北師大版八年級數(shù)學上冊專題4.9一次函數(shù)章末八大題型總結(拔尖篇)同步練習(學生版+解析)

專題4.9一次函數(shù)章末八大題型總結（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)情景確定函數(shù)圖象】 1【題型2一次函數(shù)與三角形的面積綜合】 3【題型3一次函數(shù)與全等三角形】 4【題型4一次函數(shù)與等腰三角形】 6【題型5一次函數(shù)與等腰直角三角形】 8【題型6一次函數(shù)與動點最值問題】 10【題型7一次函數(shù)的圖象的應用】 12【題型8一次函數(shù)的實際應用】 14【題型1根據(jù)情景確定函數(shù)圖象】【例1】（2023春·安徽宿州·八年級校考期中）如圖所示，有一個容器水平放置，往此容器內(nèi)注水，注滿為止．若用h（單位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（單位：cm3）表示注入容器內(nèi)的水量，則表示V與h的函數(shù)關系的圖象大致是（

）

B．

C．

D．

【變式1-1】（2023·廣西南寧·八年級?？计谥校┠虾淼朗悄蠈幨薪ǔ傻氖讞l水底隧道．一輛小汽車勻速通過南湖隧道，小汽車車身在隧道內(nèi)的長度記為y米，小汽車進入隧道的時間記為t秒，則y與t之間的關系用圖象描述大致是（

）

B．

C．

D．

【變式1-2】（2023·北京懷柔·八年級?？计谥校┬←愒缟蠌募页霭l(fā)騎車去上學，途中想起忘了帶昨天晚上完成的數(shù)學作業(yè)，于是打電話讓媽媽馬上從家里送來，同時小麗也往回騎，遇到媽媽后停下說了幾句話，接著繼續(xù)騎車去學校．設小麗從家出發(fā)后所用時間為t，小麗與學校的距離為S．下面能反映S與t的函數(shù)關系的大致圖象是（

）．A．A B．B C．C D．D【變式1-3】（2023春·北京東城·八年級北京市第二中學分校校考期末）如圖所示，一個實心鐵球靜止在長方體水槽的底部，現(xiàn)向水槽勻速注水，下列圖像中能大致反映水槽中水的深度y與注水時間x關系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【題型2一次函數(shù)與三角形的面積綜合】【例2】（2023春·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是平行四邊形，四邊形ODEC為正方形，點C的坐標是(0,2)，點A的坐標是(2,1)，若直線l把?OABC與正方形ODEC組成的圖形分成面積相等的兩部分，則直線l的解析式是(

)

A．y=14x+54 B．y=1【變式2-1】（2023春·廣東江門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，過點A(?2,0)的直線l1:y=kx+b與直線l2

(1)求直線l1(2)求四邊形PAOC的面積．【變式2-2】（2023春·山東濟南·八年級?？计谥校┤鐖D1所示，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD=6cm，BC=8cm，點E是BC上的一個動點，由點B向點

(1)由圖2知，點E運動的時間為s，速度為cm/s，點E停止運動時距離點Ccm．(2)求在點E的運動過程中，△ABE的面積y(cm2)與運動時間x((3)求點E停止運動后，求△ABE的面積．【變式2-3】（2023春·山西大同·八年級大同市第三中學校校考期末）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點A的橫坐標為a，點A的縱坐標為b，且實數(shù)a，b滿足a+42

(1)如圖1，求點A的坐標；(2)如圖2，過點A作x軸的垂線，點B為垂足．若將點A向右平移10個單位長度，再向下平移8個單位長度可以得到對應點C，連接CA，CB，請直接寫出點B，C的坐標并求出三角形ABC的面積．(3)在（2）的條件下，記AC與x軸交點為點D，點P在y軸上，連接PB，PD，若三角形PBD的面積與三角形ABC的面積相等，直接寫出點P的坐標．【題型3一次函數(shù)與全等三角形】【例3】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，直線l1：y=?2x+6與過點B(0，3)的直線l2交于點C(1，m)，且直線l1與x

(1)求直線l2(2)若點M是直線l2上的點，過點M作MN⊥y軸于點N，要使以O、M、N為頂點的三角形與△AOD全等，求所有滿足條件的點M【變式3-1】（2023春·河北保定·八年級校聯(lián)考期中）已知：如圖點A(6，8)在正比例函數(shù)圖象上，點B坐標為(12,0)，連接AB，AO=AB=10，點C是線段AB的中點，點P在線段BO上以每秒2個單位的速度由點B向點O運動，點Q在線段AO上由點A向點O運動，P、Q兩點同時運動，同時停止，運動時間為t秒．（1）正比例函數(shù)的關系式為；（2）當t=1秒，且SΔOPQ=6時，求點（3）連接CP，在點P、Q運動過程中，ΔOPQ與ΔBPC是否全等？如果全等，請求出點Q的運動速度；如果不全等，請說明理由．【變式3-2】（2023春·遼寧阜新·八年級?？计谀┤鐖D，一次函數(shù)y=﹣x+4的圖象與y軸交于點A，與x軸交于點B，過AB中點D的直線CD交x軸于點C，且經(jīng)過第一象限的點E（6，4）．（1）求A，B兩點的坐標及直線CD的函數(shù)表達式；（2）連接BE，求△DBE的面積；（3）連接DO，在坐標平面內(nèi)找一點F，使得以點C，O，F(xiàn)為頂點的三角形與△COD全等，請直接寫出點F的坐標．【變式3-3】（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）若直線ymx8和ynx3都經(jīng)過x軸上一點B，與y軸分別交于A、C．（1）寫出A、C兩點的坐標，A，C____；（2）若BC平分∠ABO，求直線AB和CB的解析式；（3）點D是y軸上一個動點，是否存在AB上的動點E，使得△ADE與△AOB全等，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

【題型4一次函數(shù)與等腰三角形】【例4】（2023春·山西臨汾·八年級校聯(lián)考期中）已知正比例函數(shù)y=43x與一次函數(shù)y=3x?5的圖象交于點A（1）求A點坐標；（2）求△AOB的面積；（3）已知在x軸上存在一點P，能使△AOP是等腰三角形，請直接寫出所有符合要求的點P的坐標．【變式4-1】（2023春·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期中）等腰三角形中，周長為20cm，設底邊為x，腰長為y．

(1)求y與x之間的函數(shù)關系式；(2)求自變量x的取值范圍；(3)在平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象．【變式4-2】（2023春·江蘇鹽城·八年級校考期末）如圖是8×8的正方形網(wǎng)格，每個小方格都是邊長為1的正方形，A、B是格點（網(wǎng)格線的交點）．以網(wǎng)格線所在直線為坐標軸，在網(wǎng)格中建立平面直角坐標系xOy，使點A坐標為（－2，4）．(1)在網(wǎng)格中，畫出這個平面直角坐標系；(2)在第二象限內(nèi)的格點上找到一點C，使A、B、C三點組成以AB為底邊的等腰三角形，且腰長是無理數(shù)，則點C的坐標是______；(3)點D為x軸上一動點，當△ABD的周長最小時，點D的坐標為_________．【變式4-3】（2023春·山東青島·八年級?？计谥校┤鐖D，直線l1：y1=-x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點P(m，3)為直線l?1上一點，另一直線l2：y2=12x+b過點P（1）求點P坐標和b的值；（2）若點C是直線l2與x軸的交點，動點Q從點C開始以每秒1個單位的速度向x軸正方向移動至A，設點Q的運動時間為t秒．①請寫出當點Q在運動過程中，△APQ的面積S與t的函數(shù)關系式；②是否存在t的值，使△APQ面積為△APC的一半？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．③是否存在t的值，使△APQ為以AQ為底的等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【題型5一次函數(shù)與等腰直角三角形】【例5】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，已知直線y＝﹣2x+2與y軸、x軸分別交于A、B兩點，以B為直角頂點在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC．（1）A（）；B（）；（2）求BC所在直線的函數(shù)關系式；（3）如圖2，直線BC交y軸于點D，在直線BC上取一點E，使AE＝AC，AE與x軸相交于點F．①求證：BD＝ED；②在直線AE上是否存在一點P，使△ABP的面積等于△ABD的面積？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．【變式5-1】（2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等腰Rt△AOB在平面直角坐標系xOy上，∠B=90°,?OA=4．點C從原點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向運動，過點C作直線l⊥OA，直線l與射線OB（1）點B的坐標為____________；（2）點C的運動時間是t秒．①當2?t?4時，△AOB在直線l右側部分的圖形的面積為S，求S（用含t的式子表示）；②當t>0時，點M在直線l上且△ABM是以AB為底的等腰三角形，若CN=32CM【變式5-2】（2023春·廣東茂名·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系第一象限內(nèi)，直線y=x與y=2x的交角內(nèi)部作等腰Rt△ABC，使∠ABC=90°，邊BC//x軸，AB//y軸，點A1,1在直線y=x上，點C在直線y=2x上，CB的延長線交直線y=x于點A1，作等腰Rt△A1B1C1，使【變式5-3】（2023春·天津和平·八年級天津市第五十五中學?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx+8分別交x軸，y軸于A、B兩點，已知A點坐標(6,0)，點C在直線AB上，橫坐標為3，點D是x軸正半軸上的一個動點，連接CD，以CD為直角邊在右側構造一個等腰Rt△CDE，且∠CDE=90°(1)求直線AB的解析式以及C點坐標；(2)設點D的橫坐標為m，試用含m的代數(shù)式表示點E的坐標；(3)如圖2，連接OC，OE，請直接寫出使得△OCE周長最小時，點E的坐標．【題型6一次函數(shù)與動點最值問題】【例6】（2023春·四川成都·八年級成都實外?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，對任意兩點A(x1，y1)與B(x若|x1?x2|≥|y1?y2|，則點若|x1?x2|<|y1?y2|，則點如圖，已知點C(12,?1)，點D是直線l:y=34x?3圖象上一個動點，則點C與點D的“YY距離”的最小值是

【變式6-1】（2023春·四川內(nèi)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，已知點C（2，0），直線y=?x+6與兩坐標軸分別交于A、B兩點，D、E分別是AB、OA上的動點，當ΔCDE的周長取最小值時，點D的坐標為（

）A．（2，1） B．（3，2） C．（73，2） D．（103，【變式6-2】（2023春·四川成都·八年級校考期中）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B0,2，與正比例函數(shù)y=32（1）求k和b的值．（2）如圖1，點P是y軸上一個動點，當PA?PC最大時，求點P的坐標．（3）如圖2，設動點D，E都在x軸上運動，且DE=2，分別連結BD，CE，當四邊形BDEC的周長取最小值時直接寫出點D和E的坐標．【變式6-3】（2023春·河北衡水·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，直線l1：y=2x+8與坐標軸分別交于A，B兩點，點C在x正半軸上，且OA=OC．點P為線段AC（不含端點）上一動點，將線段OP繞點O逆時針旋轉90°，得線段OQ（見圖2）（1）分別求出點B、點C的坐標；（2）如圖2，連接AQ，求證：∠OAQ=45°；（3）如圖2，連接BQ，試求出當線段BQ取得最小值時點Q的坐標．【題型7一次函數(shù)的圖象的應用】【例7】（2023春·重慶·八年級重慶市求精中學校校考期中）在一次趣味運動會中，“搶種搶收”的比賽規(guī)則如下：全程50米的直線跑道，在起點和終點之間，每隔10米放置一個小桶，共四個，參賽者用手托著放有4個乒乓球的盤子，在從起點跑到終點的過程中，將四個乒乓球依次放入4個小桶中（放入時間忽略不計），如果中途乒乓球掉出小桶，則需要返回將乒乓球放回桶中，率先到達終點者獲勝．小明和小亮同時從起點出發(fā)，以各自的速度勻速跑步前進，小明在放入第二個乒乓球后，乒乓球跳出了小桶，落在了第二個桶的旁邊，且落地后不再移動，但他并未發(fā)現(xiàn)，繼續(xù)向前跑了一段距離，被裁判員提醒后立即原速返回撿球，并迅速放回桶中（撿球時間忽略不計），為了趕超小亮，小明將速度提高了1米/秒，小明和小亮之間的距離y（米）和出發(fā)時間x（秒）之間的函數(shù)關系如圖所示，則小明在掉出乒乓球后又繼續(xù)跑了米后開始返回．【變式7-1】（2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一束光線從點O射出，照在經(jīng)過A(?2,0)、B(0,2)的鏡面上的點D，經(jīng)AB反射后，反射光線又照到豎立在y軸位置的鏡面，經(jīng)y軸反射后的光線恰好通過點A，則光線OD所在直線的函數(shù)表達式為．

【變式7-2】（2023春·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一三四中學?？计谀┯幸豢萍夹〗M進行了機器人行走性能試驗．在試驗場地有A、B、C三點順次在同一筆直的賽道上，甲、乙兩機器人分別從A、B兩點同時同向出發(fā)，歷時7分鐘同時到達C點，乙機器人始終以60米/分鐘的速度行走，如圖是甲、乙兩機器人之間的距離y（米）與他們的行走時間x（分鐘）之間的函數(shù)圖像，請結合圖像，回答下列問題：(1)A、B兩點之間的距離是______米，甲機器人前2分鐘的速度為______米/分；(2)已知線段FG∥x軸，前3分鐘甲機器人的速度不變．①在3~4分鐘的這段時間，甲機器人的速度為______米/分，F(xiàn)的坐標是______；②在整個運動過程中，兩機器人相距30m時x的值______．【變式7-3】（2023春·河北衡水·八年級?？计谥校┘?、乙兩人從相距4千米的兩地同時、同向出發(fā)，乙每小時走4千米，小狗隨甲一起同向出發(fā)，小狗追上乙的時候它就往甲這邊跑，遇到甲時又往乙這邊跑，遇到乙的時候再往甲這邊跑…就這樣一直勻速跑下去．如圖，折線A?B?C，A?D?E分別表示甲、小狗在行進過程中，離乙的路程ykm與甲行進時間x(h

(1)求AB所在直線的函數(shù)解析式；(2)小狗的速度為______km/h；求點E的坐標；(3)小狗從出發(fā)到它折返后第一次與甲相遇的過程中，求x為何值時，它離乙的路程與離甲的路程相等？【題型8一次函數(shù)的實際應用】【例8】（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）倡導垃圾分類，共享綠色生活，為了對回收的垃圾進行更精準的分類，某機器人公司研發(fā)出A型和B型兩款垃圾分揀機器人，已知2臺A型機器人和5臺B型機器人同時工作2h共分揀垃圾3.6噸，3臺A型機器人和2臺B型機器人同時工作5(1)1臺A型機器人和1臺B型機器人每小時各分揀垃圾多少噸？專題4.9一次函數(shù)章末八大題型總結（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)情景確定函數(shù)圖象】 1【題型2一次函數(shù)與三角形的面積綜合】 4【題型3一次函數(shù)與全等三角形】 10【題型4一次函數(shù)與等腰三角形】 18【題型5一次函數(shù)與等腰直角三角形】 24【題型6一次函數(shù)與動點最值問題】 35【題型7一次函數(shù)的圖象的應用】 42【題型8一次函數(shù)的實際應用】 47【題型1根據(jù)情景確定函數(shù)圖象】【例1】（2023春·安徽宿州·八年級?？计谥校┤鐖D所示，有一個容器水平放置，往此容器內(nèi)注水，注滿為止．若用h（單位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（單位：cm3）表示注入容器內(nèi)的水量，則表示V與h的函數(shù)關系的圖象大致是（

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)容器的形狀可知當液面高度越高時，體積的變化越小，即隨著【詳解】由題圖知，隨高度的增加上底面越來越小，故V與h函數(shù)圖象不會出現(xiàn)直線，排除C，D選項，隨著高度的增加h越大體積變化越緩慢，故排除A選項．【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，根據(jù)容器的形狀以及題意判斷函數(shù)圖象先陡，后緩是解題的關鍵．【變式1-1】（2023·廣西南寧·八年級?？计谥校┠虾淼朗悄蠈幨薪ǔ傻氖讞l水底隧道．一輛小汽車勻速通過南湖隧道，小汽車車身在隧道內(nèi)的長度記為y米，小汽車進入隧道的時間記為t秒，則y與t之間的關系用圖象描述大致是（

）

B．

C．

D．

【答案】D【分析】火車通過隧道分為3個過程：逐漸進入隧道，完全進入隧道并在其中行駛，逐漸出隧道，進而求解即可．【詳解】火車在逐漸進入隧道的過程中，火車在隧道內(nèi)的長度逐漸增加；火車完全進入隧道后，還在隧道內(nèi)行駛一段時間，因此在隧道內(nèi)的長度是火車長，且保持一段時間不變；火車在逐漸出隧道的過程中，火車在隧道內(nèi)的長度逐漸減少；符合上述分析過程的為：D．故選：D．【點睛】本題考查函數(shù)圖像在生活中的應用，解題關鍵是分析事件變化的過程，并能夠匹配對應函數(shù)圖像變化【變式1-2】（2023·北京懷柔·八年級校考期中）小麗早上從家出發(fā)騎車去上學，途中想起忘了帶昨天晚上完成的數(shù)學作業(yè)，于是打電話讓媽媽馬上從家里送來，同時小麗也往回騎，遇到媽媽后停下說了幾句話，接著繼續(xù)騎車去學校．設小麗從家出發(fā)后所用時間為t，小麗與學校的距離為S．下面能反映S與t的函數(shù)關系的大致圖象是（

）．A．A B．B C．C D．D【答案】B【詳解】試題分析：小麗從家出發(fā)時離學校最遠，隨著時間的推移離學校越來越近，往回騎后，離學校又開始變遠，遇到媽媽后停下說了幾句話，離學校的距離沒變，即圖象與橫軸平行，接著繼續(xù)騎車去學校，會離學校越來越近，最后到達學校時，距離變?yōu)闉?，據(jù)此觀察圖象，只有B符號條件．故選B．考點：函數(shù)圖象．【變式1-3】（2023春·北京東城·八年級北京市第二中學分校校考期末）如圖所示，一個實心鐵球靜止在長方體水槽的底部，現(xiàn)向水槽勻速注水，下列圖像中能大致反映水槽中水的深度y與注水時間x關系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)題意可分兩段進行分析：當水的深度未超過球頂時；當水的深度超過球頂時，分別分析出水槽中裝水部分的寬度變化情況，進而判斷出水的深度變化快慢，以此得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：當水的深度未超過球頂時，水槽中能裝水的部分的寬度由下到上，由寬逐漸變窄，再變寬，所以在勻速注水過程中，水的深度變化從上升較慢變?yōu)檩^快，再變?yōu)檩^慢，當水的深度超過球頂時，水槽中能裝水的部分寬度不再變化，所以在勻速注水過程中，水的深度的上升速度不會發(fā)生變化，綜上所述，水的深度先上升較慢，再變快，然后變慢，最后勻速上升，【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖像，利用分類討論思想，根據(jù)不同時間段能裝水部分的寬度的變化情況分析水的深度變化情況是解題的關鍵．【題型2一次函數(shù)與三角形的面積綜合】【例2】（2023春·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是平行四邊形，四邊形ODEC為正方形，點C的坐標是(0,2)，點A的坐標是(2,1)，若直線l把?OABC與正方形ODEC組成的圖形分成面積相等的兩部分，則直線l的解析式是(

)

A．y=14x+54 B．y=1【答案】D【分析】由于正方形與平行四邊形均為中心對稱圖形，故過正方形與平行四邊形的對稱中心點的直線總可以把各自分成面積相等的兩部分，則可以把正方形與平行四邊形的組合圖形分成面積相等的兩部分的直線，必然是過兩個對稱中心點的連線．先求得正方形與平行四邊形的中心點M、N的坐標，然后用待定系數(shù)法可以求得直線l的解析式．【詳解】設平行四邊形OABC與正方形ODEC的中心為點M、N，則直線MN就是可以將正方形與平行四邊形組成的圖形分成面積相等的兩部分的直線l．(如圖)

∵點C的坐標為0,2，∴OC=2．又∵四邊形ODEC為正方形，∴OD=2，∴點N的坐標為?1,1．由平行四邊形OABC的對邊相等知，AB=OC=2，又已知點A的縱坐標為1，所以點B的縱坐標為3．點B的坐標為2,3，因此點M的坐標為1,3設直線l的解析式為y=kx+b，將N?1,1、M1,31=?k+b32=k+b∴直線l的解析式為y=1【點睛】本題考查了正方形與平行四邊形的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點，解題的關鍵是知曉直線l必經(jīng)過正方形與平行四邊形的對稱中心點．【變式2-1】（2023春·廣東江門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，過點A(?2,0)的直線l1:y=kx+b與直線l2

(1)求直線l1(2)求四邊形PAOC的面積．【答案】(1)y=2x+4(2)5【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）先求得點B，C的坐標，根據(jù)S四邊形【詳解】（1）解：把P(?1,a)代入y=?x+1得a=2，則P點坐標為(?1,2)；把A(?2,0)，P(?1,2)代入y=kx+b得：0=?2k+b2=?k+b解得k=2b=4所以直線l1的表達式為：y=2x+4（2）∵y=?x+1交x軸于B，交y軸于C，∴B(1,0)，C(0,1)，∴四邊形PAOC的面積S四邊形PAOC=S△PAB?S【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象與坐標軸交點問題，三角形面積問題，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【變式2-2】（2023春·山東濟南·八年級校考期中）如圖1所示，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD=6cm，BC=8cm，點E是BC上的一個動點，由點B向點

(1)由圖2知，點E運動的時間為s，速度為cm/s，點E停止運動時距離點Ccm．(2)求在點E的運動過程中，△ABE的面積y(cm2)與運動時間x((3)求點E停止運動后，求△ABE的面積．【答案】(1)2，3，2；(2)y=9x(3)18【分析】（1）根據(jù)圖象解答即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；（3）根據(jù)三角形的面積公式，可得答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意和圖象，可得E點運動的時間為2s，速度為3當點E停止運動時，BE=2×3=6(cm)，此時距離點故答案為：2，3，2；（2）解：根據(jù)題意得y=1即y=9x，故答案為：y=9x；（3）解：當點E停止運動后，BD=3×2=6(cm所以△ABE的面積為12【點睛】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，涉及求函數(shù)解析式，求函數(shù)值問題，能讀懂函數(shù)圖象是解決問題的關鍵．【變式2-3】（2023春·山西大同·八年級大同市第三中學校校考期末）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點A的橫坐標為a，點A的縱坐標為b，且實數(shù)a，b滿足a+42

(1)如圖1，求點A的坐標；(2)如圖2，過點A作x軸的垂線，點B為垂足．若將點A向右平移10個單位長度，再向下平移8個單位長度可以得到對應點C，連接CA，CB，請直接寫出點B，C的坐標并求出三角形ABC的面積．(3)在（2）的條件下，記AC與x軸交點為點D，點P在y軸上，連接PB，PD，若三角形PBD的面積與三角形ABC的面積相等，直接寫出點P的坐標．【答案】(1)(?4(2)30(3)0,?8【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求得a、b的值，即可確定點A的坐標；（2）根據(jù)“過點A作x軸的垂線，點B為垂足”可得點B的坐標；由平移的性質(zhì)可得點C的坐標；結合圖形，利用三角形面積公式即可計算三角形ABC的面積；（3）設直線AC交y軸于點D，直線AC的解析式為y=kx+b，由待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，即可確定點D的坐標；設點P(0,m)，根據(jù)題意可得【詳解】（1）∵實數(shù)a，b滿足a+42且a+42≥0，∴a+4=0，b?6=0，∴a=?4，b=6，∴點A的坐標為(?4,（2）過點A作x軸的垂線，點B為垂足，∴B(?4,若將點A向右平移10個單位長度，再向下平移8個單位長度可以得到對應點C，則點C坐標為(?4+10,6?8)，即AB=|y∴S△ABC即三角形ABC的面積為30；（3）如圖，設直線AC的解析式為y=kx+b，

將點A(?4，6)，點C(6,?2)代入可得?4k+b=66k+b=?2解得k=?4∴直線AC的解析式為y=?4令y=0，則x=7∴點D7∴BD=設點P(0，∵三角形PBD的面積與三角形ABC的面積相等，∴S△PBD即12∴|m|=8，解得m=8或m=?8，∴點P的坐標為0,?8或【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)、坐標與圖形、點的平移、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識，理解題意，利用數(shù)形結合的思想分析問題是解題關鍵．【題型3一次函數(shù)與全等三角形】【例3】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，直線l1：y=?2x+6與過點B(0，3)的直線l2交于點C(1，m)，且直線l1與x

(1)求直線l2(2)若點M是直線l2上的點，過點M作MN⊥y軸于點N，要使以O、M、N為頂點的三角形與△AOD全等，求所有滿足條件的點M【答案】(1)y=x+3(2)點M的坐標為(3，6)【分析】（1）將點C(1，m)代入直線l1：y=?2x+6可得m=?2×1+6=4（2）分兩種情況：①當△OMN?△DAO時；②當△MNO?△DOA時，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】（1）解：因為直線l1：y=?2x+6與直線l2交于點所以m=?2×1+6=4，所以C(1，又因為l2過點B(0故設直線l2的函數(shù)表達式為y=?x+3將C(1，4)代入，得解得?=1，所以直線l2的函數(shù)表達式為y=x+3（2）因為直線l1：y=?2x+6與x軸交于點A，與y軸交于點D所以A(3，因為MN⊥y軸于點N，所以MN⊥ON，所以以O、M、N為頂點的三角形與△AOD全等，分兩種情況：

①如圖，當△OMN?△DAO時，MN=AO=3，因為直線l2的函數(shù)表達式為y=x+3當x=3時，y=3+3=6，所以點M的坐標為(3,6)；②如圖，當△MNO?△DOA時，MN=OD=6，因為直線l2的函數(shù)表達式為y=x+3當x=?6時，y=?6+3=?3，所以點M的坐標為(?6,?3)．綜上所述，滿足條件的點M的坐標為(3,6)或(?6,?3)．【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握一次函數(shù)和全等三角形的性質(zhì)是解本題的關鍵．【變式3-1】（2023春·河北保定·八年級校聯(lián)考期中）已知：如圖點A(6，8)在正比例函數(shù)圖象上，點B坐標為(12,0)，連接AB，AO=AB=10，點C是線段AB的中點，點P在線段BO上以每秒2個單位的速度由點B向點O運動，點Q在線段AO上由點A向點O運動，P、Q兩點同時運動，同時停止，運動時間為t秒．（1）正比例函數(shù)的關系式為；（2）當t=1秒，且SΔOPQ=6時，求點（3）連接CP，在點P、Q運動過程中，ΔOPQ與ΔBPC是否全等？如果全等，請求出點Q的運動速度；如果不全等，請說明理由．【答案】（1）y=43x；（2）Q(910,65)；（3）當點Q【分析】（1）設正比例函數(shù)的解析式為y=kx，然后將點A的坐標代入求解即可；（2）過點Q作QH⊥x軸于點H，由t=1，可知BP=2，從而可求得OP=10，然后根據(jù)三角形的面積公式可求出QH的長，又點Q在正比例函數(shù)圖象上，從而可得出點Q的坐標；（3）由OA=AB=10得到∠QOP=∠CBP，由△OPQ與△BPC全等可知：OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB，再分別求出AQ的長，從而可求得點Q的運動速度．【詳解】解：（1）設正比例函數(shù)的解析式為y=kx，把A（6，8）代入得：8=6k．解得：k=43故答案為：y=43（2）當t=1時，BP=2，OP=10．如圖，過點Q作QH⊥x軸于點H，∵S△OPQ=12OP?QH=6，∴QH=6把Q（x，65）代入y=43x中，得x=∴點Q的坐標為（910，6（3）∵AO=AB=10，點C是線段AB的中點，∴BC=5，∠QOP=∠CBP．若△OPQ與△BPC全等，則有OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB．設Q點的運動速度為v個單位/秒，①OP=BC=5，OQ=BP時，∵OP=5，∴12-2t=5．解得t=72∴OQ=BP=2×72∴AQ=10-7=3．∴72v=3，解得v=6∴點Q運動的速度為67②當OQ=BC=5，OP=PB=6時，由OP=PB=12解得：t=3．∵OQ=5，∴AQ=OA-OQ=10-5=5．∴3v=5，解得v=53∴點Q運動的速度為53綜上所述：當點Q的運動速度是每秒67個單位或每秒5【點睛】本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應用，全等三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式，根據(jù)三角形全等得出對應邊相等從而求得點P的運動時間和點Q運動的距離是解題的關鍵．【變式3-2】（2023春·遼寧阜新·八年級校考期末）如圖，一次函數(shù)y=﹣x+4的圖象與y軸交于點A，與x軸交于點B，過AB中點D的直線CD交x軸于點C，且經(jīng)過第一象限的點E（6，4）．（1）求A，B兩點的坐標及直線CD的函數(shù)表達式；（2）連接BE，求△DBE的面積；（3）連接DO，在坐標平面內(nèi)找一點F，使得以點C，O，F(xiàn)為頂點的三角形與△COD全等，請直接寫出點F的坐標．【答案】（1）A（0，4），B（4，0），y=12【分析】（1）依據(jù)一次函數(shù)y=-x+4，求得A（0，4），B（4，0），依據(jù)D是AB的中點，可得D（2，2），運用待定系數(shù)法即可得到直線CD的函數(shù)表達式；（2）先求得C（-2，0），BC=2=4=6，再根據(jù)△DBE的面積=△BCE的面積-△BCD的面積，進行計算即可；（3）在四個象限內(nèi)分別找到點F，使得以點C，O，F(xiàn)為頂點的三角形與△COD全等．【詳解】（1）一次函數(shù)y=﹣x+4，令x=0，則y=4；令y=0，則x=4，∴A（0，4），B（4，0），∵D是AB的中點，∴D（2，2），設直線CD的函數(shù)表達式為y=kx+b，則{4=6k+b2=2k+b，解得∴直線CD的函數(shù)表達式為y=12（3）y=12∴C（﹣2，0），∴BC=2=4=6，∴△DBE的面積=△BCE的面積﹣△BCD的面積=12（3）如圖所示，當點F在第一象限時，點F與點D重合，即點F的坐標為（2，2）；當點F在第二象限時，點F的坐標為（﹣4，2）；當點F在第三象限時，點F的坐標為（﹣4，﹣2）；當點F在第四象限時，點F的坐標為（2，﹣2）．【點睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題．【變式3-3】（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）若直線ymx8和ynx3都經(jīng)過x軸上一點B，與y軸分別交于A、C．（1）寫出A、C兩點的坐標，A，C____；（2）若BC平分∠ABO，求直線AB和CB的解析式；（3）點D是y軸上一個動點，是否存在AB上的動點E，使得△ADE與△AOB全等，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）（0，8），（0，3）；（2）直線AB：y=43x+8，直線CB：y=12x【分析】（1）由兩條直線解析式直接求出A、C兩點坐標；（2）過點C作CH⊥AB，交直線AB于點H，證明△BCH≌△BCO，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OB=6，把點B代入解析式即可得到結論；（3）分三種情況得到△ADE，再結合全等的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）由直線y=mx+8和y=nx+3得A（0，8），C（0，3），故答案為：（0，8），（0，3）；（2）解：過點C作CH⊥AB，交直線AB于點H；

∵BC平分∠ABO，且CO⊥x軸，CH⊥AB，∴CO=CH又∵OC=3，OA=8；∴CH=3，AC=5；∴在Rt△CHA中，∠CHA=90°，CH2+CA2=AH2；所以AH=4∵易證△BCH≌△BCO（AAS）；∴BO=BH；設OB長為x，則AB=4+x∴在Rt△AOB中，x2+82=（x+4）2解得x=6∴B（-6，0）將點B分別代入直線AB、直線BC可得：直線AB解析式為：y=4直線BC解析式為：y=1∴直線AB：y=43x+8，直線CB：y=（3）情形1，如圖

當△ADE≌△AOB時，AD=AO=8，DE=BO=6，∴OD=16，∴點E的坐標為（6，16）情形2，如圖，

當△AED≌△AOB時，AD=AB=10，DE=BO=6，AE=AO=8，過點E作EF⊥AD，則有12∴EF=AE·DE∴點E的橫坐標為245，代入y=43∴點E的坐標為（245，72情形3，如圖，

當△AED≌△AOB時，方法同情形2可求出EG=245∴點E的橫坐標為-245，代入y=43∴點E的坐標為（-245，8綜上，點E的坐標為（6，16），245，72【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合運用．關鍵是根據(jù)題意求出點的坐標，根據(jù)圖形的特殊性利用全等三角形的性質(zhì)求出OB，再求一次函數(shù)解析式．【題型4一次函數(shù)與等腰三角形】【例4】（2023春·山西臨汾·八年級校聯(lián)考期中）已知正比例函數(shù)y=43x與一次函數(shù)y=3x?5的圖象交于點A（1）求A點坐標；（2）求△AOB的面積；（3）已知在x軸上存在一點P，能使△AOP是等腰三角形，請直接寫出所有符合要求的點P的坐標．【答案】（1）A點坐標為3,4；（2）S△AOB=152；（3）P點的坐標是5,0或?5,0【分析】（1）聯(lián)立方程組求解即可；（2）求出點B的坐標計算即可；（3）根據(jù)OA為腰和底邊分類討論，結合等腰三角形的性質(zhì)計算即可；【詳解】解：（1）由y=4解得：x=3y=4∴A點坐標為3,4；（2）∵y=3x?5與y軸相交于點B，則B點坐標為0,?5，∴S△AOB（3）由題意可分：當OA是腰，O是頂角的頂點時，OP=OA=5，則P的坐標是5,0或?5,0；當OA是腰，A是頂角的頂點時，AP=AO，則P與O關于x=3對稱，則P的坐標是6,0；當OA是底邊時，OA的中點是32,2，設過OA的中點且與OA垂直的直線的解析式是：根據(jù)題意得：b=25直線的解析式是：y=?3當y=0時，x=25∴P點坐標為256綜上所述，P點的坐標是5,0或?5,0或6,0或256【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的應用，準確分析計算是解題的關鍵．【變式4-1】（2023春·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期中）等腰三角形中，周長為20cm，設底邊為x，腰長為y．

(1)求y與x之間的函數(shù)關系式；(2)求自變量x的取值范圍；(3)在平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象．【答案】（1）y=10?12x【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的周長公式即可得出結論；（2）根據(jù)實際意義和三角形的三邊關系列出不等式即可求出結論；（3）根據(jù)實際意義并利用兩點法畫函數(shù)圖象即可．【詳解】解：1∵等腰三角形周長為20cm，底邊為xcm，腰長為ycm∴y=10?12∵∴2×解得：0<x<10；3y=10?當x=10時，y=5；當x=0時，y=10．∴函數(shù)的圖象如圖所示：【點睛】此題考查的是一次函數(shù)的應用，掌握實際問題中的等量關系、三角形的三邊關系和畫一次函數(shù)圖象是解決此題的關鍵．【變式4-2】（2023春·江蘇鹽城·八年級?？计谀┤鐖D是8×8的正方形網(wǎng)格，每個小方格都是邊長為1的正方形，A、B是格點（網(wǎng)格線的交點）．以網(wǎng)格線所在直線為坐標軸，在網(wǎng)格中建立平面直角坐標系xOy，使點A坐標為（－2，4）．(1)在網(wǎng)格中，畫出這個平面直角坐標系；(2)在第二象限內(nèi)的格點上找到一點C，使A、B、C三點組成以AB為底邊的等腰三角形，且腰長是無理數(shù)，則點C的坐標是______；(3)點D為x軸上一動點，當△ABD的周長最小時，點D的坐標為_________．【答案】(1)見解析；(2)作圖見解析；（-1，1）；(3)（?10【分析】（1）根據(jù)A，B兩點坐標確定平面直角坐標系即可．（2）根據(jù)等腰三角形的定義，以及腰為無理數(shù)，作出三角形即可．（3）作點B關于x軸的對稱點B'，連接AB'交x軸于點D，求出直線AB'的解析式，可得結論．【詳解】（1）如圖，平面直角坐標系即為所求．（2）如圖，點C即為所求，C點坐標（-1，1）．故答案為：（-1，1）．（3）如圖點D即為所求，此時△ABD的周長最小．∵B，B'關于x軸對稱，∴B'（-4，-2），設直線AB'的解析式為y=kx+b，則?2k+b=4?4k+b=?2，解得：∴直線AB'的解析式為y=3x+10，將y=0代入y=3x+10，得x=?∴D點坐標（?10故答案為：（?10【點睛】本題考查軸對稱最短問題，坐標與圖形性質(zhì)，等腰三角形，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題．【變式4-3】（2023春·山東青島·八年級?？计谥校┤鐖D，直線l1：y1=-x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點P(m，3)為直線l?1上一點，另一直線l2：y2=12x+b過點P（1）求點P坐標和b的值；（2）若點C是直線l2與x軸的交點，動點Q從點C開始以每秒1個單位的速度向x軸正方向移動至A，設點Q的運動時間為t秒．①請寫出當點Q在運動過程中，△APQ的面積S與t的函數(shù)關系式；②是否存在t的值，使△APQ面積為△APC的一半？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．③是否存在t的值，使△APQ為以AQ為底的等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）P(?1，3)，b=72；（2）①S=?32【分析】（1）將點P(m，3)代入y1=-x+2求出m的值，即點P(?1，3)，然后將之代入y2=12x+b即可求出b（2）①根據(jù)兩個函數(shù)解析式求出A,C的坐標，然后表示出AQ的長度，根據(jù)三角形面積公式計算即可；②根據(jù)A,P,C的坐標求出△APC的面積，然后將△APC的面積的一半代入①中關系式求解即可；③△APQ為以AQ為底的等腰三角形，即AP=PQ，過點P作PD⊥x軸于點D，根據(jù)題意得出CQ的長度進而得解．【詳解】解：（1）∵點P(m，3)為直線l?1上一點，∴3=?m+2，解得：m=?1，∴P(?1，3)，∵y2=12x+b過點P∴3=1解得：b=7（2）①由（1）得：y2=12x+7點y2=0時，解得：x=?7，∴點C(?7,0)，當y1=0時，解得x=2，∴點A(2,0)，根據(jù)題意：點Q(?7+t∴AQ=2?(?7+t)=9?t，∴S△APQ即S=?3②S△APC∴S=?解得：t=9∴t=92時，△APQ面積為△③根據(jù)題意可知AP=PQ，過點P作PD⊥x軸于點D，∵P(?1，3)，A(2,0)，∴AD=3，∴DQ=3，∴AQ=6,∴CQ=AC?AQ=9?6=3,∴t=3∴當t=3時，△APQ為以AQ為底的等腰三角形．【點睛】本題考查了一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握一次函數(shù)與坐標軸的交點問題以及相關性質(zhì)是解本題的關鍵．【題型5一次函數(shù)與等腰直角三角形】【例5】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，已知直線y＝﹣2x+2與y軸、x軸分別交于A、B兩點，以B為直角頂點在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC．（1）A（）；B（）；（2）求BC所在直線的函數(shù)關系式；（3）如圖2，直線BC交y軸于點D，在直線BC上取一點E，使AE＝AC，AE與x軸相交于點F．①求證：BD＝ED；②在直線AE上是否存在一點P，使△ABP的面積等于△ABD的面積？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）（0，2），（1，0）；（2）y＝12x﹣12；（3）①見解析；②存在，點P的坐標為（﹣12，12）或（【分析】（1）y=-2x+2中，當x=0時y=2，則A（0，2），當y=0時，-2x+2=0，解得x=1，即可求解；（2）證明△ABO≌△BCD（AAS），則BD=OA=2，CD=OB=1，求出點C（3，1），即可求解；（3）①證明△BCG≌△BEM（AAS）、△BDO≌△EDN（AAS），即可求解；②當點P在點A的下方時，由△ABP的面積=S△ABF-S△BFP=12×BF×（yA-yP）=12（1+23）×（2-3m-2）=54，即可求解；當點P′在點A的上方時，則點A是點【詳解】解：（1）y＝﹣2x+2中，當x＝0時y＝2，∴A（0，2），當y＝0時，﹣2x+2＝0，解得x＝1，∴B（1，0）；故答案為：0，2；1，0；（2）如圖①，過點C作CD⊥x軸于點D，則∠AOB＝∠BDC＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∴∠OAB＝∠DBC，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴BD＝OA＝2，CD＝OB＝1，則點C（3，1），設直線BC所在直線解析式為y=kx+b把點B、C的坐標代入得k+b=03k+b=1解得，k=1∴直線BC所在直線解析式為y=1（3）①過點C作CG⊥x軸于點G，作EM⊥x軸于點M，EN⊥y軸于點N，則∠BGC＝∠BME＝∠END＝∠BOD＝90°，∵∠ABC＝90°，且AE＝AC，∴AB是CE的中垂線，∴BC＝BE，∵∠CBG＝∠EBM，∴△BCG≌△BEM（AAS），∴BM＝BG＝2，EM＝CG＝1，∵BO＝1，∴OM＝EN＝OB＝1，∵∠BDO＝∠EDN，∴△BDO≌△EDN（AAS），∴BD＝ED；②如圖③，由y=12x?12知D（0，﹣1則AD＝OA+OD＝52∴S△ABD＝12AD?OB＝12×52×1由①知E（﹣1，﹣1），根據(jù)A（0，2）、E（﹣1，﹣1）得直線AE解析式為y＝3x+2，當y＝0時，3x+2＝0，解得x＝﹣23∴F（﹣23，0設點P的坐標為（m，3m+2），當點P在點A的下方時，則△ABP的面積＝S△ABF﹣S△BFP＝12×BF×（yA﹣yP）＝12（1+23）×（2﹣3m﹣2解得m＝﹣12故點P的坐標為（﹣12，1當點P′在點A的上方時，則點A是點P′、P的中點，由中點坐標公式得：點P的坐標為（12，7綜上，點P的坐標為（﹣12，12）或（12【點睛】本題是一次函數(shù)的綜合問題，解題的關鍵是掌握掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及割補法求三角形的面積等知識點．【變式5-1】（2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等腰Rt△AOB在平面直角坐標系xOy上，∠B=90°,?OA=4．點C從原點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向運動，過點C作直線l⊥OA，直線l與射線OB（1）點B的坐標為____________；（2）點C的運動時間是t秒．①當2?t?4時，△AOB在直線l右側部分的圖形的面積為S，求S（用含t的式子表示）；②當t>0時，點M在直線l上且△ABM是以AB為底的等腰三角形，若CN=32CM【答案】（1）（2，2）；（2）①S=12(4?t)2；②【分析】（1）過B點作BD⊥OA于點D，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求得OD與BD的長度，從而可求得B點的坐標；（2）①證明△ACM為等腰直角三角形，再由三角形的面積公式求得結果；②過AB的中點D，作線段AB的垂直平分線DE，求出直線OB與DE的解析式，再用t表示C、M、N的坐標，進而用t表示CN與CM，根據(jù)已知條件CN=32CM【詳解】解：（1）過B點作BD⊥OA于點D，如圖1，∵∠OBA=90°，OB=AB，OA=4．∴BD=OD=AD=1∴B（2，2），故答案為（2，2）；（2）①當2≤t≤4時，如圖2，則AC=OA-OC=4-t，∵∠OBA=90°，OB=AB，∴∠OAB=45°，∵直線l⊥OA，∴∠ACM=90°，∴∠AMC=45°=∠CAM，∴AC=CM=4-t，∴S=S②過AB的中點D，作線段AB的垂直平分線DE，如圖3，∵△ABM是以AB為底的等腰三角形，∴MA=MB，∴點M在直線DE上，∵點M在直線l上，∴點M為直線l與直線DE的交點，設直線OB的解析式為y=kx（k≠0），由（1）知，B（2，2），∴2=2k，∴k=1，∴直線OB的解析式為：y=x，∵∠ABO=∠ADM=90°，∴DE∥OB，∴設直線DE的解析式為y=x+n，∵A（4，0），B（2，2），D為AB的中點，∴D（3，1），把D（3，1）代入y=x+n中，得1=3+n，∴n=-2，∴直線DE的解析式為：y=x-2，∵OC=t，∴C（t，0），N（t，t），M（t，t-2），∵CN=32CM∴t=3∴t=32(t?2)解得，t=6，或t=6【點睛】本題主要考查了點的坐標，待定系數(shù)法，求函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，難度不大，第（3）題關鍵是求出AB的垂直平分線的解析式和正確列出t的方程．【變式5-2】（2023春·廣東茂名·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系第一象限內(nèi)，直線y=x與y=2x的交角內(nèi)部作等腰Rt△ABC，使∠ABC=90°，邊BC//x軸，AB//y軸，點A1,1在直線y=x上，點C在直線y=2x上，CB的延長線交直線y=x于點A1，作等腰Rt△A1B1C1，使【答案】4【分析】設AB=a，利用兩個函數(shù)解析式求出B，C的坐標，然后求出AB的長度，再根據(jù)B1C1//x軸，A1B1//y軸，利用【詳解】設AB=a，∵直線y=x與y=2x的交角內(nèi)部作等腰Rt△ABC，使∠ABC=90°，邊BC//x軸，AB//y∴C1?a,1+a∵點C在直線y=2x，∴1+a=21?a解得：a=1∴等腰Rt△ABC的腰長為13∴C2∴A1的坐標為4設A1B1∵C1在直線y=2x∴43解得：b=4∴等腰Rt△A1B1∴C1∴A2設A2B2∵點C2在直線y=2x∴169解得：c=16∴等腰Rt△A2B2以此類推，A3B3=6481A4B4=256243…，∴A2021B2021=42021故答案是42021【點睛】本題主要考查了坐標系中點的規(guī)律問題，準確計算是解題的關鍵．【變式5-3】（2023春·天津和平·八年級天津市第五十五中學?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx+8分別交x軸，y軸于A、B兩點，已知A點坐標(6,0)，點C在直線AB上，橫坐標為3，點D是x軸正半軸上的一個動點，連接CD，以CD為直角邊在右側構造一個等腰Rt△CDE，且∠CDE=90°(1)求直線AB的解析式以及C點坐標；(2)設點D的橫坐標為m，試用含m的代數(shù)式表示點E的坐標；(3)如圖2，連接OC，OE，請直接寫出使得△OCE周長最小時，點E的坐標．【答案】(1)y=?43x+8(2)(4+m,m?3)(3)E(【分析】（1）把A(6,0)代入y=kx+8中，得6k+8=0，解得：k=?4（2）證明△CDF?△DEG(AAS)，則CF=DG=4，DF=EG=3?m，OG=4+m，則（3）過點O作直線l的對稱點O'，連接CO'交直線l于點E'，則點E'為所求點，即可求解．【詳解】（1）把A(6,0)代入y=kx+8中，得6k+8=0，解得：k=?4∴y=?4把x=3代入，得y=4，∴C(3,4)；（2）作CF⊥x軸于點F，EG⊥x軸于點G，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∠CDE=90°，∴∠CDF=90°?∠EDG=∠DEG，且∠CFD=∠DGE=90°，∴△CDF?△DEG(∴CF=DG=4，DF=EG=3?m，∴OG=4+m，∴E(4+m,m?3)；（3）點E(4+m,m?3)，設x=4+m，y=m?3，則y=x?7，故點E在直線l:y=x?7上，設：直線l交y軸于點H(0,?7)，過點O作直線l的對稱點O'，∵直線l的傾斜角為45°，則HO'∥x軸，則點連接CO'交直線l于點E'，則點E'為所求點，OC是常數(shù)，△OCE周長=OC+CE+OE=OC+OE'+CE'=OC+CE'+O'E'=OC+CO'為最小，由點C、O'的坐標得，直線CO'的表達式為：y=?聯(lián)立y=x?7y=?解得：x=77故：E(77【點睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、點的對稱性等，綜合性很強，難度較大．【題型6一次函數(shù)與動點最值問題】【例6】（2023春·四川成都·八年級成都實外?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，對任意兩點A(x1，y1)與B(x若|x1?x2|≥|y1?y2|，則點若|x1?x2|<|y1?y2|，則點如圖，已知點C(12,?1)，點D是直線l:y=34x?3圖象上一個動點，則點C與點D的“YY距離”的最小值是

【答案】1314（107，?2714）/（【分析】過點C作平行于x軸的直線，與過點D作平行于y軸的直線交于H，根據(jù)定義可知，當取點C與點D的“YY距離”的最小值時，則|x1?【詳解】如圖，過點C作平行于x軸的直線，與過點D作平行于y軸的直線交于H，

根據(jù)定義“若|x1?x2|≥|y1?y2|，則點P1(x1，y1設D(x,3則x?1解得：x=1034∴D(107，∴此時點C與點D的“YY距離”的最小值是107故答案為：1314；(107【點睛】本題考查了新定義問題，涉及絕對值的意義，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題關鍵是準確理解題意，正確畫出圖象．【變式6-1】（2023春·四川內(nèi)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，已知點C（2，0），直線y=?x+6與兩坐標軸分別交于A、B兩點，D、E分別是AB、OA上的動點，當ΔCDE的周長取最小值時，點D的坐標為（

）A．（2，1） B．（3，2） C．（73，2） D．（103，【答案】D【分析】如圖，點C關于OA的對稱點C'?2,0，點C關于直線AB的對稱點C″，求出點C″的坐標，連接【詳解】如圖，點C關于OA的對稱點C'?2,0∵直線AB的解析式為y=?x+6∴直線CC″由y=?x+6解得x=4∴直線AB與直線CC″∵K是線段CC∴C連接C'C″設直線DE的解析式為y=kx+b可得?2k+b=0解得k=∴直線DE的解析式為y=聯(lián)立直線DE和直線直線y=?x+6可得y=?x+6解得x=∴點D的坐標為10故答案為：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的幾何問題，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式6-2】（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B0,2，與正比例函數(shù)y=32（1）求k和b的值．（2）如圖1，點P是y軸上一個動點，當PA?PC最大時，求點P的坐標．（3）如圖2，設動點D，E都在x軸上運動，且DE=2，分別連結BD，CE，當四邊形BDEC的周長取最小值時直接寫出點D和E的坐標．【答案】（1）k=1，b=2；（2）P0,6；（3）E52【分析】（1）將C的坐標代入正比例函數(shù)中，求出點C坐標，進而用待定系數(shù)法即可得出結論；（2）利用三角形的兩邊之差小于第三邊，判斷出點P是直線PC'和y軸的交點，即可得出結論；（3）先判斷出點D的位置，先求出點G的坐標，進而得出點F的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線BF解析式即可得出結論．【詳解】解：（1）把點C（4，c）代入y=3解得：c=6，則點C（4，6），∵一次函數(shù)交y軸于點B（0，2），∴函數(shù)表達式為：y=kx+2，把點C坐標代入上式，解得：k=1，故：k=1，b=2，（2）如圖，作A關于y軸的對稱點A'，連接C此時PA?PC最大，A'2,0，設A'C的解析式為將C4,6，A4a+m=62a+m=0，解得a=3∴yPA?PC=∴P0,?6（3）以下各點的坐標分別為：B（0，2），C（4，6），過點C作CG∥DE，使GC=DE，則：四邊形DECG為平行四邊形，作點G作關于x軸的對稱點F，連接BF，交x軸于D，點D即為所求點，則點G坐標為（2，6），點F坐標為（2，-6），則：DF=DG=EC，DB+CE=BD+DG=BD+DF=BF，即：BD+CE最小，而：DE、BC長度為常數(shù)，故：在圖示位置時，四邊形BDEC的周長取最小值，把點B、F點坐標代入一次函數(shù)表達式：y=nx+b′，解得：BF所在的直線表達式為：y=-4x+2，令：y=0，則x=12則點D和E的坐標分別為（12，0）、（5【點睛】此題為一次函數(shù)綜合題，其中（3）的核心是確定點D的位置，考查了學生綜合運用所學知識的能力．【變式6-3】（2023春·河北衡水·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，直線l1：y=2x+8與坐標軸分別交于A，B兩點，點C在x正半軸上，且OA=OC．點P為線段AC（不含端點）上一動點，將線段OP繞點O逆時針旋轉90°，得線段OQ（見圖2）（1）分別求出點B、點C的坐標；（2）如圖2，連接AQ，求證：∠OAQ=45°；（3）如圖2，連接BQ，試求出當線段BQ取得最小值時點Q的坐標．【答案】（1）B（-4，0），C（8，0）；（2）詳見解析；（3）點Q坐標為（-6，2）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）只要證明△OAQ≌△OPC，可得∠OAQ=∠OCP=45°；（3）因為∠OAQ=45°，設直線AQ交x軸與E，則點Q在直線AE上運動，根據(jù)垂線段最短可知當BQ⊥AE時，BQ的長最短，求出直線AE、BQ的解析式，利用方程組確定交點Q的坐標即可；【詳解】解：（1）對于直線y=2x+8令x=0得到y(tǒng)=8，令y=0，得到x=-4，∴A（0，8），B（-4，0），∴OA=OC=8，∴C（8，0）．（2）由旋轉可知，OP=OQ，∠POQ=∠AOC=90°，∴∠AOQ=∠COP，在△AOQ和△COP中，AO=CO∠AOQ=∠COP∴△OAQ≌△OPC，∴∠OAQ=∠OCP，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OCA=45°，∴∠OAQ=45°．（3）如圖2中，∵∠OAQ=45°，設直線AQ交x軸與E，則點Q在直線AE上運動，∵A（0，8），E（-8，0），∴直線AE的解析式為y=x+8，根據(jù)垂線段最短可知當BQ⊥AE時，BQ的長最短，∵BQ⊥AE，∴直線BQ的解析式為y=-x-4，由y=x+8y=?x?4，解得y=2∴當BQ最短時，點Q坐標為（-6，2）．【點睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考壓軸題．【題型7一次函數(shù)的圖象的應用】【例7】（2023春·重慶·八年級重慶市求精中學校校考期中）在一次趣味運動會中，“搶種搶收”的比賽規(guī)則如下：全程50米的直線跑道，在起點和終點之間，每隔10米放置一個小桶，共四個，參賽者用手托著放有4個乒乓球的盤子，在從起點跑到終點的過程中，將四個乒乓球依次放入4個小桶中（放入時間忽略不計），如果中途乒乓球掉出小桶，則需要返回將乒乓球放回桶中，率先到達終點者獲勝．小明和小亮同時從起點出發(fā)，以各自的速度勻速跑步前進，小明在放入第二個乒乓球后，乒乓球跳出了小桶，落在了第二個桶的旁邊，且落地后不再移動，但他并未發(fā)現(xiàn)，繼續(xù)向前跑了一段距離，被裁判員提醒后立即原速返回撿球，并迅速放回桶中（撿球時間忽略不計），為了趕超小亮，小明將速度提高了1米/秒，小明和小亮之間的距離y（米）和出發(fā)時間x（秒）之間的函數(shù)關系如圖所示，則小明在掉出乒乓球后又繼續(xù)跑了米后開始返回．【答案】6【分析】結合圖像，運用數(shù)形結合的思想，計算判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得：小明撿球后，與小亮之間的距離為4米，小亮中間沒有停止也沒有返回，∴小亮的速度為(10×2+4)÷4=6(米/秒)，根據(jù)圖象，小明到達終點時，小亮距離終點還有6米，即小亮已經(jīng)跑了50-6=44(米)，所用時間為44÷6=223(s∴小明從撿到球到到達終點的用時為：223-4=103(∴小明提速后的速度為(50-10×2)÷103∴小明提速前的速度為9-1=8(米/秒)，∴小明在掉出乒乓球后又繼續(xù)跑了(4×8-10×2)÷2=6(米)，故答案為：6．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的運用，準確理解題意，正確從圖像中獲取解題信息是解題的關鍵．【變式7-1】（2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一束光線從點O射出，照在經(jīng)過A(?2,0)、B(0,2)的鏡面上的點D，經(jīng)AB反射后，反射光線又照到豎立在y軸位置的鏡面，經(jīng)y軸反射后的光線恰好通過點A，則光線OD所在直線的函數(shù)表達式為．

【答案】y=?2x【分析】先作出點O關于AB的對稱點及點A關于y軸的對稱點，求得過兩個對稱點的直線與直線AB的交點D，進而即可求解．【詳解】解：如圖，分別作出點O關于AB的對稱點及點A關于y軸的對稱點，

由題意可知點O關于AB的對稱點是C?2,2，點A關于y軸的對稱點是F設直線AB的解析式為y=kx+b，∵A(?2,0),B(0,2)在直線AB上，∴?2k+b=0b=2解得k=1,b=2，∴直線AB的解析式是y=x+2，同理可得CF的解析式是y=?x兩式聯(lián)立，得y=x+2y=?解得x=?23設直線OD的解析式為y=D?23,∴直線OD的解析式為y=?2x故答案為：y=?2x．【點睛】本題考查了軸對稱的知識，以及一次函數(shù)的應用，求出兩個對稱點的解析式是解決本題的關鍵．【變式7-2】（2023春·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一三四中學?？计谀┯幸豢萍夹〗M進行了機器人行走性能試驗．在試驗場地有A、B、C三點順次在同一筆直的賽道上，甲、乙兩機器人分別從A、B兩點同時同向出發(fā)，歷時7分鐘同時到達C點，乙機器人始終以60米/分鐘的速度行走，如圖是甲、乙兩機器人之間的距離y（米）與他們的行走時間x（分鐘）之間的函數(shù)圖像，請結合圖像，回答下列問題：(1)A、B兩點之間的距離是______米，甲機器人前2分鐘的速度為______米/分；(2)已知線段FG∥x軸，前3分鐘甲機器人的速度不變．①在3~4分鐘的這段時間，甲機器人的速度為______米/分，F(xiàn)的坐標是______；②在整個運動過程中，兩機器人相距30m時x的值______．【答案】(1)70，95；(2)①60，3，【分析】（1）結合圖像可得A、B兩點的距離和甲機器人前2分鐘的速度；（2）①根據(jù)FG∥x，乙機器人始終以60米/分鐘的速度行走，然后再根據(jù)追擊問題求出F的縱坐標即可解答；②分情況討論，當0≤x≤2時，70?(95?60)x=30，當2<x≤3時，(95?60)(x?2)=30，當3<x≤7時，設甲、乙兩機器人之間的距離y米與他們的行走時間x分鐘之間函數(shù)解析式為y=mx+n，將點(4,35)和點(7,0)代入y=mx+n，計算即可得函數(shù)解析式為y=?353x+2453【詳解】（1）解：由圖像可知，A、B兩點之間的距離是70米，甲機器人前2分鐘的速度為：(70+60×2)÷2=95（米/分），故答案為：70，95；（2）解：①∵FG∥x，乙機器人始終以60米/分鐘的速度行走，∴甲、乙機器人的速度都是60米/分鐘；∵1×95?60∴點F的坐標為3，故答案為：60，3②當0≤x≤2時，70?(95?60)x=30，解得，x=8當2<x≤3時，(95?60)(x?2)=30，解得：x=20當3<x≤7時，設甲、乙兩機器人之間的距離y米與他們的行走時間x分鐘之間函數(shù)解析式為y=mx+n，將點(4,35)和點(7,0)代入y=mx+n，得4m+n=357m+n=0解得，m=?即函數(shù)解析式為y=?35令y=30，得?353x+即兩機器人出發(fā)87分鐘，207分鐘，【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的綜合應用、一元一次方程的應用、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)等知識點，理解題意、掌握數(shù)形結合思想是解答本題的關鍵．【變式7-3】（2023春·河北衡水·八年級?？计谥校┘住⒁覂扇藦南嗑?千米的兩地同時、同向出發(fā)，乙每小時走4千米，小狗隨甲一起同向出發(fā)，小狗追上乙的時候它就往甲這邊跑，遇到甲時又往乙這邊跑，遇到乙的時候再往甲這邊跑…就這樣一直勻速跑下去．如圖，折線A?B?C，A?D?E分別表示甲、小狗在行進過程中，離乙的路程ykm與甲行進時間x(h

(1)求AB所在直線的函數(shù)解析式；(2)小狗的速度為______km/h；求點E的坐標；(3)小狗從出發(fā)到它折返后第一次與甲相遇的過程中，求x為何值時，它離乙的路程與離甲的路程相等？【答案】(1)y(2)12，點E的坐標為E(3)27或【分析】（1）由題意知A(0，（2）由D(12，0)，可知，當x=12時，小狗距離乙0km，設小狗速度為mkm/h，則依題意得，12m?12×4=4，解得，m=12，即小狗速度為12km/h，由B(2，0)，可知，當x=2時，甲距離乙0km，設甲的速度為n（3）由A(0，4)，D(12，0)，E23，83，待定系數(shù)法可求直線DE的函數(shù)解析式為y2=16x?8【詳解】（1）解：設AB所在直線的函數(shù)解析式為y1將A(0，4)，解得k=?2b=4∴AB所在直線的函數(shù)解析式為y1（2）解：由D(12，0)，可知，當設小狗速度為mkm/h，則依題意得，12解得，m=12，∴小狗速度為12km/h，由B(2，0)，可知，當x=2時，甲距離乙0設甲的速度為nkm/h，則依題意得，2n?2×4=4，解得，m=6，∴甲的速度為6km/h，設Ea由題意知，當x=a時，甲和小狗出發(fā)后第一次相遇，∴6a+12a2解得a=2∴E2（3）解：∵A(0，4)，D(1同理（1），直線DE的函數(shù)解析式為y2=16x?8，直線AD的函數(shù)解析式為∴小狗從出發(fā)到它折返后第一次與甲相遇的過程中，離乙的路程與離甲的路程相等時，分兩種情況：①y1=2y3，即②y1=2y2，即綜上所述，小狗從出發(fā)到它折返后第一次與甲相遇的過程中，當x為27或10【點睛】本題考查了函數(shù)圖象，一次函數(shù)解析式，一元一次方程的應用．解題的關鍵在于從圖象中獲取正確的信息．【題型8一次函數(shù)的實際應用】【例8】（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）倡導垃圾分類，共享綠色生活，為了對回收的垃圾進行更精準的分類，某機器人公司研發(fā)出A型和B型兩款垃圾分揀機器人，已知2臺A型機器人和5臺B型機器人同時工作2h共分揀垃圾3.6噸，3臺A型機器人和2臺B型機器人同時工作5(1)1臺A型機器人和1臺B型機器人每小時各分揀垃圾多少噸？(2)某垃圾處理廠計劃向機器人公司購進一批A型和B型垃圾分揀機器人，這批機器人每小