數(shù)學建模-數(shù)理統(tǒng)計總結(jié)

數(shù)學建模之數(shù)理統(tǒng)計知識回顧統(tǒng)計的基本概念參數(shù)估計假設(shè)檢驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計描述和分析由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進行“加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來.1.統(tǒng)計量這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計量.它是完全由樣本決定的量.一、統(tǒng)計量定義請注意:常用的統(tǒng)計量樣本平均值樣本方差樣本標準差它反映了總體均值的信息它反映了總體方差的信息它反映了總體k階矩的信息樣本k階原點矩樣本k階中心矩

k=1,2,…它反映了總體k階中心矩的信息統(tǒng)計量的觀察值二、統(tǒng)計三大抽樣分布記為分布1、定義:

設(shè)相互獨立,都服從正態(tài)分布N(0,1),則稱隨機變量：

所服從的分布為自由度為

n

的分布.分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.分布的密度函數(shù)為來定義.其中伽瑪函數(shù)通過積分注1.

設(shè)相互獨立,都服從正態(tài)分布則這個性質(zhì)叫分布的可加性.3．若近似正態(tài)分布N(0,1).(應(yīng)用中心極限定理可得)2．設(shè)且X1,X2相互獨立，E(X)=n,D(X)=2n.概率密度函數(shù)為：

定義:

設(shè)X～N(0,1),Y～,且X與Y相互獨立，則稱變量所服從的分布為自由度為n的t分布.2、t分布由定義可見，3、F分布~F(n2,n1)定義:

設(shè)U與V相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為n1及n2的F分布，n1稱為第自由度，n2稱為第二自由度，記作F~F(n1,n2).即它的數(shù)學期望并不依賴于第一自由度n1.1.F分布的數(shù)學期望為:若n2>2若F~F(n1,n2)，F(xiàn)的概率密度為2.F分布的分位數(shù)抽樣分布定理樣本均值的分布樣本方差、均值的分布兩總體樣本均值差、樣本方差比的分布例1解二、參數(shù)估計點估計區(qū)間估計尋求估計量的方法1.矩估計法2.極大似然法4.最小二乘法5.貝葉斯方法……3.順序統(tǒng)計量法1.矩估計法矩估計法是英國統(tǒng)計學家K.皮爾遜最早提出來的.由辛欽定理,若總體的數(shù)學期望有限,則有其中為連續(xù)函數(shù).

這表明

,當樣本容量很大時

,在統(tǒng)計上,可以用用樣本矩去估計總體矩.這一事實導出矩估計法.定義用樣本原點矩估計相應(yīng)的總體原點矩,又用樣本原點矩的連續(xù)函數(shù)估計相應(yīng)的總體原點矩的連續(xù)函數(shù),這種參數(shù)點估計法稱為矩估計法

.理論依據(jù):大數(shù)定律矩估計法的具體做法如下：設(shè)總體的分布函數(shù)中含有k個未知參數(shù),那么可建立如下k個方程：都是這k個參數(shù)的函數(shù),記為：

例1

設(shè)總體X在[a,b]上服從均勻分布,a,b未知.是來自X

的樣本,試求a,b

的矩估計量.解

即

解得于是a,b的矩估計量為樣本矩總體矩

矩法的優(yōu)點是簡單易行,并不需要事先知道總體是什么分布.缺點是，當總體類型已知時，沒有充分利用分布提供的信息.一般場合下,矩估計量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程時，選取那些總體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶有一定的隨意性.

2.極大似然法它是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法.它首先是由德國數(shù)學家高斯在1821年提出的.GaussFisher然而,這個方法常歸功于英國統(tǒng)計學家費歇

.

費歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì).極大似然法的基本思想先看一個簡單例子：一只野兔從前方竄過.是誰打中的呢？某位同學與一位獵人一起外出打獵.如果要你推測，你會如何想呢?只聽一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下.你就會想，只發(fā)一槍便打中,獵人命中的概率一般大于這位同學命中的概率.看來這一槍是獵人射中的.這個例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法的基本思想.

極大似然估計原理：當給定樣本X1,X2,…Xn時，定義似然函數(shù)為：設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個樣本，樣本的聯(lián)合密度(連續(xù)型）或聯(lián)合分布律(離散型)為f(x1,x2,…,xn

;).f(x1,x2,…,xn;)這里x1,x2,…,xn

是樣本的觀察值.似然函數(shù)：

極大似然估計法就是用使達到最大值的去估計.稱為的極大似然估計值.看作參數(shù)的函數(shù)，它可作為將以多大可能產(chǎn)生樣本值x1,x2,…,xn

的一種度量.

f(x1,x2,…,xn;)而相應(yīng)的統(tǒng)計量稱為的極大似然估計量.解：似然函數(shù)為例2

設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個樣本其中>0,求的極大似然估計.i=1,2,…,n對數(shù)似然函數(shù)為解：似然函數(shù)為i=1,2,…,n=0(2)由(1)得=0(1)對分別求偏導并令其為0,對數(shù)似然函數(shù)為用求導方法無法最終確定用極大似然原則來求.

(4)在最大值點的表達式中,用樣本值代入就得參數(shù)的極大似然估計值

.求極大似然估計(MLE)的一般步驟是：

(1)由總體分布導出樣本的聯(lián)合分布率(或聯(lián)合密度);

(2)把樣本聯(lián)合分布率(或聯(lián)合密度)中自變量看成已知常數(shù),而把參數(shù)看作自變量,得到似然

函數(shù)L();

(3)求似然函數(shù)L()

的最大值點(常常轉(zhuǎn)化為求ln

L()的最大值點)，即

的MLE;一、置信區(qū)間定義滿足設(shè)是一個待估參數(shù)，給定X1,X2,…Xn確定的兩個統(tǒng)計量則稱區(qū)間是的置信水平（置信度)為的置信區(qū)間.和分別稱為置信下限和置信上限.若由樣本區(qū)間估計這里有兩個要求:可見，對參數(shù)作區(qū)間估計，就是要設(shè)法找出兩個只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計量).一旦有了樣本，就把估計在區(qū)間內(nèi).可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說，概率要盡可能大.即要求估計盡量可靠.

2.估計的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準則.（一）均值的區(qū)間估計二、單個正態(tài)總體置信區(qū)間的求法方差已知，對均值的區(qū)間估計1、則所求均值的置信區(qū)間為~N(0,1)選

的點估計為,求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.

例1

設(shè)X1,…Xn是取自

的樣本，明確問題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？尋找未知參數(shù)的一個良好估計.解尋找一個待估參數(shù)和統(tǒng)計量的函數(shù)，要求其分布為已知.有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.對給定的置信水平查正態(tài)分布表得對于給定的置信水平,根據(jù)U的分布，確定一個區(qū)間,使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平.使為什么這樣?。繌闹薪獾脤o定的置信水平查正態(tài)分布表得使也可簡記為于是所求的置信區(qū)間為從例1解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:1.明確問題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平

是多少?2.尋找參數(shù)的一個良好的點估計T(X1,X2,…Xn)

3.尋找一個待估參數(shù)和估計量T

的函數(shù)U(T,),且其分布為已知.

4.對于給定的置信水平

，根據(jù)U(T,)的分布，確定常數(shù)a,b，使得P(a<U(T,)<b)=

5.對“a<S(T,)<b”作等價變形,得到如下形式:即于是就是的100(

)％的置信區(qū)間.可見，確定區(qū)間估計很關(guān)鍵的是要尋找一個待估參數(shù)和估計量T的函數(shù)U(T,),且U(T,)的分布為已知,不依賴于任何未知參數(shù).而這與總體分布有關(guān)，所以，總體分布的形式是否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要.（一）均值的區(qū)間估計二、單個正態(tài)總體置信區(qū)間的求法方差未知，對均值的區(qū)間估計1、則所求均值的置信區(qū)間為（二）方差的區(qū)間估計二、單個正態(tài)總體置信區(qū)間的求法均值未知，對方差的區(qū)間估計僅討論則所求的置信度為置信區(qū)間為例2隨機地取炮彈10發(fā)做試驗，得炮口速度的標準差,炮口速度服從正態(tài)分布.求這種炮彈的炮口速度的標準差的置信水平為0.95的置信區(qū)間.由解于是得到的置信水平為的置信區(qū)間為這里可得到的置信水平為的置信區(qū)間為假設(shè)檢驗的基本思想和方法假設(shè)檢驗的一般步驟假設(shè)檢驗的兩類錯誤假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗參數(shù)假設(shè)檢驗非參數(shù)假設(shè)檢驗總體分布已知，檢驗關(guān)于未知參數(shù)的某個假設(shè)總體分布未知時的假設(shè)檢驗問題一、假設(shè)檢驗的基本思想和方法單個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗表條件拒絕域成立時檢驗統(tǒng)計量及其分布（1）提出假設(shè)（2）選檢驗統(tǒng)計量（3）確定拒絕域與接受域二、假設(shè)檢驗的一般步驟（4）判斷

例1

某工廠生產(chǎn)的一種螺釘，標準要求長度是32.5毫米.實際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長度X假定服從正態(tài)分布未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一