2024屆遼寧省丹東市高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試（二）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3遼寧省丹東市2024屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試（二）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗集合，，所以，，．故選：D.2.樣本數(shù)據(jù)24，13，14，18，12，14，20，16的75%分位數(shù)為（）A.17 B.18 C.19 D.20〖答案〗C〖解析〗數(shù)據(jù)從小到大排序為12，13，14，14，16，18，20，24，則，所以75%分位數(shù)為.故選：C.3.一個口袋中裝有大小形狀相同的3個紅球和2個白球，從中不放回抽取3個球，已知口袋中剩下的2個球顏色相同的條件下，抽取的3個球顏色不同的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗事件“口袋中剩下的2個球顏色相同”，事件“抽取的3個球顏色不同”，所以事件A共有個基本事件，事件AB共有個基本事件，所以．故選：A4.過坐標(biāo)原點O作圓的兩條切線OA，OB，切點分別為A，B，則（）A. B.2 C. D.4〖答案〗C〖解析〗如圖，由圓可得x軸，y軸，即是過點O的切線，所以切點為，，故．故選：C.5.在△中，點D在邊上，平分，，，，則（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以,即，代入，，可得，則，解得．故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解法1：由，得，得，得，所以，所以．解法2：將展開得，整理得，即，所以．故選：A7已知函數(shù)，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為函數(shù)，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在和上遞增，在上遞減，因為，可得，所以，又因為，，所以，所以，即，所以.故選：D.8.雙曲線的右焦點為，點在軸的正半軸上，直線與在第一象限的交點為，，且，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，，由，則，又，所以，則，，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)有，又，所以，所以，所以，即，又，即，即，所以．故選：A二、選擇題9.已知復(fù)數(shù)的虛部與的實部均為2，則下列說法正確的是（）A.是虛數(shù)B.若，則C.若，則與對應(yīng)的點關(guān)于x軸對稱D.若是純虛數(shù)，則〖答案〗ACD〖解析〗可設(shè)復(fù)數(shù)，A選項：根據(jù)虛數(shù)定義可知A正確；B選項：，所以，則，所以，，所以，故B不正確；C選項：若，所以，所以，，所以，對應(yīng)的點分別為和，則關(guān)于x軸對稱，故C正確；D選項：因為，且是純虛數(shù)，所以，所以，，則，所以，故D正確．故選：ACD.10.在正方體中，過對角線的平面與，分別交于，且，，則（）A.四邊形一定是平行四邊形B.四邊形可能是正方形C.D.四邊形在側(cè)面內(nèi)的投影一定是平行四邊形〖答案〗AC〖解析〗對于A中，在正方體，平面平面，又因為平面平面，且平面平面，所以，同理可證，所以四邊形是平行四邊形，所以A正確；對于B中，四邊形是平行四邊形，不妨設(shè)，當(dāng)為中點時，，，所以，所以B不正確；對于C中，因為，，由A知，，所以，即，所以C正確．對于D中，當(dāng)點與重合時，且點與重合（或）時，直線在平面內(nèi)的射影為，此時，即為，所以四邊形在側(cè)面內(nèi)的投影是一條線段或者是平行四邊形，所以D不正確．故選：AC.11.已知函數(shù)的定義域為，滿足，當(dāng)，，則（）A. B.在上單調(diào)遞減C.在上有極小值 D.〖答案〗ABD〖解析〗A選項：因為，當(dāng)時，，所以，所以，故A正確．B選項：令，所以，所以，即，所以，所以，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，故B正確．C選項：令，所以，所以，即，由B可得，，所以，則上遞增，在上遞減，所以在上有極大值，故C不正確．D選項：根據(jù)對稱性，由，所以，，所以由時，得，即，故D正確．故選：ABD.三、填空題12.設(shè)向量，的夾角為，且，，則______．〖答案〗9〖解析〗法1：由向量數(shù)量積幾何意義得，在向量上的投影的數(shù)量為，所以，所以；法2：根據(jù)數(shù)量積定義有，所以；法3：設(shè)，，，所以.故〖答案〗為：.13.已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，橢圓，記P為拋物線與D在第一象限的交點，延長PO交D于Q，若，則的面積為______．〖答案〗〖解析〗由，可得，由，可得與橢圓短軸的一個頂點重合，根據(jù)橢圓的對稱性，，所以的面積等于的面積的2倍，由拋物線的定義知，點到準(zhǔn)線的距離為，所以點的橫坐標(biāo)為，代入拋物線得點的縱坐標(biāo)為，所以的面積為．故〖答案〗為：.14.已知球O的半徑為4，平面，與球面分別相交，得圓C與圓D，AB為圓C與圓D的公共弦，若，，則點O到直線AB的距離為______，四面體ABCD的體積為______．〖答案〗〖解析〗取AB的中點E，根據(jù)球的截面性質(zhì)得，則截面圓C，截面圓D，可知，，平面OCED，所以平面OCED，且平面OCED，所以，所以O(shè)E就是點O到直線AB的距離，因為，即，可得，因為，即，可得，同理可得，，又因為，即，所以點O到直線AB的距離為，在中，，可知，同理可得，即，所以是等邊三角形，其面積為，所以四面體ABCD的體積．故〖答案〗為：；.四、解答題15.已知數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，記為數(shù)列的前n項和,，，求．解：（1）由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以．（2）設(shè)數(shù)列的公差為d，因為，得，易知，因為，所以，可得，又因為，所以，所以．16.如圖，三棱柱中，，，，M為的中點．（1）求證：平面ABC；（2）若平面ABC⊥平面，，，求二面角的正弦值．（1）證明：取BC的中點D，連接AD，ND，因為N是的中點，所以，且，又因為M為的中點，所以，且，所以且，所以四邊形AMND是平行四邊形，所以，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．（2）解：取AB的中點O，連接OC，因為，所以O(shè)C⊥AB，又因為平面ABC⊥平面，平面平面，所以O(shè)C⊥平面，因為，，連接，所以，，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則，，，，，，，所以，，，設(shè)平面BMN的法向量為，所以，所以，解得平面BMN的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，所以，所以，解得平面的一個法向量為，所以，則，所以二面角的正弦值為．17.已知橢圓：的左右頂點分別為，，過的直線與交于點，點在上，.（1）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值；（2）求面積的最大值.（1）證明：由題意可知，，設(shè)點，，，因為，得，所以，即；（2）解：不妨令，，，由（1）可設(shè)直線的斜率，則直線：，將代入中，得，所以，所以，因為，用替換，得，，所以的面積，所以，令，則，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有最小值，即，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立），所以面積的最大值為.18.藍(lán)莓種植技術(shù)獲得突破性進展，噴灑A型營養(yǎng)藥有--定的改良藍(lán)莓植株基因的作用，能使藍(lán)莓果的產(chǎn)量和營養(yǎng)價值獲得較大提升．某基地每次噴灑A型營養(yǎng)藥后，可以使植株中的80%獲得基因改良，經(jīng)過三次噴灑后沒有改良基因的植株將會被淘汰，重新種植新的植株．（1）經(jīng)過三次噴灑后，從該基地的所有植株中隨機檢測一株，求-株植株能獲得基因改良的概率；（2）從該基地多個種植區(qū)域隨機選取-一個，記為甲區(qū)域，在甲區(qū)域第一次噴灑A型營養(yǎng)藥后，對全部N株植株檢測發(fā)現(xiàn)有162株獲得了基因改良，請求出甲區(qū)域種植總數(shù)N的最大可能值；（3）該基地噴灑三次A型營養(yǎng)藥后，對植株進行分組檢測，以淘汰改良失敗的植株，每組n株，一株檢測費為10元，n株混合后的檢測費用為元，若混合后檢測出有未改良成功的，還需逐一檢測，求n的估計值，使每株檢測的平均費用最小，并求出最小值．（結(jié)果精確到0.1元）解：（1）記事件“該基地的植株經(jīng)過三次噴灑后，隨機檢測一株植株能獲得基因改良”，所以，（2）因為植株經(jīng)過一次噴灑后基因改良的概率為0.8，經(jīng)過一次噴灑后基因改良的株數(shù)k服從二項分布，，當(dāng)時，當(dāng)時，設(shè)若時，則若時，則，所以，解得，又，所以所以甲區(qū)域種植總數(shù)N的最大可能值為202株．（3）設(shè)每組n株的總費用為X元，則X的取值為，所以XP所以則每組中每株檢測的平均費用為所以因為所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）所以當(dāng)以10個每組時，檢測成本最低，每株2.6元．19.設(shè)函數(shù)的定義域為I，若，曲線在處的切線l與曲線有n個公共點，則稱為函數(shù)的“n度點”，切線l為一條“n度切線”．（1）判斷點是否為函數(shù)的“2度點”，說明理由；（2）設(shè)函數(shù).①直線是函數(shù)的一條“1度切線”，求a的值；②若，求函數(shù)的“1度點”.解：（1）因為，所以，，則函數(shù)在點處的切線方程，將切線l的方程與聯(lián)立得，記，，當(dāng)時，，當(dāng)和時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，，因為，所以，又因為，所以在上存在唯一零點，則點為函數(shù)的“2度點”．（2）①設(shè)直線與曲線相切于點，，，則，整理得，對于給定函數(shù)我們定義它的導(dǎo)數(shù)為，定義它的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為.設(shè)，則，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，在R上遞增，又，，，經(jīng)檢驗符合題意；②設(shè)點，曲線在點P處的切線方程為，令，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P，有唯一零點，，且，，令，則，，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增；（i）若，由，；，，在R上單調(diào)遞增，只有唯一零點；（ii）若，由，單調(diào)遞增，且，則當(dāng)，，，當(dāng)，，其中，，必存在，使得，，故在內(nèi)存在零點，即在R上至少有兩個零點；（iii）若，同理利用，可得在R上至少有兩個零點；綜上所述，函數(shù)的“1度點”為．遼寧省丹東市2024屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試（二）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗集合，，所以，，．故選：D.2.樣本數(shù)據(jù)24，13，14，18，12，14，20，16的75%分位數(shù)為（）A.17 B.18 C.19 D.20〖答案〗C〖解析〗數(shù)據(jù)從小到大排序為12，13，14，14，16，18，20，24，則，所以75%分位數(shù)為.故選：C.3.一個口袋中裝有大小形狀相同的3個紅球和2個白球，從中不放回抽取3個球，已知口袋中剩下的2個球顏色相同的條件下，抽取的3個球顏色不同的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗事件“口袋中剩下的2個球顏色相同”，事件“抽取的3個球顏色不同”，所以事件A共有個基本事件，事件AB共有個基本事件，所以．故選：A4.過坐標(biāo)原點O作圓的兩條切線OA，OB，切點分別為A，B，則（）A. B.2 C. D.4〖答案〗C〖解析〗如圖，由圓可得x軸，y軸，即是過點O的切線，所以切點為，，故．故選：C.5.在△中，點D在邊上，平分，，，，則（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以,即，代入，，可得，則，解得．故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解法1：由，得，得，得，所以，所以．解法2：將展開得，整理得，即，所以．故選：A7已知函數(shù)，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為函數(shù)，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在和上遞增，在上遞減，因為，可得，所以，又因為，，所以，所以，即，所以.故選：D.8.雙曲線的右焦點為，點在軸的正半軸上，直線與在第一象限的交點為，，且，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，，由，則，又，所以，則，，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)有，又，所以，所以，所以，即，又，即，即，所以．故選：A二、選擇題9.已知復(fù)數(shù)的虛部與的實部均為2，則下列說法正確的是（）A.是虛數(shù)B.若，則C.若，則與對應(yīng)的點關(guān)于x軸對稱D.若是純虛數(shù)，則〖答案〗ACD〖解析〗可設(shè)復(fù)數(shù)，A選項：根據(jù)虛數(shù)定義可知A正確；B選項：，所以，則，所以，，所以，故B不正確；C選項：若，所以，所以，，所以，對應(yīng)的點分別為和，則關(guān)于x軸對稱，故C正確；D選項：因為，且是純虛數(shù)，所以，所以，，則，所以，故D正確．故選：ACD.10.在正方體中，過對角線的平面與，分別交于，且，，則（）A.四邊形一定是平行四邊形B.四邊形可能是正方形C.D.四邊形在側(cè)面內(nèi)的投影一定是平行四邊形〖答案〗AC〖解析〗對于A中，在正方體，平面平面，又因為平面平面，且平面平面，所以，同理可證，所以四邊形是平行四邊形，所以A正確；對于B中，四邊形是平行四邊形，不妨設(shè)，當(dāng)為中點時，，，所以，所以B不正確；對于C中，因為，，由A知，，所以，即，所以C正確．對于D中，當(dāng)點與重合時，且點與重合（或）時，直線在平面內(nèi)的射影為，此時，即為，所以四邊形在側(cè)面內(nèi)的投影是一條線段或者是平行四邊形，所以D不正確．故選：AC.11.已知函數(shù)的定義域為，滿足，當(dāng)，，則（）A. B.在上單調(diào)遞減C.在上有極小值 D.〖答案〗ABD〖解析〗A選項：因為，當(dāng)時，，所以，所以，故A正確．B選項：令，所以，所以，即，所以，所以，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，故B正確．C選項：令，所以，所以，即，由B可得，，所以，則上遞增，在上遞減，所以在上有極大值，故C不正確．D選項：根據(jù)對稱性，由，所以，，所以由時，得，即，故D正確．故選：ABD.三、填空題12.設(shè)向量，的夾角為，且，，則______．〖答案〗9〖解析〗法1：由向量數(shù)量積幾何意義得，在向量上的投影的數(shù)量為，所以，所以；法2：根據(jù)數(shù)量積定義有，所以；法3：設(shè)，，，所以.故〖答案〗為：.13.已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，橢圓，記P為拋物線與D在第一象限的交點，延長PO交D于Q，若，則的面積為______．〖答案〗〖解析〗由，可得，由，可得與橢圓短軸的一個頂點重合，根據(jù)橢圓的對稱性，，所以的面積等于的面積的2倍，由拋物線的定義知，點到準(zhǔn)線的距離為，所以點的橫坐標(biāo)為，代入拋物線得點的縱坐標(biāo)為，所以的面積為．故〖答案〗為：.14.已知球O的半徑為4，平面，與球面分別相交，得圓C與圓D，AB為圓C與圓D的公共弦，若，，則點O到直線AB的距離為______，四面體ABCD的體積為______．〖答案〗〖解析〗取AB的中點E，根據(jù)球的截面性質(zhì)得，則截面圓C，截面圓D，可知，，平面OCED，所以平面OCED，且平面OCED，所以，所以O(shè)E就是點O到直線AB的距離，因為，即，可得，因為，即，可得，同理可得，，又因為，即，所以點O到直線AB的距離為，在中，，可知，同理可得，即，所以是等邊三角形，其面積為，所以四面體ABCD的體積．故〖答案〗為：；.四、解答題15.已知數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，記為數(shù)列的前n項和,，，求．解：（1）由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以．（2）設(shè)數(shù)列的公差為d，因為，得，易知，因為，所以，可得，又因為，所以，所以．16.如圖，三棱柱中，，，，M為的中點．（1）求證：平面ABC；（2）若平面ABC⊥平面，，，求二面角的正弦值．（1）證明：取BC的中點D，連接AD，ND，因為N是的中點，所以，且，又因為M為的中點，所以，且，所以且，所以四邊形AMND是平行四邊形，所以，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．（2）解：取AB的中點O，連接OC，因為，所以O(shè)C⊥AB，又因為平面ABC⊥平面，平面平面，所以O(shè)C⊥平面，因為，，連接，所以，，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則，，，，，，，所以，，，設(shè)平面BMN的法向量為，所以，所以，解得平面BMN的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，所以，所以，解得平面的一個法向量為，所以，則，所以二面角的正弦值為．17.已知橢圓：的左右頂點分別為，，過的直線與交于點，點在上，.（1）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值；（2）求面積的最大值.（1）證明：由題意可知，，設(shè)點，，，因為，得，所以，即；（2）解：不妨令，，，由（1）可設(shè)直線的斜率，則直線：，將代入中，得，所以，所以，因為，用替換，得，，所以的面積，所以，令，則，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有最小值，即，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立），所以面積的最大值為.18.藍(lán)莓種植技術(shù)獲得突破性進展，噴灑A型營養(yǎng)藥有--定的改良藍(lán)莓植株基因的作用，能使藍(lán)莓果的產(chǎn)量和營養(yǎng)價值獲得較大提升．某基地每次噴灑A型營養(yǎng)藥后，可以使植株中的80%獲得基因改良，經(jīng)過三次噴灑后沒有改良基因的植株將會被淘汰，重新種植新的植株．（1）經(jīng)過三次噴灑后，從該基地的所有植株中隨機檢測一株，求-株植株能獲得基因改良的概率；（2）從該基地多個種植區(qū)域隨機選取-一個，記為甲區(qū)域，在甲區(qū)域第一次噴灑A型營養(yǎng)藥后，對全部N株植株檢測發(fā)現(xiàn)有162株獲得了基因改良，請求出甲區(qū)域種植總數(shù)N的最大可能值；（3）該基地噴灑三次A型營養(yǎng)藥后，對植株進行分組檢測，以淘汰改良失敗的植株，每組n株，一株檢測費為10元，n株混合后的檢測費用為元，若混合后檢測出有未改良成功的，還需逐一檢測