息是解題的關鍵．5．（2022秋·重慶酉陽·八年級統(tǒng)考期末）為參加“重慶長江三峽國際馬拉松”比賽，甲乙兩運動員相約晨練跑步．甲比乙早1分鐘跑步出門，3分鐘后他們相遇．兩人寒暄2分鐘后，決定進行同向跑步練習，練習時甲的速度是180米/分，乙的速度是240米/分．練習5分鐘后，乙突感身體不適，于是他按原路以出門時的速度返回，直到與甲再次相遇．如圖是甲、乙之間的距離y（千米）與甲跑步所用時間t（分鐘）之間的函數圖象．問甲從他家出發(fā)到他們再次相遇時，一共用了____________分鐘．【答案】11【分析】由圖象可以看出，0-1min內，甲的速度可由距離減小量除以時間求得，1-3min內，根據等量關系“距離減小量=甲跑過的路程+乙跑過的路程”可得出乙的速度；由于甲的速度始終是180米/分，乙的速度開始是240米/分，則他們的速度之差是60米/分，則5分鐘相差400米，設再經過t分鐘兩人相遇，利用相遇問題得到180t+120t=400，然后求出t后加上前面的10分鐘可得到小剛從家出發(fā)到他們再次相遇的時間總和．【詳解】甲出門時的速度v1=（540-440）=100（米/分），設乙出門時的速度為v2（米/分），根據題意得2×（v1+v2）=440，解得v2=120米/分，甲的速度始終是180米/分，乙的速度開始為240米/分，他們的速度之差是60米/分，5分鐘相差300米，設再經過t分鐘兩人相遇，則180t+120t=300，解得t=1（分）所以甲從家出發(fā)到他們再次相遇時5+5+1=11（分）．故答案為：11．【點睛】本題考查了一次函數的應用：會利用一次函數圖象解決行程問題的數量關系，相遇問題，追擊問題的綜合應用；解答時靈活運用行程問題的數量關系解答是關鍵．6．（2022春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）圖①長方形ABCD，AB＝20cm，BC＝16cm，點P從點A出發(fā)，沿A－Ｂ－C－D的路線以每秒2cm的速度勻速運動，到達點D時停止運動．圖②是點P出發(fā)x秒時，△APD的面積Scm2與時間(1)根據題目提供的信息，求出a，b，c的值；(2)寫出點P距離點D的路程y（cm）與時間x（s）的關系式：(3)點P出發(fā)幾秒時，△APD的面積是長方形ABCD面積的15【答案】(1)a=160；b=18；c=28(2)y=4(3)4秒或24秒【分析】（1）根據△DAB的面積求出a的值；再根據時間=路程÷速度求出b的值，再根據c=10+b求出c的值；（2）分0≤x≤10，10＜x≤18，18＜x≤28三種情況，分段寫出y與x的關系式即可；（3）先求出矩形面積，再根據△APD的面積是長方形ABCD面積的15，求出x（1）解：由圖②知，當x=10時，AP=10×2=20（cm），此時點P與點B重合，∴S△DAP=S△DAB=12AB?AD=12×20×16=160（cm∴a=160；當點P在BC邊上運動時，△ADP的面積為定值160不變，∵BC=AD=16cm，∴b=10+162∵CD=AB，∴點P在CD上運動的時間與在AB上運動時間相同，∴c=10+8+10=28；（2）①當0≤x≤10時，如圖甲所示：由勾股定理可得：DP=AD∴y=162②當10＜x≤18時，如圖乙所示：由勾股定理可得：DP=DC∴y=202③當18＜x≤28時，點P在CD上運動，此時DP=AB+BC+CD-（AB+BC+CP）=CD-CP，∴y=20-2（x-18）=-2x+56．綜上所述，點P距離點D的路程y（cm）與時間x（s）的關系式為：y=4x

圖甲

圖乙（3）∵AD=16cm，AB=20cm，∴矩形ABCD的面積為20×16=320（cm2），當△APD的面積是長方形ABCD面積的15時，S△APD=15S矩形ABCD=15當0≤x≤10時，SAPD=12AD?AP=12×16×2解得：x=4，根據矩形的性質和點P的運動過程可知，當x=28-4=24時，△APD的面積是長方形ABCD面積的15∴點P出發(fā)4秒或24秒時，△APD的面積是長方形ABCD面積的15【點睛】本題考查動點問題的函數圖象、路程、速度、時間之間的關系，解題的關鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．必考點2必考點2三角形的面積與一次函數1．（2022秋·廣東佛山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+1分別交x軸，y軸于點A、B．另一條直線CD與直線AB交于點Ca,6，與x軸交于點D3,0，點P是直線CD上一點（不與點(1)求a的值．(2)當△APC的面積為18時，求點P的坐標．(3)若直線MN在平面直角坐標系內運動，且MN始終與AB平行，直線MN交直線CD于點M，交y軸于點N，當∠BMN=90°時，求△BMN的面積．【答案】(1)a=5(2)P點坐標為2,?3或8,15(3)S【分析】（1）將點Ca,6代入y=x+1即可求出a（2）先根據待定系數法求出CD的解析式，然后設Pm,3m?9，求出A?1,0，B0,1，得出AD=3??1=4，求出S△ADC=（3）過M作MH⊥BN，設Mm,3m?9，根據等腰直角三角形的性質和平行線的性質，求出m的值，得出MH=52【詳解】（1）解：將Ca,6代入y=x+16=a+1，a=5．（2）解：設直線CD解析式為y=kx+b，將C5,6、D6=5k+b0=3k+b，解得：k=3∴直線CD:y=3x?9，設Pm,3m?9把y=0代入y=x+1得：x+1=0，解得：x=?1，把x=0代入y=x+1得：y=1，∴A?1,0，B∴AD=3??1∴S△ADC①如圖1，m<3時，S△APC18=12+1解得：m=2，∴P2,?3②3≤m<6時，△APC的面積不可能為18，③如圖2，m>6時，S△APC18=1解得：m=8．∴P綜上，P點坐標為2,?3或8,15．（3）解：如圖3，過M作MH⊥BN，設Mm,3m?9∵A?1,0，B∴OA=OB=1，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵AB∥∴∠MNB=∠OBA=45°，∵∠BMN=90°，∴∠MNB=∠MBN=45°，∴MB=MN，∵MH⊥BN，∴BH=HN，∠BMH=NMB=45°，∴BH=NH=MH=m，∵OB=1，OH=?3m?9∴m=1+9?3m解：m=5∴MH=52，∴S【點睛】本題主要考查了求一次函數關系式，平行線的性質，等腰直角三角形的性質，三角形面積公式，解題的關鍵是作出圖形，注意分類討論．2．（2022秋·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線AB經過點1,?2，且與x軸交于點A2,0，與y軸交于點B，作直線AB關于y軸對稱的直線BC交x軸于點C，點P為OC(1)求直線AB的函數表達式和點B的坐標；(2)若經過點P的直線l將△ABC的面積分為1:3的兩部分，求所有符合條件的直線l的函數表達式．【答案】(1)y=2x?4．點B的坐標為0,?4(2)y=?4x?4或y=?【分析】（1）設直線AB的函數表達式為y=kx+bk≠0．將點1,?2，2,0（2）分兩種情況討論：①當直線l經過點B時，②當直線l與AB的交點D在第四象限時，分別進行討論，求出直線l的函數表達式．【詳解】（1）設直線AB的函數表達式為y=kx+bk≠0∵直線AB經過點1,?2，2,0，∴k+b=?22k+b=0，解得k=2∴直線AB的函數表達式為y=2x?4．將x=0代入y=2x?4中，得y=?4，∴點B的坐標為0,?4．（2）①當直線l經過點B時，如圖1．∵直線AB和直線BC關于y軸對稱，且點A、C都在x軸上，∴OA=OC=2，即C?2,0∵P為OC的中點，∴P?1,0，AP=3CP∴S△BCP設此時直線l的函數表達式為y=m將點P?1,0、B?m1+∴此時直線l的函數表達式為y=?4x?4；②當直線l與AB的交點D在第四象限時，如圖2．易得S△ABC∵直線l將△ABC的面積分為1:3的兩部分，∴S△APD=1∴12×3×y∴yD將y=?43代入y=2x?4，得∴點D的坐標為43設此時直線l的函數表達式為y=m將點D43,??m2+∴此時直線l的函數表達式為y=?4綜上所述，所有符合條件的直線l的函數表達式為y=?4x?4或y=?【點睛】本題考查一次函數的圖象及性質，一次函數與面積問題，熟練掌握一次函數的圖象及性質，分類討論是解題的關鍵．3．（2022秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，已知點A和點C的坐標分別為0,2和?1,0，過點A、B的直線關系式為y=kx+b(1)點B的坐標為：___________．(2)求直線AB的函數關系式．(3)在x軸上有一個點D，已知直線AD把S△AON的面積分為1:2兩部分，請直接寫出點D(4)在線段AN上是否存在點P，使△ACP的面積為4?若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．(5)直線y=?x+b與△ABC有公共點，直接寫出b的取值范圍．【答案】(1)?3,1(2)y=(3)?4,0或?2,0(4)存在，P(5)?2≤b≤2【分析】（1）作BH⊥x軸于點H．利用“一線三等角”模型證明ΔHBC≌ΔOCA，推出HB=OC，HC=OA，再根據A0,2（2）將A0,2，B?3,1代入（3）直線AD把ΔAON分成等高的兩個三角形，兩者的面積比等于底長的比，先求出N點的坐標，再分S△AOD=2（4）設Pm，1（5）分別計算直線y=?x+b經過A0,2，B?3,1時的b值，結合圖象即可得出【詳解】（1）解：如圖，作BH⊥x軸于點H．∵∠BHC=90°，∠ACB=90°，∴∠HBC+∠HCB=90°，∠ACO+∠HCB=90°，∴∠HBC=∠OCA．在ΔHBC和Δ∠HBC=∠OCA∠BHC=∠COA=90°∴ΔHBC≌ΔOCA∴HB=OC，HC=OA，∵A0,2，C∴HB=OC=1，OH=HC+OC=OA+OC=2+1=3，∴點B的坐標為?3,1；（2）解：設直線AB的函數關系式為y=kx+b，將A0,2，B得：b=2?3k+b=1解得：b=2k=∴直線AB的函數關系式為y=1（3）解：∵直線AB的函數關系式為y=1∴當y=0時，13x+2=0，解得∴N?6,0∴ON=6．由題意知，直線AD把ΔAON分兩種情況：當S△AOD=2S∴OD=2∴D?4,0當S△AND=2S∴OD=1∴D?2,0∴點D的坐標為?4,0或?2,0；（4）解：∵點P所在直線AB的函數關系式為y=1∴設Pm∵S∴S即12解得m=?24∴y∴P?故存在點P使△ACP的面積為4，點P的坐標是P?（5）解：當直線y=?x+b經過A0,2時，將A0,2代入可得b=2；當直線y=?x+b經過B?3,1時，將B?3,1代入可得3+b=1，解得b=?2；結合下圖可知，直線y=?x+b與△ABC有公共點時，b的取值范圍為?2≤b≤2．【點睛】本題屬于一次函數綜合題，考查利用待定系數法求一次函數解析式，求一次函數圖象與坐標軸的交點，一次函數圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定與性質，在坐標系中求三角形的面積，解題的關鍵是求出點B的坐標，以及熟練應用數形結合的思想．4．（2022春·福建福州·八年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，點M?1，m，N?1，n，原點O關于直線MN的對稱點為A，直線(1)填空：①點A的坐標是______；②當m=1，n=?2時，點P的坐標為______；(2)連接ON，若n=?2m，△ONP的面積為12，求m的值；(3)過點P作MN的垂線，垂足為Q，連接OQ，若mn=?1m≠±1，求證：PQ=OQ【答案】(1)①（﹣2，0）；②（﹣4，4）；(2)±2(3)見解析【分析】（1）①根據對稱性可得點A的坐標；②根據待定系數法可求得OM和AN的解析式，聯(lián)立方程可得點P的坐標；（2）由1知：點P的橫坐標為x=?2nm+n，根據n=?2m，可得x=?4，由已知△ONP的面積為12，列等式可得（3）先表示P和Q的坐標，分兩種情況：①當m>0m≠1時，如圖2，②當m<0m≠?1時，如圖3，分別計算PQ和（1）解：①∵點M（﹣1，m），N（﹣1，n），∴直線MN的解析式為：x＝﹣1，∵原點O關于直線MN的對稱點為A，∴A（﹣2，0）；故答案為：（﹣2，0）；②設OM的解析式為：y＝kx，∴﹣k＝m，∴k＝﹣m，∴OM的解析式為：y＝﹣mx，設AN的解析式為：y＝k1x+b，∴?2k解得：k1∴AN的解析式為：y＝nx+2n，∵nx+2n＝﹣mx，∴x＝﹣2nm+n當m＝1，n＝﹣2時，點P的坐標為（﹣4，4）；故答案為：（﹣4，4）；（2）解：由（1）知：點P的橫坐標為x=?2n∵n=?2m，∴x=??4m如圖1所示，∵△ONP的面積為12，∴S∴1∴MN=6，∴m?n∴3m=±6，∴m=±2；（3）證明：由（1）知：點P的橫坐標為x=?2n∴P?∵PQ⊥MN，∴Q?1,?∵mn=?1，∴m≠0，n≠0，分兩種情況：①當m>0m≠1時，如圖2∵mn=?1，∴n<0，m?n>0，∴?2n∴PQ=?2nOQ=1∴PQ=OQ；②當m<0m≠?1時，如圖3∴n>0，m?n<0，m+n<0，?2n同理得：PQ=?2nOQ=1∴PQ=OQ．

【點睛】本題是三角形的綜合題，考查軸對稱的性質，待定系數法求一次函數的解析式，坐標與圖形的性質，三角形的面積，兩點的距離等知識，解題的關鍵是會用參數表示點的坐標，線段的長，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．5．（2022秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知長方形OABC的頂點O在坐標原點，A、C分別在x、y軸的正半軸上，頂點B（8，6），直線y＝﹣x+b經過點A交BC于D、交y軸于點M，點P是AD的中點，直線OP交AB于點E．(1)求點D的坐標及直線OP的解析式；(2)點N是直線AD上的一動點（不與A重合），設點N的橫坐標為a，請寫出△AEN的面積S和a之間的函數關系式，并請求出a為何值時S＝12；(3)在x軸上有一點T（t，0）（5＜t＜8），過點T作x軸的垂線，分別交直線OE、AD于點F、G，在線段AE上是否存在一點Q，使得△FGQ為等腰直角三角形，若存在，請寫出點Q的坐標及相應的t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)點D的坐標為（2，6），直線OP的解析式為y=35x(2)S=?125a+965(3)在線段AE上存在一點Q，使得△FGQ為等腰直角三角形，當t=8013時點Q的坐標為（8，2413）或（8，4813），當t=203時點【分析】（1）根據長方形的性質可得出點A的坐標，利用待定系數法可求出直線AD的解析式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點D的坐標，再由點P是AD的中點可得出點P的坐標，進而可得出正比例函數OP的解析式；（2）由直線OP的解析式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點E的坐標，設點N的坐標為（a，-a+8），由△AEN的面積公式，可得出S和a之間的函數關系式，代入數值即可得出結論；（3）由點T的坐標可得出點F，G的坐標，分∠FGQ=90°、∠GFQ=90°及∠FQG=90°三種情況考慮：①當∠FGQ=90°時，根據等腰直角三角形兩直角邊相等可得出關于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性質可得出點Q的坐標；②當∠GFQ=90°時，根據等腰直角三角形兩直角邊相等可得出關于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性質可得出點Q的坐標；③當∠FQG=90°時，過點Q作QS⊥FG于點S，根據等腰直角三角形斜邊等于斜邊上高的二倍可得出關于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性質可得出點Q的坐標．綜上，此題得解．【詳解】（1）解：∵四邊形OABC為長方形，點B的坐標為（8，6），∴點A的坐標為（8，0），BC∥x軸．∵直線y=-x+b經過點A，∴0=-8+b，∴b=8，∴直線AD的解析式為y=-x+8．當y=6時，有-x+8=6，解得：x=2，∴點D的坐標為（2，6）．∵點P是AD的中點，∴點P的坐標為（2+82，6+0設直線OP的解析式為y=kx，∴3=5k，解得k=35∴直線OP的解析式為y=35x（2）解：當x=8時，y=35x=24∴點E的坐標為（8，245設點N的坐標為（a，-a+8）．∴S=12×245×|8-a|=125當a<8時，S=125|8-a|=?當a>8時，S=125|8-a|=12∴S=?12當S=12時，125|8-a解得：a=3或a=13；（3）解：∵點T的坐標為（t，0）（5＜t＜8），∴點F的坐標為（t，35t），點G的坐標為（t，-t分三種情況考慮：①當∠FGQ=90°時，如圖1所示．∵△FGQ為等腰直角三角形，∴FG=GQ，即35t-（-t+8）=8-t解得：t=8013此時點Q的坐標為（8，2413②當∠GFQ=90°時，如圖2所示．∵△FGQ為等腰直角三角形，∴FG=FQ，即35t-（-t+8）=8-t解得：t=8013此時點Q的坐標為（8，4813③當∠FQG=90°時，過點Q作QS⊥FG于點S，如圖3所示．∵△FGQ為等腰直角三角形，∴FG=2QS，即35t-（-t+8）=2（8-t解得：t=203此時點F的坐標為（203，4），點G的坐標為（203，此時點Q的坐標為（8，4+432綜上所述：在線段AE上存在一點Q，使得△FGQ為等腰直角三角形，當t=8013時點Q的坐標為（8，2413）或（8，4813），當t=203時點【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式、一次函數圖象上點的坐標特征、中點坐標公式、三角形的面積以及等腰直角三角形，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標，利用待定系數法求出一次函數解析式；（2）利用三角形的面積公式求解；（3）分∠FGQ=90°、∠GFQ=90°及∠FQG=90°三種情況求出t值．6．（2022春·新疆省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期末）如圖1，點E是正方形ABCD的邊BC上的任意一點（不與B、C重合），EF⊥AE與正方形的外角∠DCG的角平分線交于點F．(1)求證：AE=EF．(2)將圖1放在平面直角坐標系中，如圖2，連DF、BF，BF與AE交于點H，若正方形ABCD的邊長為4，則四邊形ABFD的面積是否隨E點位置的變化而變化？若不變，請求出四邊形ABFD的面積．(3)在的（2）條件下，若S△BCF=4，求四邊形【答案】(1)見解析(2)16(3)88【分析】（1）在AB上取點G，使BG=BE，連接EG，則△BGE是等腰直角三角形，再利用ASA證明△AGE≌△ECF，得AE=EF；（2）連接BD，根據CF∥BD，得S△BCD=S（3）作FN⊥BC于N，由S△BCF=4，可得FN=2，再利用AAS證明△ABE≌△ENF，得BE=FN=2，可知E（2，0）【詳解】（1）證明：在AB上取點G，使BG=BE，連接EG，則AG=EC，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°，∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEG=90°，∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CEF，∵BG=BE，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠AGE=∠ECF，∴△AGE≌△ECF（∴AE=EF；（2）解：四邊形ABFD的面積不變，為16，連接BD，∵∠BDC=∠DCF，∴CF∥∴S∴四邊形ABFD的面積為正方形ABCD的面積，∴四邊形ABFD的面積為16；（3）解：作FN⊥BC于N，∵S∴1∴FN=2，由（1）得，∵∠ABE=∠ENF，∠BAE=∠NEF，∴△ABE≌△ENF（∴BE=FN=2，∴E（設直線AE的解析式為y=kx+b，∴{b=4∴{k=?2∴直線AE的解析式為y=?2x+4，同理得，直線BF的解析式為y=1當?2x+4=1∴x=12∴y=4∴S∴S【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，待定系數法求直線解析式等知識，求出點H的坐標是解決問題（3）的關鍵．7．（2022春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）將直角坐標系中一次函數的圖像與坐標軸圍成的三角形，叫做此一次函數的坐標三角形（也稱為直線的坐標三角形）．如圖，一次函數y=kx-7的圖像與x、y軸分別交于點A、B，那么△ABO為此一次函數的坐標三角形（也稱為直線AB的坐標三角形）．(1)如果點C在x軸上，將△ABC沿著直線AB翻折，使點C落在點D0,18上，求直線BC(2)如果一次函數y=kx-7的坐標三角形的周長是21，求k值；(3)在（1）（2）條件下，如果點E的坐標是0,8，直線AB上有一點P，使得△PDE周長最小，求此時△PBC的面積．【答案】(1)84；(2)k=?4(3)112．【分析】（1）先求出點B坐標，繼而可得OB，由翻折性質可得：BC=BD=25，根據勾股定理可得OC的長，根據三角形面積公式即可求解；（2）設OA=x，AB=14?x，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA的長，從而得到點A坐標，將點A（?214，0）代入y=kx?7可得（3）連接CE交AB于點P，由軸對稱的性質可得當點P、C、E在一條直線上時，△DPE的周長最小，將直線AB和直線CE的解析式聯(lián)立可得點P，繼而利用分割法求出△PBC的面積．【詳解】（1）∵將x=0代入y=kx?7，得：y=?7，∴點B（0，-7），∴OB=7，又∵點D（0，18），即OD=18，∴BD=OB+OD=7+18=25，由翻折的性質可得：BC=BD=25，在Rt△BOC中，由勾股定理可得：OC=B∴直線BC的坐標三角形的面積為：12（2）設OA=x，AB=14?x，∵在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB2解得：x=21∴點A（?21∵將點A（?214，0）代入y=kx?7，得：∴k=?4（3）如圖，連接CE交AB于點P，∵點C與點D關于直線AB對稱，∴PC=PD，∴PC+PE=PD+PE，∴當點P、C、E在一條直線上時，PC+PE有最小值，又∵DE的長度不變，∴當點P、C、E在一條直線上時，△DPE的周長最小，設直線CE的解析式y(tǒng)=kx+b，將點C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得：0=?24k+b8=b解得：k=1∴直線CE的解析式y(tǒng)=1聯(lián)立y=13x+8∴點P（-9，5），∴S△PBC【點睛】本題考查一次函數的綜合運用，涉及到翻折的性質、勾股定理、待定系數法求解析式、方程組與交點坐標、軸對稱路徑最短等知識點，解題的關鍵是求得各直線解析式，明確當點P、C、E在一條直線上時，△DPE的周長最小．必考點3必考點3一次函數與全等三角形1．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標系中，x軸上一點A4，0，過點A作直線AB⊥x軸，交正比例函數y=34x的圖象于點B．點M從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線OB運動，設其運動時間為t（秒），過點M作MN⊥OB交直線AB于點【答案】2或8【分析】分當點M在線段OB上時，當點M在OB延長線上時，兩種情況利用全等三角形的性質求出OM的長即可得到答案．【詳解】解：如圖1所示，當點M在線段OB上時，∵A4，0∴點B的橫坐標為4，當x=4時，y=3∴B4∴OA=4，∴OB=O∵△MBN≌△ABO，∴BM=AB=3，∴OM=OB?BM=2，∴t=2；如圖2所示，當點M在OB延長線上時，∵△MBN≌△ABO，∴BM=AB=3，∴OM=OB+BM=8，∴t=8；綜上所述，當t=2或t=8時△MBN≌△ABO，故答案為：2或8．【點睛】本題主要考查了一次函數與幾何綜合，勾股定理，全等三角形的性質，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．2．（2022秋·四川成都·八年級校考期末）如圖，平面直角坐標系中，已知直線y=x上一點P(1,1)，連接PC，以PC為邊做等腰直角三角形PCD，PC=PD，過點D作線段AB⊥x軸，直線AB與直線y=x交于點A，且BD=2AD，直線CD與直線y=x交于點Q，則Q點的坐標是_____．【答案】9【分析】過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交AB于N，過D作DH⊥y軸，交y軸于H，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，求出∠MCP=∠DPN，證ΔMCP?ΔNPD，推出DN=PM，PN=CM，設AD=a，求出DN=2a?1，得出2a?1=1，求出a=1，得出D的坐標，由兩點坐標公式求出PC=PD=5，在RtΔMCP中，由勾股定理求出CM=2，得出C的坐標，設直線CD的解析式是y=kx+3，把【詳解】解：過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交AB于N，過D作DH⊥y軸，交y軸于H，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，∴∠MCP=∠DPN，∵P(1,1)，∴OM=BN=1，PM=1，在ΔMCP和Δ∠CMP=∠DNP∴△MCP?△NPD(AAS)，∴DN=PM，PN=CM，∵BD=2AD，∴設AD=a，BD=2a，∵P(1,1)，∴DN=2a?1，則2a?1=1，∴a=1，即BD=2．∵直線y=x，∴AB=OB=3，∴點D(3,2)∴PC=PD=(3?1)在RtΔMCP中，由勾股定理得：CM=C則C的坐標是(0,3)，設直線CD的解析式是y=kx+3，把D(3,2)代入得：k=?1即直線CD的解析式是y=?1∴組成方程組y=?解得：x=∴點Q(94，故答案為：(94，【點睛】本題是一次函數綜合題，考查了用待定系數法求出一次函數的解析式，全等三角形的性質和判定，解方程組，勾股定理，旋轉的性質等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目比較好，但是有一定的難度．3．（2022秋·山東青島·八年級?？计谀灸Ｐ徒ⅰ咳鐖D，已知直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，過點C任作一條直線l（不與CA、CB重合），過點A作AD⊥l于D，過點B作BE⊥l于E，易證△ACD≌△CBE，進一步得到全等三角形的對應線段和對應角分別相等，這一證明在平面直角坐標系中也被廣泛使用．【模型應用】(1)如圖1，若一次函數y=-x+6的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點．若點B到經過原點的直線l的距離BE的長為4，求點A到直線l的距離AD的長；(2)如圖2，已知直線y=43x+4與y軸交于B點，與x軸交于A點，過點A作AC⊥AB于A，截取AC=AB，過B、C作直線，求直線BC【模型拓展】(3)如圖3，平面直角坐標系中，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，AB于y軸交于點D，點C的坐標為（0，-4），A點的坐標為（8，0），求B、D兩點的坐標．【答案】(1)2(2)y=17x(3)B（-4，4），D（0，83【分析】（1）利用勾股定理求出OE=25（2）過C作CD⊥x軸于點D，由直線解析式可求得A、B的坐標，利用模型結論可得CD=AO，AD=BO，從而可求得C點坐標，利用待定系數法可求得直線BC的解析式；（3）過點B作BE⊥y軸于E．證明△CEB≌△AOC（AAS）推出BE=OC=4，CE=AO=8，可得B（-4，4），求出直線AB的解析式，即可解決問題．【小題1】解：∵一次函數y=-x+6的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點．∴A（6，0），B（0，6），∴OA=OB=6，∵BE=4，∴OE=62∵∠BEO=∠ADO=∠AOB=90°，∴∠BOE+∠AOD=90°，∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOD=∠OBE，∵OB=OA，∴△BEO≌△ODA（AAS），∴OE=AD，∴AD=25【小題2】如圖，過C作CD⊥x軸于點D，直線y=43x+4與y軸交于B點，與x令y=0可求得x=-3，令x=0可求得y=4，∴OA=3，OB=4，同（1）可得△CDA≌△AOB，∴CD=AO=3，AD=BO=4，∴OD=4+3=7，∴C（-7，3），且B（0，4），設直線BC的解析式為y=kx+4，把C點坐標代入可得3=-7k+4，解得k=17∴直線BC的解析式為y=17x【小題3】如圖，過點B作BE⊥y軸于E．∵點C的坐標為（0，-4），A點的坐標為（8，0），∴OC=4，OA=8，∵∠BEC=∠AOC=∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACO=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACO=∠CBE，∵CB=CA，∴△CEB≌△AOC（AAS），BE=OC=4，CE=AO=8，∴OE=4，∴B（-4，4），設直線AB的解析式為y=kx+b，∴?4k+b=48k+b=0解得：k=?1∴D（0，83【點睛】本題是一次函數綜合題，考查了待定系數法解析式，全等三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形解題是關鍵．4．（2022秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期末）【操作思考】如圖1所示的網格中，建立平面直角坐標系．先畫出正比例函數y=x的圖像，再畫出△ABC關于正比例函數y=x的圖像對稱的△DEF．【猜想驗證】猜想：點Pa,b關于正比例函數y=x的圖像對稱的點Q驗證點Pa,b證明：如圖2，點Pa,b、Q關于正比例函數y=x的圖像對稱，PH⊥x軸，垂足為H【應用拓展】在△ABC中，點A坐標為3,3，點B坐標為?2,?1，點C在射線BO上，且AO平分∠BAC，則點C的坐標為_________．【答案】操作思考：見解析；猜想驗證：b,a；見解析；應用拓展：1,【分析】操作思考：根據平面直角坐標系的對稱性即可畫出圖象．猜想驗證：作QI⊥y，PH⊥x，點P、Q關于函數y=x的圖像對稱，可證明得到△IOQ≌△HOP，從而得到IQ=PH，OI=OH，進而可得到Q點坐標；應用拓展：在△ABC中，AO平分∠BAC，構造全等三角形，可得點C在AB關于AK的對稱線AB'上，又因為點C在射線BO上，所以點C為直線BO和直線AB'的交點坐標．求出直線【詳解】操作思考：猜想驗證：猜想點Pa,b關于正比例函數y=x的圖像對稱的點Q的坐標為證明：作QI⊥y軸，垂足為I，連接OQ．∵點P、Q關于函數y=x的圖像對稱，∴OP=OQ，PQ⊥ON，∴∠QON=∠PON，∵∠ION=∠HON=45∴∠ION?∠QON=∠HON?∠PON，即∠IOQ=∠HOP．在△IOQ和△HOP中，∠QIO=∠PHO∴△IOQ≌△HOP，∴IQ=PH=b，OI=OH=a，∴Qb,a應用拓展：如圖3，過B作BB'⊥OA交AC延長線于B'∵A∴直線OA為y=x的圖象∵AO平分∠BAC∴∠BAO=∠∵∠BKA=∠B'∴△BKA≌△∴BK=∵B∴B、B'關于直線y=x∵B?2,?1∴B設直線AB'∴3k+b=3∴k=54∴直線AB'又∵直線BO為y=∴5∴x=1∴y=∴C1,故答案為：1,1【點睛】本題考查了圖形在平面直角坐標系中的對稱問題、三角形全等問題、一次函數的應用，熟練掌握圖形對稱的定義，證明全等的方法，求交點坐標的方法是解此題的關鍵．5．（2022秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線y=kx+b經過點A754,0，點B0,25，與直線y=34x交于點C，點D為直線AB上一動點，過D(1)求直線AB的表達式和點C的坐標；(2)當DE=23OA(3)連接OD，當△OAD沿著OD折疊，使得點A的對應點A1落在直線OC上，直接寫出此時點D【答案】(1)直線AB的解析式為y=?43x+25，點(2)75(3)15，5【分析】（1）利用待定系數法法求得k和b，聯(lián)立方程組求解即可求得直線AB的表達式和點C的坐標；（2）設D點橫坐標為m，結合DE=23OA求出DE，即可得關于m（3）分點A落在射線CO上的A1和點A落在射線OC上的A2時兩種情況討論，利用全等三角形的判定和性質求解即可．【詳解】（1）∵直線y=kx+b經過點A754,0∴754解得k=?4∴直線AB的解析式為y=?4解方程組y=?43x+25∴點C的坐標為12,9；（2）∵A75∴OA=75設D點橫坐標為m，則點D坐標為m,?4∵DE平行于y軸，∴點E坐標為m,3∴DE=?∵DE=2∴?25解得m=6或m=18，當m=6時，△CDE的面積為12當m=18，△CDE的面積為12綜上所述：△CDE的面積為752（3）過點C作CG⊥OA于點G，∵點C的坐標為(12，9)，∴OG=12，CG=9，OA=75∴AG=75∴OC2=OOC2+A∴OC∴∠OCA=90°，即OC⊥AB，當△OAD沿著OD折疊，且點A落在射線CO上的A1時，設DA1交x軸于點根據折疊的性質，OA=OA1，又∠COA=∠HOA∴△COA≌△HOA∴∠A1HO=∠ACO=90°∴DA當x=?15時，∴y=?4∴點D的坐標為?15,45；當△OAD沿著OD折疊，且點A落在射線OC上的A2時，延長A2D交x軸于點根據折疊的性質，OA=OA2，又∠COA=∠IOA∴△COA≌△IOA∴∠A2IO=∠ACO=90°∴DA當x=15時，∴y=?4∴點D的坐標為15,5；綜上所述：點D的坐標為15,5或?15,45．【點睛】本題考查的是兩條直線相交或平行問題，涉及到一次函數的性質、一次函數圖象上點的坐標特征、折疊的性質、勾股定理及其逆定理等，注意分類求解，避免遺漏．6．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，平面直角坐標系中，一次函數y=kx+bk≠0的圖像經過點C4，?6，分別與x軸、y軸相交于點A、B，AB=AC．D0，?3(1)求直線AB的函數表達式；(2)①連接DP，若△DCP的面積為△DCB面積的15，則點P②若射線DP平分∠BDC，求點P的坐標；(3)如圖2，若點C關于直線DP的對稱點為C'，當C'恰好落在x軸上時，點【答案】(1)y=?3x+6(2)①P165(3)P【分析】（1）作CG⊥x軸，證△AOB?△AG