2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（浙教版）專題13 圓中的輔助線模型（原卷版）

專題13.圓中的輔助線模型在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問題就會(huì)迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本專題通過分析探索歸納八類圓中常見的輔助線的作法。模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，連接OA，OB，則∠A＝∠B．在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件。當(dāng)我們要解決有關(guān)角度、長(zhǎng)度問題時(shí)，通?？梢赃B接半徑構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及圓中的相關(guān)定理，還可連接圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角，解決角度或長(zhǎng)度的計(jì)算問題例1．（2023秋·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，在上，，，連接交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A．108° B．109° C．110° D．112°例2．（2023?宜興市期中）如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度數(shù)．例3．（2023?浙江一模）如圖，將大小不同的兩塊量角器的零度線對(duì)齊，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圓周上，設(shè)圖中兩圓周的交點(diǎn)為P，且點(diǎn)P在小量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為63°，那么點(diǎn)P在大量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為（只考慮小于90°的角）（）A．54° B．55° C．56° D．57°例4．（2023·重慶初三三模）如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H，已知tan∠CDB＝，BD＝10，則OH的長(zhǎng)度為（）A． B．1 C． D．模型2、遇弦作弦心距（解決有關(guān)弦長(zhǎng)的問題）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，過點(diǎn)OE⊥AB，則AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圓中，求弦長(zhǎng)、半徑或圓心到弦的距離時(shí)，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點(diǎn)的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系、弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。一般有弦中點(diǎn)、或證明弦相等或已知弦相等時(shí)，常作弦心距。例1．（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖是一個(gè)圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時(shí)，恰好與邊相切，則此餐盤的半徑等于cm．

例2．（2023·湖南九年級(jí)期中）如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕AB的長(zhǎng)為________．例3．（2023·黑龍江九年級(jí)期末）⊙的半徑為5cm，AB、CD是⊙的兩條弦，，，．則和之間的距離為_______．例4．（2023·成都市九年級(jí)期末）如圖是一種機(jī)械傳動(dòng)裝置示意圖，⊙O的半徑為50cm，點(diǎn)A固定在⊙O上，連桿AP定長(zhǎng)，點(diǎn)P隨著⊙O的轉(zhuǎn)動(dòng)在射線OP上運(yùn)動(dòng)．在一個(gè)停止?fàn)顟B(tài)時(shí)，AP與⊙O交于點(diǎn)B，測(cè)得AB＝60cm，PB＝70cm，此時(shí)OP長(zhǎng)為__________________．模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角）【模型解讀】如圖，已知A、B、P是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=∠AOB。例1．（2022·遼寧阜新·中考真題）如圖，，，是上的三點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．例2．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B，C，D在上，若，則的大小是．

例3．（2023秋·重慶·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一塊直角三角板的角的頂點(diǎn)落在上，兩邊分別交于、兩點(diǎn)，若的直徑為8，則弦長(zhǎng)為（

）A．8 B．4 C． D．例4．（2023·廣西初三一模）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ABC＝30°，AC＝6，則⊙O直徑為（）A．6 B．12 C．6 D．6模型4、遇直徑作直徑所對(duì)的圓周角（構(gòu)造直角三角形）【模型解讀】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=90o。如圖，當(dāng)圖形中含有直徑時(shí)，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是解問題的重要思路，在證明有關(guān)問題中注意90o的圓周角的構(gòu)造。例1．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是的直徑，C，D是上的兩點(diǎn)，若，則．

例2．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是⊙的直徑，，，，則⊙的半徑為（

）A． B． C． D．例3．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，弦交于點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C．1 D．2模型5、遇90°的圓周角連直徑【模型解讀】如圖，已知圓周角∠BAC=90o，連接BC，則BC是⊙O的直徑。遇到90°的圓周角時(shí)，常連接兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)，得到直徑。利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。例1．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測(cè)量，測(cè)得AB=12cm，BC=5cm，則圓形鏡面的半徑為．

例2．（2023·甘肅·中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知經(jīng)過原點(diǎn)，與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，與交于點(diǎn)，，則圓中陰影部分的面積為．例3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是矩形的外接圓，若，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）

模型6、遇切線連圓心和切點(diǎn)（構(gòu)造垂直）【模型解讀】如圖，已知直線AB連與圓O相切于點(diǎn)C，連接OC，則OC⊥AB。AABCO已知圓的切線時(shí)，常把切點(diǎn)與圓心連接起來，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題。例1．（2023·浙江·一模）如圖1，一個(gè)圓球放置在形架中，圖2是它的平面示意圖，和都是的切線，切點(diǎn)分別是，若的半徑為，且，則______．例2．（2023秋·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接，若，則的長(zhǎng)度為（）A． B． C．8 D．例3．（2023年湖北省武漢市數(shù)學(xué)真題）如圖，在四邊形中，，以為圓心，為半徑的弧恰好與相切，切點(diǎn)為．若，則的值是（

）

A． B． C． D．模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角）【模型解讀】證明直線AB是⊙O的切線.ABABCO遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)：（1）有點(diǎn)連圓心：當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想圓的切線的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證明該直徑與直線垂直。如圖，已知過圓上一點(diǎn)C的直線AB，連接OC，證明OC⊥AB，則直線AB是⊙O的切線．（2）無點(diǎn)作垂線：需證明的切線，條件中沒有告知與圓之間有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過點(diǎn)O作OC⊥AB，證明OC等于⊙O的半徑，則直線AB是⊙O的切線．例1．（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，如果圓上的點(diǎn)恰使，求證：直線與相切．

例2．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，的直徑為6．求證：直線是的切線．

例3．（2023年遼寧省盤錦市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，連接，過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F，交點(diǎn)于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作．交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：與相切．(2)若，，求的長(zhǎng)．

例4．（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．若．(1)求證：為的切線．(2)若，，求的半徑．

模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點(diǎn)（切點(diǎn)）當(dāng)遇到三角形內(nèi)切圓，連接內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)，或連接內(nèi)心到各邊切點(diǎn)（或做垂線）。利用內(nèi)心的性質(zhì)可得一內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是各角的平分線，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。例1．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．例2．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，于，為的內(nèi)切圓，設(shè)的半徑為，的長(zhǎng)為，則的值為（

）

A． B． C． D．例3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，C是的中點(diǎn)，D是上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）

A．70° B．55° C．40° D．27.5°2．（2023秋·江蘇蘇州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，直線切于點(diǎn)，、是上的點(diǎn)，且弦，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，弦于E，若，的半徑等于6，則弧的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．4．（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，AB=6,以點(diǎn)A為圓心與邊BC相切于點(diǎn)D，與AC、AB分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)G，點(diǎn)F是優(yōu)弧上一點(diǎn)，，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．5．（2023春·湖北黃石·九年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，和分別是的外切正三角形和內(nèi)接正三角形，若的面積為，則的面積為（

）

A． B． C． D．6．（2023春·安徽亳州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，木工用角尺的短邊緊靠于點(diǎn)A，長(zhǎng)邊與相切于點(diǎn)B，角尺的直角頂點(diǎn)為C，已知，，則的半徑為（

）

A．8 B．5 C．10 D．7．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的半徑為是圓外一點(diǎn)，，交于點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為（

）

A．4 B．6 C． D．88．（2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖：為的直徑，是的弦，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，已知，，則的大小是°．9．（2023秋·江蘇鹽城·九年級(jí)濱?？h第一初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，過A、C、D三點(diǎn)的圓的圓心為點(diǎn)E，過B、F、E三點(diǎn)的圓的圓心為D，如果，那么°．

10．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是的外接圓，，若點(diǎn)O到的距離為2，則BC的長(zhǎng)為．

11．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)校考自主招生）如圖，已知的兩條弦、分別與的同心圓交于點(diǎn)E、F、X、Y，，，，則的長(zhǎng)度為．

12．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的弦，點(diǎn)E為垂足，，，且則的半徑為．

13．（2023·江蘇·中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上．若，則度．

14．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）為了測(cè)量一個(gè)圓形光盤的半徑，小明把直尺、光盤和三角尺按圖所示放置于桌面上，并量出，則這張光盤的半徑是．（精確到．參考數(shù)據(jù)：）

15．（2021·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O的直徑AB＝4，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，Q為AP的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是．16．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)校考三模）如圖，在中，弦，D是一點(diǎn)，，則劣弧的長(zhǎng)為．

17．（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）如圖，在的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)，，，都在格點(diǎn)上，線段與弧交于點(diǎn)，則圖中弧的長(zhǎng)度為．

18．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，從一塊半徑為1米的圓形鐵皮圓O上剪出一個(gè)圓心角為90度的扇形，且點(diǎn)A、B、C都在圓上，則此時(shí)扇形的面積（保留）是平方米．19．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的弦與相交于點(diǎn)E，已知，，且。(1)如圖1，若過圓心O，求的半徑；(2)如圖2，若，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的半徑

20．（2023秋·江蘇鹽城·九年級(jí)景山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，是的弦，以為直徑的與相交于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．

21．（2022春·湖北武漢