2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（浙教版）專題09 圓中的重要模型之定角定高（探照燈）模型、米勒最大角模型（解析版）

專題09圓中的重要模型之定角定高（探照燈）模型、米勒最大角模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模型（米勒最大視角（張角）模型、定角定高（探照燈）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。近幾年一些中考幾何問題涉及了“最大視角”與“定角定高”模型，問題往往以動(dòng)點(diǎn)為背景，與最值相結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，解析難度較大，學(xué)生難以找到問題的切入點(diǎn)，不能合理構(gòu)造輔助圓來求解。實(shí)際上，這樣的問題中隱含了幾何的“最大視角”與“定角定高”模型，需要對(duì)其中的動(dòng)點(diǎn)軌跡加以剖析，借助圓的特性來探究最值情形。而軌跡問題是近些年中考?jí)狠S題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，既可以與最值結(jié)合考查，也可以與軌跡長結(jié)合考查，綜合性較強(qiáng)、難度較大。模型1.米勒最大張角（視角）模型【模型解讀】已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)C在何處時(shí)，∠ACB最大？對(duì)米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題。米勒定理：已知點(diǎn)AB是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大。【模型證明】如圖1，設(shè)C’是邊OM上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連結(jié)A，B，因?yàn)椤螦C’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。在三角形AC’D中， 又【解題關(guān)鍵】常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運(yùn)用米勒定理解題，這將會(huì)突破思維瓶頸、大大減少運(yùn)算量、降低思維難度、縮短解題長度，從而使問題順利解決。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費(fèi)時(shí)化力。例1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）足球射門，不考慮其他因素，僅考慮射點(diǎn)到球門AB的張角大小時(shí)，張角越大，射門越好．如圖的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，球員帶球沿CD方向進(jìn)攻，最好的射點(diǎn)在（

）A．點(diǎn)CB．點(diǎn)D或點(diǎn)EC．線段DE(異于端點(diǎn))上一點(diǎn)D．線段CD(異于端點(diǎn))上一點(diǎn)【答案】C【詳解】解：如圖，記過測量可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)設(shè)點(diǎn)在DE上時(shí)，張角最大．故選C．例2．（2023·廣東廣州·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，y軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上兩點(diǎn)、，C為x軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為（

）

A．5 B．2 C．21 D．【答案】D【分析】當(dāng)以為弦的圓與軸正半軸相切時(shí)，最大，根據(jù)圓周角定理得出對(duì)應(yīng)的最大，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)以為弦的圓與軸正半軸相切時(shí)，最大，∵∴此時(shí)的最大，作軸于，連接、．

∵、，∴，與軸相切于點(diǎn)C，軸，在直角中，，∴，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理以及勾股定理，正確理解當(dāng)以為弦的圓與軸相切時(shí)，對(duì)應(yīng)的最大是關(guān)鍵，解題時(shí)注意結(jié)合圖形分析．例3．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AFE＝90°，（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)題意可得∠B＝∠C＝90°，∠AFB＝∠FEC，即可得出結(jié)論；（2）取AE的中點(diǎn)O，連接OD、OF，根據(jù)∠AFE＝∠ADE＝90°，得出A、D、E、F四點(diǎn)共圓，當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中點(diǎn)O，連接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°，∴OA＝OD＝OE＝OF，∴A、D、E、F四點(diǎn)共圓，∴∠AED＝∠AFD，∴當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大，∴BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的值最大．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，根據(jù)題意得出⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大是解題的關(guān)鍵．例4．（2022春·浙江金華·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）足球射門時(shí)，在不考慮其他因素的條件下，射點(diǎn)到球門AB的張角越大，射門越好．當(dāng)張角達(dá)到最大值時(shí)，我們稱該射點(diǎn)為最佳射門點(diǎn)．通過研究發(fā)現(xiàn)，如圖1所示，一學(xué)生帶球在直線CD上行進(jìn)時(shí)，當(dāng)存在一點(diǎn)Q，使得∠CQA=∠ABQ（此時(shí)也有∠DQB=∠QAB）時(shí)，恰好能使球門AB的張角∠AQB達(dá)到最大值，故可以稱點(diǎn)Q為直線CD上的最佳射門點(diǎn)．如圖2所示，是一個(gè)矩形形狀的足球場，AB為球門一部分，CD⊥AB于點(diǎn)，AB=6米，BD=2米．某球員沿CD向球門AB進(jìn)攻，設(shè)最佳射門點(diǎn)為點(diǎn)Q．（1）tan∠AQB=_____．（2）已知對(duì)方守門員伸開雙臂后，成功防守的范圍為米，若此時(shí)守門員站在張角∠AQB內(nèi)，雙臂張開MN垂直于AQ進(jìn)行防守，為了確保防守成功，MN中點(diǎn)與AB的距離至少為___米．【答案】

【分析】（1）證明△BDQ∽△QDA，利用相似三角形的性質(zhì)求出QD，過點(diǎn)B作BH⊥AQ于點(diǎn)H．利用面積法求出BH，再利用勾股定理求出QH，可得結(jié)論；（2）如圖，設(shè)NM的中點(diǎn)為O，過點(diǎn)N作NK⊥AD于點(diǎn)K，根點(diǎn)O作OJ⊥NK于點(diǎn)J．解直角三角形求出NJ，NK，可得結(jié)論．【詳解】（1）由題意，∠BQD=∠QAD，∵∠BDQ=∠QDA，∴△BDQ∽△QDA，∴，∴QD2=DB?DA，∵AB=6，BD=2，∴DA=8，∴QD=4，如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AQ于點(diǎn)H．∵CD⊥AD，∴∠ADQ=90°，∵AD=8．DQ=4，∴AQ=，∵×6×4=×4×BH，∴BH=，∵BQ=，∴HQ=，∴tan∠AQB==；故答案為：；（2）如圖，設(shè)NM的中點(diǎn)為O，過點(diǎn)N作NK⊥AD于點(diǎn)K，過點(diǎn)O作OJ⊥NK于點(diǎn)J．∵M(jìn)N∥BH∴，∴BN==，∴NK=BN?sin∠QBD=×=，∵M(jìn)N⊥AQ，NK⊥AD，∴∠AMN+∠AKN=180°，∴∠QAD+∠MNK=180°，∵∠MNK+∠ONJ=180°，∴∠ONJ=∠QAD，∴cos∠ONJ=cos∠QAD=，∴JN=ON?cos∠ONJ=×=，∴JK=NJ+NK=+=，∴MN中點(diǎn)與AB的距離至少為米時(shí)才能確保防守成功．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．例5．（2023·山西·九年級(jí)期中）如圖，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為.（1）求的值.（2）連結(jié)、，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.①當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求的值；②連結(jié)、，當(dāng)取最大值時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】（1）；（2）①；②，.【分析】（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得b的值；（2）①可先求得OB、OC和BE的長，再利用平行四邊形的性質(zhì)證明△QFC≌△BED，可證明FQ=2，可求得m的值；②記△OQC的外心為M，則M在OC的垂直平分線MN上（設(shè)MN與y軸交于點(diǎn)N），連接OM、CM．由圓周角定理和三角函數(shù)的定義可表示出sin∠CQO，可得出sin∠CQO的值隨著OM的增大而減小，則可得與直線y=1相切，再結(jié)合勾股定理可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）把代入，，解得.（2）①設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn).∵，∴，則，.令得，；令得，，解得，.∴，，.（以下有兩種方法）方法1：設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則，.當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，，∴.∴.方法2：過作的平行線與直線相交，則交點(diǎn)必為，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則.∵，∵.又∵，，∴.∴，，∴.②記的外心為，則在的垂直平分線上（與軸交于點(diǎn)）.連結(jié)、，則，，∴，∴的值隨著的減小而增大.又∵，∴當(dāng)取最小值時(shí)最大，即直線時(shí)，最大，此時(shí)，與直線相切，∴，又，∴，∴.根據(jù)對(duì)稱性，另一點(diǎn)也符合題意.綜上所述，，.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，熟練掌握計(jì)算法則是解題關(guān)鍵.模型2.定角定高模型（探照燈模型）定角定高模型：如圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角，則AD有最小值，即△ABC的面積有最小值。因?yàn)槠湫蜗裉秸諢?，所以也叫探照燈模型。。條件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC邊上的高，且AD=h（定高）。結(jié)論：當(dāng)△ABC是等腰三角形（AB=AC）時(shí)，BC的長最小；△ABC的面積最?。弧鰽BC的周長最小。證明思路：如圖，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)的半徑為r，則∠BOE=∠BAC=；∴BC=2BE=2OBsin=2rsin?！逴A+OE≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，O，E三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立），∴r+rcosa≥h，.當(dāng)取等號(hào)時(shí)r有最小值，此時(shí)BC的長最小:2rsin；△ABC的面積最小:ADrsin；△ABC的周長最小:2rsin+ADrsin。例1．（2023·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D，已知在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，連接AC、BD交于點(diǎn)E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，則BD的最大值為．

【答案】【分析】如圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OB，OA，OC，OE，過點(diǎn)O作OH⊥AC于H．解直角三角形求出OE，OB，求出BE的最大值即可解決問題．【詳解】解：如圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OB，OA，OC，OE，過點(diǎn)O作OH⊥AC于H．

∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°，∵EC＝2AE＝4，∴AE＝2，∴AC＝AE+EC＝6，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴AH＝HC＝3，EH＝AH﹣AE＝1，∵∠OAC＝∠OCA＝30°，∴OH＝AH?tan30°＝，∴OE＝＝＝2，OA＝2OH＝2，∴OB＝OA＝2，∵BE≤OB+OE，∴BE≤2+2，∴BE的最大值為2+2，∵BE＝2DE，∴DE的最大值為1+，∴BD的最大值為3+3．故答案為3+3．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形，綜合性比較強(qiáng)，能夠轉(zhuǎn)化為圓的問題是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·陜西西安·校考二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF＝60°，則△AEF的面積的最小值是．【答案】【分析】作輔助線，構(gòu)建△AME≌△AFE，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到△ABM，根據(jù)角的關(guān)系證明M、B、E共線，再證明△FAE≌△MAE，則∠MEA＝∠FEA，過A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：AH＝AK＝2，作△AEF的外接圓⊙O，由同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的二倍得：∠NOF＝60°，設(shè)EF＝2x，則NF＝x，根據(jù)OA+ON≥AK，列式為x≥2，則x≥2，可得△AEF面積的最小值是4．【詳解】如圖，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到△ABM，由旋轉(zhuǎn)得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共線，∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，∠EAF＝60°，AE＝AE，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA，過A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB?sin60°＝2，作△AEF的外接圓⊙O，連接OA、OE、OF，過O作ON⊥EF于N，∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，設(shè)EF＝2x，則NF＝x，Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，∴ON+OA＝OF+ON＝x，∵OA+ON≥AK，∴x≥2，∴x≥2，∴S△AEF＝=2x≥4，∴△AEF面積的最小值是4．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了角平分線的性質(zhì)、等邊三角形、三角形和四邊形的面積、三角形全等的性質(zhì)和判定、直角三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的最短路徑問題等知識(shí)，確定其最值時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇鹽城·八年級(jí)?？计谀?）問題提出：如圖①，已知線段AB，請(qǐng)以AB為斜邊，在圖中畫出一個(gè)直角三角形；（2）如圖②，已知點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)B、C均在直線l上，AD⊥l且AD=4，∠BAC=60°，求△ABC面積的最小值；（3）問題解決：如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=m，點(diǎn)E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）畫圖見解析；（2）；（3）存在面積最大值，最大值為144m2，理由見解析．【分析】（1）以AB為直徑作圓，在圓上任取一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）C，連接AC、BC，由圓周角定理得∠ACB=90°，即可得出結(jié)論；（2）作△ABC的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，先由圓周角定理和垂徑定理得∠BOC=2∠BAC，BE=CE=BC，則∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，設(shè)OA=OB=OC=r，則OE=r，BC=2BE=，再由AO+OE≥AD，得r≥，則BC=，即可解決問題；（3）分別延長AB、DC交于點(diǎn)M，則△ADM、△CBM均為等腰直角三角形，將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到，則三點(diǎn)共線，由S四邊形AECF=S四邊形ABCD-（S△CBE+S△CDF）=S四邊形ABCD-，當(dāng)取得最小值時(shí)，S四邊形AECF取得最大值，求出的最小值，即可解決問題．【詳解】（1）解：以AB為直徑作圓，在圓上任取一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）C，連接AC、BC，如圖①所示：則∠ACB=90°，∴Rt△ACB即為所求；（2）作△ABC的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，如圖②所示：則∠BOC=2∠BAC，OA=OB=OC，BE=CE=BC，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，設(shè)OA=OB=OC=r，則OE=，BC=2BE=，∵AO+OE≥AD，AD=4，∴，解得：r≥，∴BC=，∴BC最小值為，∵S△ABC=BC?AD，∴△ABC面積的最小值為：；（3）四邊形AECF的面積存在最大值，理由如下：分別延長AB、DC交于點(diǎn)M，如圖③所示：則△ADM、△CBM均為等腰直角三角形，∵CB=CD=m，∴BM=m，m，AD=DM=m，∴S四邊形ABCD=S△ADM-S△CBM=，∵∠BCD=360°-∠A-∠CDA-∠CBA=360°-45°-90°-90°=135°，∴將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到，則三點(diǎn)共線，∴S四邊形AECF=S四邊形ABCD-（S△CBE+S△CDF）=S四邊形ABCD-，∵S四邊形ABCD為定值，∴當(dāng)取得最小值時(shí)，S四邊形AECF取得最大值，∵135°-90°=45°，∴以為斜邊作等腰，則的外接圓是以點(diǎn)O為圓心，OF長為半徑的圓，設(shè)的外接圓半徑為rm，則m，又∵OC+OD≥CD，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)O在CD上時(shí)，最短，此時(shí)，∴的面積最小值=，∴四邊形AECF的面積最大值（m2）．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了四邊形的面積、圓周角定理、垂徑定理、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積以及最值問題等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．例4．（2023·廣東·校考一模）問題提出：（1）如圖①，已知在邊長為10的等邊△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝6，連接AD，則△ACD的面積為；問題探究：（2）如圖②，已知在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面積；問題解決：（3）如圖③是某座城市延康大道的一部分，因自來水搶修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD區(qū)域內(nèi)開挖一個(gè)△AEF的工作面，其中E、F分別在BC、CD邊上（不與B、C、D重合），且∠EAF＝45°，為了減少對(duì)該路段的擁堵影響，要求△AEF面積最小，那么是否存在一個(gè)面積最小的△AEF？若存在，請(qǐng)求出△AEF面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）15；（3）存在，．【分析】（1）過點(diǎn)A作AH⊥BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、正弦的定義求出AH，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案；（2）將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，證明△AEF≌△AEH，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；（3）把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°并縮小為，得到△ABG，根據(jù)角平分線的性質(zhì)、三角形的面積公式得到＝，設(shè)△AGE的外接圓圓心為O，連接OA、OG、OE，過得O作OH⊥GE于H，則∠GOE＝2∠EAG＝90°，設(shè)△AGE的外接圓的半徑為R，則GE＝R，OH＝R，由題意得，OA+OH≥AB，即R+R≥4，解得R的范圍，故△AGE的面積≥××（8﹣4）×4＝16﹣16，得△AGE的面積的最小值為16﹣16，進(jìn)而可得△AEF的面積的最小值為24﹣24．【詳解】（1）如圖①，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∴△ACD的面積＝×CD×AH＝×4×10?sin60°＝10，故答案為：10；（2）如圖②，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠EAH＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEH中，AF=AH,∠EAH＝∠EAF，AE=AE，∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EH＝EF＝5，∴S△AEF＝S△AEH＝×5×6＝15；（3）把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°并縮小為，得到△ABG，則AG＝AF，∠EAG＝∠EAF＝45°，過點(diǎn)E作EM⊥AG于M，EN⊥AF于N，∵∠EAG＝∠EAF，EM⊥AG，EN⊥AF，∴EM＝EN，∴＝，設(shè)△AGE的外接圓圓心為O，連接OA、OG、OE，過得O作OH⊥GE于H，則∠GOE＝2∠EAG＝90°，設(shè)△AGE的外接圓的半徑為R，則GE＝R，OH＝R，由題意得，OA+OH≥AB，即R+R≥4，解得，R≥8﹣4，∴△AGE的面積≥××（8﹣4）×4＝16﹣16，∴△AGE的面積的最小值為16﹣16，∴△AEF的面積的最小值為24﹣24．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，圓周角定理，圖形的旋轉(zhuǎn)等，較為綜合，根據(jù)圖形作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．例5．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）【問題初探】：（1）如圖①，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，連接，∥，．若，則的長為______；【問題深入】：（2）如圖②，在扇形中，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，，求四邊形的面積的最大值；【拓展應(yīng)用】：（3）為進(jìn)一步促進(jìn)西安市文化和旅游高質(zhì)量發(fā)展，推動(dòng)全市文明旅游創(chuàng)建工作，結(jié)合年陜西省文明旅游示范單位申報(bào)工作，一并開展年西安市文明旅游示范單位評(píng)選工作某地為參加評(píng)選積極改善環(huán)境，擬建一個(gè)四邊形休閑廣場，其大致示意圖如圖③所示，其中∥，米．點(diǎn)處設(shè)立一個(gè)自動(dòng)售貨機(jī)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，與交于點(diǎn)，連接，沿修建一條石子小路（寬度不計(jì)），將和進(jìn)行綠化．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，．為倡導(dǎo)綠色新風(fēng)尚，現(xiàn)要使綠化的面積盡可能的大，請(qǐng)問和的面積之和是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出和面積之和的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值為平方米【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意得，，通過平行推三角形相似，得出，推比例線段，得出的長；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理得出，由圖可得，兩個(gè)式子結(jié)合得出四邊形的最大值是；（3）作的外接圓，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，，，，由，推出，得出，推出，，得出，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半得出，，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，，推出，，得出，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由圖可得，得出的最大值為，進(jìn)而求出和面積之和的最大值．【詳解】解：（1）設(shè)，，，，，，，，，故答案為：；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，，，，，，，根據(jù)勾股定理得，，，，由圖可得，，即，，，，四邊形的最大值是；（3）點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，．，作的外接圓，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，，，，如圖，則，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由圖可得，的最大值為，，的最大值為：，和的面積之和存在最大值，和面積之和的最大值為平方米．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題，平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)值的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)的動(dòng)直線，夾角，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，則的最大值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，，得出的軌跡是圓，取點(diǎn)，則是的中位線，則求得的正弦的最大值即可求解，當(dāng)與相切時(shí)，最大，則正弦值最大，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖所示，以為邊向上作等邊，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，則的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，∴，取點(diǎn)，則是的中位線，∴，∵，∴點(diǎn)在半徑為的上運(yùn)動(dòng)，∵是的中位線，∴，∴，當(dāng)與相切時(shí)，最大，則正弦值最大，在中，，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則∵與相切，∴，∴，∴，∴，∴設(shè)，,則∴∴∴解得：∴∴的最大值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求正弦，等邊三角形的性質(zhì)。圓周角定理，得出點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，A、B表示足球門邊框（不考慮球門的高度）的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)C表示射門點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB就是射門角，在不考慮其它因素的情況下，一般射門角越大，射門進(jìn)球的可能性就越大，球員甲帶球線路ED與球門AB垂直，D為垂足，點(diǎn)C在ED上，當(dāng)∠ACB最大時(shí)就是帶球線路ED上的最佳射門角，若AB=4，BD=1，則當(dāng)球員甲在此次帶球中獲得最佳射門角時(shí)DC的長度為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造△ABC的外接圓O，當(dāng)DE為圓O的切線時(shí)，∠ACB的角度最大，易證OCDF為矩形，再通過圓周角和圓心角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為∠AOF，通過勾股定理求得OF的長度，從而得到結(jié)果．【詳解】解：如圖所示，圓O為△ABC的外接圓，當(dāng)DE為圓O的切線時(shí)，∠ACB的角度最大，（備注：弧所對(duì)的角中，圓周角>圓外角）過O點(diǎn)作OF⊥AB，則AF=BF，∵AB=4，BD=1，∴AF=2，DF=3，∵OC⊥AC，∠D=90°，∴四邊形OCDF為矩形，∴OC=DF=OA，∴OF=，∴CD=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查角度的最值問題，矩形的判定，圓的基本性質(zhì)，通過角度構(gòu)造圓是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022上·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）矩形ABCD的對(duì)角線BD=4，DE⊥AC于點(diǎn)E，則當(dāng)∠DBE最大時(shí)，BE的長度為（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)F，由矩形的性質(zhì)可得，若固定不動(dòng)，則E隨的位置變動(dòng)而變化，因，所以點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的軌跡是以為直徑的圓，設(shè)該圓圓心為O，不難知道，當(dāng)時(shí)，即為⊙O的切線時(shí)，最大，利用勾股定理即可求出答案．【詳解】設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)F，由矩形的性質(zhì)可得，，點(diǎn)在以為直徑的上，如下圖，∵當(dāng)是⊙O的切線時(shí)，最大，∴當(dāng)最大時(shí)，，∵，∴，∴．故答案為D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)，關(guān)鍵在于確定E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，有一定難度．4．（2022上·江蘇南京·九年級(jí)?？计谀┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)，，．當(dāng)時(shí)，若最大，則t的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過A、B作與y軸相切的圓，設(shè)圓心為M，切點(diǎn)為C，連接AC、BC，取C1為y軸上相異于C的一點(diǎn)，連接C1A、C1B，設(shè)C1B交圓于D，利用圓周角定理和三角形外角性質(zhì)可證得∠ACB最大，過M作MN⊥AB于N，根據(jù)垂徑定理證得AN=BN=AB，可證明四邊形MNOC為矩形，則有MA=MC=ON，t=MN，利用勾股定理求解MN即可解答．【詳解】解：過A、B作與y軸相切的圓，設(shè)圓心為M，切點(diǎn)為C，連接AC、BC，取C1為y軸上相異于C的一點(diǎn)，連接C1A、C1B，設(shè)C1B交圓于D，如圖，則∠ADB=∠ACB，∵∠ADB是△ADC1的外角，∴∠ADB＞∠AC1B，∴∠ACB＞∠AC1B，即∠ACB就是所求的最大角，過M作MN⊥AB于N，連接MC、MA，則MA=MC，AN=BN=AB，MC⊥y軸，∴四邊形MNOC為矩形，

∴MC=ON，OC=MN，∵，，，t＞0，∴AB=4，OC=t，OA=1，∴AN=AB=2，∴MC=ON=OA+AN=3，在Rt△AMN中，MA=MC=3，由勾股定理得：，∴OC=MN=，即t=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查切線性質(zhì)、圓周角定理、三角形外角性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、坐標(biāo)與圖形、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，得出過A、B、C三點(diǎn)的圓與y軸相切時(shí)∠ACB最大是解答的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，CD是⊙O直徑，E是BC的中點(diǎn)，P是直線AE上任意一點(diǎn)，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于點(diǎn)M、N，當(dāng)∠MPN最大時(shí)，PM的長為．【答案】【分析】連接OP，OM，根據(jù)切線長定理可知，因?yàn)椋十?dāng)OP最?。碠P垂直AC時(shí)），最大，此時(shí)最大，由此得到P點(diǎn)，再求出OP長，在Rt△PMO中求出PM即可解答．【詳解】解：連接OP，OM，∵PM、PN相切于點(diǎn)M、N，∴，，∴，又∵在矩形ABCD中，CD=AB=4，CD是⊙O直徑，∴，∴故當(dāng)OP最?。碠P垂直AC時(shí)），最大，延長DC交直線AE于點(diǎn)G，∵E是BC的中點(diǎn)，BC=6，∴BE=EC=3,∵在矩形ABCD中，，∴，∵在矩形ABCD中，，∴，∴，∴EG=5，CG=3，∴OG=OC+CG=2+4=6，又∵OP垂直AC時(shí)，最大，∴，在Rt△PMO中，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何的最值問題，綜合性強(qiáng)，涉及了圓的切線性質(zhì)，矩形性質(zhì)、解三角形、點(diǎn)到直線的距離垂線段最小等知識(shí)，解題關(guān)鍵是切線長定理可知，然后關(guān)鍵在Rt△PMO中最大，此時(shí)最大，得出OP垂直AC時(shí)，最大．6．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（0，1）、（0，3），點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．【答案】【分析】根據(jù)題意，找到當(dāng)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，最大，作出相應(yīng)輔助線，可得出，，再由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得，根據(jù)切線定理確定四邊形PCOH為矩形，最后根據(jù)勾股定理即可得出．【詳解】過點(diǎn)A、B作⊙P，⊙P與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，最大，連接PA、PB、PC，作PH⊥y軸于H，如圖，∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（0，1）、（0，3），∴，，∵PH⊥AB，∴，∴，∵點(diǎn)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C，∴PC⊥x軸，∴四邊形PCOH為矩形，∴，∴，在中，，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為．【點(diǎn)睛】題目考查隱圓模型，涉及知識(shí)點(diǎn)包括直線與圓的位置關(guān)系、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等，理解題意，找準(zhǔn)當(dāng)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，最大，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．7．（2023·河南鶴壁·九年級(jí)校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE的最小面積等于．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理得到AC＝4，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ADE的面積最小，根據(jù)三角形的面積公式得到AD＝，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AE＝，由此三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，∵△ADE∽△ABC，∴，即∴，∴，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ADE的面積最小，∴此時(shí)有∴AD＝，∴△ADE的最小面積；故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂線段最短，三角形的面積公式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．7.（2023浙江·九年級(jí)?？计谥校榱擞有履甑牡絹砟呈信e辦了迎新年大型燈光秀表演。其中一個(gè)鐳射燈距地面30米，鐳射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60°，如圖：若將兩根光線(AB、AC)和光線與地面的兩交點(diǎn)的連接的線段(BC)看作一個(gè)三角形，記為△ABC，三角形面積的最小值為_______平方米，其周長最小值為_______米?！窘馕觥客ㄟ^“距地面30米”，“光線夾角60°”，得到∠BAC=60°（定角），AD=30米（定高），可識(shí)別出定角定高模型，因此當(dāng)△ABC為等腰三角形，邊BC有最小值，此時(shí)△ABC為等邊三角形，解直角三角形求出BC=米，進(jìn)而求出面積最小值為平分米，周長最小值為米。可求答案：；。8.（2023·重慶·九年級(jí)校考期中）如圖，正方形ABCD邊長為4，E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，則△AEF面積的最小值為________.【解析】“大角含半角+有相等且共端點(diǎn)的邊”識(shí)別出“半角模型”，通過截長補(bǔ)短構(gòu)造△AEF的全等三角形△AEF'，在△AEF'中，∠F'AE=45°，AB為定高，通過定角定高模型結(jié)論求出最值。延長CD至點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)AG，易證△ABE≌△ADG(SAS)∴BE=DG，∠BAE=∠DAG∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=45°=∠EAF則△AEF'≌△AGF(SAS)，作△AGF的外接圓圓心為O，連接OA、OG、OF，過得O作OH⊥GF于H，則∠FOG＝2∠FOH=2∠FAG＝90°，設(shè)△AGF的外接圓的半徑為R，則GF＝R，OH＝R，由題意得，OA+OH≥AD，即R+R≥4，解得，R≥8﹣，∴△AGF的面積≥××（8﹣）×4＝16﹣16，∴△AFE的面積的最小值為16-16．9．（2023·陜西西安·校考二模）如圖，已知四邊形ABCD中，∠BCD＝60°，連接AC、BD交于點(diǎn)E，BE＝2ED＝4．若CE＝2AE，求AC的最大值【答案】【分析】本題首先作△BCD的外接圓⊙O，連接OB，OD，OC，OE，過點(diǎn)O作OH⊥BD于H，解直角三角形求出OE，OC，繼而求出EC，AE的最大值即可求解本題．【詳解】作△BCD的外接圓⊙O，連接OB，OD，OC，OE，過點(diǎn)O作OH⊥BD于H，如下圖所示：∵BE＝2ED＝4，∴DE＝2，BD＝4+2＝6，∵，∴∠BOD＝2∠BCD＝120°，∵OB＝OD=OC，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，又∵OH⊥BD，∴BH＝HD＝3，∴OH＝，OB＝2OH＝，∴HE＝BE﹣BH＝4﹣3＝1，∴OE＝＝＝2，∵，∴，∴EC的最大值為，∵EC＝2AE，∴AE的最大值為，∴AC的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合，解題關(guān)鍵在于輔助線的構(gòu)造以及最值問題的轉(zhuǎn)化，同弧所對(duì)的圓心角與圓周角之間的關(guān)系需熟記于心，求解邊長時(shí)勾股定理較為常用，幾何題目出現(xiàn)60°等特殊角度時(shí)，常構(gòu)建特殊的直角三角形，利用三邊關(guān)系以簡化運(yùn)算．10．（2023上·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【生活問題】2022年卡塔爾世界杯比賽中，某球員P帶球沿直線接近球門，他在哪里射門時(shí)射門角度最大？【操作感知】小米和小勒在研究球員P對(duì)球門的張角時(shí)，在上取一點(diǎn)Q，過A、B、Q三點(diǎn)作圓，發(fā)現(xiàn)直線與該圓相交或相切．如果直線與該圓相交，如圖1，那么球員P由M向N的運(yùn)動(dòng)過程中，的大小______：（填序號(hào)）①逐漸變大；②逐漸變?。虎巯茸兇蠛笞冃?；④先變小后變大【猜想驗(yàn)證】小米和小勒進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，如果直線與該圓相切于點(diǎn)Q，那么球員P運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)Q時(shí)最大，如圖2，試證明他們的發(fā)現(xiàn)．【實(shí)際應(yīng)用】如圖3，某球員P沿垂直于方向的路線帶球，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在上找出球員P的位置，使最大．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】操作感知：③；猜想驗(yàn)證：見解析；實(shí)際應(yīng)用：見解析【分析】操作感知：如圖所示，設(shè)直線與的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D，分別在射線，射線上取一點(diǎn)F，E，連接交的外接圓于H，連接交的外接圓于G，連接，利用圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)證明即可得到結(jié)論；猜想驗(yàn)證：如圖所示，在上任取一點(diǎn)G（不與Q重合），連接交的外接圓于H，連接，利用三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理證明即可；實(shí)際應(yīng)用：如圖所示，作線段的垂直平分線交于E，延長交于F，以點(diǎn)A為圓心，的長為半徑畫弧交直線于O，以O(shè)為圓心，以的長為半徑畫弧交直線于P，點(diǎn)P即為所求．【詳解】解：操作感知：如圖所示，設(shè)直線與的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D，分別在射線，射線上取一點(diǎn)F，E，連接交的外接圓于H，連接交的外接圓于G，連接，∴；∵，∴，∵，∴；在上取一點(diǎn)T，連接并延長交的外接圓于S，連接，∴，∵，∴，∴球員P由M向N的運(yùn)動(dòng)過程中，的大小是先變大后變小，故答案為：③；猜想驗(yàn)證：如圖所示，在上任取一點(diǎn)G（不與Q重合），連接交的外接圓于H，連接，∴，∵，∴，即，∴上異于點(diǎn)Q的其他所有點(diǎn)對(duì)的張角都小于，∴球員P運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)Q時(shí)最大；實(shí)際應(yīng)用：如圖所示，作線段的垂直平分線交于E，延長交于F，以點(diǎn)A為圓心，的長為半徑畫弧交直線于O，以O(shè)為圓心，以的長為半徑畫弧交直線于P，點(diǎn)P即為所求；理由如下：∵，∴，∵，且，即是兩條平行線間的距離，∴也是這兩條平行線間的距離，∴，∴直線與相切，∴由“猜想驗(yàn)證”可知，當(dāng)直線與相切于點(diǎn)P時(shí)，最大．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)于判定，三角形外角的性質(zhì)，圓周角定理，確定圓心，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，平行線間間距相等等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）課本呈現(xiàn)：如圖1，在射門游戲中，球員射中球門的難易程度與他所處的位置對(duì)球門的張角（）有關(guān)．當(dāng)球員在，處射門時(shí)，則有張角．某數(shù)學(xué)小組由此得到啟發(fā)，探究當(dāng)球員在球門同側(cè)的直線射門時(shí)的最大張角．問題探究：（1）如圖2，小明探究發(fā)現(xiàn)，若過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓與直線相交于點(diǎn)、，當(dāng)球員在處射門時(shí)，則有．小明證明過程如下：設(shè)直線交圓于點(diǎn)，連接，則∵_(dá)__________∴___________∴（2）如圖3，小紅繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓與直線相切于點(diǎn)，當(dāng)球員在處射門時(shí)，則有，你同意嗎？請(qǐng)你說明理由．問題應(yīng)用：如圖4，若，米，是中點(diǎn)，球員在射線上的點(diǎn)射門時(shí)的最大張角為，則的長度為___________米．問題遷移：如圖5，在射門游戲中球門，是球場邊線，，是直角，．若球員沿帶球前進(jìn)，記足球所在的位置為點(diǎn)，求的最大度數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，，，，．）【答案】（1）；（2）同意，理由見解析；問題應(yīng)用：10；問題遷移：【分析】（1）根據(jù)等量代換，按步驟進(jìn)行作答即可；（2）如圖3，記直線交過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓于點(diǎn)G，連接，解答過程同（1）；問題應(yīng)用：由（2）可知，與切點(diǎn)連線的夾角是最大的張角，如圖4，為過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓的圓心，為動(dòng)圓與的切點(diǎn)，則，，證明，則，證明三點(diǎn)共線，則，，，根據(jù)，計(jì)算求解即可；問題遷移：如圖5，作線段的垂直平分線交于，交于點(diǎn)P，由（2）可知，點(diǎn)P即為所求，則四邊形為矩形，記動(dòng)圓的圓心為O，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，即，求得，則，根據(jù)，即，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線交圓于點(diǎn)，連接，則，∵，∴，∴；（2）解：同意，理由如下，如圖3，記直線交過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓于點(diǎn)G，連接，則，∵，∴，∴；問題應(yīng)用：解：由（2）可知，與切點(diǎn)連線的夾角是最大的張角，如圖4，為過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓的圓心，為動(dòng)圓與的切點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴三點(diǎn)共線，∴，，，∴，故答案為：10；問題遷移：如圖5，作線段的垂直平分線交于，交于點(diǎn)P，由（2）可知，點(diǎn)P即為所求，則四邊形為矩形，記動(dòng)圓的圓心為O，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，即，解得，∴，∵，∴，∴的最大度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，圓周角定理，切線的性質(zhì)，余弦、正切，12．（2023上·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖1，在足球比賽場上，甲帶球奔向?qū)Ψ角蜷T，當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，同伴乙已沖到B點(diǎn)，甲是自己射門好，還是將球傳給乙，讓乙射門好？對(duì)上面這個(gè)問題，小明結(jié)合圖1判斷甲的視角小于乙的視角，根據(jù)“僅從射門角度考慮，球員對(duì)球門的視角越大，足球越容易被踢進(jìn)”的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為甲應(yīng)該將球傳給乙．請(qǐng)結(jié)合圖1給出小明得到的理由；（2）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，并得到這樣的結(jié)論：如圖2，點(diǎn)A，B是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，C是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與l相切于點(diǎn)C時(shí)，最大．如圖3，，點(diǎn)A，B是邊上兩點(diǎn)，，點(diǎn)C是邊上一動(dòng)點(diǎn)．①若最大為，請(qǐng)求出當(dāng)時(shí)，的長；②若最大不超過，直接寫出的取值范圍．

【答案】（1）見解析（2）①②【分析】（1）利用圓周角定理和外角的性質(zhì)即可得證；（2）①根據(jù)直角三角形的外接圓的圓心在斜邊的中線上，確定圓心的位置，連接，利用切線的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；②求出時(shí)的長，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）連接，

則：，∵是的外角，∴，∴；（2）①當(dāng)時(shí)，的外接圓的圓心在斜邊的中點(diǎn)上，設(shè)圓心為，連接，則：，

∵的外接圓與l相切于點(diǎn)C，∴，∵，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖：連接，則：，，過點(diǎn)作，則：，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，過點(diǎn)作，∴，∵，∴，∴，∵，∴，由題意，可知越大，越短，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓，切線的性質(zhì)，圓周角定理，含30度角的直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．13．（2022上·湖北襄陽·九年級(jí)校聯(lián)考自主招生）（1）如圖1，是圓O的直徑，，過點(diǎn)T任作一條割線，求證：；（2）如圖2，直線，，當(dāng)為多長時(shí)，最大？

【答案】（1）見解析（2）當(dāng)時(shí)，最大【分析】（1）連接、、，證明即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)C作于M，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，再由勾股定理求出長即可．【詳解】解：（1）連接、、，如圖1，

∵是圓O的直徑，∴∵，是圓O的直徑，∴∴∵∴∵∴∴∴；（2）過點(diǎn)C作于M，如圖2，

當(dāng)時(shí)，最大，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．∴當(dāng)時(shí)，最大．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理及推論，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握相差性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．14．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連結(jié)，．(1)當(dāng)E點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)若，求證：B、F、D三點(diǎn)在同一直線上；(3)當(dāng)?shù)慕嵌茸畲髸r(shí)，求線段的長．

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2【分析】（1）由E點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，得，折疊得，，從而得出，所以，，則，即可由平行線的判定定理得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)F作于H，交于G，利用折疊的性質(zhì)與勾股定理求得，，從而得，，所以，從而得出點(diǎn)F在上，即可得出結(jié)論．（3）根據(jù)點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊，得出點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，為半徑的圓弧上，所以當(dāng)?shù)慕嵌茸畲髸r(shí)，則與圓弧相切，再利用折疊的性質(zhì)與勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵E點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，∴，由折疊可得：，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：過點(diǎn)F作于H，交于G，

∵矩形∴，∵∴∴，∴四邊形為矩形，∴，，由折疊可得，，∴，∴∴∴，設(shè)，，則，，∴解得：，∴，∴在中，由勾股定理，得在中，由勾股定理，得∴，在中，由勾股定理，得，∴∴點(diǎn)F在上，即B、F、D三點(diǎn)在同一直線上．（3）解：∵點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊，∴點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，為半徑的圓弧上，所以當(dāng)?shù)慕嵌茸畲髸r(shí)，則與圓弧相切，如圖，

∴，∴又由折疊可得，∴點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)在同一直線上，又由折疊可得，，在中，由勾股定理，得，設(shè)，則，在中，由勾股定理，得解得：，∴當(dāng)?shù)慕嵌茸畲髸r(shí)，線段的長為2．【點(diǎn)睛】本題考查矩形折疊問題，勾股定理，切線的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)校考一模）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖1，M是拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，若直線經(jīng)過外接圓的圓心，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)N是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接分別交、y軸于D、E兩點(diǎn)，若、的面積分別為，求的最大值；(4)點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：．（直接填空）【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）化為頂點(diǎn)式求得頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)求得點(diǎn)C坐標(biāo)，利用勾股定理的逆定理可判斷為直徑，設(shè)中點(diǎn)為F，求得直線的解析式，和二次函數(shù)聯(lián)立方程組求解即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）過N作軸于K，設(shè)，先利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，進(jìn)而求得，利用結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（4）作的外接圓H，作軸，連接，，，根據(jù)圓周角定理得到，當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)最大，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的函數(shù)解析式為；（2）解：∵∴，當(dāng)時(shí)，，則，∵，∴，則，∴是外接圓的直徑，設(shè)的中點(diǎn)F，則，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，由解得，，∴點(diǎn)P得橫坐標(biāo)為；

（3）解：如圖，過N作軸于K，

設(shè)，則，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值．（4）如圖所示，作的外接圓H，作軸，連接，，，

∴，∴當(dāng)最大時(shí)，最大∵∴當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)最大此時(shí)∴在中，∴根據(jù)對(duì)稱性，則存在綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用、三角形的外接圓性質(zhì)、圓周角定理、三角形的面積、解一元二次方程等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．16．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測）最佳視點(diǎn)如圖1，設(shè)墻壁上的展品最高處點(diǎn)P距底面a米，最低處的點(diǎn)Q距底面b米，站在何處觀賞最理想？所謂觀賞理想是指看展品的視角最大，問題轉(zhuǎn)化為在水平視線EF上求使視角最大的點(diǎn)．如圖2，當(dāng)過三點(diǎn)的圓與過點(diǎn)E的水平線相切于點(diǎn)E時(shí)，視角最大，站在此處觀賞最理想，小明同學(xué)想這是為什么呢？他在過點(diǎn)E的水平線上任取異于點(diǎn)E的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，連接，…

任務(wù)一：請(qǐng)按照小明的思路，說明在點(diǎn)E時(shí)視角最大；任務(wù)二：若，觀察者的眼睛距地面的距離為米，最大視角為，求觀察者應(yīng)該站在距離多遠(yuǎn)的地方最理想(結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù))．【答案】任務(wù)一：見解析；任務(wù)二：觀察者應(yīng)該站在距離0.87米的地方最理想【分析】任務(wù)一：見詳解作圖，由圓周角定理得，再由三角形外角定理得，所以，因此在點(diǎn)E時(shí)視角最大．任務(wù)二：由圓心角定理知，可證是等邊三角形，再由切線定理可證，從而可證，于是可證四邊形是平行四邊形，則，推得．最后解可求得的長．【詳解】任務(wù)一：過點(diǎn)E的水平線上任取異于點(diǎn)E的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，連接，∵是的外角，∴，又∵與都是弧所對(duì)的圓周角，∴，∴，∴在點(diǎn)E時(shí)視角最大．任務(wù)二：∵，∴，又∵，∴是等邊三角形，．如圖2，連接，

∵是的切線，∴，∵，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴．由題意得，(米)，在中，(米)．答：觀察者應(yīng)該站在距離米的地方最理想．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)與解直角三角形，涉及到圓周角定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、特殊角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練綜合運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)和定理．17．（2023·廣東深圳·深圳市高級(jí)中學(xué)?？级＃径x1】如圖1所示，像這樣頂點(diǎn)在圓外，兩邊和圓相交的角叫圓外角；【定義2】站在某一位置觀察測物體時(shí)，視線范圍所成的角度稱為視角，如圖2，在M和N點(diǎn)對(duì)矩形觀測，會(huì)有不同的視角．(1)【判斷】如圖3，連接，_____．（，，）(2)【問題解決】如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，，，直線，P為直線l上一點(diǎn)，連接，求的最大值．(3)【拓展應(yīng)用】學(xué)校計(jì)劃組織學(xué)生春游，一條北偏東走向的路上經(jīng)過紫色大廈時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)在觀察紫色大廈時(shí)的最大視角為，小明認(rèn)為，可以通過將公路和建筑物放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，可以計(jì)算出此時(shí)公路距離紫色大廈的最近距離的長度．請(qǐng)你協(xié)助小明完成計(jì)算，直接寫出答案．

【答案】(1)＜(2)的最大值為(3)【分析】（1）由圖可得，即可得到答案；（2）當(dāng)以為弦的圓，與直線l相切時(shí)．P即為切點(diǎn)時(shí)，最大，根據(jù)，即可求解；（3）當(dāng)以為弦的圓P與直線相切時(shí)，切點(diǎn)（H）處觀察紫色大廈的視角最大，令，根據(jù)條件可證為等腰直角三角形，從而求出邊長，同理可證為等腰直角三角形，從而求出，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴．（2）解：當(dāng)以為弦的圓，與直線l相切時(shí)．P即為切點(diǎn)時(shí)，最大．因?yàn)榇藭r(shí)只有點(diǎn)P在圓上，直線上的其它點(diǎn)都在圓外．如圖所示：

令直線l與x軸，y軸的交點(diǎn)記為E，F(xiàn)，因?yàn)橹本€，則，與x軸夾角是，將這個(gè)圓記為，令，則，即．又，．所以，解得，（舍去）．所以．在中，，所以，則．所以．即的最大值為．（3）解：令公路與x軸，y軸的交點(diǎn)記為E，F(xiàn)；與y軸交點(diǎn)為Q．如圖所示：

當(dāng)以為弦的圓P與直線相切時(shí)，切點(diǎn)（H）處觀察紫色大廈的視角最大．令，則．又，所以．則，所以為等腰直角三角形．所以，則．又為等腰直角三角形，所以．故．所以．過點(diǎn)作垂線，則垂線經(jīng)過點(diǎn)A，且垂線段的長為，所以最近距離的長為：．【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)應(yīng)用的綜合題，同時(shí)考查了圓的相關(guān)知識(shí)及解一元二次方程．18．（2023·廣東深圳·?？既＃締栴}發(fā)現(xiàn)】船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會(huì)遇到暗礁．如圖1，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，就是“危險(xiǎn)角”．當(dāng)船P位于安全區(qū)域時(shí)，它與兩個(gè)燈塔的夾角與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？

【解決問題】(1)數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識(shí)判斷與“危險(xiǎn)角”的大小關(guān)系，步驟如下：如圖2，與相交于點(diǎn)D，連接，由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知，∵是的外角，∴（填“＞”，“＝”或“＜”），∴（填“＞”，“＝”或“＜”）；【問題探究】(2)如圖3，已知線段與直線l，在直線l上取一點(diǎn)P，過A、B兩點(diǎn)，作使其與直線l相切，切點(diǎn)為P，不妨在直線上另外任取一點(diǎn)Q，連接，請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【問題拓展】(3)一位足球左前鋒球員在某場賽事中有一精彩進(jìn)球，如圖4，他在點(diǎn)P處接到球后，沿方向帶球跑動(dòng)，球門米，米，米，，．該球員在射門角度（）最大時(shí)射門，球員在上的何處射門？（求出此時(shí)的長度．）【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可；（2）設(shè)與交于點(diǎn)G，連接，根據(jù)圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)求解即可；（3）過點(diǎn)O作交于點(diǎn)H，延長交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，根據(jù)題意得到當(dāng)經(jīng)過A，B的與相切時(shí)，最大，然后利用解直角三角形和勾股定理求解即可．【詳解】（1）∵是的外角，∴，∴，故答案為：，；（2），理由如下：如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)G，連接，

∵，∴，∵是的外角，∴，∴；（3）如圖所示，由（2）可得，當(dāng)經(jīng)過A，B的與相切時(shí)，最大，

過點(diǎn)O作交于點(diǎn)H，延長交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，∴，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴設(shè)的半徑，∴，∴，∴在中，，∴，∴解得或（舍去），∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了最大張角問題，圓周角定理，解直角三角形，垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)