山東省臨沂市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

臨沂市2021級普通高中學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷的指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.向量，若，則（）A. B. C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】由，可得以，再根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】因，，所以，即，解得.故選：D.2.設(shè)，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】直接求導(dǎo)得到，然后代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，所以故選:C3.已知圓，則圓心及半徑分別為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得圓心和半徑.【詳解】圓，即，所以圓心為，半徑為.故選：A4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.54 B.27 C.18 D.9【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】，.故選：B.5.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)椋影毒€所在直線方程為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短路程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得關(guān)于直線對稱點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，圓的圓心為，半徑，所以“將軍飲馬”的最短路程為.故選：D6.已知空間中三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離的向量坐標(biāo)公式計算即可求解．【詳解】因?yàn)?，所以，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.7.設(shè)直線的方程為，則的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求得直線斜率的取值范圍，進(jìn)而求得的傾斜角的取值范圍.【詳解】直線的斜率，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：A8.已知一個圓柱形空杯，其底面直徑為，高為，現(xiàn)向杯中注入溶液，已知注入溶液的體積（單位：）關(guān)于時間（單位：）的函數(shù)為，不考慮注液過程中溶液的流失，則當(dāng)時杯中溶液上升高度的瞬時變化率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求得杯中溶液上升高度，求導(dǎo)，再令即可得解.【詳解】由題意杯子的底面面積，則杯中溶液上升高度，則，當(dāng)時，，即當(dāng)時杯中溶液上升高度的瞬時變化率為.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知雙曲線，則（）A.實(shí)軸長為1 B.虛軸長為2C.離心率 D.漸近線方程為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解.【詳解】由可知，，故實(shí)軸長為，虛軸長為，離心率，漸近線方程為，即.故選：BCD10.空間中三點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.B.C.點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為D.與夾角的余弦值是【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)向量的模判斷A，由向量的數(shù)量積判斷B，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于面的對稱判斷C，由向量夾角的余弦公式判斷D.【詳解】，，故A正確；，，，故B正確；由點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為，故C錯誤；因?yàn)?，所以D錯誤.故選：AB11.下列四個命題正確的是（）A.直線的一個方向向量是B.設(shè)直線過點(diǎn)，則這條直線的方程可以寫成C.直線與圓相交D.圓與圓恰有三條公切線【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量、直線方程、直線和圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，直線的斜率是，所以一個方向向量是，A選項(xiàng)錯誤.B選項(xiàng)，直線過點(diǎn)，則，所以直線方程可化為，即，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑為，到直線的距離，所以直線與圓相交，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，圓心距，所以兩圓外切，所以圓與圓恰有三條公切線，D選項(xiàng)正確.故選：BCD12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，則（）A.若，則B.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為4C.D.若直線過點(diǎn)且與拋物線有且僅有一個公共點(diǎn)，則滿足條件的直線有2條【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)拋物線的弦長、定義、直線和拋物線的位置關(guān)系等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】拋物線方程為，所以，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程.A選項(xiàng)，若，則，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，點(diǎn)在拋物線內(nèi)，根據(jù)拋物線的定義可知的最小值是到準(zhǔn)線的距離，即最小值是，所以B選項(xiàng)錯誤.C選項(xiàng)，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，所以，則，所以，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，直線和直線都過，且與拋物線有一個公共點(diǎn)，當(dāng)過的直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，由消去并化簡得，由，解得，所以直線與拋物線有一個公共點(diǎn)，所以滿足條件的直線有條，D選項(xiàng)錯誤.故選：AC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解直線和拋物線位置關(guān)系有關(guān)問題，可設(shè)出直線的方程，然后將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，化簡后寫出根與系數(shù)關(guān)系、判別式等等，再結(jié)合拋物線的定義來對問題進(jìn)行求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的三個頂點(diǎn)分別是，則其外接圓的方程為__________.【答案】【解析】【分析】求得圓心和半徑，進(jìn)而求得圓的方程.【詳解】由于，所以是外接圓的直徑，所以圓心為，半徑為，所以外接圓的方程為.故答案為：14.已知直線與平行，則__________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行可得，注意檢驗(yàn)兩直線是否重合.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，解得或，當(dāng)時，直線，，符合題意，當(dāng)時，，，符合題意，所以或.故答案為：或.15.《孫子算經(jīng)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆.問:五人各得幾何?”其意思為“有5個人分60個橘子，他們分得的橘子數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，問5人各得多少橘子.”這個問題中，得到橘子最少的人所得的橘子個數(shù)是__________．【答案】6【解析】【詳解】設(shè)等差數(shù)列,首項(xiàng),公差為,則,解得,即得到橘子最少的人所得的橘子個數(shù)是6,故填6.16.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的右支交于兩點(diǎn)，若，且，則的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，由題意可得，，由雙曲線的定義可得，，，，再根據(jù)，得，在和中利用余弦定理表示出兩個角的余弦值，即可求出的關(guān)系，從而可得雙曲線C的離心率.【詳解】如圖：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由，得，所以，在中，，因?yàn)?，所以，在中，，因?yàn)?，所以，即，整理可得，解得或（舍），所以離心率，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于根據(jù)，得，結(jié)合余弦定理構(gòu)造的齊次式，即可得解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓的圓心為，且與軸相切.（1）求的方程；（2）設(shè)直線與交于兩點(diǎn)，從條件①；②中選擇一個作為已知，求的值.注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求得圓的半徑，即可得解；（2）選①，利用余弦定理求得，從而可得圓心到直線的距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得解.選②，利用圓的弦長公式求得圓心到直線的距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得解.【小問1詳解】因?yàn)閳A的圓心為，且與軸相切，所以圓的的半徑，所以圓的方程為；小問2詳解】選①，因?yàn)椋?，所以圓心到直線的距離，即，解得.選②，因?yàn)椋詧A心到直線的距離，即，解得.18.已知函數(shù)滿足.（1）求在處的導(dǎo)數(shù)；（2）求的圖象在點(diǎn)處的切線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，再令即可得出答案；（2）由（1）求得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【小問1詳解】由，得，則，所以；【小問2詳解】由（1）得，則，所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式及.【答案】（1）證明詳見解析（2），【解析】【分析】（1）利用湊配法，結(jié)合等比數(shù)列的定義證得數(shù)列為等比數(shù)列.（2）由（1）求得，利用分組求和法求得.【小問1詳解】依題意，，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）得，所以，所以.20.如圖，在三棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，.（1）證明：平面平面；（2）若，則在棱上是否存在動點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明詳見解析（2）存在，且是線段上，靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).【解析】【分析】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，通過證明平面來證得平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，根據(jù)平面與平面的夾角求得點(diǎn)的位置.【小問1詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接，則，由于，所以，由于三角形是等邊三角形，所以，由于，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）可知平面平面，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，則，所以，，設(shè)，平面的一個法向量是，，設(shè)平面的一個法向量是，則，故可設(shè)，若平面與平面的夾角為，則，即，解得（負(fù)根舍去），則，，所以是線段上，靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).21.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求解即可；（2）利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，分離參數(shù)可得，再利用基本不等式求出的最大值即可.【小問1詳解】由，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，兩式相減得，即，又因，所以，所以數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是以為公差的等差數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)偶數(shù)時，，綜上可得；【小問2詳解】，所以，因?yàn)閷θ我夂愠闪ⅲ詫θ我夂愠闪?，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以，所以.22.動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù).（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線過點(diǎn)且與曲線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.