高中三年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)《離散型隨機(jī)變量的方差》教學(xué)設(shè)計(jì)

《7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差》教學(xué)設(shè)計(jì)（一）教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第七章《隨機(jī)變量及其分布列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的方差（二）學(xué)情分析1.認(rèn)知基礎(chǔ)：本節(jié)課是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機(jī)變量分布列的基礎(chǔ)，剛剛學(xué)習(xí)了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望計(jì)算的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的方差.2.認(rèn)知障礙：閱讀理解是本節(jié)課學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn).（三）教學(xué)目標(biāo)（1）通過(guò)實(shí)例,理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念和意義.（2）會(huì)求離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差.（3）會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決一些實(shí)際問(wèn)題.（四）教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：理解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念及其求解難點(diǎn)：利用離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決一些實(shí)際問(wèn)題.（五）教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)：新課引入教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖關(guān)于智力的性別差異，目前研究較多，而且結(jié)論各異，但基本一致的結(jié)論有兩方面：第一，男女智力的總體水平大致相等，但男性智力分布的離散程度比女性大，即很聰明的男性和很笨的男性都比女性多，智力中等的女性比男性多；第二，男女的智力結(jié)構(gòu)存在差異，各自具有自己的優(yōu)勢(shì)領(lǐng)域．男性的知覺(jué)能力較強(qiáng)，尤其是空間知覺(jué)能力，男性明顯優(yōu)于女性．女性的聽(tīng)覺(jué)能力較強(qiáng)，特別是對(duì)聲音的辨別和定位，女性明顯優(yōu)于男性．男性偏于抽象思維，喜歡數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)等學(xué)科．女性長(zhǎng)于形象思維，喜歡語(yǔ)文、歷史、人文地理等學(xué)科．一般地，女性比男性口語(yǔ)發(fā)展早，在語(yǔ)言流暢性及讀、寫、拼等方面均占優(yōu)勢(shì)，但男性在語(yǔ)言理解、言語(yǔ)推理等方面又比女性強(qiáng)．如何定量地描述智力分布的離散程度呢？情景導(dǎo)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣教學(xué)環(huán)節(jié)：自學(xué)新教材，提煉知識(shí)要點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、知識(shí)要點(diǎn)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及方差的性質(zhì)(1)方差及標(biāo)準(zhǔn)差的定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn①方差D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝_____________________.②稱eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)．(2)方差的性質(zhì)：D(aX＋b)＝．二、知識(shí)點(diǎn)的精準(zhǔn)理解和深化探究1：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽。根據(jù)以往的成績(jī)記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何評(píng)價(jià)這兩名同學(xué)的射擊水平？表1X678910P0.090.240.320.280.07表2X678910P0.070.220.380.30.03E(X)=8;E(Y)=8因?yàn)閮蓚€(gè)均值相等，所以均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平。探究2：怎樣定量到離散型隨機(jī)變量取值的離散程度?我們知道,樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度,它是通過(guò)計(jì)算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來(lái)實(shí)現(xiàn)的,一個(gè)自然的想法是,隨機(jī)變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來(lái)度量呢?問(wèn)題1.某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？X1234P4321問(wèn)題2.某人射擊10次,所得環(huán)數(shù)分別是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則這組數(shù)據(jù)的方差是多少？反映這組數(shù)據(jù)相對(duì)于平均值的集中程度的量一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為：Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)也記為Var(X).稱σ(X)=DX因此，問(wèn)題1中兩名同學(xué)射擊成績(jī)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)刻畫它們成績(jī)的穩(wěn)定性。兩名同學(xué)射擊成績(jī)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:因?yàn)镈(Y)<D(X)(等價(jià)地，)，所以隨機(jī)變量Y的取值相對(duì)更集中，即乙同學(xué)的射擊成績(jī)相對(duì)更穩(wěn)定。問(wèn)題3：方差的計(jì)算可以簡(jiǎn)化嗎？D

=問(wèn)題4：離散型隨機(jī)變量X加上一個(gè)常數(shù)，方差會(huì)有怎樣變化？離散型隨機(jī)變量X乘以一個(gè)常數(shù)，方差又有怎樣的變化？它們和期望的性質(zhì)有什么不同？提問(wèn)學(xué)生自學(xué)看教材的知識(shí)要點(diǎn)，從中發(fā)現(xiàn)學(xué)生理解的薄弱點(diǎn)學(xué)生回答并分析，教師補(bǔ)充完善：射擊水平除了要考慮擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度，圖一和圖二分別是X和Y的概率分布圖：發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績(jī)更集中于8環(huán)，即乙同學(xué)的設(shè)計(jì)成績(jī)更穩(wěn)定。離散型隨機(jī)變量取值的方差隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散。問(wèn)題3：方差的計(jì)算可以簡(jiǎn)化嗎？離散型隨機(jī)變量X加上一個(gè)常數(shù)b，僅僅使X的值產(chǎn)生一個(gè)平移，不改變X與其均值的離散程度，方差保持不變，即D(X+b)=D(X)而離散型隨機(jī)變量X乘以一個(gè)常數(shù)a,其方差變?yōu)樵讲畹腶2倍，即D(aX)=a2D(X),因此，D(aX+b)=a2D(X).因材施教，根據(jù)學(xué)生預(yù)習(xí)的結(jié)果，引導(dǎo)下一步教學(xué)發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，暴露學(xué)生思維，教師精準(zhǔn)指導(dǎo)從而建立方差的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。加深學(xué)生對(duì)方差的理解和運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素教學(xué)環(huán)節(jié)：例題剖析教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖例1：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點(diǎn)數(shù)X的方差。解：隨機(jī)變量

E(X【跟蹤訓(xùn)練1】已知η的分布列為η010205060P12121(1)求η的方差及標(biāo)準(zhǔn)差;(2)設(shè)Y=2η-E(η),求D(Y).例2：投資A、B兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表二所示：收益X/元-102概率0.10.30.6表1收益X/元012概率0.30.40.3表2（1）投資哪種股票的期望收益大？（2）投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)較高？解：(1)股票A和股票B投資收益的期望分別為E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.因?yàn)镋(X)>E(Y),所以投資股票A的期望收益較大。（2)股票A和股票B投資收益的方差分別為D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.因?yàn)镋(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以資股票A比投資股票B的風(fēng)險(xiǎn)高。【跟蹤訓(xùn)練2】.A、B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2，根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和X2的分布列分別為求：(1)在A、B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，求方差D(Y1)和D(Y2)；(2)根據(jù)得到的結(jié)論，對(duì)于投資者有什么建議？師生共同分析后學(xué)生計(jì)算，教師展示解答，糾正學(xué)生中不規(guī)范的問(wèn)題，總結(jié)一般方法:方法總結(jié)：方差的計(jì)算方法方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力,在隨機(jī)變量X2的均值比較好計(jì)算的情況下,運(yùn)用關(guān)系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失為一種比較實(shí)用的方法.另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如D(aX+b)=a2D(X)(a≠0).學(xué)生到黑板上做，其余學(xué)生在練習(xí)本上寫過(guò)程，做完教師講解評(píng)價(jià)解:(1)∵E(η)=0×13+10×25+20×115+50×215+60D(η)=(0-16)2×13+(10-16)2×25+(20-16)2×115+(50-16)+(60-16)2×115=∴D(η)=(2)∵Y=2η-E(η),∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1536.方法總結(jié)：利用均值和方差的意義解決實(shí)際問(wèn)題的步驟1.比較均值.離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,因此,在實(shí)際決策問(wèn)題中,需先計(jì)算均值,看一下誰(shuí)的平均水平高.2.在均值相等或接近的情況下計(jì)算方差.方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.通過(guò)計(jì)算方差,分析一下誰(shuí)的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定.3.下結(jié)論.依據(jù)均值和方差做出結(jié)論.解：(1)題目可知，投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)Y1和Y2的分布列為：所以;解：(2)由(1)可知，說(shuō)明投資A項(xiàng)目比投資B項(xiàng)目期望收益要高；同時(shí)，說(shuō)明投資A項(xiàng)目比投資B項(xiàng)目的實(shí)際收益相對(duì)于期望收益的平均波動(dòng)要更大.因此，對(duì)于追求穩(wěn)定的投資者，投資B項(xiàng)目更合適;而對(duì)于更看重利潤(rùn)并且愿意為了高利潤(rùn)承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的投資者，投資A項(xiàng)目更合適.通過(guò)典例剖析，讓學(xué)生體會(huì)方差的一般方法，感受數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的價(jià)值。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。教學(xué)環(huán)節(jié)：課堂檢測(cè)1．給出下列四個(gè)命題：①離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；②離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；④離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值偏離于均值的平均程度．則正確命題應(yīng)該是()A．①④ B．②③ C．①② D．③④2．把下面X的分布列填寫完整：并完成問(wèn)題其中p∈(0,1)，則E(X)＝________，D(X)＝________.X01PP3.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,a=,b=.

X-1012Pabc14.甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境,且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等,而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別如下,甲保護(hù)區(qū):X0123P0.30.30.20.2乙保護(hù)區(qū):Y012P0.10.50.4試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平.發(fā)一張小卷子，當(dāng)堂10分鐘測(cè)驗(yàn)，交上來(lái)批改，其中1-3必做，4根據(jù)具體學(xué)生接受情況和課堂時(shí)間選做1.D2.解析：而由已知分布列的性質(zhì)有p＋x＝1，x=1-pE(X)＝0×(1-p)＋1×p＝p，∴D(X)＝(0－p)2(1-p)＋(1－p)2p＝p(1-p).答案：1-p；p；p(1-p)3.解析:由題知a+b+c=1112,-a+c+16=0,12×a+12×c+22×1解得a=512,b=14.4.解:甲保護(hù)區(qū)違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差為E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差為E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因?yàn)镋(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生的