2024屆山東省日照市高三下學期校際聯(lián)考（三模）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3山東省日照市2024屆高三下學期校際聯(lián)考（三模）數(shù)學試題一、選擇題1.若復數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則（）A.－2 B.－1 C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗因為，所以，，所以故選：D.2.設(shè)拋物線上一點到軸的距離是4，則點到該拋物線焦點的距離是（）A.6 B.8 C.9 D.10〖答案〗A〖解析〗拋物線的焦點為，準線方程為，到軸的距離是4，故到準線的距離是，故點到該拋物線焦點的距離是.故選：A.3.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A. B.36 C. D.18〖答案〗B〖解析〗，故選：B.4.已知和是兩個單位向量，若，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為和是單位向量，所以又因為，所以，所以，所以，又，所以向量與向量的夾角為.故選：B.5.已知，，，則，，的大小順序為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為；，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性知：，故選：A.6.從標有1，2，3，4，5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出現(xiàn)重復編號卡片的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，共有種取法，三次都不重復的取法有種，由加法原理和乘法原理，出現(xiàn)重復編號卡片的概率.故選：B.7.某全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為h（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），若，則S占地球表面積的百分比約為（）A26% B.34% C.42% D.50%〖答案〗C〖解析〗設(shè)表示衛(wèi)星，過作截面，截地球得大圓，過作圓的切線，線段交圓于，如圖，則，，，，則，又，所以設(shè)地球表面積為，則所以．故選：C．8.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗中，由余弦定理可得：，整理可得，又，則，，，則，可得，則，即，故選：C.二、選擇題9.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，其中，滿足關(guān)系式，則（）A.B.若數(shù)據(jù)，則C.數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為D.若，數(shù)據(jù)不全相等，則這組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為1〖答案〗ABD〖解析〗對于A中，由，所以A正確；對于B中，由，因為，故，所以B正確；對于C中，由，其平均數(shù)為，所以C錯誤；對于D中，若，數(shù)據(jù)不全相等，則這組數(shù)據(jù)都分布在直線上，根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的概念，可得相關(guān)系數(shù)為1，所以D正確.故選：ABD.10.在平面直角坐標系中，如圖放置的邊長為2的正方形沿軸滾動（無滑動滾動），點恰好經(jīng)過坐標原點，設(shè)頂點的軌跡方程是，則（）A.方程在上有三個根B.C.在上單調(diào)遞增D.對任意，都有〖答案〗AC〖解析〗分析正方形頂點的運動狀態(tài)可知，當時，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓；當時，的軌跡是以為圓心，半徑為的圓；當時，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓；當時，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖知：函數(shù)的圖象與直線在上有三個交點，即方程在上有三個根，A正確；函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)是偶函數(shù)，B錯誤；函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確；由圖象知：，，，D錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)部分圖象如圖1所示，，分別為圖象的最高點和最低點，過，作軸的垂線，分別交軸于，，點為該部分圖象與軸的交點，與軸的交點為，此時.將繪有該圖象的紙片沿軸折成的二面角，如圖2所示，折疊后，則（）A.B.在上單調(diào)遞增C.在圖2中，上存在唯一一點，使得平面D.在圖2中，若是上兩個不同的點，且滿足，，則的最小值為〖答案〗BD〖解析〗設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，又，平方得，即，所以，即，因為，解得，故，即，所以，則，可得，又因為函數(shù)在附近單調(diào)遞減，且，所以，故A錯誤；對于B選項，因為，當時，，此時單調(diào)遞增，B符合題意；對于C選項，在平面內(nèi)，過點作交軸于，交于，在平面上，過作平行于的直線交于，此時，面，故C錯誤；對于D選項，若，均在上，由可知，平行于軸，此時，若，均在上，作于點，則，又，又，從而面，面，故，而，因此，在圖1中作直線，則為與的交點，不妨設(shè)，為與在軸右側(cè)最近的兩個交點，則此時最小值為，若，不在同一個面上，此時，故D正確.故選：BD.三、填空題12.已知扇形的圓心角為，且弧長為，則該扇形的面積為__________.〖答案〗〖解析〗由題意設(shè)圓心角、弧長、半徑分別為，則，解得，所以該扇形的面積為.故〖答案〗為：.13.已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)P，Q是E上位于x軸上方的兩點，且直線．若則E的離心率為________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，又由橢圓定義，得，所以又因為，所以，所以．故〖答案〗為：.14.在同一平面直角坐標系中，分別是函數(shù)和函數(shù)圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數(shù)的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗由，整理得，即在圓心，半徑為1的半圓上.，令，則，又，所以，當時，，則為單調(diào)遞增，當時，，則為單調(diào)遞減，綜上可知，在處取得極大值，也是最大值，即，于是，即，當且僅當時，等號成立，所以曲線的一條切線為，數(shù)形結(jié)合可知，當分別為對應(yīng)切點，且與兩切線垂直時取得最小值，即的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，即的最小值為.過圓心與垂直的直線方程，所以，當且僅當即時取到最小值.綜上所述，，而恒成立，所以，則的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題15.在五面體中，，.（1）求證：；（2）若，，，點到平面的距離為，求二面角的余弦值.（1）證明：因為，，所以，因為，，所以，因為平面平面，平面，所以.（2）解：由于平面，，所以，平面，故，又因為平面，，平面，所以，又，，，平面，所以平面由于，則，故，故為等腰直角三角形，所以，，如圖以為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，平面的法向量為，因為，，所以，即令，則，設(shè)成的角為，由圖可知為銳角，所以二面角的余弦值為16.電信詐騙是指通過電話、網(wǎng)絡(luò)和短信等方式，編造虛假信息，設(shè)置騙局，對受害人實施遠程詐騙的犯罪行為.隨著5G時代的全面來臨，借助手機、網(wǎng)銀等實施的非接觸式電信詐騙迅速發(fā)展蔓延，不法分子甚至將“魔爪”伸向了學生.為了增強同學們的防范意識，某校舉辦了主題為“防電信詐騙，做反詐達人”的知識競賽.（1）已知該校參加本次競賽的學生分數(shù)近似服從正態(tài)分布，若某同學成績滿足，則該同學被評為“反詐標兵”；若，則該同學被評為“反詐達人”.（i）試判斷分數(shù)為88分的同學能否被評為“反詐標兵”；（ii）若全校共有40名同學被評為“反詐達人”，試估計參與本次知識競賽的學生人數(shù)（四舍五入后取整）.（2）已知該學校有男生1000人，女生1200人，經(jīng)調(diào)查有750名男生和600名女生了解“反詐”知識，用樣本估計總體，現(xiàn)從全校隨機抽出2名男生和3名女生，這5人中了解“反詐”知識的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)：若，則，，（1）解：（i）由題意知，該校參加本次競賽的學生分數(shù)近似服從正態(tài)分布可得，，因為，則該同學能被評為“反詐標兵”.（ii）設(shè)全校參與本次競賽的人數(shù)為，“反詐達人”的概率為：則，解得，所以參與本次知識競賽的學生人數(shù)約為人.（2）解：由題意知，男生了解“反詐”知識的概率為，女生了解“反詐”知識的概率為，隨機變量的所有可能取值為，可得所以隨機變量的分布列為012345所以，期望為.17.已知函數(shù)，，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，對，，求正整數(shù)的最大值.解：（1）函數(shù)的定義域為，求導得，①當時，有，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當時，當時，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）當，時，恒成立，等價于恒成立，設(shè)，，則，當時，有，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，則存在唯一的，使得，即，當時，，；當時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，設(shè)，則當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因為，所以.所以正整數(shù)的最大值是3.18.已知雙曲線的中心為坐標原點，右頂點為，離心率為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點的直線交雙曲線右支于，兩點，交軸于點，且，.（i）求證：為定值；（ii）記，，的面積分別為，，，若，當時，求實數(shù)的范圍.（1）解：設(shè)雙曲線C：由題意得，，則，，所以雙曲線的方程為.（2）（i）證明：如圖：設(shè)，，，由與，得，即，將代入的方程得：，整理得：①，同理由可得②.由①②知，，是關(guān)于的一元二次方程的兩個不等實根.顯然，由韋達定理知，所以為定值.（ii）解：由，即，整理得：，又，不妨設(shè)，則，整理得，又，故，而由（2）知，，故，代入，令，得，由雙勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以的取值范圍是，所以的取值范圍為.19.對于數(shù)列，把作為新數(shù)列的第一項，把或（）作為新數(shù)列的第項，數(shù)列稱為數(shù)列的一個生成數(shù)列．例如，數(shù)列的一個生成數(shù)列是．已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項和．（1）寫出的所有可能值；（2）若生成數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式；（3）證明：對于給定的，的所有可能值組成的集合為．（1）解：由已知，，，∴，由于，∴可能值為．（2）解：∵，當時，，當時，，，，∵是的生成數(shù)列，∴；；；∴在以上各種組合中，當且僅當時，才成立．∴．（3）證明：共有種情形．，即，又，分子必是奇數(shù)，滿足條件的奇數(shù)共有個．設(shè)數(shù)列與數(shù)列為兩個生成數(shù)列，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，從第二項開始比較兩個數(shù)列，設(shè)第一個不相等的項為第項．由于，不妨設(shè)，則，所以，只有當數(shù)列與數(shù)列的前項完全相同時，才有．∴共有種情形，其值各不相同．∴可能值必恰為，共個．即所有可能值集合為．山東省日照市2024屆高三下學期校際聯(lián)考（三模）數(shù)學試題一、選擇題1.若復數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則（）A.－2 B.－1 C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗因為，所以，，所以故選：D.2.設(shè)拋物線上一點到軸的距離是4，則點到該拋物線焦點的距離是（）A.6 B.8 C.9 D.10〖答案〗A〖解析〗拋物線的焦點為，準線方程為，到軸的距離是4，故到準線的距離是，故點到該拋物線焦點的距離是.故選：A.3.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A. B.36 C. D.18〖答案〗B〖解析〗，故選：B.4.已知和是兩個單位向量，若，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為和是單位向量，所以又因為，所以，所以，所以，又，所以向量與向量的夾角為.故選：B.5.已知，，，則，，的大小順序為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為；，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性知：，故選：A.6.從標有1，2，3，4，5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出現(xiàn)重復編號卡片的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，共有種取法，三次都不重復的取法有種，由加法原理和乘法原理，出現(xiàn)重復編號卡片的概率.故選：B.7.某全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為h（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），若，則S占地球表面積的百分比約為（）A26% B.34% C.42% D.50%〖答案〗C〖解析〗設(shè)表示衛(wèi)星，過作截面，截地球得大圓，過作圓的切線，線段交圓于，如圖，則，，，，則，又，所以設(shè)地球表面積為，則所以．故選：C．8.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗中，由余弦定理可得：，整理可得，又，則，，，則，可得，則，即，故選：C.二、選擇題9.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，其中，滿足關(guān)系式，則（）A.B.若數(shù)據(jù)，則C.數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為D.若，數(shù)據(jù)不全相等，則這組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為1〖答案〗ABD〖解析〗對于A中，由，所以A正確；對于B中，由，因為，故，所以B正確；對于C中，由，其平均數(shù)為，所以C錯誤；對于D中，若，數(shù)據(jù)不全相等，則這組數(shù)據(jù)都分布在直線上，根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的概念，可得相關(guān)系數(shù)為1，所以D正確.故選：ABD.10.在平面直角坐標系中，如圖放置的邊長為2的正方形沿軸滾動（無滑動滾動），點恰好經(jīng)過坐標原點，設(shè)頂點的軌跡方程是，則（）A.方程在上有三個根B.C.在上單調(diào)遞增D.對任意，都有〖答案〗AC〖解析〗分析正方形頂點的運動狀態(tài)可知，當時，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓；當時，的軌跡是以為圓心，半徑為的圓；當時，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓；當時，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖知：函數(shù)的圖象與直線在上有三個交點，即方程在上有三個根，A正確；函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)是偶函數(shù)，B錯誤；函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確；由圖象知：，，，D錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)部分圖象如圖1所示，，分別為圖象的最高點和最低點，過，作軸的垂線，分別交軸于，，點為該部分圖象與軸的交點，與軸的交點為，此時.將繪有該圖象的紙片沿軸折成的二面角，如圖2所示，折疊后，則（）A.B.在上單調(diào)遞增C.在圖2中，上存在唯一一點，使得平面D.在圖2中，若是上兩個不同的點，且滿足，，則的最小值為〖答案〗BD〖解析〗設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，又，平方得，即，所以，即，因為，解得，故，即，所以，則，可得，又因為函數(shù)在附近單調(diào)遞減，且，所以，故A錯誤；對于B選項，因為，當時，，此時單調(diào)遞增，B符合題意；對于C選項，在平面內(nèi)，過點作交軸于，交于，在平面上，過作平行于的直線交于，此時，面，故C錯誤；對于D選項，若，均在上，由可知，平行于軸，此時，若，均在上，作于點，則，又，又，從而面，面，故，而，因此，在圖1中作直線，則為與的交點，不妨設(shè)，為與在軸右側(cè)最近的兩個交點，則此時最小值為，若，不在同一個面上，此時，故D正確.故選：BD.三、填空題12.已知扇形的圓心角為，且弧長為，則該扇形的面積為__________.〖答案〗〖解析〗由題意設(shè)圓心角、弧長、半徑分別為，則，解得，所以該扇形的面積為.故〖答案〗為：.13.已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)P，Q是E上位于x軸上方的兩點，且直線．若則E的離心率為________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，又由橢圓定義，得，所以又因為，所以，所以．故〖答案〗為：.14.在同一平面直角坐標系中，分別是函數(shù)和函數(shù)圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數(shù)的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗由，整理得，即在圓心，半徑為1的半圓上.，令，則，又，所以，當時，，則為單調(diào)遞增，當時，，則為單調(diào)遞減，綜上可知，在處取得極大值，也是最大值，即，于是，即，當且僅當時，等號成立，所以曲線的一條切線為，數(shù)形結(jié)合可知，當分別為對應(yīng)切點，且與兩切線垂直時取得最小值，即的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，即的最小值為.過圓心與垂直的直線方程，所以，當且僅當即時取到最小值.綜上所述，，而恒成立，所以，則的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題15.在五面體中，，.（1）求證：；（2）若，，，點到平面的距離為，求二面角的余弦值.（1）證明：因為，，所以，因為，，所以，因為平面平面，平面，所以.（2）解：由于平面，，所以，平面，故，又因為平面，，平面，所以，又，，，平面，所以平面由于，則，故，故為等腰直角三角形，所以，，如圖以為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，平面的法向量為，因為，，所以，即令，則，設(shè)成的角為，由圖可知為銳角，所以二面角的余弦值為16.電信詐騙是指通過電話、網(wǎng)絡(luò)和短信等方式，編造虛假信息，設(shè)置騙局，對受害人實施遠程詐騙的犯罪行為.隨著5G時代的全面來臨，借助手機、網(wǎng)銀等實施的非接觸式電信詐騙迅速發(fā)展蔓延，不法分子甚至將“魔爪”伸向了學生.為了增強同學們的防范意識，某校舉辦了主題為“防電信詐騙，做反詐達人”的知識競賽.（1）已知該校參加本次競賽的學生分數(shù)近似服從正態(tài)分布，若某同學成績滿足，則該同學被評為“反詐標兵”；若，則該同學被評為“反詐達人”.（i）試判斷分數(shù)為88分的同學能否被評為“反詐標兵”；（ii）若全校共有40名同學被評為“反詐達人”，試估計參與本次知識競賽的學生人數(shù)（四舍五入后取整）.（2）已知該學校有男生1000人，女生1200人，經(jīng)調(diào)查有750名男生和600名女生了解“反詐”知識，用樣本估計總體，現(xiàn)從全校隨機抽出2名男生和3名女生，這5人中了解“反詐”知識的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)：若，則，，（1）解：（i）由題意知，該校參加本次競賽的學生分數(shù)近似服從正態(tài)分布可得，，因為，則該同學能被評為“反詐標兵”.（ii）設(shè)全校參與本次競賽的人數(shù)為，“反詐達人”的概率為：則，解得，所以參與本次知識競賽的學生人數(shù)約為人.（2）解：由題意知，男生了解“反詐”知識的概率為，女生了解“反詐”知識的概率為，隨機變量的所有可能取值為，可得所以隨機變量的分布列為012345所以，期望為.17.已知函數(shù)，，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，對，，求正整數(shù)的最大值.解：（1）函數(shù)的定義域為，求導得，①當時，有，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當時，當時，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，