湖北省武漢市馬房山中學(xué)2024屆高三上學(xué)期期末綜合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題含答案解析

武漢市馬房山中學(xué)2024屆高三上學(xué)期1月期末綜合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)本試卷滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)準(zhǔn)考證號(hào)條形碼上的以上信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若z=3-i，z'=，則（）A.z'=z B.z'+z=2 C.z'= D.z'+z=43.已知向量，，則與的夾角為（）A. B. C. D.4.已知正三棱錐中，側(cè)面與底面所成角的正切值為，，這個(gè)三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）A. B. C. D.5.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則使得取最小值時(shí)的為（）A.6 B.7 C.6或7 D.86.某校高三年級(jí)有8名同學(xué)計(jì)劃高考后前往武當(dāng)山?黃山?廬山三個(gè)景點(diǎn)旅游.已知8名同學(xué)中有4名男生，4名女生.每個(gè)景點(diǎn)至少有2名同學(xué)前往，每名同學(xué)僅選一處景點(diǎn)游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點(diǎn)游玩，女生與女生去同一處景點(diǎn)游玩，則這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為（）A.564 B.484 C.386 D.6407.已知中，，且為外心．若在上的投影向量為，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知，，若不等式的解集中只含有個(gè)正整數(shù)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足，則（）A.的最大值為1 B.的最大值為2C.的最小值為2 D.的最小值為10.袋子中有1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)藍(lán)球，1個(gè)黑球，從中取三次球，每次取一個(gè)球，取球后不放回，設(shè)事件，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.A與B相互獨(dú)立 D.11.已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足，，設(shè)其公比為q，前n項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.12.已知，，則（）A.當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，存在直線與有6個(gè)交點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減D.當(dāng)時(shí)，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________．（用數(shù)字作答）14.已知橢圓的左右焦點(diǎn)為．直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為_(kāi)_________．15.若，，則______________．16.函數(shù)與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為_(kāi)_____．四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18～22題12分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在銳角中，的對(duì)應(yīng)邊分別是，且．（1）求的取值范圍；（2）求的取值范圍．18.已知首項(xiàng)為正數(shù)等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19.籃球是一項(xiàng)風(fēng)靡世界的運(yùn)動(dòng)，是深受大眾喜歡的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng).喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)不喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)合計(jì)男性6040100女性2080100合計(jì)80120200（1）為了解喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到如上列聯(lián)表，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)；（2）校籃球隊(duì)中的甲、乙、丙三名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開(kāi)始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即.①求（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）；②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第9次與第10次觸球者是甲的概率的大小.0.1000.0500.0250.0100.00127063.84150246.63510.828附：，.20.如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線段與上，且，．（1）當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角大?。唬?）若平面，求的最小值．21.已知函數(shù)．（1）若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，證明：．22.已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，直線l與拋物線C相切于點(diǎn)，連接PF交拋物線于另一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線交拋物線于另一點(diǎn)B．（1）若，求直線l的方程；（2）求三角形PAB面積S的最小值．武漢市馬房山中學(xué)2024屆高三上學(xué)期1月期末綜合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)本試卷滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)準(zhǔn)考證號(hào)條形碼上的以上信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合，再根據(jù)交集定義得解.【詳解】∵，，∴，故選：D.2.若z=3-i，z'=，則（）A.z'=z B.z'+z=2 C.z'= D.z'+z=4【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)定義判斷選項(xiàng)即可．【詳解】因?yàn)椋还?；；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3.已知向量，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用和平面向量的數(shù)量積和模的坐標(biāo)表示計(jì)算，然后求得.【詳解】,所以，故選：B.4.已知正三棱錐中，側(cè)面與底面所成角的正切值為，，這個(gè)三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正三棱錐底面邊長(zhǎng)為6，且側(cè)面與底面所成角的正切值為，求出三棱錐的高和側(cè)高，利用勾股定理求出外接球半徑，再利用等體積法求出內(nèi)切圓半徑即可.【詳解】因?yàn)槿忮F為正三棱錐，底面邊長(zhǎng)為6，且側(cè)面與底面所成角的正切值為，所以可得正三棱錐的高，側(cè)面的高；設(shè)正三棱錐底面中心為，其外接球的半徑為，內(nèi)切球半徑為，則有，也即，解得：，正三棱錐的體積，也即，解得：，所以，故選：B【點(diǎn)睛】?jī)?nèi)切球的球心到各面的距離是相等的，球心和各面可以組成四個(gè)等高的三棱錐，那么內(nèi)切球的半徑乘以正三棱錐的表面積再乘以三分之一就等于體積，通常用等體積法求解內(nèi)切球的半徑.5.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則使得取最小值時(shí)的為（）A.6 B.7 C.6或7 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件得，從而得出，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，又，，則①，②，由①②解得，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值，故選：A.6.某校高三年級(jí)有8名同學(xué)計(jì)劃高考后前往武當(dāng)山?黃山?廬山三個(gè)景點(diǎn)旅游.已知8名同學(xué)中有4名男生，4名女生.每個(gè)景點(diǎn)至少有2名同學(xué)前往，每名同學(xué)僅選一處景點(diǎn)游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點(diǎn)游玩，女生與女生去同一處景點(diǎn)游玩，則這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為（）A.564 B.484 C.386 D.640【答案】A【解析】【分析】先將不平均分組問(wèn)題分成兩大類(lèi)，然后由排列組合知識(shí)結(jié)合加法、乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.【詳解】8人分三組可分為2人，2人，4人和2人，3人，3人，共兩種情況.第一種情況分成2人，2人，4人：女生去同一處景點(diǎn)，當(dāng)成2人組時(shí)，其他6人分成2人，4人兩組且男生甲與女生不同組，有種方法；當(dāng)在4人組時(shí)，有種方法.第二種情況分成2人，3人，3人：當(dāng)成2人組時(shí)，有種方法；當(dāng)在3人組時(shí)，有種方法.故這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為.故選：A.7.已知中，，且為的外心．若在上的投影向量為，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意B，O，C三點(diǎn)共線．因?yàn)闉榈耐庑模从?，所以為直角三角形，利用向量得投影結(jié)合圖形即可得解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，即B，O，C三點(diǎn)共線．因?yàn)闉榈耐庑模从?，所以為直角三角形，因此，為斜邊的中點(diǎn)．因?yàn)?，所以為銳角．如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以，所以在上的投影向量為．又因?yàn)?，所以．因，所以，故的取值范圍為．故選：A．8.已知，，若不等式的解集中只含有個(gè)正整數(shù)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知，二次求導(dǎo)，可得當(dāng)時(shí)，，由有且只有個(gè)正整數(shù)解，即有且只有個(gè)正整數(shù)解，求導(dǎo)可知至多有一個(gè)解，則需滿(mǎn)足，，，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞減，即可證當(dāng)時(shí)，，即可得參數(shù)范圍.【詳解】由，可得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以若不等式的解集中只含有個(gè)正整數(shù)，即不等式的解集中只含有個(gè)正整數(shù)，又的定義域?yàn)?，且，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，且至多有一個(gè)解，所以若有且只有個(gè)正整數(shù)解則需滿(mǎn)足，解得，現(xiàn)證當(dāng)時(shí)，在上恒成立，由時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，綜上所述，故選：C.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足，則（）A.的最大值為1 B.的最大值為2C.的最小值為2 D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由基本不等式求出；B選項(xiàng)，求出；C選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到；D選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】A選項(xiàng)，正數(shù)x，y滿(mǎn)足，由基本不等式得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A正確；B選項(xiàng)，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為2，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故的最大值為2，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由于正數(shù)x，y滿(mǎn)足，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，D正確故選：AD10.袋子中有1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)藍(lán)球，1個(gè)黑球，從中取三次球，每次取一個(gè)球，取球后不放回，設(shè)事件，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.A與B相互獨(dú)立 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法，結(jié)合古典概率逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.【詳解】紅球，黃球，藍(lán)球，黑球分別記為，不放回取球三次的試驗(yàn)的樣本空間：，共24個(gè)，它們等可能，，共6個(gè)，，共6個(gè)，，共6個(gè)，，共2個(gè)，，共10個(gè)，，AB正確；，A與B相互不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；，D正確，故選：ABD11.已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足，，設(shè)其公比為q，前n項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由已知條件可求出，，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，進(jìn)而可判斷A，B，C，再由作差法判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，得，所以，A正確；對(duì)于B，又因?yàn)?，所以，故，所以，B正確；對(duì)于C，，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，因?yàn)榍遥?，即，D正確.故選：ABD12.已知，，則（）A.當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，存在直線與有6個(gè)交點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減D.當(dāng)時(shí)，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】AB兩個(gè)選項(xiàng)比較好判斷；對(duì)C，可以利用函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍；對(duì)D，分析函數(shù)的單調(diào)性和一些特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí)，，可以說(shuō)是奇函數(shù)，故A正確；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，與最多一個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所?對(duì)C：在上遞減，需有（）恒成立.當(dāng)時(shí)，，又，且當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則，由，所以在上遞減，在上遞增，所以的最小值為，所以.所以且，即.故C正確；對(duì)D：設(shè)，則.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上遞增，在上遞減，所以的最大值為，又，所以只在有一解，設(shè)為即，所以在上遞增，在上遞減.且，且當(dāng)時(shí)，，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，常常要分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立或存在性問(wèn)題，進(jìn)而求函數(shù)的最大或最小值來(lái)解決.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】由二項(xiàng)式定理得到的通項(xiàng)公式，結(jié)合，得到，得到的系數(shù).【詳解】的通項(xiàng)公式為，令得，，此時(shí)，令得，，此時(shí)，故的系數(shù)為故答案為：14.已知橢圓的左右焦點(diǎn)為．直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)橢圓的定義求出，再在中，利用余弦定理求出的關(guān)系即可得解.【詳解】由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得四邊形為平行四邊形，則，由，得，因?yàn)椋?，又，所以，在中，由余弦定理得，即，所以，即橢圓的離心率.故答案為：.15.若，，則______________．【答案】0或【解析】【分析】根據(jù)，代入整理求解得出的值，進(jìn)而得出的值，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，，整理可得，，解得或.當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，.綜上所述，或.故答案為：0或.16.函數(shù)與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為_(kāi)_____．【答案】10【解析】【分析】判斷函數(shù)的性質(zhì)與最小值，判斷函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)與的大致圖象，判斷兩個(gè)圖象在上的交點(diǎn)情況，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且的最大值為2．由于的圖象和的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以先考慮兩個(gè)圖象在上的情形，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．易知，，所以可作出函數(shù)與的大致圖象如圖所示，所以的圖象和的圖象在上有5個(gè)交點(diǎn)．根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知兩函數(shù)圖象共有10個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，因此所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為．故答案為:.四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18～22題12分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在銳角中，的對(duì)應(yīng)邊分別是，且．（1）求的取值范圍；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助余弦定理、正弦定理與兩角差的正弦公式可得，結(jié)合為銳角三角形即可得的取值范圍，即可得的取值范圍；（2）借助正弦定理將邊的比例式轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)的比例式后，結(jié)合三角恒等變換公式可得，結(jié)合的取值范圍計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】，由，故，由，故，則，由為銳角三角形，故，即，則有，，，可得，故，即；【小問(wèn)2詳解】由，，則，由（1）知，故，故，即.18.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前和公式即可求出，則得到其通項(xiàng)公式；（2）分為奇數(shù)和偶數(shù)討論并結(jié)合裂項(xiàng)求和即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得是公差為2的等差數(shù)列，且，即，又因?yàn)?，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，滿(mǎn)足，綜上，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.19.籃球是一項(xiàng)風(fēng)靡世界的運(yùn)動(dòng)，是深受大眾喜歡的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng).喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)不喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)合計(jì)男性6040100女性2080100合計(jì)80120200（1）為了解喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到如上列聯(lián)表，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)；（2）?；@球隊(duì)中的甲、乙、丙三名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開(kāi)始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即.①求（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）；②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第9次與第10次觸球者是甲的概率的大小.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828附：，.【答案】（1）有99.9%的把握認(rèn)為喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).（2）①；②證明見(jiàn)解析，第次觸球者是甲的概率大.【解析】【分析】（1）直接帶公式即可.（2）①根據(jù)題義寫(xiě)即可；通過(guò)分析與的概率關(guān)系式，再利用數(shù)列知識(shí)計(jì)算結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】（1）根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得,根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)：即有的把握認(rèn)為喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).【小問(wèn)2詳解】①由題意得：第二次觸球者為乙，丙中的一個(gè)，第二次觸球者傳給包括甲的二人中的一人，故傳給甲的概率為，故.②第次觸球者是甲的概率記為，則當(dāng)時(shí)，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，則從而，又，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故第次觸球者是甲的概率大.20.如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線段與上，且，．（1）當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角大?。唬?）若平面，求的最小值．【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面MDN與平面DNC的夾角；（2）利用空間向量法把線面平行轉(zhuǎn)化為得向量垂直，從而利用數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得與的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式可得的最小值；【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，底面，如圖，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，、、、、、、，則，，，設(shè)平面MDN的法向量為，則，取，可得，設(shè)平面DNC的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面MDN與平面DNC的夾角為，所以，所以，故平面MDN與平面DNC的夾角為.【小問(wèn)2詳解】，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，取，可得，因?yàn)?，，所以，，則，因?yàn)槠矫鍼BC，所以，即，所以，即，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8.21.已知函數(shù)．（1）若時(shí)，，求實(shí)數(shù)取值范圍；（2）設(shè)，證明：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）由題意求得函數(shù)定義域，并對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，構(gòu)造函