九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型通關(guān)講解練（滬教版）重難點(diǎn)專項(xiàng)突破01相似三角形中的“8”字模型（3種題型）（原卷版）

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破01相似三角形中的“8”字模型（3種題型）【知識(shí)梳理】8字_平行型條件：CD∥AB,結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面積相等;四邊形ABCD為一般梯形.條件：CD∥AB,PD=PC.結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD～ΔPDC(上下相似)ΔPAD?ΔPBC左右全等；四邊形ABCD為等腰梯形；8字_不平行型條件：∠CDP=∠BAP.結(jié)論：ΔAPB～ΔDPC(上下相似);ΔAPD～ΔBPC(左右相似);【考點(diǎn)剖析】題型一：8字-平行型（1）直接利用“8”字型解題例1.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，若，則 ．例2.如圖，為對(duì)角線上任意一點(diǎn)．求證：．例3.如圖，在平行四邊形中，的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交 于點(diǎn)．求證：．例4.如圖，點(diǎn)在線段上，和都是等邊三角形． 求證：（1）； （2）．例5.如圖，已知．，，求的長(zhǎng)．（用、的代數(shù)式表示）．例6.如圖，為平行四邊形的對(duì)角線上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的值．例7.如圖，，，，求的值．（2）添加輔助線構(gòu)造“8”字模型解題例8.過(guò)的頂點(diǎn)C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F、E．求證：．AABCDEF例9.如圖，AD是的內(nèi)角平分線．求證：．AABCD題型二：8字-不平行型例10.如圖，∠BEC＝∠CDB，下列結(jié)論正確的是（）A．EF?BF＝DF?CF B．BE?CD＝BF?CF C．AE?AB＝AD?AC D．AE?BE＝AD?DC【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共3小題）1．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，中線AD與中線BE相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)DE．下列結(jié)論成立的是（）A． B． C． D．2．（2023?徐匯區(qū)一模）如圖，點(diǎn)D在△ABC邊AB上，∠ACD＝∠B，點(diǎn)F是△ABC的角平分線AE與CD的交點(diǎn)，且AF＝2EF，則下列選項(xiàng)中不正確的是（）A． B． C． D．3．（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)AC和BD相等）可測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果＝＝3，且量得CD＝4cm，則零件的厚度x為（）A．2cm B．1.5cm C．0.5cm D．1cm二．填空題（共8小題）4．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，已知點(diǎn)D為△ABC中AC邊的中點(diǎn)，AE∥BC，ED交AB于點(diǎn)G，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，BC＝8，則AE的長(zhǎng)為．5．（2022?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊CA、BA的延長(zhǎng)線上，DE∥BC．DE：BC＝2：3，設(shè)＝，試用向量表示向量，＝．6．（2022?靜安區(qū)二模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，AO：OC＝1：4，設(shè)＝，那么＝．（用含向量的式子表示）7．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）在矩形ABCD內(nèi)作正方形AEFD（如圖所示），矩形的對(duì)角線AC交正方形的邊EF于點(diǎn)P．如果點(diǎn)F恰好是邊CD的黃金分割點(diǎn)（DF＞FC），且PE＝2，那么PF＝．8．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，如果△BCD的面積是△ABD面積的2倍，那么△BOC與△BDC的面積之比是．9．（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上且3CF＝CD，EF交對(duì)角線AC于點(diǎn)G，則AG：GC＝．10．（2022秋?黃浦區(qū)期末）如圖是一個(gè)零件的剖面圖，已知零件的外徑為10cm，為求出它的厚度x，現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗（AC和BD的長(zhǎng)相等）去測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果＝＝，且量得CD的長(zhǎng)是3cm，那么零件的厚度x是cm．11．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)月考）如圖，梯形ABCD中，∠D＝90°，AB∥CD，將線段CB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處．聯(lián)結(jié)AE、BE，設(shè)BE與邊AD交于點(diǎn)F，如果AB＝4，且＝，那么梯形ABCD的中位線等于．三．解答題（共12小題）12．（2023?普陀區(qū)一模）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一點(diǎn)，AE∥CD，AE、BD相交于點(diǎn)F，EF：CD＝1：3．（1）求的值；（2）聯(lián)結(jié)FC，設(shè)，，那么＝，＝.（用向量、表示）13．（2023?奉賢區(qū)一模）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，∠EAD＝∠BDC．（1）求證：AE?BD＝AD?DC；（2）如果點(diǎn)F在邊DC上，且，求證：EF∥BC．14．（2023?青浦區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F在邊AD上，射線BA、CF相交于點(diǎn)E，DF＝2AF．（1）求EA：AB的值；（2）如果，，試用、表示向量．15．（2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AE∥BC，BE與AD、AC分別相交于點(diǎn)F、G，AF2＝FG?FE．（1）求證：△CAD∽△CBG；（2）聯(lián)結(jié)DG，求證：DG?AE＝AB?AG．16．（2022?松江區(qū)二模）已知：如圖，兩個(gè)△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且點(diǎn)A、B、C在一條直線上，聯(lián)結(jié)AE、ED，AE與BD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）如果BE2＝BF?BD，求證：DF＝BE．17．（2023?寶山區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點(diǎn)O，OB＝OC．（1）求證：AB＝CD；（2）E是邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE交AC于點(diǎn)F，如果AO2＝OF?OC，求證：四邊形ABED是平行四邊形．18．（2022秋?徐匯區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE?BD．（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）AE?CD＝BC?ED．19．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且∠E＝∠ABC．（1）求證：AB2＝AC?AE；（2）如圖2，D在BC上且BD＝3CD，延長(zhǎng)AD交BE于F，若＝，求的值．20．（2023?崇明區(qū)二模）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于E，M是邊DC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AM，與邊BC交于F，與對(duì)角線BD交于點(diǎn)G．（1）求證：AG2＝GF?GM；（2）聯(lián)結(jié)CG，如果∠BAG＝∠BCG，求證：平行四邊形ABCD是菱形．21．（2021秋?虹口區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E．點(diǎn)F是線段EC上一點(diǎn)，且∠BDF＝∠BAC．（1）求證：EB2＝EF?EC；（2）如果BC＝6，sin∠BAC＝，求FC的長(zhǎng)．22．（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在線段AD上，CE與BD相交于點(diǎn)H，CE與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，已知DE：AE＝2：3，BC＝4DE，CE＝10．求EH、GE的長(zhǎng)．23．（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB