專題13探索三角形相似的條件（5個知識點4種題型1種中考考法）（原卷版）-初中數學北師大版9年級上冊

專題13探索三角形相似的條件（5個知識點4種題型1種中考考法）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.相似三角形的概念（重點）知識點2.相似三角形的判定方法1（重點）知識點3.相似三角形的判定方法2（重點）（難點）知識點4.相似三角形的判定方法3（重點）知識點5.黃金分割的有關概念【方法二】實例探索法題型1.相似三角形的判定題型2.相似三角形判定與性質的綜合應用題型3.通過判定三角形相似得到比例式題型4.通過判定三角形相似說明黃金分割點【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.相似三角形的判定【方法四】成果評定法【學習目標】了解相似三角形的概念。熟練掌握三角形相似的判定方法，并能靈活運用判定定理判斷兩個三角形是否相似。能綜合運用相似三角形的判定定理解決簡單的問題。了解黃金分割的概念及黃金比，能作出線段的黃金分割點，并會求滿足黃金分割的線段的長，體會黃金分割的美?！局R導圖】【倍速學習四種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.相似三角形的概念（重點）定義三角分別相等，三邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形。如圖：在ABC和DEF中，相似三角形的“三性”：對應性、順序性、傳遞性【例1】下列能夠相似的一組三角形為().

A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形知識點2.相似三角形的判定方法1（重點）如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩角對應相等，兩個三角形相似．如圖，在與中，如果、，那么．常見模型如下：【例2】如圖，與中，，；證明：．

知識點3.相似三角形的判定方法2（重點）（難點）如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，在與中，，，那么．AABCA1B1C1【例3】已知如圖，D，E分別是的邊上的點，．求證：．知識點4.相似三角形的判定方法3（重點）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似．可簡述為：三邊對應成比例，兩個三角形相似．如圖，在與中，如果，那么∽．AABCA1B1C1【例4】如圖判斷方格中的兩個三角形是否相似，并說明理由．知識點5.黃金分割的有關概念黃金分割：一般地，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC（如圖），如果，則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫線段AB的黃金分割點，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對于線段AB而言，黃金分割點有兩個．）【例5】已知線段的長度為，點P在線段上，，求線段的長．【變式1】（1）點是線段的黃金分割點，，厘米，求的長；（2）已知點是線段的黃金分割點，，求的值．【變式2】如圖，以長為的線段為邊作正方形，取的中點，連接．在的延長線上取點，使．以為邊作正方形，點在上．（1）求線段、的長；（2）求證：；（3）請指出圖中的黃金分割點．【方法二】實例探索法題型1.相似三角形的判定1．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知如圖，D，E分別是的邊上的點，．求證：．2．如圖，四邊形的對角線與相交于點，，，，．求證：與是相似三角形．

3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，點，分別在的邊，上，且，，，，求證：．

4．（2023春·湖南衡陽·九年級?？茧A段練習）如圖，點A、B、E、D在同一條直線上，，，求證：．

5．（2023春·吉林長春·九年級統考開學考試）如圖，點是的邊上的一點，點為上的一點，若，，求證：．

6．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在正方形中，E是的中點，點F在上，且．

(1)求證：；(2)與相似嗎？為什么？7．（2023秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市第一二六中學校考階段練習）如圖，，且，求證：．

8.如圖，點D為內一點，點E為外一點，且滿足．求證：∽．AABCDE題型2.相似三角形判定與性質的綜合應用9.如圖，已知，下列條件中不能判斷和相似的是（

）A． B．平分C． D．10.如圖，矩形的兩條對角線相交于點O，，垂足為E，F是的中點，連接交于點P，那么．11.已知：如圖，在中，，，，點D在BC邊上， 且．（1）求AD的長；（2）取AD、AB的中點E、F，聯結CE、CF、EF．求證：∽．AABCDEF12.如圖，在中，為上一點，且滿足．（1）求證：；（2）當時，，，求的長．題型3.通過判定三角形相似得到比例式13.如圖，在中，，于D，E為AC上一點， 于F，聯結DF． 求證：．AABCDEF題型4.通過判定三角形相似說明黃金分割點14．（2023·山西運城·校聯考模擬預測）“黃金三角形”是幾何歷史上的瑰寶，它有兩種類型，其中一種是頂角為的等腰三角形，如圖，在中，，．

(1)實踐與操作：利用尺規(guī)作的平分線，交邊于點（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）；(2)猜想與證明：請你利用所學知識，證明點是邊的黃金分割點．【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.相似三角形的判定1．（2021?湘潭）如圖，在△ABC中，點D，E分別為邊AB，AC上的點，試添加一個條件：，使得△ADE與△ABC相似．（任意寫出一個滿足條件的即可）2．（2022?邵陽）如圖，在△ABC中，點D在AB邊上，點E在AC邊上，請?zhí)砑右粋€條件，使△ADE∽△ABC．3．（2023?大慶）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點N在邊AD上，現將矩形折疊，折痕為BN，點A對應的點記為點M，若點M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是．4．（2022?菏澤）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC上一點，且BE＝BC，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC．【方法四】成果評定法一、選擇題1．（2023秋·安徽蚌埠·九年級統考期末）如圖，點在的邊上，添加一個條件可判斷，下列不滿足的條件是（

）

A． B．C． D．2．（2023秋·浙江·九年級專題練習）下列兩個三角形不一定相似的是（）A．兩個等邊三角形 B．兩個頂角是的等腰三角形C．兩個全等三角形 D．兩個直角三角形3．（2023春·吉林長春·九年級統考開學考試）如圖，在中，，將沿圖中的線剪開，下列四種剪開的方法中，剪下的陰影三角形與原三角形相似的是（

）

A．①② B．③④ C．①③ D．①③④4．（2023秋·全國·九年級專題練習）含角的直角三角板與含角的直角三角板如圖放置，它們的斜邊與斜邊相交于點E．下列結論正確的是（

）A． B．C． D．5．（2023秋·九年級課時練習）如圖，根據圖中給出的數據，一定能得到（）A． B． C． D．6．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，每個小正方形的邊長均為，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與相似的是（）A． B．C． D．7．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，每個小正方形邊長均為1，則圖中的三角形中與相似的是（

）

A． B． C． D．8.（2023春·山東煙臺·九年級統考期末）我們把寬與長的比等于5?12的矩形稱為黃金矩形．如圖，在黃金矩形ABCD（AB<BC）的邊BC上取一點E，使得CE=AB，連接AE，則BEABA．22 B．5?12 C．3?9.（2023春·遼寧丹東·九年級統考期末）如圖，點C是線段AB的黃金分割點，且AC<BC，下列選項錯誤的是（

）A．BCAB≈0.618 C．BC2=AB?AC10．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知是中的邊上的一點，，的平分線交邊于，交于，那么下列三角形中與一定相似的是（

）

A． B． C． D．二、填空題11．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，已知，請再添加一個條件，使，你添加的條件是（寫出一個即可）．12．（2023秋·河南漯河·九年級統考期末）如圖，在中，，，點為中點，點在上，當為時，與以點A、D、E為頂點的三角形相似．

13．（2023秋·九年級課時練習）如圖，的高，相交于點，寫出一個與相似的三角形，這個三角形可以是．14．（2023·全國·九年級專題練習）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．有一張矩形紙片如圖所示，點在邊上，現將矩形折疊，折痕為，點對應的點記為點，若點恰好落在邊上，則圖中與一定相似的三角形是．

15.（2023春·江蘇南京·九年級統考期末）已知線段AB=2，若C，D是AB的兩個黃金分割點，則CD長為．16.（2023春·全國·九年級統考期中）人體下半身與身高的比例越接近0.618，越給人美感．遺憾的是，即使芭蕾舞演員也達不到如此的完美．某女士身高1.68m，下半身1.02m，她應該選擇穿（精確到0.1cm）的高跟鞋看起來更美．17.（2023春·四川成都·九年級統考期末）如圖，線段AB=1，點C是線段AB的黃金分割點AC>BC，C1是線段AC的黃金分割點C1AC1>C118.（2023春·甘肅白銀·九年級?？计谀┕?jié)目主持人在主持節(jié)目時，站在舞臺的黃金分割點處最自然得體．若舞臺AB長為20m，則主持人站在離A點處最自然得體．（結果精確到0.1三、解答題19．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，在平行四邊形中，點E為邊上的點（不與點B，點C重合），連接并延長，交的延長線于點F．求證：．

10．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，，那么圖中相似的三角形有哪幾對？

21．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，、相交于點，已知，，，．求證：．22．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，與中，，；證明：．

23．（2023·浙江杭州·校聯考三模）如圖所示