2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變形 2 2.1 兩角差的余弦函數(shù) 2.2 兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)（教師用書）教案 北師大版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變形22.1兩角差的余弦函數(shù)2.2兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)（教師用書）教案北師大版必修4學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點教具教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變形第2節(jié)的兩角差的余弦函數(shù)和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)。具體內(nèi)容包括：

1.兩角差的余弦函數(shù)的定義和性質(zhì)；

2.兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的定義和性質(zhì)；

3.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)；

4.三角恒等式的證明和應(yīng)用。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系：

學(xué)生在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了三角函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，本節(jié)課將在這個基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化學(xué)生對三角函數(shù)的理解。同時，本節(jié)課的內(nèi)容也為后續(xù)學(xué)習(xí)更高級的數(shù)學(xué)知識打下基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力。通過學(xué)習(xí)兩角差的余弦函數(shù)和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)，學(xué)生能夠運用已有的三角函數(shù)知識，推導(dǎo)新的三角恒等式，并能夠?qū)⑵鋺?yīng)用于實際問題中。同時，通過分析三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，學(xué)生能夠培養(yǎng)直觀想象能力和數(shù)據(jù)分析能力，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點：

-兩角差的余弦函數(shù)的定義與性質(zhì)：理解并能夠運用余弦差公式進(jìn)行計算。

-兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的定義與性質(zhì)：掌握和差公式的運用，并能解決實際問題。

-三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：能夠分析并解讀三角函數(shù)圖像，理解其周期性、奇偶性等性質(zhì)。

-三角恒等式的證明與應(yīng)用：學(xué)會運用已知恒等式證明新的恒等式，并將恒等式應(yīng)用于實際問題中。

2.教學(xué)難點：

-兩角差的余弦函數(shù)的證明：理解并證明余弦差公式的推導(dǎo)過程。

-兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的推導(dǎo)：掌握和差公式的推導(dǎo)方法，能夠靈活運用。

-三角函數(shù)圖像的分析：理解和運用圖像分析三角函數(shù)的性質(zhì)和特點。

-三角恒等式的證明方法：學(xué)會運用綜合法和代數(shù)法證明三角恒等式。教學(xué)資源1.軟硬件資源：

-教室內(nèi)的多媒體設(shè)備，包括投影儀和白板。

-學(xué)生每人一臺計算器。

-數(shù)學(xué)繪圖軟件，如GeoGebra。

2.課程平臺：

-學(xué)校的學(xué)習(xí)管理系統(tǒng)（LMS），用于發(fā)布教學(xué)材料和作業(yè)。

-在線數(shù)學(xué)論壇或討論組，便于學(xué)生提問和交流。

3.信息化資源：

-數(shù)學(xué)教學(xué)視頻，用于解釋和展示復(fù)雜的概念和運算。

-數(shù)學(xué)題庫，用于布置練習(xí)和自測。

4.教學(xué)手段：

-小組討論，鼓勵學(xué)生合作學(xué)習(xí)和思考。

-問題解決法，通過實際問題引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識。

-案例分析，通過具體案例讓學(xué)生理解三角函數(shù)在現(xiàn)實中的應(yīng)用。教學(xué)實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：提供本節(jié)課的預(yù)習(xí)PPT、視頻和文檔，讓學(xué)生提前熟悉兩角差的余弦函數(shù)和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的定義與性質(zhì)。

-設(shè)計預(yù)習(xí)問題：提出問題如“如何推導(dǎo)兩角差的余弦公式？”、“如何理解兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的圖像？”等。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過在線平臺或微信群檢查學(xué)生的預(yù)習(xí)筆記和問題提交情況。

學(xué)生活動：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生在家自主閱讀資料，理解新課內(nèi)容。

-思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生針對問題進(jìn)行思考，嘗試自己解答。

-提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生在平臺上提交自己的預(yù)習(xí)筆記和問題。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：學(xué)生在家自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)獨立思考能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺和微信群進(jìn)行教學(xué)資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學(xué)生提前了解新課內(nèi)容，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨立思考能力。

2.課中強化技能

教師活動：

-導(dǎo)入新課：通過一個有趣的數(shù)學(xué)故事引入兩角差的余弦函數(shù)和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的概念。

-講解知識點：詳細(xì)講解兩角差的余弦函數(shù)的推導(dǎo)過程和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的圖像特點。

-組織課堂活動：分組討論，讓學(xué)生嘗試解決預(yù)習(xí)時遇到的問題，并進(jìn)行小組演示。

-解答疑問：針對學(xué)生的疑問，進(jìn)行解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動：

-聽講并思考：學(xué)生認(rèn)真聽講，積極提出問題和觀點。

-參與課堂活動：小組討論，共同解決問題，準(zhǔn)備演示。

-提問與討論：學(xué)生針對不懂的問題或新的想法，勇敢提問并參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：教師講解，學(xué)生聽講，理解新知識點。

-實踐活動法：小組討論和演示，讓學(xué)生在實踐中掌握知識。

-合作學(xué)習(xí)法：小組合作解決問題，培養(yǎng)團(tuán)隊合作能力。

作用與目的：

-幫助學(xué)生深入理解兩角差的余弦函數(shù)和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的概念和性質(zhì)。

-通過實踐活動，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和解決問題的能力。

-通過合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊合作意識和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

-布置作業(yè)：布置相關(guān)的計算練習(xí)和思考題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)內(nèi)容。

-提供拓展資源：推薦一些拓展閱讀材料，如數(shù)學(xué)論文和應(yīng)用案例。

-反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)。

學(xué)生活動：

-完成作業(yè)：學(xué)生獨立完成作業(yè)，鞏固課堂所學(xué)。

-拓展學(xué)習(xí)：學(xué)生查閱推薦的資源，進(jìn)行深入研究。

-反思總結(jié)：學(xué)生總結(jié)自己在本次課程中的學(xué)習(xí)成果和不足，制定改進(jìn)計劃。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：學(xué)生獨立完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

-反思總結(jié)法：學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)過程，發(fā)現(xiàn)自身不足，提出改進(jìn)建議。

作用與目的：

-鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的兩角差的余弦函數(shù)和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的知識點。

-通過拓展學(xué)習(xí)，拓寬學(xué)生的知識視野和思維方式。

-通過反思總結(jié)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進(jìn)建議，促進(jìn)自我提升。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

書籍推薦：

-《高等數(shù)學(xué)》：同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社。

-《數(shù)學(xué)分析新講》：嚴(yán)士健編，北京大學(xué)出版社。

期刊論文：

-“余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)”：《數(shù)學(xué)通報》，2018年第4期。

-“正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)”：《數(shù)學(xué)教育》，2019年第3期。

網(wǎng)絡(luò)資源：

-百度百科：兩角差的余弦函數(shù)、兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)。

-數(shù)學(xué)學(xué)科網(wǎng)：兩角差的余弦函數(shù)、兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的教學(xué)資源。

軟件資源：

-GeoGebra：一個數(shù)學(xué)軟件，可以用來繪制函數(shù)圖像、計算函數(shù)值等。

-MATLAB：一種數(shù)值計算環(huán)境和編程語言，可以用于解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

2.拓展建議：

學(xué)生可以利用課后時間閱讀推薦的書籍，進(jìn)一步深入理解兩角差的余弦函數(shù)和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的概念和性質(zhì)。通過閱讀期刊論文，了解當(dāng)前數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的前沿動態(tài)，拓寬自己的知識視野。同時，可以利用網(wǎng)絡(luò)資源查閱相關(guān)資料，觀看在線教學(xué)視頻，幫助自己更好地掌握知識點。

此外，學(xué)生可以利用GeoGebra軟件繪制兩角差的余弦函數(shù)和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的圖像，觀察函數(shù)的性質(zhì)，加深對知識點的理解。對于學(xué)有余力的學(xué)生，可以嘗試使用MATLAB軟件解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，提高自己的實際應(yīng)用能力。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩角差的余弦函數(shù)和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的概念和性質(zhì)。通過課堂學(xué)習(xí)和實踐活動，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)掌握了以下知識點：

1.兩角差的余弦函數(shù)的定義與性質(zhì)，能夠熟練運用余弦差公式進(jìn)行計算。

2.兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的定義與性質(zhì)，能夠理解和應(yīng)用和差公式。

3.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，能夠分析并解讀三角函數(shù)圖像，理解其周期性、奇偶性等性質(zhì)。

4.三角恒等式的證明和應(yīng)用，學(xué)會運用已知恒等式證明新的恒等式，并將恒等式應(yīng)用于實際問題中。

課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩角差的余弦函數(shù)和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)。這些知識點是三角函數(shù)中的重要內(nèi)容，對于理解三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及解決實際問題具有重要意義。希望同學(xué)們能夠在課后繼續(xù)鞏固所學(xué)知識，并嘗試將其應(yīng)用于實際問題中。

當(dāng)堂檢測：

1.填空題：

-cos(α-β)=____________

-sin(α+β)=____________

-cos(α+β)=____________

-sin(α-β)=____________

2.選擇題：

-設(shè)α，β是銳角，則以下哪個式子成立？

A.cos(α-β)=cosαcosβ

B.sin(α+β)=sinαsinβ

C.cos(α+β)=cosα-sinβ

D.sin(α-β)=sinα-cosβ

3.解答題：

-計算cos(30°-45°)的值。

-證明：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。

請同學(xué)們在規(guī)定時間內(nèi)完成檢測，我們將及時批改并給出反饋。板書設(shè)計-重點知識點：兩角差的余弦函數(shù)、兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、三角恒等式的證明和應(yīng)用。

-關(guān)鍵詞：余弦差公式、和差公式、圖像分析、恒等式證明。

-句型：利用余弦差公式計算兩角差的余弦值；通過圖像分析理解三角函數(shù)的性質(zhì)；運用已知恒等式證明新的恒等式。

2.板書設(shè)計應(yīng)具有藝術(shù)性和趣味性，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性。

-藝術(shù)性：通過繪制三角函數(shù)圖像，展示函數(shù)的變化規(guī)律，使板書更具吸引力。

-趣味性：設(shè)計一些有趣的數(shù)學(xué)問題，如“你能找出兩個角的和與差的正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系嗎？”等，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

-互動性：邀請學(xué)生上臺演示如何運用余弦差公式和和差公式進(jìn)行計算，提高學(xué)生的參與度。

3.板書設(shè)計應(yīng)與教學(xué)內(nèi)容緊密結(jié)合，反映課堂的動態(tài)過程。

-動態(tài)過程：通過逐步展示余弦差公式和和差公式的推導(dǎo)過程，使板書與課堂講解同步進(jìn)行。

-結(jié)合實例：用實際問題引導(dǎo)學(xué)生運用三角恒等式進(jìn)行解決，將板書與實際應(yīng)用相結(jié)合。

-強調(diào)重點：在板書上突出顯示三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及三角恒等式的證明方法，幫助學(xué)生抓住關(guān)鍵知識點。典型例題講解1.例題1：計算cos(α-β)的值，其中α和β為銳角。

答案：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。

2.例題2：計算sin(α+β)的值，其中α和β為銳角。

答案：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。

3.例題3：計算cos(α+β)的值，其中α和β為銳角。

答案：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。

4.例題4：計算sin(α-β)的值，其中α和β為銳角。

答案：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。

5.例題5：證明：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。

答案：利用兩角和的正弦公式，即sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。教學(xué)反思與總結(jié)1.兩角差的余弦函數(shù)的定義與性質(zhì)，能夠熟練運用余弦差公式進(jìn)行計算。

2.兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的定義與性質(zhì)，能夠理解和應(yīng)用和差公式。

3.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，能夠分析并解讀三角函數(shù)圖像，理解其周期性、奇偶性等性質(zhì)。

4.三角恒等式的證明和應(yīng)用，學(xué)會運用已知恒等式證明新的恒等式，并將恒等式應(yīng)用于實際問題中。

在教學(xué)過程中，我采用了講授法和實踐活動法，通過詳細(xì)的講解和實際的例子幫助學(xué)生理解知識點，同時通過小組討論和角色扮演等活動讓學(xué)生在實踐中掌握知識。我也注意到了課堂的互動性，鼓勵學(xué)生提問和參與討論，以提高學(xué)生的參與度和興趣。

然而，在教學(xué)中也存在一些問題。首先，在講解三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)時，我發(fā)現(xiàn)部