經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)套課件幻燈片教學(xué)教程電子講義

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)Economicmathematics目錄函 數(shù)

1極限與連續(xù)2導(dǎo)數(shù)與微分3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4積分學(xué)及其應(yīng)用5隨機(jī)變量及其數(shù)字特征數(shù)學(xué)軟件Mathematica應(yīng)用隨機(jī)事件與概率線性代數(shù)初步89目錄76第1章函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)理解函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)定義域和值域的求法，了解分段函數(shù)的特點(diǎn)。掌握函數(shù)的基本性質(zhì)和表示方法。熟練掌握六類基本初等函數(shù)的概念、表達(dá)式、圖形和性質(zhì)．了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念和性質(zhì)，掌握復(fù)合函數(shù)的分解方法。了解常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)的概念及相關(guān)運(yùn)算，會(huì)建立簡單的函數(shù)關(guān)系式。1.1函數(shù)的概念1.1.1函數(shù)的概念引例1

自由落體運(yùn)動(dòng)設(shè)物體下落的時(shí)間為t，下落距離為s，假定開始下落的時(shí)刻t＝0，那么s與t之間的依賴關(guān)系由給出，其中g(shù)為重力加速度．在這個(gè)關(guān)系中，距離s隨著時(shí)間t的變化而變化．其特點(diǎn)是，當(dāng)下落的時(shí)間t取定一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的距離s的值也就確定了．引例2

醫(yī)師用藥醫(yī)師給兒童用藥和成年人不一樣，用藥量可由兒童的體重來確定．要計(jì)算1～12歲的兒童的體重可用經(jīng)驗(yàn)公式y(tǒng)＝2x＋7，其中x代表年齡（歲），y代表體重（公斤），年齡確定了，相應(yīng)的體重也就確定了．函數(shù)的定義1.1函數(shù)的概念定義1

設(shè)x，y是同一變化過程中的兩個(gè)變量，若當(dāng)x取其變化范圍內(nèi)任一值時(shí)，按照某種對(duì)應(yīng)規(guī)則，總能唯一確定變量y的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作y＝f（x）x叫做自變量，y叫做因變量．X的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，與x的值對(duì)應(yīng)的y的值的集合叫做函數(shù)的值域．當(dāng)自變量x取數(shù)值x0

時(shí)，因變量y按照對(duì)應(yīng)法則f所對(duì)應(yīng)的數(shù)值，稱為函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，記作y＝f（x0）。1.1函數(shù)的概念例1.1

設(shè)f(x)＝2x2-3，求f(-1），f（x0）。例1.2

求函數(shù)的定義域。解解要使分式有意義，必須分母x2+2x-3≠0，即x≠-3且x≠1，所以這個(gè)函數(shù)的定義域是(－∞，－3)∪(－3，1)∪(1，＋∞)。求函數(shù)定義域時(shí)應(yīng)遵守以下原則：（1）代數(shù)式中分母不能為零；（2）偶次根式內(nèi)表達(dá)式非負(fù)；（3）基本初等函數(shù)要滿足各自的定義要求；（4）對(duì)于表示實(shí)際問題的解析式，還應(yīng)保證符合實(shí)際意義．1.1函數(shù)的概念1.1.2函數(shù)的表示常用的函數(shù)表示方法有表格法、圖像法、解析法．(1)將自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表格以表示函數(shù)的方法叫表格法，如三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表及許多的財(cái)務(wù)報(bào)表等．(2)用圖像來表示自變量值與函數(shù)值的關(guān)系的方法叫圖像法，它的特點(diǎn)是較直觀．(3)用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示自變量和因變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法叫解析法，如y＝sinX，y＝2x+1等，它的特點(diǎn)是便于推理與演算．分段函數(shù)引例3

乘座火車時(shí)，鐵路部門規(guī)定：隨身攜帶物品不超過20千克免費(fèi)，超過20千克部分，每千克收費(fèi)0.2元，超過50千克部分，再加收50％，應(yīng)如何計(jì)算攜帶物品所交的費(fèi)用．1.1函數(shù)的概念設(shè)物品的重量為x，應(yīng)交費(fèi)用為y，則有解對(duì)于分段函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）分段函數(shù)是由幾個(gè)公式合起來表示一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)。（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。（3）在處理問題時(shí)，對(duì)屬于某一段的自變量就應(yīng)用該段的表達(dá)式。1.1函數(shù)的概念1.1.3反函數(shù)定義如果已知y是x的函數(shù)，y＝f（x），則由它所確定的以y為自變量，x為因變量的函數(shù)x＝φ（y）就是y＝f（x）的反函數(shù)，而y＝f（x）稱為直接函數(shù)．函數(shù)y＝f（x）的定義域和值域分別是其反函數(shù)y＝f－1（x）的值域和定義域．函數(shù)y＝f（x）和它的反函數(shù)y＝f－1（x）的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．單調(diào)函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)與其反函數(shù)單調(diào)性相同．例1.3

求函數(shù)y＝x2，x∈［0，＋∞）的反函數(shù)．解因?yàn)楹瘮?shù)y＝x2

在區(qū)間［0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以存在反函數(shù)．由y＝x2

解得x＝√y，y≥0，于是y＝x2

的反函數(shù)為y＝√x，x∈［0，＋∞）求反函數(shù)的步驟是從y＝f（x）中解出x，得到x＝f－1（y），再將x和y互換即可．1.1函數(shù)的概念例1.4

求y＝２x＋１的反函數(shù)解由y＝２x＋１得互換字母x，y得所求反函數(shù)為1.1.4函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的奇偶性定義２設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即x∈D<=>-x∈D若f(-x)＝f(x)，x∈D，則稱f（x）為偶函數(shù)；若f(-x)＝-f(x)，x∈D，則稱f（x）為奇函數(shù)．例如：y＝x２，x∈R，是偶函數(shù)，其圖像如圖1.1所示；y＝x３，x∈R，是奇函數(shù)，其圖像如圖1-2所示．1.1函數(shù)的概念圖1-1圖1-2偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．兩個(gè)偶函數(shù)之和、差、積、商仍是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)之和、差仍是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)之積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)之積、商是奇函數(shù)．1.1函數(shù)的概念例1.5

判斷下列函數(shù)的奇偶性．解（１）因?yàn)樗运?，所以即即是偶函?shù)。2.函數(shù)的周期性1.1函數(shù)的概念定義3給定函數(shù)y＝f（x），x∈D，若存在常數(shù)T使得x∈D<=>x＋T∈D且f（x＋T）＝f（x），x∈D，則稱f（x）為周期函數(shù)，常數(shù)T稱為周期．滿足條件的最小正數(shù)T稱為f（x）的最小正周期，通常所說的周期函數(shù)的周期是指它的最小正周期．例sinx，cosx是周期為２π的函數(shù)，tanx，cotx是周期為π的函數(shù)．以T為周期的函數(shù)圖像沿x軸方向左右平移T的整數(shù)倍，圖像將重合．3.函數(shù)的單調(diào)性定義4

若對(duì)于區(qū)間I內(nèi)任意兩點(diǎn)x１，x２，當(dāng)x１＜x２時(shí)，有f（x１）＜f（x２），則稱f（x）在I上單調(diào)增加（如圖1-3），區(qū)間I稱為單調(diào)遞增區(qū)間；若f（x１）＞f（x２），則稱f（x）在I上單調(diào)減少（如圖1-4），區(qū)間I稱為單調(diào)遞減區(qū)間．單調(diào)增加與單調(diào)減少分別稱為遞增與遞減．單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間。1.1函數(shù)的概念圖1-3圖1-4４.函數(shù)的有界性1.1函數(shù)的概念定義５若存在正數(shù)M，使得在區(qū)間I上|f（x）|≤M，則稱f（x）在I上有界．否則稱為無界．例如函數(shù)y＝cosX在區(qū)間（－∞，＋∞）內(nèi)有|cosX|≤１，，所以函數(shù)y＝cosX在（－∞，＋∞）內(nèi)是有界的．1.2初等函數(shù)1.2.1基本初等函數(shù)常函數(shù)：y＝c（c為常數(shù)）。冪函數(shù)：y＝xα（α為常數(shù)）。指數(shù)函數(shù)：y＝ax（a＞０，且a≠１，a為常數(shù)）。對(duì)數(shù)函數(shù)：y＝logax（a＞０，且a≠１，a為常數(shù)）。三角函數(shù)：y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，y＝cotx。以上函數(shù)的定義域、值域、圖像和性質(zhì)列表，見P5表1.11.2.2復(fù)合函數(shù)定義

設(shè)y是u的函數(shù)y＝f（u），u是x的函數(shù)u＝φ（x），如果u＝φ（x）的值域或其部分包含于y＝f（u）定義域中，則y通過中間變量u構(gòu)成x的函數(shù)，稱為x的復(fù)合函數(shù)，記為y＝f［φ（x）］，其中x是自變量，u是中間變量．例1.6

設(shè)y＝2u，u＝sinx，則由這兩個(gè)函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)為y＝2sinx．復(fù)合函數(shù)也可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成，例如，由函數(shù)y＝sinu，u＝eυ

，υ＝tanx復(fù)合后可得復(fù)合函數(shù)y＝sinetanx．例1.7

函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的？解設(shè)，則是由函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。1.2.3初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算而得到的，并且能用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。例如，等都是初等函數(shù)．而不滿足有限次運(yùn)算，1.2初等函數(shù)不是一個(gè)解析式子表示，因此都不是初等函數(shù)。例1.8

設(shè)，試分析它的結(jié)構(gòu)。解函數(shù)可分解為1.2初等函數(shù)1.3利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)1.3.1單利、復(fù)利與貼現(xiàn)1.單利計(jì)算公式設(shè)初始本金為P元，銀行年利率為r．第一年末的利息為P·r，本利和為第二年利息不計(jì)入本金，即本金為P，第二年末的利息仍為P·r，本利和為依此方法，第n年末的本利和Sn為(1.1)2.復(fù)利計(jì)算公式設(shè)初始本金為P元，銀行年利率為r．第一年末的本利和為第二年利息計(jì)入本金，第二年末的利息為，本利和為依此方法，第n年末的本利和Sn為（1.2）例1.9

設(shè)有初始本金2000元，銀行年儲(chǔ)蓄利率為４％．試求：（１）按單利計(jì)算，３年末的本利和是多少？（２）按復(fù)利計(jì)算，３年末的本利和是多少？解（１）本金P＝2000元，年利率r＝0.04，存期３年，由單利計(jì)算公式（1.1）知（２）由復(fù)利計(jì)算公式（1.2）知1.3利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)1.3利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)3.貼現(xiàn)債券或其他票據(jù)的持有人，為了在票據(jù)到期以前獲得資金，從票面金額中扣除未到期期間的利息后，得到所余金額的現(xiàn)金，這就是貼現(xiàn)．假設(shè)未來n年復(fù)利年利率r不變，n年后到期價(jià)值R的票據(jù)現(xiàn)值為P，則由復(fù)利計(jì)算公式（1.2）可得例如，復(fù)利年利率為５％，５年后到期價(jià)值是1000元的票據(jù)的現(xiàn)值為1.3.2需求函數(shù)與供給函數(shù)1.需求函數(shù)一種商品的市場需求量與消費(fèi)群體的人數(shù)、收入、習(xí)慣及該商品的價(jià)格等諸多因素有關(guān)，為簡化問題的分析，我們只考慮商品價(jià)格對(duì)需求量的影響，而其他因素暫時(shí)保持某種狀態(tài)不變，需求量犙可以看成價(jià)格犘的一元函數(shù)，稱為需求函數(shù)，記作1.3利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)一般地，價(jià)格犘越高，需求量犙要下降；價(jià)格犘越低，需求量犙要上升，所以需求函數(shù)為價(jià)格犘的單調(diào)減少函數(shù)．常見需求函數(shù)有以下幾種類型：（１）線性需求函數(shù)均為常數(shù)；（２）二次需求函數(shù)均為常數(shù)；（３）指數(shù)需求函數(shù)２.供給函數(shù)在市場經(jīng)濟(jì)規(guī)律作用下，某種商品的市場供給量將依賴于該商品的價(jià)格高低，價(jià)格上漲將刺激該商品的供給量增多，供給量S可以看成是價(jià)格P的函數(shù)，稱為供給函數(shù)，記作1.3利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)３.市場均衡由于需求函數(shù)Q是單調(diào)減少函數(shù)，供給函數(shù)S是單調(diào)增加函數(shù)，若把需求與供給曲線畫在同一坐標(biāo)系（如圖1-5），它們將相交于一點(diǎn)（P０，Q０），這里的P０就是供、需平衡的價(jià)格，叫做均衡價(jià)格，Q０就是均衡數(shù)量，此時(shí)我們稱之為市場均衡．例1.10

某種商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別是求該商品的市場均衡價(jià)格和市場均衡數(shù)量．解按市場均衡條件Q＝S，即25P－10＝200－5P，則P０＝７，此時(shí)Q０＝200－５×７＝165，即市場均衡價(jià)格為7，市場均衡數(shù)量為165．1.3利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)1.3.3成本、收入和利潤函數(shù)在生產(chǎn)和產(chǎn)品經(jīng)營活動(dòng)中，成本、收入和利潤這些經(jīng)濟(jì)變量都與產(chǎn)品的產(chǎn)量或銷售量q密切相關(guān)，它們都可以看成q的函數(shù)，分別稱為總成本函數(shù)，記作C＝C（q）；收入函數(shù)，記作R＝R（q）；利潤函數(shù)，記作L＝L（q）．1.總成本函數(shù)總成本C由固定成本C０和可變成本C１兩部分組成．固定成本C0

如廠房、設(shè)備、企業(yè)管理費(fèi)等與產(chǎn)量q無關(guān)．可變成本C１如原材料費(fèi)、勞動(dòng)者工資等隨產(chǎn)量狇的變化而變化，即C１＝C１（q），這樣總成本C＝C０＋C１（q）．平均成本，記作，其中C（q）是總成本.1.3利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)2.收入函數(shù)收入是指銷售某種商品所獲得的收入，又可分為總收入和平均收入．設(shè)P為商品價(jià)格，q為商品的銷售量，則有總收入函數(shù)：平均收入函數(shù)：３.利潤函數(shù)生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品的總收入與總成本之差就是它的總利潤，記作其中q為產(chǎn)品數(shù)量．它的平均利潤，記作1.3利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)例1.13

已知生產(chǎn)某種商品狇件時(shí)的總成本（單位：萬元）為該商品每件售價(jià)是９萬元，試求：（１）該商品的利潤函數(shù)；（２）生產(chǎn)10件該商品時(shí)的總利潤和平均利潤；（３）生產(chǎn)40件該商品時(shí)的總利潤．例1.14

已知某種商品的成本函數(shù)為，銷售單價(jià)定為11元／件，試求該商品的盈虧平衡點(diǎn)，并說明隨產(chǎn)量q變化時(shí)的盈虧情況．本章小結(jié)一、本章主要內(nèi)容及學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.函數(shù)的概念2.函數(shù)的基本性質(zhì)3.反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)4.基本初等函數(shù)與初等函數(shù)5.經(jīng)濟(jì)函數(shù)二、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)2.難點(diǎn)ThankYou!經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)Economicmathematics第2章極限與連續(xù)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解極限的描述性定義，左右極限的定義．握極限四則運(yùn)算法則，熟練使用兩個(gè)重要極限．了解無窮小的定義及性質(zhì)，了解無窮小與無窮大的關(guān)系，會(huì)利用其求極限．理解并會(huì)利用無窮小的比較求極限方法．了解函數(shù)連續(xù)的定義，會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性．了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)．2.1極限2.1.1數(shù)列的極限1.極限的概念圖2.12.1極限圖2.2圖2.3定義設(shè)有數(shù)列｛an｝，當(dāng)n無限增大時(shí)，an無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，那么就稱為數(shù)列｛an｝的極限，記作此時(shí)，也稱數(shù)列｛an｝收斂于，否則稱數(shù)列沒有極限，或稱數(shù)列發(fā)散．2.1極限2.數(shù)列極限的性質(zhì)性質(zhì)１若數(shù)列收斂，則其極限值必唯一．性質(zhì)２若數(shù)列收斂，則它必有界．性質(zhì)３單調(diào)有界數(shù)列必有極限．2.1.2函數(shù)的極限1.x→∞的情形定義如果當(dāng)x無限增大時(shí)，函數(shù)∫（x）無限地接近于某一個(gè)確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)∫（x）當(dāng)x→∞時(shí)的極限，記作例2.1

判斷當(dāng)x→∞時(shí)，的極限情況．解如圖2.4為的圖像，可以看出，當(dāng)和x→－∞時(shí)，圖像無限接近于零，所以即x→＋∞2.1極限圖2.4定理當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)∫（x）的極限存在的充分必要條件是當(dāng)x→＋∞時(shí)和x→－∞時(shí)函數(shù)∫（x）的極限都存在而且相等，即2.x→x0

的情形定義設(shè)函數(shù)∫(x)在x0的左右兩側(cè)有定義，如果當(dāng)x無限接近x0時(shí)，函數(shù)值∫(x)無限接近于某一確定的常數(shù)，則稱是函數(shù)∫(x)當(dāng)x→x0

時(shí)的極限，記作2.1極限定義當(dāng)x從x0左側(cè)（或右側(cè)）無限接近于x0

時(shí)，函數(shù)∫(x)無限地趨于某一確定的常數(shù)，則稱時(shí)，函數(shù)∫(x)的左(右)極限為，記作例2.2

求當(dāng)x→１時(shí)，函數(shù)∫（x）＝２x＋１的極限．解如圖2.5所示，當(dāng)x從１的左右兩側(cè)接近于１時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值從數(shù)值３兩側(cè)無限接近于３，因此圖2.5圖2.62.1極限例2.3當(dāng)x→1時(shí)，函數(shù)∫(x)的極限情況解如圖2.6所示，x無限接近于１時(shí)，∫(x)的函數(shù)值從數(shù)值4的兩側(cè)無限接近于4，即例2.4

設(shè)函數(shù)解如圖2.7所示，當(dāng)x從０的右側(cè)接近于０時(shí)，函數(shù)值∫（x）接近于數(shù)值１，即

當(dāng)x從０的左側(cè)接近于０時(shí)，函數(shù)值∫(x)接近于數(shù)值-1，關(guān)于函數(shù)∫(x)在一點(diǎn)處極限存在有如下定理:定理2.1極限圖2.7圖2.82.1極限例2.5設(shè)函數(shù)問當(dāng)x→０時(shí)，∫(x)的極限是否存在？若存在是多少？解如圖2.8所示，當(dāng)x從０的左側(cè)接近于０時(shí)，有０；當(dāng)x從０的右側(cè)接近于０時(shí)，有存在的定理知，函數(shù)∫(x)在x→０時(shí)極限存在，根據(jù)極限在一點(diǎn)處2.1.3函數(shù)極限的性質(zhì)性質(zhì)１（唯一性）如果函數(shù)∫(x)的極限存在，則極限值唯一．性質(zhì)２（夾逼定理）設(shè)函數(shù)∫(x)，g(x)，h(x)在x0的左右兩側(cè)滿足條件：則2.1極限2.1.4函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則定理如果則例2.6

求解例2.7求解2.1極限例2.8求解習(xí)題2.1見課本P21。2.2兩個(gè)重要極限與無窮小、無窮大2.2.1兩個(gè)重要極限1.重要極限Ⅰ注意，第Ⅰ重要極限形式為形式，為了強(qiáng)調(diào)其形式，可形象記為其中方框□代表同一變量。例2.9解2.2兩個(gè)重要極限與無窮小、無窮大例2.10解例2.11解例2.12解2.2兩個(gè)重要極限與無窮小、無窮大例2.13解2．重要極限Ⅱ重要極限Ⅱ的形式是類型，為了強(qiáng)調(diào)其形式，我們也可將它表示為其中方框□表示同一變量．2.2兩個(gè)重要極限與無窮小、無窮大例2.14解例2.15解例2.16解2.2兩個(gè)重要極限與無窮小、無窮大2.2.2無窮小量（簡稱無窮?。?．無窮小的定義定義以零為極限的變量稱為無窮小量，簡稱無窮小，常用希臘字母α，β，γ來表示無窮?。P(guān)于無窮小一定要注意以下幾點(diǎn)：（１）談無窮小一定離不開自變量的變化趨勢．（２）不能把無窮小混同于一個(gè)非常小的數(shù)，但零是唯一可以作為無窮小的常數(shù)，因?yàn)閘im0＝０．例2.19

自變量狓在怎樣的變化過程中，下列函數(shù)為無窮小．（１）因?yàn)榻?，所以x→∞時(shí)是無窮小2.2兩個(gè)重要極限與無窮小、無窮大（２）因?yàn)椋ǎ常┮驗(yàn)椋ǎ矗┮驗(yàn)椋玻疅o窮小的性質(zhì)性質(zhì)１有限個(gè)無窮小的代數(shù)和是無窮?。再|(zhì)２有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小．例2.20解因?yàn)槭怯薪绾瘮?shù)，所以2.2兩個(gè)重要極限與無窮小、無窮大推論常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小．性質(zhì)３有限個(gè)無窮小的積是無窮?。?.2.3無窮大量（簡稱無窮大）定義在自變量狓的某個(gè)變化過程中，若相應(yīng)函數(shù)值的絕對(duì)值|∫（x）|無限增大，則稱∫（x）為該自變量變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大，記作ｌｉｍ∫（x）＝∞．例如，是x→０時(shí)的無窮大，可記為無窮大要注意以下幾點(diǎn)（１）談無窮大不能離開自變量的變化趨勢．（２）不能將無窮大與非常大的常數(shù)混為一談．（３）借用ｌｉｍ∫（x）＝∞，并不表示∫（x）的極限存在，事實(shí)上∫（x）的極限不存在．2.2兩個(gè)重要極限與無窮小、無窮大2.2.4無窮小與無窮大的關(guān)系定理在自變量的同一個(gè)變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小，除常數(shù)零外的無窮小的倒數(shù)是無窮大．例如，當(dāng)x→０時(shí)，２x是無窮小，則當(dāng)x→０時(shí)，為無窮大．又例如，當(dāng)x→∞時(shí)，x２＋２是無窮大，則當(dāng)x→∞時(shí)，是無窮?。?.2.5無窮小的比較定義設(shè)α和β是同一變化過程中的無窮小，即limα=0，limβ=0．2.2兩個(gè)重要極限與無窮小、無窮大定理設(shè)α１、α２、β１、β２是同一變化過程中的無窮小，且有α１～α２，β１～β２，若（或無窮大），則例2.21

求下列極限：2.2兩個(gè)重要極限與無窮小、無窮大解2.3函數(shù)的連續(xù)性2.3.1函數(shù)連續(xù)的定義定義設(shè)Δx＝x－x０是自變量的增量，Δy＝∫（x）－∫（x０）是函數(shù)的增量，函數(shù)y＝∫(x）在x０的左右兩側(cè)（含x０點(diǎn)）有定義，當(dāng)自變量的改變量Δx趨于零時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)改變量Δy也趨于零，即則稱y＝∫(x）在點(diǎn)x０處連續(xù)．函數(shù)∫（x）在點(diǎn)x０處連續(xù)必須滿足以下３個(gè)條件：例2.22

若∫（x）＝x２，證明y＝∫（x）在x＝１處連續(xù)．證明2.3函數(shù)的連續(xù)性而，所以函數(shù)在x＝１處連續(xù)．例2.23

設(shè)某城市出租車白天的收費(fèi)（單位：元）x與路程（單位：ｋｍ）狓之間的關(guān)系為討論函數(shù)∫(x)在x＝７處是否連續(xù)．解2.3函數(shù)的連續(xù)性故函數(shù)∫(x)在x＝７處連續(xù)2.3.2連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算１．連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)函數(shù)∫(x),g(x)在點(diǎn)x０處連續(xù)，則有以下性質(zhì)．性質(zhì)１

∫(x)±g(x)在x０處連續(xù)．性質(zhì)２

∫(x)·g(x)在x０處連續(xù)．性質(zhì)３若處連續(xù)．2.3函數(shù)的連續(xù)性２．復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理設(shè)函數(shù)u＝g（x）在x＝x０處連續(xù)，y＝∫(u)在u０＝g(x0)處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y＝∫［g（x）］在x０點(diǎn)處連續(xù)．例2.24解例2.25解2.3函數(shù)的連續(xù)性例2.26解例2.27解在求連續(xù)的復(fù)合函數(shù)極限時(shí)，極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)可交換次序，即2.3函數(shù)的連續(xù)性2.3.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)１（有界定理）若∫(x)在［a，b］上連續(xù)，則∫(x)在［a，b］上有界．性質(zhì)２（最值定理）若∫(x)在［a，b］上連續(xù)，則∫(x)在［a，b］上必能取得最大值和最小值．性質(zhì)３（介值定理）若∫(x)在［a，b］上連續(xù)，且最大值和最小值分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任意實(shí)數(shù)C（m＜C＜M），必定存在點(diǎn)ξ∈（a，b），使得∫（ξ）＝C．2.3.4函數(shù)的間斷點(diǎn)定義如果函數(shù)∫(x)在x0處不連續(xù)，則稱點(diǎn)x0為∫(x)的一個(gè)間斷點(diǎn)．根據(jù)連續(xù)的定義，有下列三種情況之一的點(diǎn)x０即為函數(shù)∫(x)的間斷點(diǎn)：（１）在點(diǎn)x0處，∫(x)無定義；（２）在點(diǎn)x0處，∫(x)的極限不存在；（３）在點(diǎn)x0處有定義，且有極限，但2.3函數(shù)的連續(xù)性例2.28解因?yàn)樽?、右極限存在但不相等．所以x＝０為∫(x)的跳躍間斷點(diǎn)．例2.29的間斷點(diǎn)．解

∫(x)在x＝１處無定義，所以x＝１是∫(x)的間斷點(diǎn)．而所以x＝１是∫(x)的可去間斷點(diǎn)．2.3函數(shù)的連續(xù)性例２．３０討論處間斷點(diǎn)的類別．解因?yàn)槔玻常苯膺M(jìn)一步可知，當(dāng)x→０時(shí)，在－１和１之間振蕩，所以x＝０是的振蕩間斷點(diǎn)．本章小結(jié)一、本章主要內(nèi)容及學(xué)習(xí)要點(diǎn)１．極限的概念２．無窮小與無窮大的概念３．連續(xù)的概念４．函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型的判定５．極限的計(jì)算方法６．求函數(shù)連續(xù)區(qū)間的方法二、重點(diǎn)與難點(diǎn)１．重點(diǎn)２．難點(diǎn)ThankYou!經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)Economicmathematics第3章導(dǎo)數(shù)與微分學(xué)習(xí)目標(biāo)理解導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線的切線方程，了解可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系．了解左右導(dǎo)數(shù)的概念，了解可導(dǎo)的充要條件．熟練掌握導(dǎo)數(shù)基本公式，四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則．會(huì)求二階導(dǎo)數(shù)以及較簡單函數(shù)的狀階導(dǎo)數(shù)．了解微分概念，掌握求微分的方法．3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.1兩個(gè)引例１．變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度設(shè)一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程（路程s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系）為s＝s（t），求該物體在t０時(shí)刻的瞬時(shí)速度．當(dāng)時(shí)間由t０變到t０＋Δt時(shí)，物體經(jīng)過的路程為從t０到t０＋Δt這一段時(shí)間的平均速度表示為當(dāng)Δt很小時(shí)，可以用近似表示為物體在t０時(shí)刻的瞬時(shí)速度，Δt越小，就越接近物體在t０時(shí)刻的瞬時(shí)速度．而t０時(shí)刻的瞬時(shí)速度即為平均速度當(dāng)Δt→０的極限，即3.1導(dǎo)數(shù)的概念２．切線的斜率圖３.１3.1導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)曲線L的方程為y＝f(x),求此曲線上點(diǎn)M處切線的斜率k（圖３.１）設(shè)M、N是曲線L上的任意兩個(gè)定點(diǎn)，作直線MN，稱MN為曲線L的割線，當(dāng)點(diǎn)N沿曲線L趨于定點(diǎn)M時(shí)，割線MN趨于極限位置MT，稱MT為曲線L在點(diǎn)M處的切線．下面求切線MT的斜率k．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x０，f(x)），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x０＋Δx，f(x0

＋Δx）），割線MN對(duì)x軸的傾角為φ，切線MT對(duì)x軸的傾角為α，割線MN的斜率為當(dāng)Δx→０時(shí)，點(diǎn)N就沿曲線L趨于點(diǎn)M，此時(shí)割線MN就隨之趨于它的極限位置MT，所以當(dāng)Δx→０時(shí)，若的極限存在，則定義此極限值為曲線L在點(diǎn)M處的切線MT的斜率k，即3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.2導(dǎo)數(shù)的定義定義設(shè)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x０及近旁有定義，當(dāng)自變量x在x０處取得增量Δx時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)y取得增量Δy=f(x0＋Δx）-f(x0)；如果極限則稱函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限值為函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x０處的導(dǎo)數(shù)，記作；如果極限不存在，則稱函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x０處不可導(dǎo)．定義設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x０點(diǎn)及左側(cè)（右側(cè)）有定義，若極限3.1導(dǎo)數(shù)的概念存在，則稱此極限為函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x０處的左（右）導(dǎo)數(shù)，記作也可寫成另一種形式定理函數(shù)y＝f(x)在x０點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件是它在這一點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等．左右導(dǎo)數(shù)的定義及定理主要用于判斷閉區(qū)間的左右端點(diǎn)的可導(dǎo)性及分段函數(shù)分界點(diǎn)處的可導(dǎo)性．3.1導(dǎo)數(shù)的概念例3.1解因?yàn)閒(0)=１，所以有3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.3利用定義求導(dǎo)數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)，可歸納為以下三個(gè)步驟（俗稱求導(dǎo)三步曲）．（１）當(dāng)自變量x在x０處取得增量Δx時(shí)，求函數(shù)y相應(yīng)的增量（２）求兩個(gè)增量的比值．（３）求當(dāng)Δx→０時(shí)，的極限，即例3.2

求常數(shù)函數(shù)y＝C的導(dǎo)數(shù)．解（１）求增量：因?yàn)閥＝C不論x取什么值，y的值總等于C，所以3.1導(dǎo)數(shù)的概念（２）算比值：（３）取極限：即常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零．例3.3

求函數(shù)y＝x２的導(dǎo)數(shù)，并求解3.1導(dǎo)數(shù)的概念例3.4求f(x）＝xn（n為正整數(shù)）在x＝a點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)．解若將a視為任一點(diǎn)，并用x取代a，即得更一般地，3.1導(dǎo)數(shù)的概念例3.5

求函數(shù)f（x）＝sinx的導(dǎo)數(shù)．解3.1導(dǎo)數(shù)的概念例3.6解3.1導(dǎo)數(shù)的概念即3.1.4導(dǎo)數(shù)的幾何意義由引例２及導(dǎo)數(shù)的定義可知，函數(shù)y＝f（x）在x０處的導(dǎo)數(shù)f′(x０）就是該曲線在x０點(diǎn)處的切線斜率k，從而得到曲線y＝f（x）在點(diǎn)x０處的切線方程為法線方程為但要注意函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在不等于它對(duì)應(yīng)的曲線在該點(diǎn)無切線，如曲線在某點(diǎn)的切線垂直于狓軸，而函數(shù)在這一點(diǎn)卻不可導(dǎo)．例3.7

求曲線y＝x２在點(diǎn)（１，１）處的切線和法線方程．解因?yàn)閥′=（x２）′=２x，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線y＝x２在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率為所以，所求切線方程為y－１＝２（x－１）即y＝２x－１．3.1導(dǎo)數(shù)的概念法線方程為3.1.5導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用某產(chǎn)品的總成本函數(shù)是，q是產(chǎn)品的產(chǎn)量，當(dāng)產(chǎn)量由q0

變到q0

＋Δq時(shí)，總成本相應(yīng)的改變量為則總成本的變化率為當(dāng)Δq→０時(shí)，極限為q０時(shí)的總成本的變化率，又稱邊際成本。是產(chǎn)量同樣收入函數(shù)R＝R（q）的導(dǎo)數(shù)R′＝R′（q）稱為邊際收入；利潤函數(shù)L＝L（q）的導(dǎo)數(shù)L′＝L′（q）稱為邊際利潤．3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.6可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理如果函數(shù)在點(diǎn)x０處可導(dǎo)，則在該點(diǎn)處必連續(xù)．注意：本定理的逆定理不成立，即連續(xù)未必可導(dǎo)．例如，函數(shù)因?yàn)樘庍B續(xù)，但不可導(dǎo)，即y＝|x|在x０處連續(xù)，但該函數(shù)在x＝０處的左導(dǎo)數(shù)是而右導(dǎo)數(shù)是左右導(dǎo)數(shù)不相等，故函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo)，所以連續(xù)是可導(dǎo)的必要而非充分條件．所以3.2求導(dǎo)法則3.2.1函數(shù)的和、差、積、商求導(dǎo)法則定理若函數(shù)u（x）與v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則（１）函數(shù)u（x）±v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且（２）函數(shù)u（x）·v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且（３）特別對(duì)任意常數(shù)C，有（４）若v（x）≠０，函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且其中法則（１）、（２）可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形，下面只給出法則（１）的證明．3.2求導(dǎo)法則證則例3.8解3.2求導(dǎo)法則例3.9解例3.10解3.2求導(dǎo)法則3.2.2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理如果u＝φ（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而y＝f（u）在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u＝φ（x）處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y＝f［φ（x）］在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且有若y＝f（u），u＝φ（v），v＝g（x），則復(fù)合函數(shù)y＝f｛φ［g（x）］｝的導(dǎo)數(shù)為例3.16

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解（１）函數(shù)y=(1-2x)７是由y=u７，u=1-2x兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的．3.2求導(dǎo)法則（２）函數(shù)y＝sin２x是由函數(shù)y＝u２，u＝sinx復(fù)合而成．所以所以3.2求導(dǎo)法則例3.17解例3.18解3.2求導(dǎo)法則3.2.4基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式現(xiàn)把基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式歸納如下：3.2求導(dǎo)法則3.2.6高階導(dǎo)數(shù)連續(xù)兩次以上對(duì)某個(gè)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，所得的結(jié)果稱為這個(gè)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)．定義如果函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則稱f′（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù)類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)，……（n－１）階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)，分別記作y″，y(4)…，x（n）函數(shù)的二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)．3.2求導(dǎo)法則例3.26解例3.27解例3.28解3.3函數(shù)的微分及應(yīng)用3.3.1微分的概念先分析一個(gè)具體問題．一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由x０變到x０＋Δx（如圖3.2），問此薄片的面積改變了多少？圖3.23.2求導(dǎo)法則定義設(shè)函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x及其近旁有定義，x＋Δx仍在這個(gè)范圍內(nèi)，如果函數(shù)的增量?？杀硎緸槠渲蠥是不依賴于Δx的常數(shù)，而ο（Δx）是比Δx高階的無窮小，那么稱函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x處是可微的，而AΔx叫做函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x處的微分，記作dy，即定理函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x處可微的充要條件是f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且有dy＝f′(x)Δx．關(guān)于定義及定理的幾點(diǎn)說明：（１）由定義知dx=Δx，dx稱為自變量的微分，從而dy＝f′(x)dx．（２）由因此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x） 又稱為函數(shù)的微商．3.2求導(dǎo)法則（３）由定理知，一元函數(shù)的可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，但它們是有區(qū)別的：導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點(diǎn)處的變化率；而微分是函數(shù)在一點(diǎn)處由自變量增量所引起的函數(shù)增量的主要部分，由于它是Δx的線性函數(shù)，因此又稱微分為線性主部，導(dǎo)數(shù)值只與x有關(guān)，而微分值與x和Δx都有關(guān)．（４）定理告訴我們，求函數(shù)的微分dy只需求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)f′(x)，然后再乘以dx即可．（５）函數(shù)的微分dy與其增量Δy之間有關(guān)系事實(shí)上3.2求導(dǎo)法則例3.30

求函數(shù)y＝x３在x０＝1，Δx＝0.03時(shí)的改變量和微分．解而則比較Δy與dy知，Δy－dy＝0.092727-0.09=0.002727較?。?.3.2微分的幾何意義圖3-33.2求導(dǎo)法則3.3.3微分基本公式與運(yùn)算法則3.2求導(dǎo)法則1.微分基本公式2.函數(shù)的和、差、積、商的微分運(yùn)算法則設(shè)u（x）、v（x）都是可微函數(shù)，則有3.2求導(dǎo)法則3.復(fù)合函數(shù)微分法則設(shè)函數(shù)y＝f（u）可微，根據(jù)微分的定義，函數(shù)y＝f（u）的微分是如果u不是自變量，而是狓的函數(shù)u＝φ（x）且可微，則復(fù)合函數(shù)y＝f［φ（x）］的導(dǎo)數(shù)為于是，復(fù)合函數(shù)y＝f［φ（x）］的微分為由于所以3.2求導(dǎo)法則例3.31解例3.32解例3.32解3.2求導(dǎo)法則3.3.4微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用從微分的定義可知，Δy≈dy，（當(dāng)|Δx|很?。蠢?.35

某工廠每周生產(chǎn)x件產(chǎn)品所獲得利潤為y元，已知當(dāng)每周產(chǎn)量由100件增至102件時(shí)，試用微分求其利潤增加的近似值．解由題意，x＝100，Δx＝dy＝102-100＝2，因?yàn)?.2求導(dǎo)法則例3.36解則3.2求導(dǎo)法則在公式（3.2）中，令x0+Δx＝x，且x0

＝0，則公式（3.2）變?yōu)槔霉剑?.2）可以推得下面幾個(gè)在工程上常用的近似計(jì)算公式例3.37

證明下列近似式．證：（１）令f(x)＝ex，則f′（x)＝ex,當(dāng)x＝０時(shí)，f(０)＝1，f′(０)＝1，由f(x)≈f(０)+f′(０)x得ex≈1＋x．（２）令f(x)=ln(1+x)，則當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝0，f′(0)＝1，由f(x)≈f(0)＋f′(0)x得ln(1+x)＝x．本章小結(jié)一、本章主要內(nèi)容及學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.導(dǎo)數(shù)的概念2.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算3.微分4.可導(dǎo)（可微）與連續(xù)的關(guān)系二、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)2.難點(diǎn)ThankYou!經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)Economicmathematics第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)了解羅爾中值定理，理解拉格朗日中值定理及其推論．熟練掌握用洛必達(dá)法則求型和型未定式極限的方法．掌握函數(shù)單調(diào)性的判別法，會(huì)求單調(diào)區(qū)間．理解函數(shù)極限值的概念，了解極值點(diǎn)、駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)之間的關(guān)系，掌握求極值的方法．掌握函數(shù)凸凹性的判別法，會(huì)求函數(shù)的拐點(diǎn)．了解函數(shù)最值的概念，會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，熟練掌握求平均成本函數(shù)、收入函數(shù)、利潤函數(shù)等常見經(jīng)濟(jì)函數(shù)的最值方法．理解邊際、彈性的概念及其經(jīng)濟(jì)意義，掌握求成本、收入和利潤等經(jīng)濟(jì)函數(shù)邊際的方法，掌握求彈性特別是需求彈性的方法．4.2洛必達(dá)法則4.2.1型不定式，有如下定理．定理(洛必達(dá)法則)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在x0

的左右兩側(cè)可導(dǎo)，且滿足：4.2洛必達(dá)法則例4.6解這是型不定式，且滿足洛必達(dá)法則條件，故有例4.7解例4.8解4.2洛必達(dá)法則例4.11這是類型，應(yīng)用洛必達(dá)法則．解例4.12解例4.13解原式4.3函數(shù)單調(diào)性的判別利用拉格朗日中值定理，導(dǎo)出一個(gè)根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定函數(shù)單調(diào)性的簡便方法．圖4.2從圖4.2可以看出：如果函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增加(單調(diào)減少)，則它的圖形是隨x的增大而上升(下降)的曲線，如果所給曲線每一點(diǎn)處都存在非鉛直的切線，則曲線上各點(diǎn)處的切線斜率非負(fù)(非正)，即f′(x)≥０(f′(x)≤０)．4.3函數(shù)單調(diào)性的判別定理設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(１)如果在(a,b)內(nèi)f′(x)＞０，則函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)增加．(２)如果在(a,b)內(nèi)f′(x)＜０，則函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)減少．證

,不妨設(shè)x1＜x2,則函數(shù)f(x)在[x1,x2]應(yīng)用拉格朗日中值定理，得如果在(a，b)內(nèi)恒有f′(x)＞0，必有f′(ξ)＞０，又因x２-x1>０，則定有f(x2)>f(x1)．所以函數(shù)f(x)在［a，b］上單調(diào)增加．同理，如果在(a，b)內(nèi)f′(x)<０，可推出f(x)在[a，b]單調(diào)減少．例4.20

判定函數(shù)上的單調(diào)性．解因?yàn)閒(x)＝x－sinx在［０，２π］上連續(xù)，在(０，２π)內(nèi)可導(dǎo)，且有4.3函數(shù)單調(diào)性的判別所以由定理知，上單調(diào)增加.有時(shí)，函數(shù)在其整個(gè)定義域內(nèi)并不具有單調(diào)性，但在其各個(gè)部分區(qū)間上卻具有單調(diào)性，如圖4.4所示.圖4.4確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法：(1)指出函數(shù)定義域，求出f′(x);(2)求出f′(x)＝0的點(diǎn)或f′(x)不存在的點(diǎn)；(3)這些點(diǎn)把定義域分成若干區(qū)間，在這些區(qū)間上根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷其單調(diào)性．4.3函數(shù)單調(diào)性的判別例4.21解4.3函數(shù)單調(diào)性的判別令f′(x)＝０，得x1

＝1，x2

＝2，這兩個(gè)點(diǎn)將定義域(－∞，＋∞)分成三個(gè)區(qū)間，(－∞，1］，［1，2］，［2，＋∞)，列表4.2討論如下：例4.22

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解4.3函數(shù)單調(diào)性的判別例4.23

判斷函數(shù)的單調(diào)性．解函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，圖形如圖4.5所示，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在，X=0點(diǎn)將定義域分成兩個(gè)區(qū)間(－∞，0)，(0，＋∞)，見表4.3.4.4函數(shù)的極值與最值4.4.1函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x０及附近有定義，如果對(duì)于該范圍內(nèi)的任意一點(diǎn)x(x≠x０)，恒有f(x)＜f(x０)(或f(x)＞f(x０))，則f(x０)稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值(極小值)，x０稱為函數(shù)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn))．極大值、極小值都稱為函數(shù)的極值．(１)函數(shù)極大值和極小值的概念是局部的.(２)函數(shù)的極大值不一定比極小值大．(３)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部.圖4.64.4函數(shù)的極值與最值定理設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x０處可導(dǎo)，在x０處取得極值，則f′(x0)＝０．使f′(x0)=0的點(diǎn)，稱為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)，由定理知，可導(dǎo)的函數(shù)極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)．但反過來函數(shù)的駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn)．圖4.7圖4.74.4函數(shù)的極值與最值定理（第一充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在x０的附近（不包含x０點(diǎn)）可導(dǎo)，則(1)如果當(dāng)x＜x０時(shí)，f′(x0)>０；當(dāng)x＞x０時(shí)，f′(x)<０，那么x０是f(x)的極大值點(diǎn)，f(x0)是f(x)的極大值．(3)如果在x０的兩側(cè)，f′(x)的符號(hào)保持不變，那么x０就不是f(x)的極值點(diǎn)，f(x)在x０處就沒有極值．(2)如果當(dāng)x＜x０時(shí)，f′(x0)<０；當(dāng)x＞x０時(shí)，f′(x)>０，那么x０是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x0)是f(x)的極小值．例4.27求函數(shù)f(x)=x３＋３x２－８的極值．解函數(shù)f(x)的定義域是（－∞，＋∞），令f′(x)=0，求得駐點(diǎn)x１＝０，x２＝－２，且無不可導(dǎo)的點(diǎn)．x１

=0，x２

=－2將函數(shù)的定義域分成三個(gè)部分：（－∞，－２），（－２，０），（０，＋∞），列表討論見表4.5:4.4函數(shù)的極值與最值由上表知，函數(shù)的極大值f（－２）＝－４，極小值f（０）＝－８例4.28解函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ǎ?，＋∞）令f′（x）＝０，得x＝１，另外，x＝－１為不可導(dǎo)點(diǎn)．列表討論見表4.6：4.4函數(shù)的極值與最值所以函數(shù)的極大值f(-1)=０，極小值定理（第二充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f′(x0)=0，f"(x0)≠０，則4.4函數(shù)的極值與最值例4.29解4.4函數(shù)的極值與最值例4.30解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ǎ?，＋∞）令f′(x)＝０得駐點(diǎn)x１=－１，x２=０，x３=１又因?yàn)閒"(x)=6＞0，故f(x)在x=0處取得極小值，極小值為f(0)=0．又因?yàn)閒"(-1)=f"(1)=0，因此第二充分條件失效．再用第一充分條件列表討論見表4.7．4.4函數(shù)的極值與最值函數(shù)的圖形如圖４-９所示．圖４-９4.4函數(shù)的極值與最值4.4.2函數(shù)的最值極值的概念是局部的，而最值的概念是全局的，但是求最值往往借助于極值.例4.31求函數(shù)在［－２，６］上的最大值與最小值．解而f(-1)=10，f(3)=-22，f(-2)=3，f(6)=59，比較可得f(x)在[-2,6]上的最大值是f(6)=59，最小值是f(3)=-22．圖4.104.4函數(shù)的極值與最值例4.33鐵路線上犃犅段的距離為１００ｋｍ，工廠C距A處為２０ｋｍ，AC垂直于AB（如圖４-１１所示），為了運(yùn)輸需要，要在AB沿線選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路．已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比為３∶５，為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省，問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？例4.32

求函數(shù)的最值．4.5函數(shù)圖形的凹向與拐點(diǎn)4.5.1曲線的凹向與拐點(diǎn)圖4.124.5函數(shù)圖形的凹向與拐點(diǎn)定義設(shè)曲線y＝f（x）在（a，b）內(nèi)各點(diǎn)都有切線，如果曲線上每一點(diǎn)的切線都在它的下方，則稱曲線y＝f（x）在（a，b）內(nèi)是凹的，也稱（a，b）為曲線y＝f（x）的凹區(qū)間；如果曲線上每一點(diǎn)處的切線都在它的上方，則稱曲線y＝f（x）在（a，b）內(nèi)是凸的，也稱（a，b）為曲線y＝f（x）的凸區(qū)間．如何判定曲線的凹凸呢？圖4-134.5函數(shù)圖形的凹向與拐點(diǎn)定理設(shè)函數(shù)y＝f（x）在（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么（1）如果在（a，b）內(nèi)f″（x）>０，則曲線y＝f（x）在（a，b）內(nèi)是凹的（也稱下凸的）.（2）如果在（a，b）內(nèi)f″（x）<０，則曲線y＝f（x）在（a，b）內(nèi)是凹的（也稱上凸的）.例4.35

討論曲線f（x）＝x３的凹凸性．解函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ǎ?，＋∞?.5函數(shù)圖形的凹向與拐點(diǎn)例4..36

討論曲線的凹凸性．當(dāng)x≠１時(shí)，所以，當(dāng)x＜１時(shí)，f″（x）＞０，f（x）在（－∞，１）內(nèi)是凹的，當(dāng)x＞１時(shí)，f″（x）＜０，f（x）在（１，＋∞）內(nèi)是凸的．顯然，x＝１時(shí)f″（x）不存在．點(diǎn)（１，０）是曲線f（x）上由凹變凸的分界點(diǎn)．一般地，連續(xù)曲線弧上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)．求拐點(diǎn)的方法：（１）確定函數(shù)的定義域；（２）求出使f″（x）＝０的點(diǎn)和f″（x）不存在的點(diǎn)；（３）判斷這些點(diǎn)兩側(cè)f″（x）的符號(hào)來確定是否為拐點(diǎn)．4.5函數(shù)圖形的凹向與拐點(diǎn)例4.37

求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)解函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ǎ?，＋∞）令列表討論見?.8：函數(shù)f（x）在（－∞，０）與（２，＋∞）內(nèi)是凹的，在（０，２）內(nèi)是凸的，拐點(diǎn)分別為（０，－５），（２，－１７）．4.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用4.6.1邊際分析在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，習(xí)慣上，用平均和邊際這兩個(gè)概念來描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量y相對(duì)于另外一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量x的變化．概念“平均”表示y在自變量x的某一個(gè)范圍內(nèi)的平均值，概念“邊際”表示當(dāng)x的改變量Δx趨于零時(shí)，y的相對(duì)改變量Δy與Δx的比值Δy/Δx的變化，即當(dāng)x在某一給定值附近有微小變化時(shí)y的瞬時(shí)變化，也就是y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)．其實(shí)際意義是：當(dāng)x改變一個(gè)單位時(shí)，y對(duì)應(yīng)改變y′個(gè)單位．１．邊際成本設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品數(shù)量q時(shí)所需要的總成本函數(shù)為C＝C（q），則邊際成本函數(shù)為：通常記作MC，即MC＝C′（q）．4.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用例4.42

一企業(yè)某產(chǎn)品的日生產(chǎn)能力為５００臺(tái)，每日產(chǎn)品的總成本（單位：萬元）是日產(chǎn)量狇（單位：臺(tái)）的函數(shù)求：（1）產(chǎn)量為400臺(tái)時(shí)的總成本；（2）產(chǎn)量為400臺(tái)時(shí)的平均成本；（3）當(dāng)產(chǎn)量由400臺(tái)增加到484臺(tái)時(shí)，總成本的平均變化率；（4）產(chǎn)量為400臺(tái)時(shí)的邊際成本．解4.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用所以產(chǎn)量為400臺(tái)時(shí)的邊際成本為:4.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用２．邊際收入設(shè)銷售某種產(chǎn)品數(shù)量q時(shí)的總收入函數(shù)為R＝R（q），則邊際收入函數(shù)為，記作MR，即MR＝R′（q）例4.43

設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為P＝２０－q/５，其中狆為價(jià)格，狇為銷量，求銷售量為１５個(gè)單位時(shí)的總收入、平均收入與邊際收入，并求當(dāng)銷售量從１５個(gè)單位增加到２０個(gè)單位時(shí)，收入的平均變化率．解總收入函數(shù)為故銷售量為１５個(gè)單位時(shí)，總收入平均收入4.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用邊際收入收入的平均變化率３．邊際利潤設(shè)銷售某種產(chǎn)品數(shù)量狇時(shí)的利潤函數(shù)為L＝L（q），則邊際利潤為因?yàn)槔麧櫤瘮?shù)lL（q）＝R（q）－C（q）所以由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則知4.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用例4.44

某煤炭公司每天生產(chǎn)煤狇噸的總成本函數(shù)為C（q）＝2000＋450q＋0.02q２，如果每噸銷售價(jià)為490元，求：（１）邊際成本函數(shù)C′（q）；（２）利潤函數(shù)L（q）及邊際利潤函數(shù)L′（q）；（３）邊際利潤為０時(shí)的產(chǎn)量．解（１）因?yàn)镃（q）＝2000＋450q＋0.02q２所以C′（q）＝450＋0.04q（３）邊際利潤為零０，即L′（q）＝－0.04q＋40＝０可得q＝1000（噸）（２）因?yàn)榭偸杖隦（q）＝pq＝490q所以利潤函數(shù)邊際利潤函數(shù)4.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用4.6.2彈性分析設(shè)函數(shù)y＝f（x）在x處可導(dǎo)，則函數(shù)的相對(duì)改變量與自變量的相對(duì)改變量稱為函數(shù)f（x）從x到x＋Δx兩點(diǎn)間的彈性．當(dāng)Δx→０時(shí)，的極限稱為f（x）在x處的彈性．在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，設(shè)某種商品的市場需求量為q，價(jià)格為p，需求函數(shù)q＝f（p）可導(dǎo)，則稱為該商品的需求價(jià)格彈性，簡稱需求彈性．由導(dǎo)數(shù)的定義可得從而4.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用例4.45

某商品需求函數(shù)為q＝１０－p/２，求：（１）需求價(jià)格彈性函數(shù)；（２）當(dāng)p＝３時(shí)的需求價(jià)格彈性．解（１）需求彈性：（２）當(dāng)狆＝３時(shí)，需求價(jià)格彈性本章小結(jié)一、本章主要內(nèi)容及學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.中值定理2.洛必達(dá)法則3.函數(shù)的單調(diào)性4.函數(shù)的極值與最值5.曲線的凹凸性與拐點(diǎn)二、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)2.難點(diǎn)6.邊際函數(shù)7.彈性ThankYou!經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)Economicmathematics第5章積分學(xué)及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)理解原函數(shù)與不定積分的概念，理解不定積分的性質(zhì)及幾何意義。掌握不定積分的基本公式和直接積分法，掌握第一類換元法和分部積分法，了解第二換元積分法。會(huì)利用積分相關(guān)知識(shí)求經(jīng)濟(jì)函數(shù)（成本函數(shù)、收入函數(shù)、利潤函數(shù)）的方法。理解定積分的概念，掌握微元法，了解定積分的幾何意義及性質(zhì)．掌握牛頓—萊布尼茨公式，會(huì)計(jì)算定積分。了解并能計(jì)算簡單的廣義積分。了解用定積分求平面圖形的面積、體積的方法，了解定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用。5.1不定積分5.1.1原函數(shù)的概念定義設(shè)函數(shù)f（x）在某區(qū)間上有定義，如果存在F（x），對(duì)于該區(qū)間上任意一點(diǎn)x，使得則稱函數(shù)F（x）是已知函數(shù)f（x）在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)．例如，因?yàn)樵趨^(qū)間（－∞，＋∞）內(nèi)有（x３）′＝３x２，所以x３是３x２在區(qū)間（－∞，＋∞）內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，又因?yàn)椋▁３＋１）′＝３x２，（x３＋√2）′＝３x２，（x３＋C）２＝３x２（C為任意常數(shù)），所以x３＋１，x３＋√2，x３＋C都為３x２在區(qū)間（－∞，＋∞）內(nèi)的原函數(shù)．定理１（原函數(shù)族定理）如果函數(shù)f（x）在某區(qū)間內(nèi)有一個(gè)原函數(shù)F（x），那么它必有無窮多個(gè)原函數(shù)，其形式可表示為F（x）＋C（C為任意常數(shù)），且任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)．定理２（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)f（x）在某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則函數(shù)f（x）在該區(qū)間上的原函數(shù)一定存在．5.1不定積分5.1.2不定積分的概念定義若F(x)是f(x)在某區(qū)間內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則稱F(x)+C（C為任意常數(shù)）為f(x)在該區(qū)間上的不定積分，記為其中，∫稱為積分符號(hào)，f(x)稱為被積分函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量．由此可知，不定積分與原函數(shù)是整體與個(gè)體的關(guān)系，即其中F(x)+C稱為f(x)的原函數(shù)的一般表達(dá)式，C取一切實(shí)數(shù)值，稱之為積分常數(shù)．由定義可知，求函數(shù)f(x)的不定積分，就是求f(x)的全體原函數(shù)，故求不定積分的運(yùn)算其實(shí)質(zhì)就是求導(dǎo)（或求微分）運(yùn)算的逆運(yùn)算．5.1不定積分例5.1

求下列不定積分．解（１）被積函數(shù)f（x）＝２x，因?yàn)椋▁２）′＝２x，x２是２x的一個(gè)原函數(shù)，即f（x）＝x２，所以不定積分（２）被積函數(shù)f(x)=cosx，因?yàn)?sinx)′=cosx，所以不定積分例5.2

求函數(shù)的不定積分．解被積函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)當(dāng)狓＞０時(shí)，因?yàn)?.1不定積分所以內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)．因此在（０，＋∞）內(nèi)當(dāng)x＜０時(shí)，因?yàn)樗詢?nèi)的一個(gè)原函數(shù)．因此在（－∞，０）內(nèi)合并以上兩種情況，當(dāng)x≠０時(shí)，得5.1不定積分5.1.4不定積分的幾何意義若y＝F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，則稱y＝F（x）的圖形是f（x）的積分曲線，因?yàn)椴欢ǚe分是f（x）的原函數(shù)的一般表達(dá)式，所以它對(duì)應(yīng)的圖形是一族積分曲線，稱它為積分曲線族，積分曲線族y＝F（x）＋C有如下特點(diǎn)．圖５-１5.1不定積分例5.3

已知曲線上任意一點(diǎn)處切線斜率等于該點(diǎn)處橫坐標(biāo)平方的兩倍，且該曲線經(jīng)過點(diǎn)（０，３），求曲線方程．解設(shè)所求曲線為y＝f（x），由題意（１）積分曲線中任意一條積分曲線都可以由曲線y＝F（x）沿y軸方向上、下平移圖５-１得到．（２）由于（F（x）＋C）′＝F′（x）＝f（x），即橫坐標(biāo)相同點(diǎn)處，所有曲線的切線都是互相平行的，如圖５-１．于是又因?yàn)榍€過點(diǎn)（０，３），代入上式可得C＝３，所以，所求曲線的方程為5.1不定積分5.1.4不定積分的性質(zhì)性質(zhì)１不定積分的導(dǎo)數(shù)（或微分）等于被積函數(shù)（或被積表達(dá)式），即性質(zhì)２一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的不定積分與這個(gè)函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)，即性質(zhì)３兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即性質(zhì)４被積函數(shù)中的非零常數(shù)因子可以提到積分符號(hào)外，即5.1不定積分5.1.5基本積分公式5.1不定積分5.1.6直接積分法用積分基本公式和不定積分的性質(zhì)，直接求出積分的方法稱為直接積分法．例5.4

求不定積分解：把被積函數(shù)轉(zhuǎn)化成代數(shù)和形式，再積分有5.1不定積分例5.5

求不定積分解5.1不定積分例5.6

求不定積分解例5.7

求不定積分解5.1不定積分應(yīng)用案例１設(shè)某商品的邊際收益函數(shù)為試求收益函數(shù)解

因?yàn)槭找婧瘮?shù)是邊際收益的的原函數(shù)，所以由于R（０）＝０，得C＝０，所以應(yīng)用案例２已知某產(chǎn)品產(chǎn)量對(duì)時(shí)間的變化率是時(shí)間t的函數(shù)設(shè)此產(chǎn)品在時(shí)間t的產(chǎn)量為Q（t），且Q（0）＝０，求Q（t）．解因?yàn)镼（t）是的原函數(shù)，所以將Q（０）＝０代入，得C＝０，所以5.2不定積分的積分法5.2.1第一換元積分法（湊微分法）首先，考察不定積分因?yàn)楸环e函數(shù)是x的復(fù)合函數(shù)，基本積分公式中沒有這種公式，我們可將原積分進(jìn)行適當(dāng)變形，轉(zhuǎn)化為某個(gè)基本積分公式的形式：5.2不定積分的積分法驗(yàn)證：因?yàn)樗源_為一般地，若不定積分可以化為的原函數(shù)。的形式，則可令當(dāng)積分容易求出時(shí)，就可用下面方法進(jìn)行計(jì)算：通常將這種積分方法稱為第一換元法（或稱為湊微分法）．5.2不定積分的積分法1.利用等式均為常數(shù)且a≠０湊微分例5.8解故再將代入上式，得5.2不定積分的積分法例5.9解令u＝２x＋４，則ｄu＝２ｄx，即故再將u＝２x＋４代回上式，得熟練之后，可以將設(shè)φ（x）＝u一步省略，直接進(jìn)行湊微分．5.2不定積分的積分法例5.10解2．利用等微分公式湊微分思路：當(dāng)被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)乘積且含有上式各因子時(shí)，不妨將它湊成相應(yīng)微分來解決所求積分．5.2不定積分的積分法例5.11解被積函數(shù)可以看成的被積形式，且被積公式中含有可將其湊微分，即則5.2不定積分的積分法例5.12解例5.13解5.2不定積分的積分法例5.14解例5.15解5.2不定積分的積分法３．利用三角恒等式湊微分例5.16解例5.17解5.2不定積分的積分法例5.18解5.2不定積分的積分法我們可以歸納出常用的湊微分公式5.2不定積分的積分法5.2.2第二換元積分法一般地，如果積分不易湊微分，可設(shè)x＝φ（t），則上式化為其中，x＝φ（t）的反函數(shù)t＝φ-1（x）存在且可導(dǎo)，則有再將t＝φ-1（x）代入上式有，這種求不定積分的方法稱為第二換元法．5.2不定積分的積分法例5.19解因?yàn)楸环e函數(shù)含有根號(hào)，不容易湊微分，為了去掉根號(hào)，令則有關(guān)系ｄx＝２tｄt，于是有將t＝√x代入上式，得5.2不定積分的積分法例5.20解被積函數(shù)含有根號(hào)，由第二換元法，設(shè)變量，找關(guān)系，求積分，5.2不定積分的積分法代回變量，將代入上式得5.2.3積分表續(xù)5.24分部積分法在某一區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由乘積的設(shè)微分法則，得5.2不定積分的積分法移項(xiàng)得，兩邊同時(shí)積分，有例5.21解被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，用分部積分法，令則由分部積分公式，得5.2不定積分的積分法例5.22解被積函數(shù)是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積，用分部積分法，令得例5.23解被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積，用部分積分法，得5.2不定積分的積分法（１）當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)乘積時(shí)，設(shè)冪函數(shù)為u，指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)與ｄx乘積部分為ｄv，如例5.21和例5.22．（２）當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)乘積時(shí)，設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)為u，冪函數(shù)與ｄx乘積部分為ｄv，如例5.23．利用分部積分求積分解題步驟歸納如下 （１）湊微分（是關(guān)鍵，原則如上述）． （２）利用公式，交換u，v的位置． （３）求積分，得結(jié)果．5.3定積分的概念與性質(zhì)5.3.1引例例5.24

計(jì)算曲邊梯形的面積圖５-２設(shè)y＝f（x）為閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，且f（x）≥０．由曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b以及x軸所圍成的平面圖形（圖５-２）稱為f（x）在［a，b］上的曲邊梯形，下面將討論該曲邊梯形的面積（這是求任何曲線邊界圖形的面積的基礎(chǔ)）．（１）分割．在［a，b］中任意插入n－１個(gè)分點(diǎn)把［a，b］分成狀個(gè)子區(qū)間，每個(gè)子區(qū)間的長度為（２）近似．（３）求和．（４）逼近（取極限）5.3定積分的概念與性質(zhì)5.3.2定積分的概念定義設(shè)f（x）在［a，b］上有界，在［a，b］上任取n－１個(gè)分點(diǎn)把區(qū)間［a，b］分割成狀個(gè)小區(qū)間各小區(qū)間的長度依次為在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)作函數(shù)小區(qū)間長度Δxi的乘積值并作和式記，如果不論對(duì)［a，b］怎樣的分法，5.3定積分的概念與性質(zhì)也不論在小區(qū)間式的極限存在，我們就稱函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上可積，并且稱此極限值為函數(shù)