2024屆河北省保定市高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3河北省保定市2024屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合,且,則（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋允欠匠?，即，得，?dāng)時(shí)，，解得：，此時(shí)，滿(mǎn)足，所以．故選：C.2.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以．故選：A.3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，所以為奇函數(shù)，設(shè)，可知為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，則B，C錯(cuò)誤，易知，所以A正確，D錯(cuò)誤．故選：A.4.如圖，在正四棱柱中，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，如圖所示，正四棱柱中，有且，四邊形為平行四邊形，則有，則就是異面直線(xiàn)與所成的角．設(shè)，則，中，由余弦定理得．故選：C.5.已知雙曲線(xiàn)的離心率為方程的解，則的漸近線(xiàn)的斜率的絕對(duì)值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榉匠痰慕鉃榛?，且雙曲線(xiàn)的離心率大于1，所以．由，解得．故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，解得或（舍去），所以．故選：B.7.6名同學(xué)想平均分成兩組進(jìn)行半場(chǎng)籃球比賽，有同學(xué)提出用“剪刀、石頭、布”游戲決定分組．當(dāng)大家同時(shí)展示各自選擇的手勢(shì)（剪刀、石頭或布）時(shí)，如果恰好只有3個(gè)人手勢(shì)一樣，或有3個(gè)人手勢(shì)為上述手勢(shì)中的同一種，另外3個(gè)人手勢(shì)為剩余兩種手勢(shì)中的同一種，那么同手勢(shì)的3個(gè)人為一組，其他人為另一組，則下列結(jié)論正確的是（）A.在進(jìn)行該游戲前將6人平均分成兩組，共有20種分組方案B.一次游戲共有種手勢(shì)結(jié)果C.一次游戲分不出組的概率為D.兩次游戲才分出組的概率為〖答案〗D〖解析〗對(duì)A，一共有種分組方案，A錯(cuò)誤．對(duì)B，每人有3種選擇，所以一次游戲共有種手勢(shì)結(jié)果，B錯(cuò)誤．對(duì)CD，要分出組，有兩類(lèi)情況．第一類(lèi)情況，首先確定3個(gè)人出一樣的手勢(shì)，再確定另外2個(gè)人出其他兩種手勢(shì)中的一種，最后1個(gè)人出剩下的手勢(shì)，所以能分出組的手勢(shì)結(jié)果有種．第二類(lèi)情況，當(dāng)其中3個(gè)人出同一種手勢(shì)，另外3個(gè)人出剩余兩種手勢(shì)中的同一種時(shí)，能分出組的手勢(shì)結(jié)果有種，所以一次游戲就分出組的概率為，所以一次游戲分不出組的概率為，C錯(cuò)誤．兩次游戲才分出組的概率為，D正確．故選：D8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是上的點(diǎn)，且在第一象限，是的角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn),垂足為，若，則的離心率為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可知，所以，所以．故選：B.二、選擇題9.下圖是2023年5月1日至5月5日某旅游城市每天最高氣溫與最低氣溫（單位：℃）的折線(xiàn)圖，則下列結(jié)論正確的是（）A.這5天的最高氣溫的平均數(shù)與最低氣溫的中位數(shù)的差為B.這5天的最低氣溫的極差為C.這5天的最高氣溫的眾數(shù)是D.這5天的最低氣溫的第40百分位數(shù)是〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，這5天的最高氣溫的平均數(shù)為，最低氣溫的中位數(shù)為，它們的差為，A正確．對(duì)于B，這5天的最低氣溫的極差為，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，這5天的最高氣溫的眾數(shù)為，C正確．對(duì)于D，最低氣溫從小到大排列為，且，所以這5天的最低氣溫的第40百分位數(shù)是，D正確．故選：ACD10.已知直四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為3,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,為棱上的一點(diǎn)，且為底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列命題正確的是（）A.若與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡與直四棱柱的交線(xiàn)長(zhǎng)為B.若點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐體積的最大值為C.若以為球心的球經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該球與直四棱柱的公共部分的體積為D.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面截直四棱柱所得的截面面積為4〖答案〗AD〖解析〗如圖，對(duì)于A，可知軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，所以點(diǎn)的軌跡與直四棱柱的交線(xiàn)為圓弧，圓弧長(zhǎng)為，故A正確．對(duì)于B，可知點(diǎn)在線(xiàn)段上，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，三棱錐體積最大，且最大值為，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C，可知該球的半徑為1，球與直四棱柱的公共部分的體積為，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面截直四棱柱所得的截面為平行四邊形，其中，可得．設(shè)的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，連接，可得平面，所以，求得，所以，D正確．故選：AD11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，則（）A.B.C.是奇函數(shù)D.存在函數(shù)以及，使得的值為〖答案〗ACD〖解析〗由，取，得，A正確．取，得，解得．取，得，所以，B錯(cuò)誤．取，得，所以是奇函數(shù)，C正確．當(dāng)時(shí)，在兩邊同時(shí)除以，得，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，D正確．故選：ACD三、填空題12.已知向量的夾角的余弦值為，，且，則_______．〖答案〗4〖解析〗向量的夾角的余弦值為，，則，由，解得(負(fù)值舍去)．故〖答案〗為：4.13.在等比數(shù)列中，，則_______．〖答案〗〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，由，得，所以.故〖答案〗為：14.已知點(diǎn)為圓上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，直線(xiàn)分別交軸于兩點(diǎn)，則_______，_______．〖答案〗2〖解析〗圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，則為的角平分線(xiàn)，所以．設(shè)，則，所以，則，即，解得，則，所以點(diǎn)與重合，此時(shí)，可得，所以．故〖答案〗為：；四、解答題15.在中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理，得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?（2）在中，由余弦定理得，所以，解得．因?yàn)闉榈闹芯€(xiàn)，所以，所以，因?yàn)?，所以，解?16.某青少年跳水隊(duì)共有100人，在強(qiáng)化訓(xùn)練前、后，教練組對(duì)他們進(jìn)行了成績(jī)測(cè)試，分別得到如圖1所示的強(qiáng)化訓(xùn)練前的頻率分布直方圖，如圖2所示的強(qiáng)化訓(xùn)練后的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練后的平均成績(jī)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）與成績(jī)的中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）.（2）我們規(guī)定得分80分以上（含80分）的為“優(yōu)秀”，低于80分的為“非優(yōu)秀”.

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練前

強(qiáng)化訓(xùn)練后

合計(jì)

將上面的表格補(bǔ)充完整，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān)？附：.0.050.0100.0050.0013.84166357.87910.828解：（1）強(qiáng)化訓(xùn)練后的平均成績(jī)約為.由于前三列概率之和為，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)約為83.13.（2）零假設(shè)為跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練無(wú)關(guān).補(bǔ)充完整的表格為

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練前4060100強(qiáng)化訓(xùn)練后6040100合計(jì)100100200則，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān).17.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，分別為的中點(diǎn)，且．（1）證明：．（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：連接，因?yàn)榈酌媸橇庑?，分別為的中點(diǎn)，所以，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）解：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．又，平面，所以平面．連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)，則，，，．設(shè)是平面的法向量，由，得取，可得，設(shè)是平面的法向量，由得取，可得，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．18.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)作互相垂直的直線(xiàn)，分別與交于和兩點(diǎn)（A，D在第一象限），當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角等于時(shí)，四邊形的面積為．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)AD與BE交于點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)在定直線(xiàn)上．解：（1）當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角等于時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角等于，直線(xiàn)的方程為，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，所以，得．聯(lián)立方程組，消去得．設(shè)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則，．又，所以，所以的方程為．（2）由（1）知，依題意，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，則直線(xiàn)的方程為．聯(lián)立方程組消去得，顯然，設(shè)，則．設(shè)，同理可得，所以，同理可得．直線(xiàn)的方程為，即．同理，直線(xiàn)的方程為．兩直線(xiàn)方程聯(lián)立得，解得，即直線(xiàn)與的交點(diǎn)在定直線(xiàn)上．19.已知函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)．（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）若存在兩個(gè)不同的正數(shù)，使得，證明：．（1）解：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，解得，即的取值范圍為．（2）證明：不妨設(shè)，則，要證，即證，則證，則證，所以只需證，即．令，則，．當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞減，則．所以．由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，從而成立．河北省保定市2024屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合,且,則（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以是方程，即，得，?dāng)時(shí)，，解得：，此時(shí)，滿(mǎn)足，所以．故選：C.2.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以．故選：A.3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，所以為奇函數(shù)，設(shè)，可知為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，則B，C錯(cuò)誤，易知，所以A正確，D錯(cuò)誤．故選：A.4.如圖，在正四棱柱中，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，如圖所示，正四棱柱中，有且，四邊形為平行四邊形，則有，則就是異面直線(xiàn)與所成的角．設(shè)，則，中，由余弦定理得．故選：C.5.已知雙曲線(xiàn)的離心率為方程的解，則的漸近線(xiàn)的斜率的絕對(duì)值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榉匠痰慕鉃榛?，且雙曲線(xiàn)的離心率大于1，所以．由，解得．故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，解得或（舍去），所以．故選：B.7.6名同學(xué)想平均分成兩組進(jìn)行半場(chǎng)籃球比賽，有同學(xué)提出用“剪刀、石頭、布”游戲決定分組．當(dāng)大家同時(shí)展示各自選擇的手勢(shì)（剪刀、石頭或布）時(shí)，如果恰好只有3個(gè)人手勢(shì)一樣，或有3個(gè)人手勢(shì)為上述手勢(shì)中的同一種，另外3個(gè)人手勢(shì)為剩余兩種手勢(shì)中的同一種，那么同手勢(shì)的3個(gè)人為一組，其他人為另一組，則下列結(jié)論正確的是（）A.在進(jìn)行該游戲前將6人平均分成兩組，共有20種分組方案B.一次游戲共有種手勢(shì)結(jié)果C.一次游戲分不出組的概率為D.兩次游戲才分出組的概率為〖答案〗D〖解析〗對(duì)A，一共有種分組方案，A錯(cuò)誤．對(duì)B，每人有3種選擇，所以一次游戲共有種手勢(shì)結(jié)果，B錯(cuò)誤．對(duì)CD，要分出組，有兩類(lèi)情況．第一類(lèi)情況，首先確定3個(gè)人出一樣的手勢(shì)，再確定另外2個(gè)人出其他兩種手勢(shì)中的一種，最后1個(gè)人出剩下的手勢(shì)，所以能分出組的手勢(shì)結(jié)果有種．第二類(lèi)情況，當(dāng)其中3個(gè)人出同一種手勢(shì)，另外3個(gè)人出剩余兩種手勢(shì)中的同一種時(shí)，能分出組的手勢(shì)結(jié)果有種，所以一次游戲就分出組的概率為，所以一次游戲分不出組的概率為，C錯(cuò)誤．兩次游戲才分出組的概率為，D正確．故選：D8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是上的點(diǎn)，且在第一象限，是的角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn),垂足為，若，則的離心率為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可知，所以，所以．故選：B.二、選擇題9.下圖是2023年5月1日至5月5日某旅游城市每天最高氣溫與最低氣溫（單位：℃）的折線(xiàn)圖，則下列結(jié)論正確的是（）A.這5天的最高氣溫的平均數(shù)與最低氣溫的中位數(shù)的差為B.這5天的最低氣溫的極差為C.這5天的最高氣溫的眾數(shù)是D.這5天的最低氣溫的第40百分位數(shù)是〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，這5天的最高氣溫的平均數(shù)為，最低氣溫的中位數(shù)為，它們的差為，A正確．對(duì)于B，這5天的最低氣溫的極差為，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，這5天的最高氣溫的眾數(shù)為，C正確．對(duì)于D，最低氣溫從小到大排列為，且，所以這5天的最低氣溫的第40百分位數(shù)是，D正確．故選：ACD10.已知直四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為3,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,為棱上的一點(diǎn)，且為底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列命題正確的是（）A.若與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡與直四棱柱的交線(xiàn)長(zhǎng)為B.若點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐體積的最大值為C.若以為球心的球經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該球與直四棱柱的公共部分的體積為D.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面截直四棱柱所得的截面面積為4〖答案〗AD〖解析〗如圖，對(duì)于A，可知軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，所以點(diǎn)的軌跡與直四棱柱的交線(xiàn)為圓弧，圓弧長(zhǎng)為，故A正確．對(duì)于B，可知點(diǎn)在線(xiàn)段上，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，三棱錐體積最大，且最大值為，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C，可知該球的半徑為1，球與直四棱柱的公共部分的體積為，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面截直四棱柱所得的截面為平行四邊形，其中，可得．設(shè)的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，連接，可得平面，所以，求得，所以，D正確．故選：AD11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，則（）A.B.C.是奇函數(shù)D.存在函數(shù)以及，使得的值為〖答案〗ACD〖解析〗由，取，得，A正確．取，得，解得．取，得，所以，B錯(cuò)誤．取，得，所以是奇函數(shù)，C正確．當(dāng)時(shí)，在兩邊同時(shí)除以，得，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，D正確．故選：ACD三、填空題12.已知向量的夾角的余弦值為，，且，則_______．〖答案〗4〖解析〗向量的夾角的余弦值為，，則，由，解得(負(fù)值舍去)．故〖答案〗為：4.13.在等比數(shù)列中，，則_______．〖答案〗〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，由，得，所以.故〖答案〗為：14.已知點(diǎn)為圓上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，直線(xiàn)分別交軸于兩點(diǎn)，則_______，_______．〖答案〗2〖解析〗圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，則為的角平分線(xiàn)，所以．設(shè)，則，所以，則，即，解得，則，所以點(diǎn)與重合，此時(shí)，可得，所以．故〖答案〗為：；四、解答題15.在中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理，得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?（2）在中，由余弦定理得，所以，解得．因?yàn)闉榈闹芯€(xiàn)，所以，所以，因?yàn)?，所以，解?16.某青少年跳水隊(duì)共有100人，在強(qiáng)化訓(xùn)練前、后，教練組對(duì)他們進(jìn)行了成績(jī)測(cè)試，分別得到如圖1所示的強(qiáng)化訓(xùn)練前的頻率分布直方圖，如圖2所示的強(qiáng)化訓(xùn)練后的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練后的平均成績(jī)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）與成績(jī)的中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）.（2）我們規(guī)定得分80分以上（含80分）的為“優(yōu)秀”，低于80分的為“非優(yōu)秀”.

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練前

強(qiáng)化訓(xùn)練后

合計(jì)

將上面的表格補(bǔ)充完整，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān)？附：.0.050.0100.0050.0013.84166357.87910.828解：（1）強(qiáng)化訓(xùn)練后的平均成績(jī)約為.由于前三列概率之和為，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)約為83.13.（2）零假設(shè)為跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練無(wú)關(guān).補(bǔ)充完整的表格為

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練前4060100強(qiáng)化訓(xùn)練后6040100合計(jì)100100200則，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性