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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3廣東省東莞市三校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試范圍:第五章,第六章,第七章前三節(jié);考試時間:120分鐘;注意事項(xiàng):1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2.請將〖答案〗正確填寫在答題卡上第I卷(選擇題)一、單選題(每小題5分,共40分)1.若函數(shù),則()A.0 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗,所以.故選:A.2.若,則()A.2 B.3 C.2或4 D.3或4〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?,所以或,故選:C3.隨機(jī)變量的分布列如表:則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由分布列性質(zhì)知:,解得:.故選:A.4.的展開式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是()A. B.5 C.15 D.35〖答案〗C〖解析〗由二項(xiàng)式定理:,令,得,所以項(xiàng)的系數(shù)為;故選:C.5.若函數(shù),則()A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗函數(shù),求導(dǎo)得,當(dāng)時,,所以.故選:A6.有六人排成一排,其中甲只能在排頭或排尾,乙、丙兩人必須相鄰,則滿足要求的排法有()A.34種 B.48種C.96種 D.144種〖答案〗C〖解析〗,故選C.7.已知某地市場上供應(yīng)的燈泡中,甲廠產(chǎn)品占70%,乙廠產(chǎn)品占30%,甲廠產(chǎn)品的合格率是90%,乙廠產(chǎn)品的合格率是80%,則從該地市場上買到一個合格燈泡的概率是()A.0.63 B.0.24 C.0.87 D.0.21〖答案〗C〖解析〗從某地市場上購買一個燈泡,設(shè)買到的燈泡是甲廠產(chǎn)品為事件A,買到的燈泡是乙廠產(chǎn)品為事件B,則由題可知P(A)=0.7,P(B)=0.3,從甲廠產(chǎn)品中購買一個,設(shè)買到的產(chǎn)品是合格品為事件C,從乙廠產(chǎn)品中購買一個,設(shè)買到的產(chǎn)品是合格品為事件D,則由題可知P(C)=0.9,P(D)=0.8,由題可知A、B、C、D互相獨(dú)立,故從該地市場上買到一個合格燈泡的概率為:P(AC)+P(BD)=P(A)P(C)+P(B)P(D)=0.7×0.9+0.3×0.8=0.87.故選:C.8.已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰有四個不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于,故原方程等價于或.由于當(dāng)時,,故在上單調(diào)遞減.而當(dāng)時,有,故此時,從而當(dāng)時,當(dāng)時,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.從而當(dāng)時,有,而在上單調(diào)遞減,,所以有唯一解.若原方程有四個不同的解,則存在四個不同的實(shí)數(shù)滿足或,而只有一個解,所以方程至少有三個解.假設(shè),則當(dāng)時,當(dāng)時,所以至多有一個解,矛盾,所以假設(shè),則當(dāng),時有,從而在上至多有一個解,由在上單調(diào)遞減知在上至多有一個解,所以至多有兩個解,矛盾,所以.綜上,有,即;另一方面,當(dāng)即時,設(shè),由于,,,且.故在,,上各有一個解,從而至少有三個解.而,(因?yàn)椋?,所以或有四個解.綜上,的取值范圍是,即,D正確.故選:D.二、多選題(每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)9.下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是()A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A:,故A正確;對于B:,故B正確;對于C:令,則,故C錯誤;對于D:,故D正確.故選:ABD.10.有3臺車床加工同一型號的零件.第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起,已知第1,2,3臺車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%,則下列選項(xiàng)正確的有()A.任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為0.015B.任取一個零件是次品的概率為0.0525C.如果取到的零件是次品,則是第2臺車床加工的概率為D.如果取到的零件是次品,則是第3臺車床加工的概率為〖答案〗ABC〖解析〗A:由題意任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為,正確;B:由題設(shè),任取一個零件是次品的概率為,正確;C:由條件概率,取到的零件是次品,則是第2臺車床加工的概率為,正確;D:由條件概率,取到的零件是次品,則是第3臺車床加工的概率為,錯誤.故選:ABC11.關(guān)于函數(shù),下列判斷正確的是()A.是的極大值點(diǎn)B.函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)C.存在正實(shí)數(shù),使得成立D.對兩個不相等的正實(shí)數(shù),,若,則.〖答案〗BD〖解析〗A.函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的導(dǎo)數(shù),∴在上,,函數(shù)單調(diào)遞減,上,,函數(shù)單調(diào)遞增,∴是的極小值點(diǎn),即A錯誤;B.,∴,函數(shù)在上單調(diào)遞減,且,,∴函數(shù)有且只有1個零點(diǎn),即B正確;C.若,可得,令,則,令,則,∴在上,函數(shù)單調(diào)遞增,上函數(shù)單調(diào)遞減,∴,∴,∴在上函數(shù)單調(diào)遞減,函數(shù)無最小值,∴不存在正實(shí)數(shù),使得恒成立,即C不正確;D.令,則,,令,則,∴在上單調(diào)遞減,則,令,由,得,則,當(dāng)時,顯然成立,∴對任意兩個正實(shí)數(shù),,且,若,則,所以.故D正確.故選:BD.第II卷(非選擇題)三、填空題(每小題5分,共15分)12.的展開式中的系數(shù)是__________.〖答案〗〖解析〗展開式的通項(xiàng)為,,①令,則;②令,則;綜上可得:展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.故〖答案〗為:.13.如圖所示,在A,間有四個焊接點(diǎn)1,2,3,4,若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路.則電路不通,則因?yàn)楹附狱c(diǎn)脫落而導(dǎo)致電路不通情況有___________種.〖答案〗13〖解析〗若脫落1個,則有(1),(4)兩種情況,若脫落2個,則有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6種情況,若脫落3個,則有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)共4種情況.若脫落4個,則有(1,2,3,4)共1種情況,綜上共有種情況.故〖答案〗為:13.14.若函數(shù)在上有最小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍為______________〖答案〗〖解析〗f′(x)=x2-1=(x+1)(x-1),令f′(x)>0得x<-1或x>1,令f′(x)<0得-1<x<1,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞),減區(qū)間為(-1,1).所以要使函數(shù)f(x)=x3-x在(a,10-a2)上有最小值,只需,即?-2≤a<1.四、解答題(本題5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)15.(1)計算;(2)已知,求的值.解:(1);(2)令,得,令,得,所以.16.某學(xué)校的高二年級有5名數(shù)學(xué)老師,其中男老師3人,女老師2人.(1)如果任選3人參加校級技能大賽,所選3人中女老師人數(shù)為,求的分布列;(2)如果依次抽取2人參加市級技能大賽,求在第1次抽到男老師的條件下,第2次抽到也是男老師的概率.解:(1)由題可知的所有可能取值為0,1,2,依題意得:,,,的分布列為:012(2)設(shè)第1次抽到男老師為事件,第2次抽到男老師為事件,則第1次和第2次都抽到男老師為事件,根據(jù)分步計數(shù)原理,.所以.17.已知函數(shù)(、為實(shí)數(shù))的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求實(shí)數(shù)、的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.解:(1)因?yàn)?,該函?shù)的定義域?yàn)?,,因?yàn)楹瘮?shù)(、為實(shí)數(shù))的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,則,解得.(2)由(1)可得,該函數(shù)的定義域?yàn)?,,由可得,列表如下:減極小值增所以,函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為,極小值為,無極大值.18.甲乙兩家快遞公司的“快遞小哥”的日工資方案如下:甲公司規(guī)定底薪70元,每單獎勵1元;乙公司規(guī)定底薪100元,每日前45單無獎勵,超過45單的部分每單獎勵6元.(1)設(shè)甲、乙兩家快遞公司的“快遞小哥”日工資分別為,(單位:元)與送貨單數(shù)(單位:單,)的函數(shù)關(guān)系式分別為,,求,的〖解析〗式.(2)假設(shè)同一公司的“快遞小哥”的日送貨單數(shù)相同,現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名“快遞小哥”,并記錄其100天的送貨單數(shù),得到如下條形圖:若將頻率視為概率,回答下列問題:①記乙快遞公司的“快遞小哥”日工資為元,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;②小趙打算到兩家公司中的一家應(yīng)聘“快遞小哥”的工作,如果僅從日工資的角度考慮,請你利用所學(xué)的統(tǒng)計知識為他進(jìn)行選擇,并說明理由.解:(1)甲快遞公司的“快遞小哥”的日工資中與送貨單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為,.乙快遞公司的“快遞小哥”的日工資與送貨單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為.(2)①由條形圖得x的取值范圍為,,,,,所以的分布列為1001061181300.20.30.40.1故的數(shù)學(xué)期望為.②甲快遞公司的“快遞小哥”日平均送貨單數(shù)為,所以甲快遞公司的“快遞小哥”日平均工資為(元),由①知,乙快遞公司的“快遞小哥”日平均工資為112元.故推薦小趙去甲快遞公司應(yīng)聘.19.設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)求的取值范圍;(3)已知不等式對任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)因?yàn)楹瘮?shù),則.當(dāng)時,即,這等價于,解得;當(dāng)時,即且,這等價于且,解得或;所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)當(dāng)時,,由(1)可知在上遞增,在上遞減,如圖所示:一方面,在區(qū)間上,根據(jù)在上遞增,在上遞減,可知;而區(qū)間上,顯然.故.另一方面,設(shè).對,有,所以存在使得,即.而對,有,所以存在使得,即.綜上,函數(shù)的取值范圍為.(3)因?yàn)?,所以,從而在不等式兩邊同時取自然對數(shù)可得:對恒成立,即大于在時的最大值.由(2)可知,此時在處取得取得最大值,所以的取值范圍是.廣東省東莞市三校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試范圍:第五章,第六章,第七章前三節(jié);考試時間:120分鐘;注意事項(xiàng):1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2.請將〖答案〗正確填寫在答題卡上第I卷(選擇題)一、單選題(每小題5分,共40分)1.若函數(shù),則()A.0 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗,所以.故選:A.2.若,則()A.2 B.3 C.2或4 D.3或4〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?,所以或,故選:C3.隨機(jī)變量的分布列如表:則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由分布列性質(zhì)知:,解得:.故選:A.4.的展開式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是()A. B.5 C.15 D.35〖答案〗C〖解析〗由二項(xiàng)式定理:,令,得,所以項(xiàng)的系數(shù)為;故選:C.5.若函數(shù),則()A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗函數(shù),求導(dǎo)得,當(dāng)時,,所以.故選:A6.有六人排成一排,其中甲只能在排頭或排尾,乙、丙兩人必須相鄰,則滿足要求的排法有()A.34種 B.48種C.96種 D.144種〖答案〗C〖解析〗,故選C.7.已知某地市場上供應(yīng)的燈泡中,甲廠產(chǎn)品占70%,乙廠產(chǎn)品占30%,甲廠產(chǎn)品的合格率是90%,乙廠產(chǎn)品的合格率是80%,則從該地市場上買到一個合格燈泡的概率是()A.0.63 B.0.24 C.0.87 D.0.21〖答案〗C〖解析〗從某地市場上購買一個燈泡,設(shè)買到的燈泡是甲廠產(chǎn)品為事件A,買到的燈泡是乙廠產(chǎn)品為事件B,則由題可知P(A)=0.7,P(B)=0.3,從甲廠產(chǎn)品中購買一個,設(shè)買到的產(chǎn)品是合格品為事件C,從乙廠產(chǎn)品中購買一個,設(shè)買到的產(chǎn)品是合格品為事件D,則由題可知P(C)=0.9,P(D)=0.8,由題可知A、B、C、D互相獨(dú)立,故從該地市場上買到一個合格燈泡的概率為:P(AC)+P(BD)=P(A)P(C)+P(B)P(D)=0.7×0.9+0.3×0.8=0.87.故選:C.8.已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰有四個不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于,故原方程等價于或.由于當(dāng)時,,故在上單調(diào)遞減.而當(dāng)時,有,故此時,從而當(dāng)時,當(dāng)時,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.從而當(dāng)時,有,而在上單調(diào)遞減,,所以有唯一解.若原方程有四個不同的解,則存在四個不同的實(shí)數(shù)滿足或,而只有一個解,所以方程至少有三個解.假設(shè),則當(dāng)時,當(dāng)時,所以至多有一個解,矛盾,所以假設(shè),則當(dāng),時有,從而在上至多有一個解,由在上單調(diào)遞減知在上至多有一個解,所以至多有兩個解,矛盾,所以.綜上,有,即;另一方面,當(dāng)即時,設(shè),由于,,,且.故在,,上各有一個解,從而至少有三個解.而,(因?yàn)椋?,所以或有四個解.綜上,的取值范圍是,即,D正確.故選:D.二、多選題(每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)9.下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是()A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A:,故A正確;對于B:,故B正確;對于C:令,則,故C錯誤;對于D:,故D正確.故選:ABD.10.有3臺車床加工同一型號的零件.第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起,已知第1,2,3臺車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%,則下列選項(xiàng)正確的有()A.任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為0.015B.任取一個零件是次品的概率為0.0525C.如果取到的零件是次品,則是第2臺車床加工的概率為D.如果取到的零件是次品,則是第3臺車床加工的概率為〖答案〗ABC〖解析〗A:由題意任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為,正確;B:由題設(shè),任取一個零件是次品的概率為,正確;C:由條件概率,取到的零件是次品,則是第2臺車床加工的概率為,正確;D:由條件概率,取到的零件是次品,則是第3臺車床加工的概率為,錯誤.故選:ABC11.關(guān)于函數(shù),下列判斷正確的是()A.是的極大值點(diǎn)B.函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)C.存在正實(shí)數(shù),使得成立D.對兩個不相等的正實(shí)數(shù),,若,則.〖答案〗BD〖解析〗A.函數(shù)的定義域?yàn)?,函?shù)的導(dǎo)數(shù),∴在上,,函數(shù)單調(diào)遞減,上,,函數(shù)單調(diào)遞增,∴是的極小值點(diǎn),即A錯誤;B.,∴,函數(shù)在上單調(diào)遞減,且,,∴函數(shù)有且只有1個零點(diǎn),即B正確;C.若,可得,令,則,令,則,∴在上,函數(shù)單調(diào)遞增,上函數(shù)單調(diào)遞減,∴,∴,∴在上函數(shù)單調(diào)遞減,函數(shù)無最小值,∴不存在正實(shí)數(shù),使得恒成立,即C不正確;D.令,則,,令,則,∴在上單調(diào)遞減,則,令,由,得,則,當(dāng)時,顯然成立,∴對任意兩個正實(shí)數(shù),,且,若,則,所以.故D正確.故選:BD.第II卷(非選擇題)三、填空題(每小題5分,共15分)12.的展開式中的系數(shù)是__________.〖答案〗〖解析〗展開式的通項(xiàng)為,,①令,則;②令,則;綜上可得:展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.故〖答案〗為:.13.如圖所示,在A,間有四個焊接點(diǎn)1,2,3,4,若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路.則電路不通,則因?yàn)楹附狱c(diǎn)脫落而導(dǎo)致電路不通情況有___________種.〖答案〗13〖解析〗若脫落1個,則有(1),(4)兩種情況,若脫落2個,則有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6種情況,若脫落3個,則有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)共4種情況.若脫落4個,則有(1,2,3,4)共1種情況,綜上共有種情況.故〖答案〗為:13.14.若函數(shù)在上有最小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍為______________〖答案〗〖解析〗f′(x)=x2-1=(x+1)(x-1),令f′(x)>0得x<-1或x>1,令f′(x)<0得-1<x<1,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞),減區(qū)間為(-1,1).所以要使函數(shù)f(x)=x3-x在(a,10-a2)上有最小值,只需,即?-2≤a<1.四、解答題(本題5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)15.(1)計算;(2)已知,求的值.解:(1);(2)令,得,令,得,所以.16.某學(xué)校的高二年級有5名數(shù)學(xué)老師,其中男老師3人,女老師2人.(1)如果任選3人參加校級技能大賽,所選3人中女老師人數(shù)為,求的分布列;(2)如果依次抽取2人參加市級技能大賽,求在第1次抽到男老師的條件下,第2次抽到也是男老師的概率.解:(1)由題可知的所有可能取值為0,1,2,依題意得:,,,的分布列為:012(2)設(shè)第1次抽到男老師為事件,第2次抽到男老師為事件,則第1次和第2次都抽到男老師為事件,根據(jù)分步計數(shù)原理,.所以.17.已知函數(shù)(、為實(shí)數(shù))的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求實(shí)數(shù)、的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.解:(1)因?yàn)?,該函?shù)的定義域?yàn)?,,因?yàn)楹瘮?shù)(、為實(shí)數(shù))的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,則,解得.(2)由(1)可得,該函數(shù)的定義域?yàn)?,,由可得,列表如下:減極小值增所以,函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為,極小值為,無極大值.18.甲乙兩家快遞公司的“快遞小哥”的日工資方案如下:甲公司規(guī)定底薪70元,每單獎勵1元;乙公司規(guī)定
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