常微分方程5資料

第五章線性微分方程組[教學(xué)目標(biāo)]理解線性微分方程組解的存在唯一性定理，掌握一階齊（非齊）線性微分方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，理解n階線性微分方程與一階線性微分方程組的關(guān)系。掌握非齊次線性微分方程組的常數(shù)變易法，理解常系數(shù)齊線性微分方程組基解矩陣的概念，掌握求基解矩陣的方法。掌握常系數(shù)線性微分方程組的Laplce變換法。[教學(xué)中難點(diǎn)]求解常系數(shù)非齊次線性微分方程組[教學(xué)方法]講授，實(shí)踐。[教學(xué)時(shí)間]16學(xué)時(shí)[教學(xué)內(nèi)容]n階線性微分方程與一階線性微分方程組的關(guān)系，一階線性微分方程組解的存在唯一性定理；齊（非齊）線性微分方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，求解非齊次線性微分方程組的常數(shù)變易法；常系數(shù)齊線性微分方程組的基解矩陣及求基解矩陣的方法；求常系數(shù)線性微分方程組的Laplce變換法。[考核目標(biāo)]1.線性微分方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)。2.能夠求解常系數(shù)線性微分方程組?！?.1存在唯一性定理5.1.1記號(hào)和定義考察形如SKIPIF1<0（5.1）的一階線性微分方程組，其中已知函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上上是連續(xù)的。方程組（5.1）關(guān)于SKIPIF1<0及SKIPIF1<0是線性的.引進(jìn)下面的記號(hào)：SKIPIF1<0（5.2）這里SKIPIF1<0是SKIPIF1<0矩陣，它的元素是SKIPIF1<0個(gè)函數(shù)SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（5.3）這里SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0矩陣或SKIPIF1<0維列向量。注意，矩陣相加、矩陣相乘、矩陣與純量相乘等等性質(zhì)對(duì)于以函數(shù)作為元素的矩陣同樣成立。這樣一來，方程組（5.1）可以寫成下面的形式SKIPIF1<0（5.4）引進(jìn)下面的概念。一個(gè)矩陣或者一個(gè)向量在區(qū)間SKIPIF1<0上稱為連續(xù)的，如果它的每一個(gè)元素都是區(qū)間SKIPIF1<0上的連續(xù)函數(shù)。一個(gè)SKIPIF1<0矩陣SKIPIF1<0或者一個(gè)SKIPIF1<0維列向量SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上稱為可微的，如果它的每一個(gè)元素都在區(qū)間SKIPIF1<0上可微。它們的導(dǎo)數(shù)分別由下式給出：SKIPIF1<0SKIPIF1<0不難證明，如果SKIPIF1<0矩陣SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0維向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是可微的，那么下列等式成立：（Ⅰ）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（Ⅱ）SKIPIF1<0（Ⅲ）SKIPIF1<0類似地，矩陣SKIPIF1<0或者向量SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上稱為可積的，如果它的每一個(gè)元素都在區(qū)間SKIPIF1<0上可積。它們的積分分別由下式給出：SKIPIF1<0由此即得SKIPIF1<0同時(shí)，我們也得到SKIPIF1<0這就是說，SKIPIF1<0是（5.6）的一個(gè)解?？傊?，由上面的討論，我們已經(jīng)證明了初值問題（5.6）與（5.7）在下面的意義下是等價(jià)的：給定其中一個(gè)初值問題的解，我們可以構(gòu)造另一個(gè)初值問題的解。值得指出的是：每一個(gè)SKIPIF1<0階線性微分方程可化為SKIPIF1<0個(gè)一階線性微分方程構(gòu)成的方程組，反之卻不成立。例如方程組SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能化為一個(gè)二階微分方程。5.1.2存在唯一性定理本節(jié)我們研究初值問題SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（5.5）的解的存在唯一性定理。類似與第三章，我們通過五個(gè)小命題，采用逐步逼近法來證明定理。因?yàn)楝F(xiàn)在討論的是方程組（寫成向量的形式），所以有些地方稍微復(fù)雜些，而且要引進(jìn)向量、矩陣的“范數(shù)”及向量函數(shù)序列的收斂性等概念；然而由于方程是線性的，所以有些地方又顯得簡(jiǎn)單些，而且結(jié)論也加強(qiáng)了?？傊?，我們要比較第三章中的證明和現(xiàn)在的證明的異同，從對(duì)比中加深對(duì)問題的理解。對(duì)于SKIPIF1<0矩陣SKIPIF1<0和SKIPIF1<0維向量SKIPIF1<0，我們定義它的范數(shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0矩陣，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0維向量，這時(shí)容易驗(yàn)證下面兩個(gè)性質(zhì)：１）SKIPIF1<0SKIPIF1<0２）SKIPIF1<0SKIPIF1<0向量序列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，稱為收斂的，如果對(duì)每一個(gè)SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0都是收斂的。向量函數(shù)序列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0稱為在區(qū)間SKIPIF1<0上收斂的（一致收斂的），如果對(duì)于每一個(gè)SKIPIF1<0函數(shù)序列SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是收斂的（一致收斂的），易知，區(qū)間SKIPIF1<0上的連續(xù)向量函數(shù)序列SKIPIF1<0的一致收斂極限向量函數(shù)仍是連續(xù)的。向量函數(shù)級(jí)數(shù)SKIPIF1<0稱為在區(qū)間SKIPIF1<0上是收斂的（一致收斂的），如果其部分和作成的向量函數(shù)序列在區(qū)間SKIPIF1<0上是收斂的（一致收斂的）。判別通常的函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂性的維氏判別法對(duì)于向量函數(shù)級(jí)數(shù)也是成立的，這就是說，如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0而級(jí)數(shù)SKIPIF1<0是收斂的，則SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是一致收斂的。積分號(hào)下取極限的定理對(duì)于向量函數(shù)也成立，這就是說，如果連續(xù)向量函數(shù)序列SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是一致收斂的，則SKIPIF1<0注意，以上談到的是向量序列的有關(guān)定義和結(jié)果，對(duì)于一般矩陣序列，可以得到類似的定義和結(jié)果。例如，SKIPIF1<0矩陣序列SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0稱為收斂的，如果對(duì)于一切SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0都是收斂的。無窮矩陣級(jí)數(shù)SKIPIF1<0稱為收斂的，如果它的部分和所成序列是收斂的。如果對(duì)于每一個(gè)整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0而數(shù)值級(jí)數(shù)SKIPIF1<0是收斂的，則SKIPIF1<0也是收斂的。同樣，可以給出無窮矩陣函數(shù)級(jí)數(shù)SKIPIF1<0的一致收斂性的定義和有關(guān)結(jié)果。定理１（存在唯一性定理）如果SKIPIF1<0是SKIPIF1<0矩陣。SKIPIF1<0是SKIPIF1<0維列向量，它們都在區(qū)間SKIPIF1<0上連續(xù)，則對(duì)于區(qū)間SKIPIF1<0上的任何數(shù)SKIPIF1<0及任一常數(shù)向量SKIPIF1<0方程組SKIPIF1<0（5.4）存在唯一解SKIPIF1<0，定義于整個(gè)區(qū)間SKIPIF1<0上，且滿足初始條件SKIPIF1<0。類似于第三章，我們分成五個(gè)小命題來證明.命題１設(shè)SKIPIF1<0是方程組（５.４）的定義與區(qū)間SKIPIF1<0上且滿足初始條件SKIPIF1<0的解，則SKIPIF1<0是積分方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（5.8）的定義于SKIPIF1<0上的連續(xù)解，反之亦然。證明完全類似于第三章，茲不累贅?，F(xiàn)在取SKIPIF1<0，構(gòu)造皮卡逐步逼近向量函數(shù)序列如下：SKIPIF1<0向量函數(shù)SKIPIF1<0稱為（5.4）的第SKIPIF1<0次近似解。應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法立刻推得命題２：命題２對(duì)于所有的正整數(shù)SKIPIF1<0，向量函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上有定義且連續(xù)。命題３向量函數(shù)序列SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是一致收斂的。命題４SKIPIF1<0是積分方程（5.8）的定義在區(qū)間SKIPIF1<0上的連續(xù)解。命題５設(shè)SKIPIF1<0是積分方程（5.8）的定義于SKIPIF1<0上的一個(gè)連續(xù)解，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）。綜合命題１—５，即得到存在唯一性定理的證明。值得指出的是，關(guān)于線性微分方程組的解SKIPIF1<0的定義區(qū)間是系數(shù)矩陣SKIPIF1<0和非齊次項(xiàng)SKIPIF1<0在其上連續(xù)的整個(gè)區(qū)間SKIPIF1<0。在構(gòu)造逐步逼近函數(shù)序列SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的定義區(qū)間已經(jīng)是整個(gè)SKIPIF1<0，不像第三章對(duì)于一般方程那樣，解只存在于SKIPIF1<0的某個(gè)鄰域，然后經(jīng)過延拓才能使解定義在較大的區(qū)間。注意到5.1.1中關(guān)于SKIPIF1<0階線性方程的初值問題（5.6）與線性微分方程組的初值問題（5.7）的等價(jià)性的論述，立即由本節(jié)的存在唯一性定理可以推得關(guān)于SKIPIF1<0階線性微分方程的解的存在唯一性定理。推論（即第四章的定理１）如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是區(qū)間SKIPIF1<0上的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間SKIPIF1<0上的任何數(shù)SKIPIF1<0及任何的SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0存在唯一解SKIPIF1<0，定義于整個(gè)區(qū)間SKIPIF1<0上且滿足初始條件：SKIPIF1<0。§5.２線性微分方程組的一般理論現(xiàn)在討論線性微分方程組SKIPIF1<0（5.14）的一般理論，主要是研究它的解的結(jié)構(gòu)問題。如果SKIPIF1<0，則（5.14）稱為非齊線性的。如果SKIPIF1<0，則方程的形式為SKIPIF1<0（5.15）稱（5.15）為齊線性方程組，通常（5.15）稱為對(duì)應(yīng)于（5.14）的齊線性方程組。５.２.１齊線性微分方程組本段主要研究齊線性方程組（５.１５）的所有解的集合的代數(shù)結(jié)構(gòu)問題。我們假設(shè)矩陣SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是連續(xù)的。設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是（5.15）的任意兩個(gè)解，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是兩個(gè)任意常數(shù)。根據(jù)向量函數(shù)的微分法則，即知SKIPIF1<0也是（5.15）的解，由此得到齊線性方程組的疊加原理。定理２（疊加原理）如果SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是（5.15）的解，則它們的線性組合SKIPIF1<0也是（5.15）的解，這里SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是任意常數(shù)。定理２說明，（5.15）的所有解的集合構(gòu)成一個(gè)線性空間。自然要問：此空間的維數(shù)是多少呢？為此，我們引進(jìn)向量函數(shù)SKIPIF1<0線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念。設(shè)SKIPIF1<0是定義在區(qū)間SKIPIF1<0上的向量函數(shù)，如果存在不全為零的常數(shù)SKIPIF1<0，使得恒等式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立；稱向量函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上線性相關(guān),否則，稱SKIPIF1<0為線性無關(guān)的。設(shè)有SKIPIF1<0個(gè)定義在區(qū)間SKIPIF1<0上的向量函數(shù)SKIPIF1<0由這SKIPIF1<0個(gè)向量函數(shù)構(gòu)成的行列式SKIPIF1<0稱為這些向量函數(shù)的伏朗斯基行列式。定理３如果向量函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上線性相關(guān)，則它們的伏朗斯基行列式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。證明由假設(shè)可知存在不全為零的常數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（5.16）把（5.16）看成是以SKIPIF1<0為未知量的齊次線性代數(shù)方程組，這方程組的系數(shù)行列式就是SKIPIF1<0的伏朗斯基行列式SKIPIF1<0。由齊次線性代數(shù)方程組的理論知道，要此方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式應(yīng)為零，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0定理證畢。定理４如果（5.15）的解SKIPIF1<0線性無關(guān)，那么，它們的伏朗斯基行列式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。證明我們采用反證法。設(shè)有某一個(gè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0?？紤]下面的齊次線性代數(shù)方程組：SKIPIF1<0（5.17）它的系數(shù)行列式就是SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以（5.17）有非零解SKIPIF1<0，以這個(gè)非零解SKIPIF1<0構(gòu)成向量函數(shù)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（5.18）根據(jù)定理２，易知SKIPIF1<0是（5.15）的解。注意到（5.17），知道這個(gè)解SKIPIF1<0滿足初始條件SKIPIF1<0（5.19）但是，在SKIPIF1<0上恒等于零的向量函數(shù)０也是（5.15）的滿足初始條件（5.19）的解。由解的唯一性，知道SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0不全為零，這就與SKIPIF1<0線性無關(guān)的假設(shè)矛盾，定理得證。由定理３，定理4可以知道，由（5.15）的SKIPIF1<0個(gè)解SKIPIF1<0作成的伏朗斯基行列式SKIPIF1<0，或者恒等于零，或者恒不等于零.定理５（5.15）一定存在SKIPIF1<0個(gè)線性無關(guān)的解SKIPIF1<0.證明任取SKIPIF1<0，根據(jù)解的存在唯一性定理，（5.15）分別滿足初始條件SKIPIF1<0的解SKIPIF1<0一定存在。又因?yàn)檫@SKIPIF1<0個(gè)解SKIPIF1<0的伏朗斯基行列式SKIPIF1<0，故根據(jù)定理３，SKIPIF1<0是線性無關(guān)的，定理證畢。定理６如果SKIPIF1<0是（5.15）的SKIPIF1<0個(gè)線性無關(guān)的解，則（5.15）的任一解SKIPIF1<0均可表為SKIPIF1<0這里SKIPIF1<0是相應(yīng)的確定常數(shù)。證明任取SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0（5.20）把（5.20）看作是以SKIPIF1<0為未知量的線性代數(shù)方程組。這方程組的系數(shù)行列式就是SKIPIF1<0。因?yàn)镾KIPIF1<0是線性無關(guān)的，根據(jù)定理４知道SKIPIF1<0。由線性代數(shù)方程組的理論，方程組(5.20)有唯一解SKIPIF1<0。以這組確定了的SKIPIF1<0構(gòu)成向量函數(shù)SKIPIF1<0，那么，根據(jù)疊加原理，它是（5.15）的解。注意到（5.20），可知（5.15）的兩個(gè)解SKIPIF1<0及SKIPIF1<0具有相同的初始條件。由解的唯一性，得到SKIPIF1<0定理證畢。推論１（5.15）的線性無關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于SKIPIF1<0.（5.15）的SKIPIF1<0個(gè)線性無關(guān)的解SKIPIF1<0稱為（5.15）的一個(gè)基本解組。顯然，（5.15）具有無窮多個(gè)不同的基本解組.由定理5和定理6，我們知道（5.15）的解空間的維數(shù)是SKIPIF1<0.即（5.15）的所有解構(gòu)成了一個(gè)SKIPIF1<0維的線性空間.注意到5.1.1節(jié)關(guān)于SKIPIF1<0階線性微分方程的初值問題（5.6）與線性微分方程組的初值問題（5.7）的等價(jià)性，本節(jié)的所有定理都可以平行地推論到SKIPIF1<0階線性微分方程上去。從本節(jié)的定理2容易推得第四章的定理2。參看4.1.2中關(guān)于純量函數(shù)組的線性相關(guān)概念，可以證明：一組SKIPIF1<0次可微的純量函數(shù)SKIPIF1<0線性相關(guān)的充要條件是向量函數(shù)SKIPIF1<0（*）線性相關(guān)。事實(shí)上，如果SKIPIF1<0線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0將上式對(duì)SKIPIF1<0微分一次，二次，…，SKIPIF1<0次，得到SKIPIF1<0即有SKIPIF1<0（**）這就是說，向量函數(shù)組（*）是線性相關(guān)的。反之，如果向量函數(shù)（*）線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)SKIPIF1<0使得（**）成立，當(dāng)然有SKIPIF1<0，這就表明SKIPIF1<0線性相關(guān)。推論2如果SKIPIF1<0是SKIPIF1<0階微分方程SKIPIF1<0（5.21）的SKIPIF1<0個(gè)線性無關(guān)解，其中SKIPIF1<0是區(qū)間SKIPIF1<0上的連續(xù)函數(shù)，則（5.21）的任一解SKIPIF1<0均可表為SKIPIF1<0這里SKIPIF1<0是相應(yīng)的確定常數(shù)。如果SKIPIF1<0是（5.21）的SKIPIF1<0個(gè)線性無關(guān)解，根據(jù)SKIPIF1<0階微分方程通解的概念及SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0就是（5.21）的通解，其中SKIPIF1<0是任意常數(shù)?，F(xiàn)在，將本節(jié)的定理寫成矩陣的形式。如果一個(gè)SKIPIF1<0矩陣的每一列都是（5.15）的解，稱這個(gè)矩陣為（5.15）的解矩陣。如果它的列在SKIPIF1<0上是線性無關(guān)的解矩陣,稱為在SKIPIF1<0上（5.15）的基解矩陣。用SKIPIF1<0表示由（5.15）的SKIPIF1<0個(gè)線性無關(guān)的解SKIPIF1<0作為列構(gòu)成的基解矩陣。定理５和定例６即可以表述為如下的定理SKIPIF1<0。定理SKIPIF1<0（5.15）一定存在一個(gè)基解矩陣SKIPIF1<0。如果SKIPIF1<0是（5.15）的任一解，那么SKIPIF1<0（5.22）這里SKIPIF1<0是確定的SKIPIF1<0維常數(shù)列向量。定理SKIPIF1<0（5.15）的一個(gè)解矩陣SKIPIF1<0是基解矩陣的充要條件是SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）。而且，如果對(duì)某一個(gè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。（SKIPIF1<0表示矩陣SKIPIF1<0的行列式）。要注意：行列式恒等于零的矩陣的列向量未必是線性相關(guān)的。例１驗(yàn)證SKIPIF1<0是方程組SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0的基解矩陣。解首先，我們證明SKIPIF1<0是解矩陣。令SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的第一列，這時(shí)SKIPIF1<0這表示SKIPIF1<0是一個(gè)解。同樣，如果以SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的第二列，我們有SKIPIF1<0這表示SKIPIF1<0也是一個(gè)解。因此，SKIPIF1<0是解矩陣。其次，根據(jù)定理SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是基解矩陣。推論SKIPIF1<0如果SKIPIF1<0是（5.15）在區(qū)間SKIPIF1<0上的基解矩陣，SKIPIF1<0是非奇異SKIPIF1<0常數(shù)矩陣，那么，SKIPIF1<0也是（5.15）在區(qū)間SKIPIF1<0上的基解矩陣。證明首先，根據(jù)解矩陣的定義易知，方程（5.15）的任一解矩陣SKIPIF1<0必滿足關(guān)系SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）反之亦然?，F(xiàn)令SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）微分上式，并注意到SKIPIF1<0為方程的基解矩陣，SKIPIF1<0為常數(shù)矩陣，得到SKIPIF1<0即SKIPIF1<0是（5.15）的解矩陣。又由SKIPIF1<0的非奇異性，我們有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）因此由定理SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0是（5.15）的基解矩陣。推論SKIPIF1<0如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是SKIPIF1<0的兩個(gè)基解矩陣，那么，存在一個(gè)非奇異SKIPIF1<0常數(shù)矩陣SKIPIF1<0，使得在區(qū)間SKIPIF1<0上SKIPIF1<0。證明因?yàn)镾KIPIF1<0為基解矩陣，故其逆矩陣SKIPIF1<0一定存在?，F(xiàn)令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）易知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0可微矩陣，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）于是SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）由此推知SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），即SKIPIF1<0為常數(shù)矩陣，記為SKIPIF1<0。因此我們有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）其中SKIPIF1<0為非奇異的SKIPIF1<0常數(shù)矩陣推論SKIPIF1<0得證。5.2.2非齊線性微分方程組本段討論非齊線性微分方程組SKIPIF1<0（5.14）的解的結(jié)構(gòu)問題，這里SKIPIF1<0是區(qū)間SKIPIF1<0上的已知SKIPIF1<0連續(xù)矩陣，SKIPIF1<0是區(qū)間SKIPIF1<0上的已知SKIPIF1<0維連續(xù)列向量，向量SKIPIF1<0通常稱為強(qiáng)迫項(xiàng)，因?yàn)槿绻?.14）描述一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)，SKIPIF1<0就代表外力。容易驗(yàn)證（5.14）的兩個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)：性質(zhì)1如果SKIPIF1<0是（5.14）的解，SKIPIF1<0是（5.14）對(duì)應(yīng)的齊線性方程組（5.15）的解，則SKIPIF1<0是（5.14）的解。性質(zhì)2如果SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是（5.14）的兩個(gè)解，則SKIPIF1<0是（5.15）的解。下面的定理7給出（5.14）的解的結(jié)構(gòu)。定理7設(shè)SKIPIF1<0是（5.15）的基解矩陣，SKIPIF1<0是（5.14）的某一解，則（5.14）的任一解SKIPIF1<0都可表為SKIPIF1<0（5.23）這里SKIPIF1<0是確定的常數(shù)列向量。證明由性質(zhì)2我們知道SKIPIF1<0是（5.15）的解，再由5.2.1的定理SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0這里SKIPIF1<0是確定的常數(shù)列向量，由此即得SKIPIF1<0定理證畢。定理7告訴我們，為了尋求（5.15）的任一解，只要知道（5.14）的一個(gè)解和它對(duì)應(yīng)的齊線性方程組（5.15）的基解矩陣。在知道（5.15）的基解矩陣SKIPIF1<0的情況下，尋求（5.14）的解SKIPIF1<0的簡(jiǎn)單的方法常數(shù)變易法。由定理SKIPIF1<0可知,如果SKIPIF1<0是常數(shù)列向量，則SKIPIF1<0是（5.15）的解，它不可能是（5.14）的解。因此，將SKIPIF1<0變易為SKIPIF1<0的向量函數(shù)，而試圖尋求（5.14）的形如SKIPIF1<0（5.24）的解。這里SKIPIF1<0是待定的向量函數(shù)。假設(shè)（5.14）存在形如（5.24）的解，這時(shí)，將（5.24）代入（5.14）得到SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0是（5.15）的基解矩陣，所以SKIPIF1<0，由此上式中含有SKIPIF1<0的項(xiàng)消去了。因而SKIPIF1<0必須滿足關(guān)系式SKIPIF1<0（5.25）因?yàn)樵趨^(qū)間SKIPIF1<0上SKIPIF1<0是非奇異的，所以SKIPIF1<0存在。用SKIPIF1<0左乘（5.25）兩邊，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0。這樣，（5.24）變?yōu)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0（5.26）因此，如果（5.14）有一個(gè)形如（5.24）的解SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由公式（5.26）決定。反之，用公式（5.26）決定的向量函數(shù)SKIPIF1<0必定是（5.14）的解。事實(shí)上，微分（5.26）得到SKIPIF1<0再利用公式（5.26），即得SKIPIF1<0顯然，還有SKIPIF1<0，這樣一來，我們就得到了下面的定理8。定理8如果SKIPIF1<0是（5.15）的基解矩陣，則向量函數(shù)SKIPIF1<0是（5.14）的解，且滿足初始條件SKIPIF1<0由定理7和定理8容易看出（5.14）的滿足初始條件SKIPIF1<0的解SKIPIF1<0由下面公式給出SKIPIF1<0（5.27）這里SKIPIF1<0是（5.15）的滿足初始條件SKIPIF1<0的解。公式（5.26）或公式（5.27）稱為非齊線性微分方程組（5.14）的常數(shù)變易公式。第五章例2SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解在例1中我們已經(jīng)知道SKIPIF1<0是對(duì)應(yīng)的齊線性方程組的基解矩陣。取矩陣SKIPIF1<0的逆，我們得到：SKIPIF1<0這樣，由定理8，滿足初始條件SKIPIF1<0的解就是SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，對(duì)應(yīng)的齊線性方程組滿足初始條件SKIPIF1<0的解就是SKIPIF1<0由公式（5.27），所求解就是SKIPIF1<0注意到5.1.1關(guān)于SKIPIF1<0階線性微分方程的初值問題（5.6）與線性微分方程組的初值問題（5.7）等價(jià)性的討論，我們可以得到關(guān)于SKIPIF1<0階非齊線性微分方程的常數(shù)變易公式。推論3如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是區(qū)間SKIPIF1<0上的連續(xù)函數(shù)，SKIPIF1<0是區(qū)間SKIPIF1<0上齊線性方程SKIPIF1<0（5.21）的基本解組，那么，非齊線性方程SKIPIF1<0（5.28）的滿足初始條件SKIPIF1<0SKIPIF1<0的解由下面公式給出SKIPIF1<0(5.29)這里SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的伏朗斯基行列式，SKIPIF1<0是在SKIPIF1<0中的第SKIPIF1<0列代以SKIPIF1<0后得到的行列式，而且（5.28）的任一解SKIPIF1<0都具有形式SKIPIF1<0（5.30）這里SKIPIF1<0是適當(dāng)選取的常數(shù)。公式（5.29）稱為（5.28）的常數(shù)變易公式。這時(shí)方程（5.28）的通解可以表為SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0是任意常數(shù)。并且由推論3知道，它包括了方程（5.28）的所有解。這就是第四章定理7的結(jié)論。當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，公式（5.29）就是SKIPIF1<0但是SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，常數(shù)變易公式變?yōu)镾KIPIF1<0（5.31）而通解就是SKIPIF1<0（5.32）這里SKIPIF1<0是任意常數(shù).例3試求方程SKIPIF1<0的一個(gè)解。解易知對(duì)應(yīng)的齊線性方程SKIPIF1<0的基本解組為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。直接利用公式（5.31）來求方程的一個(gè)解。這時(shí)SKIPIF1<0由公式（5.31）即得（取SKIPIF1<0）SKIPIF1<0注意，因?yàn)镾KIPIF1<0是對(duì)應(yīng)的齊線性方程的一個(gè)解，所以函數(shù)SKIPIF1<0也是原方程的一個(gè)解?！?.3常系數(shù)線性微分方程組本節(jié)研究常系數(shù)線性微分方程組的問題，主要討論齊線性微分方程組SKIPIF1<0（5.33）的基解矩陣的結(jié)構(gòu)，這里SKIPIF1<0是SKIPIF1<0常數(shù)矩陣。我們將通過代數(shù)的方法，尋求（5.33）的一個(gè)基解矩陣。最后討論拉普拉斯變換在常系數(shù)線性微分方程組中的應(yīng)用。5.3.1矩陣指數(shù)SKIPIF1<0的定義和性質(zhì)為了尋求（5.33）的一個(gè)基解矩陣，需要定義矩陣指數(shù)SKIPIF1<0（或?qū)懽鱏KIPIF1<0），這要利用5.1.2中關(guān)于矩陣序列的有關(guān)定義和結(jié)果。如果SKIPIF1<0是一個(gè)SKIPIF1<0常數(shù)矩陣，我們定義矩陣指數(shù)SKIPIF1<0為下面的矩陣級(jí)數(shù)的和SKIPIF1<0（5.34）其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0階單位矩陣，SKIPIF1<0是矩陣SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次冪。這里我們規(guī)定SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。這個(gè)級(jí)數(shù)對(duì)于所有的SKIPIF1<0都是收斂的，因而，SKIPIF1<0是一個(gè)確定的矩陣。事實(shí)上，由5.1.2中的性質(zhì)SKIPIF1<0，易知對(duì)于一切正整數(shù)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0又因?qū)τ谌我痪仃嘢KIPIF1<0，SKIPIF1<0是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以數(shù)值級(jí)數(shù)SKIPIF1<0是收斂的（注意，它的和是SKIPIF1<0）。由5.1.2知道，如果一個(gè)矩陣級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)的范數(shù)都小于一個(gè)收斂的數(shù)值級(jí)數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，則這個(gè)矩陣級(jí)數(shù)是收斂的，因而（5.34）對(duì)于一切矩陣SKIPIF1<0都是絕對(duì)收斂的。級(jí)數(shù)SKIPIF1<0（5.35）在SKIPIF1<0的任何有限區(qū)間上是一致收斂的。事實(shí)上，對(duì)于一切正整數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是某一正常數(shù)）時(shí)，有SKIPIF1<0而數(shù)值級(jí)數(shù)SKIPIF1<0是收斂的，因而（5.35）是一致收斂的。矩陣指數(shù)SKIPIF1<0有如下性質(zhì)：SKIPIF1<0如果矩陣SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是可交換的，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（5.36）事實(shí)上，由于矩陣級(jí)數(shù)（5.34）是絕對(duì)收斂的，因而關(guān)于絕對(duì)收斂數(shù)值級(jí)數(shù)運(yùn)算的一些定理，如項(xiàng)的重新排列不改變級(jí)數(shù)的收斂性和級(jí)數(shù)的和以及級(jí)數(shù)的乘法定理等都同樣地可以用到矩陣級(jí)數(shù)中來。由二項(xiàng)式定理及SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（5.37）另一方面，由絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法定理得SKIPIF1<0（5.38）比較（5.37）和（5.38），推得（5.36）.SKIPIF1<0對(duì)于任何矩陣SKIPIF1<0，SKIPIF1<0存在，且SKIPIF1<0（5.39）事實(shí)上，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是可交換的，故在（5.36）中，令SKIPIF1<0，我們推得SKIPIF1<0由此即有SKIPIF1<0SKIPIF1<0如果SKIPIF1<0是非奇異矩陣，則SKIPIF1<0（5.40）事實(shí)上SKIPIF1<0定理9矩陣SKIPIF1<0（5.41）是（5.33）的基解矩陣，且SKIPIF1<0.證明由定義易知SKIPIF1<0，微分（5.41），我們得到SKIPIF1<0這就表明，SKIPIF1<0是（5.33）的解矩陣，又因?yàn)镾KIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0是（5.33）的基解矩陣。證畢。由定理9，我們可以利用這個(gè)基解矩陣推知（5.33）的任一解SKIPIF1<0都具有形式SKIPIF1<0（5.42）這里SKIPIF1<0是一個(gè)常數(shù)向量。在某些特殊情況下，容易得到（5.33）的基解矩陣SKIPIF1<0的具體形式。例1如果SKIPIF1<0是一個(gè)對(duì)角形矩陣，SKIPIF1<0（非主對(duì)角線上的元素都是零），試找出SKIPIF1<0的基解矩陣。解由（5.34）可得SKIPIF1<0根據(jù)定理9，這就是一個(gè)基解矩陣，當(dāng)然，這個(gè)結(jié)果是很明顯的，因?yàn)樵诂F(xiàn)在的情況下，方程組可以寫成SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，它可以分別進(jìn)行積分。例2試求SKIPIF1<0的基解矩陣。解因?yàn)镾KIPIF1<0，而且后面的兩個(gè)矩陣是可交換的，我們得到SKIPIF1<0但是，SKIPIF1<0所以，級(jí)數(shù)只有兩項(xiàng)。因此，基解矩陣就是SKIPIF1<05.3.2基解矩陣的計(jì)算公式定理9告訴我們，（5.33）的基解矩陣就是矩陣SKIPIF1<0.但是SKIPIF1<0是一個(gè)矩陣級(jí)數(shù)，這個(gè)矩陣的每一個(gè)元素是什么呢？事實(shí)上還沒有具體給出，上面只就一些很特殊的情況，計(jì)算了SKIPIF1<0的元素。本段利用線性代數(shù)的基本知識(shí)，仔細(xì)地討論SKIPIF1<0的計(jì)算方法，從而解決常系數(shù)線性微分方程組的基解矩陣的結(jié)構(gòu)問題。為了計(jì)算（5.33）的基解矩陣SKIPIF1<0，我們需要引進(jìn)矩陣的特征值和特征向量的概念。類似于第四章的4.2.2，試圖尋求SKIPIF1<0（5.33）的形如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（5.43）的解，其中常數(shù)SKIPIF1<0和向量SKIPIF1<0是待定的。為此，將（5.43）代入（5.33），得到SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，上式變?yōu)镾KIPIF1<0（5.44）這就表示，SKIPIF1<0是（5.33）的解的充要條件是常數(shù)SKIPIF1<0和向量SKIPIF1<0滿足方程（5.44）。方程（5.44）可以看作是向量SKIPIF1<0的SKIPIF1<0個(gè)分量的一個(gè)齊次線性代數(shù)方程組，根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，這個(gè)方程組具有非零解的充要條件就是SKIPIF1<0滿足方程SKIPIF1<0這就引出下面的定義：假設(shè)SKIPIF1<0是一個(gè)SKIPIF1<0常數(shù)矩陣，使得關(guān)于SKIPIF1<0的線性代數(shù)方程組SKIPIF1<0（5.45）具有非零解的常數(shù)SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0的一個(gè)特征值。（5.45）的對(duì)應(yīng)于任一特征值SKIPIF1<0的非零解SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)于特征值SKIPIF1<0的特征向量。SKIPIF1<0次多項(xiàng)式SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0的特征多項(xiàng)式，SKIPIF1<0次代數(shù)方程SKIPIF1<0（5.46）稱為SKIPIF1<0的特征方程，也稱它為（5.33）的特征方程。根據(jù)上面的討論，SKIPIF1<0是（5.33）的解，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的特征值，且SKIPIF1<0是對(duì)應(yīng)于SKIPIF1<0的特征向量。SKIPIF1<0的特征值就是特征方程（5.46）的根。因?yàn)镾KIPIF1<0次代數(shù)方程有SKIPIF1<0個(gè)根，所以SKIPIF1<0有SKIPIF1<0個(gè)特征值，當(dāng)然不一定SKIPIF1<0個(gè)都互不相同。如果SKIPIF1<0是特征方程的單根，則稱SKIPIF1<0是簡(jiǎn)單特征根。如果SKIPIF1<0是特征方程的SKIPIF1<0重根，則稱SKIPIF1<0是SKIPIF1<0重特征根。例3試求矩陣SKIPIF1<0的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。解SKIPIF1<0的特征值就是特征方程SKIPIF1<0的根。幾、解之得到SKIPIF1<0。對(duì)應(yīng)于特征值SKIPIF1<0的特征向量SKIPIF1<0必須滿足線性代數(shù)方程組SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<0滿足方程組SKIPIF1<0所以，對(duì)于任意常數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0是對(duì)應(yīng)于SKIPIF1<0的特征向量。類似地，可以求得對(duì)應(yīng)于SKIPIF1<0的特征向量為SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0是任意常數(shù)。例4試求矩陣SKIPIF1<0的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。解特征方程為SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的二重特征值。為了尋求對(duì)應(yīng)于SKIPIF1<0的特征向量，考慮方程組SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0因此，向量SKIPIF1<0是對(duì)應(yīng)于特征值SKIPIF1<0的特征向量，其中SKIPIF1<0是任意常數(shù)。一個(gè)SKIPIF1<0矩陣最多有SKIPIF1<0個(gè)線性無關(guān)的特征向量。當(dāng)然，在任何情況下，最低限度有一個(gè)特征向量，因?yàn)樽畹拖薅扔幸粋€(gè)特征值。首先，讓我們討論當(dāng)SKIPIF1<0具有SKIPIF1<0個(gè)線性無關(guān)的特征向量時(shí)（特別當(dāng)SKIPIF1<0具有SKIPIF1<0個(gè)不同的特征值時(shí)，就是這種情形），微分方程組（5.33）的基解矩陣的計(jì)算方法。定理10如果矩陣SKIPIF1<0具有SKIPIF1<0個(gè)線性無關(guān)的特征向量SKIPIF1<0，它們對(duì)應(yīng)的特征值分別為SKIPIF1<0（不必各不相同），那么矩陣SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是常系數(shù)線性微分方程組SKIPIF1<0（5.33）的一個(gè)基解矩陣。證明由上面關(guān)于特征值和特征向量的討論知道，每一個(gè)向量函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）都是（5.33）的一個(gè)解。因此，矩陣SKIPIF1<0是（5.33）的一個(gè)解矩陣。因?yàn)椋蛄縎KIPIF1<0是線性無關(guān)的，所以SKIPIF1<0根據(jù)5.2.1的定理SKIPIF1<0推得，SKIPIF1<0是（5.33）的一個(gè)基解矩陣。定理證畢。例5試求方程組SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0的一個(gè)基解矩陣。解由例3知道，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的特征值，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0是對(duì)應(yīng)于SKIPIF1<0的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量。根據(jù)定理10，矩陣SKIPIF1<0就是一個(gè)基解矩陣。一般來說，定理10中的SKIPIF1<0不一定就是SKIPIF1<0。然而，根據(jù)5.2.1的推論2*，可以確定它們之間的關(guān)系。因?yàn)镾KIPIF1<0和SKIPIF1<0都是（5.33）的基解矩陣，所以存在一個(gè)非奇異的常數(shù)矩陣SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0在上式中，令SKIPIF1<0，我們得到SKIPIF1<0。因此SKIPIF1<0（5.47）根據(jù)公式（5.47），SKIPIF1<0的計(jì)算問題相當(dāng)于方程組（5.33）的任一基解矩陣的計(jì)算問題。注意，公式（5.47）還有一個(gè)用途，這就是下面的附注所指出的。附注1如果SKIPIF1<0是實(shí)的，那么SKIPIF1<0也是實(shí)的。因此，當(dāng)SKIPIF1<0是實(shí)的，公式（5.47）給出一個(gè)構(gòu)造實(shí)的基解矩陣的方法。例6試求例5的實(shí)基解矩陣（或計(jì)算SKIPIF1<0）。解根據(jù)（5.47）及附注1，從例5中得SKIPIF1<0現(xiàn)在討論當(dāng)SKIPIF1<0是任意的SKIPIF1<0矩陣時(shí)，（5.33）的基解矩陣的計(jì)算方法，先引進(jìn)一些有關(guān)的線性代數(shù)知識(shí)。假設(shè)SKIPIF1<0是一個(gè)SKIPIF1<0矩陣，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的不同的特征值，它們的重?cái)?shù)分別為SKIPIF1<0，這里SKIPIF