常微分方程建模教學大綱

《常微分方程》教學大綱一、

計劃學時：72課時二、

適用專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學（師范類）（本、專科）、信息與計算科學（本）三、

課程性質(zhì)與任務：常微分方程是高等師范院校數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)及信息與計算專業(yè)的基礎課之一。本課程主要學習各種基本類型的常微分方程解的性質(zhì)、方程的解法及其某些應用。通過該課程的學習，使學生正確理解常微分方程的基本概念，深入掌握基本理論和主要方法，具有一定的分析問題和解決問題的能力，為學習本課程的近代內(nèi)容與后繼課程打下基礎。在本課程的學習中，通過對數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何和簡單的力學、電學等知識的應用，使學生對已學過的知識得到鞏固與深化；通過該課程的學習，使學生了解常微分方程可應用于工程技術，現(xiàn)代科學與中學數(shù)學的某些問題，從而有助于樹立學生的數(shù)學來源于實踐又服務于實踐的辯證唯物主義觀點。四、目的要求：通過對該課程的教學，使學生掌握某些特殊類型微分方程(組)的初等解法和一般線性微分方程(組)的求解方法及其相關理論，為對非線性微分方程的求解打下一定的基礎。同時，使學生能夠應用數(shù)學手段去研究和解決自然現(xiàn)象與經(jīng)濟建設中的一些具體問題。五、課時安排：總課時：72課時第一章初等積分法18課時第二章基本定理14課時第三章一階線性微分方程組12課時第四章階線性微分方程18課時第五章定性和穩(wěn)定性理論簡介10課時六、課程教學重點與難點：重點：基本概念與基本技能的掌握。難點：計算技巧的掌握、證明題。七、課程教學方法與要求

本課程以課堂講授為主，答疑為輔，學生必須完成一定的作業(yè)量。八、課程考核方法與要求

本課程考核以筆試為主，主要考核學生對基礎理論，基本概念的掌握程度，以及學生邏輯推理能力和計算能力。平時成績占20%，期末成績占80%。九、教學內(nèi)容綱要第一章初等積分法一、教學目的：了解微分方程的產(chǎn)生背景，學習常微分方程課程的意義，知道一階微分方程的初等解法的含義；清楚變量可分離方程、可化為變量分離方程、一階線性方程、恰當方程與一階隱式方程的基本形式和可用降階法求解的高階微分方程的類型；掌握可用初等解法求解的方程的基本類型及其相應的求解方法二、主要內(nèi)容第一節(jié)微分方程和解4課時1、微分方程2、通解與特解3、初值問題4、積分曲線5、初等積分法第二節(jié)變量可分離方程2課時1、顯式變量可分離方程的解法2、微分形式變量可分離方程的解法第三節(jié)齊次方程2課時1、齊次方程的解法2、第二類可化為變量可分離的方程第四節(jié)一階線性微分方程2課時1、一階線性非齊次方程的通解2、伯努利（Bernoulli）方程第五節(jié)全微分方程及積分因子2課時1、全微分方程2、積分因子第六節(jié)一階隱式微分方程2課時第七節(jié)幾種可降階的高階方程1課時1、第一種可降階的高階方程2、第二種可降階的高階方程3、恰當導數(shù)方程第八節(jié)一階微分方程應用舉例3課時1、等角軌線2、動力學問題3、電學問題4、光學問題5、流體混合問題三、基本要求1．理解線性方程與非線性方程，階，解(通解，特解，隱式解)，初值條件，初值問題等概念。2．熟練掌握可分離變量的方程，齊次方程，一階線性方程；伯努力方程，全微分方程的求解方法。3．掌握常數(shù)變易法，記住一階線性方程的通解表達式。4．了解變量變換和積分因子在求解微分方程中的作用，會作簡單的變量變換和會用簡單的積分因子解微分方程。5．理解方向場和積分曲線的關系。6．掌握克萊洛方程的解法，了解奇解的意義。7．熟練掌握d２y／dx２=f(x，dy／dx)，d２y／dx２=f(y，dy／dx)的降階法。8．會用已有知識建立常微分方程及其相應的條件解決簡單的幾何、物理問題。1、線性系統(tǒng)初等奇點附近的軌線分布2、平面非線性自治系統(tǒng)初等奇點附近的軌線分布3、極限環(huán)的概念4、極限環(huán)的存在性與不存在性三、基本要求：1．理解相平面、奇點、軌線等概念，理解軌線的性質(zhì)。2．能熟練地用方程的系數(shù)確定二維自治線性系統(tǒng)的初等奇點的類型和穩(wěn)定性，了解它們的相圖。3．對裴戎(perron)定理只要求了解它的條件和結(jié)論，會用裴戎定理判別奇點的類型和穩(wěn)定性。4．對于極限環(huán)只要求通過例子了解它的概念。5．理解李雅普諾夫關于解的穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、不穩(wěn)定的概念6．掌握自治系統(tǒng)關于零解穩(wěn)定性的一次近似定理。7．理解自治系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)的概念，理解自治系統(tǒng)的李雅普諾夫第二方法關于零解穩(wěn)定，漸近穩(wěn)定的定理。8．會構(gòu)造簡單的李雅普諾夫函數(shù)判斷自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定。十、教材與參考書：教材：《常微分方程》（第二版），東北師范大學微分方程組教研室編，高等教育出版社，2005.參考資料：1．《常微分方程》（第二版），王高雄等編，高等教育出版社，2001.2．《常微分方程講義》（第二版），丁