九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練（滬教版）第03講 三角形一邊的平行線（原卷版）

第03講三角形一邊的平行線【知識(shí)梳理】1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖，已知，直線，且與、所在直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，那么．2、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，，那么．3、三角形的重心定義：三角形三條中線交于一點(diǎn)，三條中線交點(diǎn)叫三角形的重心．性質(zhì)：三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍．4、三角形一邊的平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．5、三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形的兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．如圖，在中，直線與、所在直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，如果那么//．6、平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖，直線////，直線與直線被直線、、所截，那么．BBCDEFG7、平行線等分線段定理兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一條直線上截得的線段也相等．【考點(diǎn)剖析】一．三角形的重心（共13小題）1．（2023?青浦區(qū)一模）三角形的重心是（）A．三角形三條角平分線的交點(diǎn) B．三角形三條中線的交點(diǎn) C．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三角形三條高的交點(diǎn)2．（2023?奉賢區(qū)一模）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心．如果AD＝6，那么線段DG的長是．3．（2022秋?楊浦區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)G是△ABC的重心，如果AG＝4，那么BC的長為．4．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足為E，如果CB＝10，則線段GE的長為（）A． B． C． D．5．（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，那么S△BCG：S△ABC等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：56．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，G是△ABC的重心，延長BG交AC于點(diǎn)D，延長CG交AB于點(diǎn)E，P、Q分別是△BCE和△BCD的重心，BC長為6，則PQ的長為．7．（2022秋?徐匯區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，以AC為邊在△ABC外作等邊△ACD，設(shè)點(diǎn)E、F分別是△ABC和△ACD的重心，則兩重心E與F之間的距離是．8．（2022秋?黃浦區(qū)月考）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，那么S△ABG：S△ABC＝．9．（2023?金山區(qū)一模）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1為△ABC的重心，E為線段AB上任意一動(dòng)點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE（點(diǎn)D在直線BC的上方），G2為Rt△CDE的重心，設(shè)G1、G2兩點(diǎn)的距離為d，那么在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中d的取值范圍是．10．（2023?松江區(qū)一模）已知△ABC，P是邊BC上一點(diǎn)，△PAB、△PAC的重心分別為G1、G2，那么的值為．11．（2022秋?徐匯區(qū)期中）已知點(diǎn)G是等腰直角三角形ABC的重心，AC＝BC＝6，那么AG的長為．12．（2018?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）G為重心，DE過重心，S△ABC＝1，求S△ADE的最值，并證明結(jié)論．13．（2019秋?嘉定區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作EF∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，且EF+BC＝7.2cm，求BC的長．二．平行線分線段成比例（共19小題）14．（2022秋?徐匯區(qū)期末）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，要使DE∥AC，那么BE必須等于．15．（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1、l2于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、D、F，如果AC：CE＝3：1，BF＝10，那么DF等于（）A． B． C． D．16．（2023?寶山區(qū)一模）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列條件中能判斷DE∥BC的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．17．（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）如果點(diǎn)H、G分別在△DEF中的邊DE和DF上，那么不能判定HG∥EF的比例式是（）A．DH：EH＝DG：GF B．HG：EF＝DH：DE C．EH：DE＝GF：DF D．DE：DF＝DH：DG18．（2023?徐匯區(qū)一模）如圖，a∥b∥c，若，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．19．（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，AC：AE＝3：5，那么下列結(jié)論正確的是（）A．BD：DF＝2：3 B．AB：CD＝2：3 C．CD：EF＝3：5 D．DF：BF＝2：520．（2023?長寧區(qū)一模）如圖，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝15，那么EF的長等于．21．（2023?松江區(qū)一模）如圖，已知直線AD∥BE∥CF，如果＝，DE＝3，那么線段EF的長是．22．（2022秋?松江區(qū)月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且DE∥BC，AD＝3，AB＝4，AC＝6，求EC．23．（2022秋?松江區(qū)月考）如圖，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．（1）求EC的值；（2）求證：AD?AG＝AF?AB．24．（2023?崇明區(qū)一模）四邊形ABCD中，點(diǎn)F在邊AD上，BF的延長線交CD的延長線于E點(diǎn)，下列式子中能判斷AD∥BC的式子是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝25．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝24，那么BC的長等于（）A．4 B． C． D．826．（2022秋?浦東新區(qū)期末）如圖，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正確的是（）A． B． C． D．27．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知直線l1、l2、l3分別交直線l4于點(diǎn)A、B、C，交直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝3，DF＝12，則DE＝．28．（2022?寶山區(qū)二模）已知：如圖，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．（1）如果AB＝2AC，求證：四邊形ADFE是菱形；（2）如果AB＝AC，且BC＝1，聯(lián)結(jié)DE，求DE的長．29．（2021秋?楊浦區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)D為△ABC中內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別為線段AB、AC、AD上一點(diǎn)，且EG∥BD，GF∥DC．（1）求證：EF∥BC；（2）當(dāng)，求的值．30．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長．31．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的長；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的長．32．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、F、D分別是∠O兩邊上的點(diǎn)，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于點(diǎn)M，CD、EF交于點(diǎn)N．（1）求證：AF∥CD；（2）若OA：AC：CE＝3：2：4，AM＝1，求線段DN的長．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·上海·?？家荒＃┤鐖D，已知，，，那么的長等于（

）A．4 B． C． D．82．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)?？计谥校┰谥校?、分別在的邊、上，下列條件中不能判定的是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）在中，點(diǎn)E、D、F分別在邊AB、BC、AC上，聯(lián)結(jié)DE、DF，如果，，，那么的值是（

）A． B． C． D．4．（2021秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D、點(diǎn)F在的邊上，點(diǎn)E在邊上，，且，要使得，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是（

）A． B． C． D．5．（2023·上海浦東新·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)、分別在、上，以下能推得的條件是（

）A． B．C． D．6．（2022秋·上海崇明·九年級(jí)?？计谥校┰谥?，點(diǎn)D、E分別在邊、上，如果，，那么由下列條件能夠判定的是（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2022秋·上海嘉定·九年級(jí)校考期中）在中，點(diǎn)、分別在線段、的延長線上，平行于，，，，那么___________．8．（2022春·上海普陀·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，E是邊的中點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)F，那么的值為____．9．（2022秋·上海黃浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，、相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在、上，，如果，，，，那么___________．10．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABCD中，，如果，則的長是________．11．（2022秋·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，點(diǎn)、分別在直線、上，如果，，，，那么________．12．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，點(diǎn)分別在邊上，，，當(dāng)______時(shí)，．13．（2022秋·上海長寧·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D、F在線段上，點(diǎn)E、G在線段上，，，如果，那么的長為________．14．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知為角平分線，，如果，，那么______．15．（2017秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┤鐖D，直線，直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)．若，則的長為__________．16．（2022秋·上海青浦·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在梯形中，，對(duì)角線相較于點(diǎn)O，已知的面積為2，的面積為4，那么_____________．17．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，如果，，，則的長是__________．18．（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）如圖，已知，，，那么的長等于______．三、解答題19．（2019秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)、在上，點(diǎn)在邊上，且，．求證：．20．（2021秋·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的長；（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的長．21．（2022秋·上海寶山·九年級(jí)校考階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的方法，在至今仍有借鑒意義．(1)如圖1已知小明的身高是1.6米，他在路燈AB下的影子長為2米，此時(shí)小明距路燈燈桿的底部3米，求燈桿AB的高度；(2)如圖2現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測(cè)得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動(dòng)1.8米至DE的位置，此時(shí)測(cè)得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度．22．（2022秋·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，．(1)求證：；(2)求．23．（2022秋·上海楊浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖