第二章一元二次函數(shù)方程和不等式檢測卷高一上學期數(shù)學人教A版

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式檢測卷20232024學年高中數(shù)學人教A版必修第一冊注意事項：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。2．答題前，考生務必將姓名、考生號等個人信息填寫在答題卡指定位置。3．考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答。超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．不等式的解是（

）A．或 B．或C． D．2．已知，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．3．已知是正實數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C．12 D．4．若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．設，則代數(shù)式的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．對于任意的，定義運算：.若不等式對任意實數(shù)恒成立，則（

）A． B．C． D．7．關于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．8．若，則稱是關于x，y的方程的整數(shù)解．關于該方程，下列判斷錯誤的是（

）A．，方程有無限組整數(shù)解B．，方程有且只有兩組整數(shù)解C．，方程至少有一組整數(shù)解D．，方程至多有有限組整數(shù)解二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列命題為真命題的是（

）.A．若，則 B．若，則C．如果，那么 D．若，則10．已知，都為正數(shù)，且，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為11．已知關于x的不等式的解集為，則（

）A． B．不等式的解集為C． D．不等式的解集為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知,，則“,”是“”的條件，“”是“”的條件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）13．經(jīng)觀測，某公路段在某時段內(nèi)的車流量y（單位:千輛/時）與汽車的平均速度v（單位:千米/時）之間有如下關系.在該時段內(nèi)，當汽車的平均速度為千米/時時車流量最大，最大車流量為千輛/時（精確到0.01）.14．如果關于的不等式的解集為，其中常數(shù)，則的最小值是.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．，求證：．16．已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若的最小值為t，，，求的最小值．17．設函數(shù)(1)若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求a的取值范圍；(2)解關于的不等式：．18．中國建設新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導體自給率目標邁出的重要一步.根據(jù)國際半導體產(chǎn)業(yè)協(xié)會(SEMI)的數(shù)據(jù)，在截至2024年的4年里，中國計劃建設31家大型半導體工廠.某公司打算在2023年度建設某型芯片的生產(chǎn)線，建設該生產(chǎn)線的成本為300萬元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本（單位：萬元），已知當時，；當時，；當時，，已知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價格售出.(1)已知2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤為（單位：萬元），試求出的函數(shù)解析式.(2)請你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個計劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤最大，并預測最大利潤.19．《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復雜：從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法.閱讀材料一：利用整體思想解題，運用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察：（2）整體設元；（3）整體代入：（4）整體求和等.例如，，求證：．證明：原式．閱讀材料二：解決多元變量問題時，其中一種思路是運用消元思想將多元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，再結(jié)合一元問題處理方法進行研究.例如，正實數(shù)滿足，求的最小值．解：由，得，，當且僅當，即時，等號成立．的最小值為．波利亞在《怎樣解題》中指出：“當你找到第一個蘑菇或作出第一個發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，他們總是成群生長”類似問題，我們有更多的式子滿足以上特征.結(jié)合閱讀材料解答下列問題：(1)已知，求的值；(2)若正實數(shù)滿足，求的最小值．第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式檢測卷20232024學年高中數(shù)學人教A版必修第一冊學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．不等式的解是（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得方程的解，結(jié)合不等式的解法，即可求解.【詳解】由方程，即，解得或，不等式，可得，解得，即不等式的解集為.故選：D.2．已知，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由基本不等式以及作差法即可求解.【詳解】由題意，則，即，由基本不等式得，又，即，所以.故選：D.3．已知是正實數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C．12 D．【答案】B【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】，當且僅當，時等號成立.故選：B4．若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】應用不等式性質(zhì)求目標式范圍.【詳解】由題設，則，又，所以.故選：C5．設，則代數(shù)式的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，可得出，利用分式不等式的解法求出的取值范圍，即為所求.【詳解】令，可得，可得，所以，，即，解得，即代數(shù)式的取值范圍是.故選：C.6．對于任意的，定義運算：.若不等式對任意實數(shù)恒成立，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)運算法則得到恒成立，由根的判別式得到不等式，求出答案.【詳解】由已知得對任意實數(shù)恒成立，所以，解得.故選：C.7．關于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得和為方程的兩根且，利用韋達定理得到，，代入不等式，解不等式即可.【詳解】因為不等式的解集為，所以和為方程的兩根且，，解得，則不等式可化為，因為，所以，解得，所以不等式的解集為：.故選：A8．若，則稱是關于x，y的方程的整數(shù)解．關于該方程，下列判斷錯誤的是（

）A．，方程有無限組整數(shù)解B．，方程有且只有兩組整數(shù)解C．，方程至少有一組整數(shù)解D．，方程至多有有限組整數(shù)解【答案】C【分析】由，結(jié)合整數(shù)的分解形式轉(zhuǎn)化為求解方程組的整數(shù)解的情況即可.【詳解】選項A，當時，由得，解得，，都是方程的整數(shù)解，故，方程有無限組整數(shù)解.A項判斷正確；選項B，當時，由，由，則，，又，由與，僅有這種整數(shù)分解的方法，所以（舍），或；解得或，故方程有且僅有兩組整數(shù)解，即，方程有且只有兩組整數(shù)解，故B項判斷正確；選項C，當時，由，，，，僅有這種整數(shù)分解的方法，又，所以（舍），或（舍），或①，或②；方程組①消得，，，無整數(shù)解；方程組②消得，，此方程無解；故當時，方程無整數(shù)解，所以選項C判斷不正確；選項D，若關于x，y的方程不存在整數(shù)解，則滿足至多有有限組整數(shù)解；若關于x，y的方程存在整數(shù)解．由，則，，整數(shù)至多有有限組分解方法，可設所有分解形式為，由，得，消得，，，對于的每一個確定取值，此關于的二次方程最多有個整數(shù)解，即方程組至多有組整數(shù)解；故，方程至多有組整數(shù)解，故D項判斷正確.故選：C.二、多選題9．下列命題為真命題的是（

）.A．若，則 B．若，則C．如果，那么 D．若，則【答案】BCD【分析】對于A，舉反例證明其錯誤；對于B，證明即可；對于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，這顯然成立；對于D，首先有，若要，只需即可，只需，這顯然成立.【詳解】對于A，令，，則，故A錯誤.對于B，因為，所以，故B正確.對于C，由于，同乘以，得，又，所以，故C正確.對于D，若，則，所以，所以，故D正確.故選：BCD.10．已知，都為正數(shù)，且，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ABD【分析】利用基本不等式一一判斷即可.【詳解】對于A：，，，，當且僅當，即，時，等號成立，即的最大值為，故A正確，對于B：，，，，由A可知，，，當且僅當，時，等號成立，即的最小值為，故B正確，對于C：，，，，當且僅當，即，時，等號成立，顯然不成立，所以的最大值取不到，故C錯誤，對于D，，，，，當且僅當，即，時，等號成立，即的最小值為，故D正確，故選：ABD．11．已知關于x的不等式的解集為，則（

）A． B．不等式的解集為C． D．不等式的解集為【答案】BC【分析】根據(jù)不等式的解集求得的關系式，然后對選項進行分析，結(jié)合一元二次不等式的解法求得正確答案.【詳解】因為關于x的不等式的解集為，所以，是方程的兩根，所以，即，，A錯誤；不等式可化為，故不等式的解集為，B正確；，C正確；因為，所以，即，且，所以的解集為，D錯誤．故選：BC三、填空題12．已知,，則“,”是“”的條件，“”是“”的條件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要必要不充分【分析】由不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.【詳解】由可得，由，得或，所以“”是“”的充分不必要條件；由可得，由，得或，所以“”是“”的必要不充分條件.故答案為：充分不必要；必要不充分13．經(jīng)觀測，某公路段在某時段內(nèi)的車流量y（單位:千輛/時）與汽車的平均速度v（單位:千米/時）之間有如下關系.在該時段內(nèi)，當汽車的平均速度為千米/時時車流量最大，最大車流量為千輛/時（精確到0.01）.【答案】4011.08【分析】變形后由基本不等式求出答案.【詳解】因為，，當且僅當，即時，等號成立，即當汽車的平均速度為40千米/時時車流量最大，最大車流量為千輛/時.故答案為：40，11.0814．如果關于的不等式的解集為，其中常數(shù)，則的最小值是.【答案】【分析】根據(jù)不等式與對應方程的關系，利用根與系數(shù)的關系和基本不等式即可求解.【詳解】不等式的解集為，其中常數(shù)，所以是方程的實數(shù)根，時，，所以，所以，當且僅當，即時取等號，故的最小值是故答案為：四、解答題15．，求證：．【答案】證明見解析【分析】作差，分與兩種情況討論，得到，同理得到，，累加即可證明結(jié)果.【詳解】因為，當時，，又，所以，當時，，又，所以．綜合上兩式，，同理可得，，累加得，，取等號時，故不等式得證．16．已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若的最小值為t，，，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）原不等式等價于，然后兩邊平方即可求得解集（2）利用絕對值三角不等式得，然后利用換元法結(jié)合基本不等式求最值即可【詳解】（1）由，即，即，即，解得，所以不等式的解集為．（2）因為，當且僅當時“=”成立，所以，所以．令，，則，，，，所以，當且僅當，即時“=”成立，所以的最小值為．17．設函數(shù)(1)若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求a的取值范圍；(2)解關于的不等式：．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）對是否為零進行討論，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.（2）不等式化簡為，根據(jù)一元二次不等式的解法，分類討論即可求解.【詳解】（1）對一切實數(shù)x恒成立，等價于恒成立.當時，不等式可化為，不滿足題意.當，有，即，解得所以的取值范圍是．（2）依題意，等價于，當時，不等式可化為，所以不等式的解集為.當時，不等式化為，此時，所以不等式的解集為.當時，不等式化為，①當時，，不等式的解集為；②當時，，不等式的解集為；③當時，，不等式的解集為；綜上，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為.18．中國建設新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導體自給率目標邁出的重要一步.根據(jù)國際半導體產(chǎn)業(yè)協(xié)會(SEMI)的數(shù)據(jù)，在截至2024年的4年里，中國計劃建設31家大型半導體工廠.某公司打算在2023年度建設某型芯片的生產(chǎn)線，建設該生產(chǎn)線的成本為300萬元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本（單位：萬元），已知當時，；當時，；當時，，已知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價格售出.(1)已知2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤為（單位：萬元），試求出的函數(shù)解析式.(2)請你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個計劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤最大，并預測最大利潤.【答案】(1)；(2)當2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬枚時利潤最大，最大利潤為220萬元．【分析】（1）根據(jù)利潤等于售價減成本可求利潤的表達式；（2）根據(jù)的表達式分別求出每段函數(shù)的最大值即可.【詳解】（1）（1）由題意可得，，所以，即.（2）當時，；當時，，對稱軸，；當時，由基本不等式知，當且僅當，即時等號成立，故，綜上，當2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬枚時利潤最大，最大利