常用的巧算和速算方法

常用的巧算和速算方法【順逆相加】用“順逆相加”算式可求出若干個連續(xù)數(shù)的和。例如著名的大數(shù)學家高斯（德國）小時候就做過的“百數(shù)求和”題，可以計算為1 + 2 + …… + 99 + 100所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100=101×100÷2=5050。“3+5+7+………＋97+99=？3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2=2499。這種算法的思路，見于書籍中最早的是我國古代的《張丘建算經(jīng)》。張丘建利用這一思路巧妙地解答了“有女不善織”這一名題：“今有女子不善織，日減功，遲。初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖。問織幾何？”題目的意思是：有位婦女不善于織布，她每天織的布都比上一天減少一些，并且減少的數(shù)量都相等。她第一天織了5尺布，最后一天織了1尺，一共織了30天。問她一共織了多少布？張丘建在《算經(jīng)》上給出的解法是：“并初末日織尺數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得?！薄按鹪唬憾ヒ徽伞薄＿@一解法，用現(xiàn)代的算式表達，就是1匹=4丈，1丈=10尺，90尺=9丈=2匹1丈。（答略）張丘建這一解法的思路，據(jù)推測為：如果把這婦女從第一天直到第30天所織的布都加起來，算式就是5＋…………＋1在這一算式中，每一個往后加的加數(shù)，都會比它前一個緊挨著它的加數(shù)，要遞減一個相同的數(shù)，而這一遞減的數(shù)不會是個整數(shù)。若把這個式子反過來，則算式便是1+………………＋5此時，每一個往后的加數(shù)，就都會比它前一個緊挨著它的加數(shù)，要遞增一個相同的數(shù)。同樣，這一遞增的相同的數(shù)，也不是一個整數(shù)。假若把上面這兩個式子相加，并在相加時，利用“對應的數(shù)相加和會相等”這一特點，那么，就會出現(xiàn)下面的式子：所以，加得的結(jié)果是6×30=180（尺）但這婦女用30天織的布沒有180尺，而只有180尺布的一半。所以，這婦女30天織的布是180÷2=90（尺）可見，這種解法的確是簡單、巧妙和饒有趣味的?！痉纸M計算】一些看似很難計算的題目，采用“分組計算”的方法，往往可以使它很快地解答出來。例如：求1到10億這10億個自然數(shù)的數(shù)字之和。這道題是求“10億個自然數(shù)的數(shù)字之和”，而不是“10億個自然數(shù)之和”。什么是“數(shù)字之和”？例如，求1到12這12個自然數(shù)的數(shù)字之和，算式是1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1+1＋2=5l。顯然，10億個自然數(shù)的數(shù)字之和，如果一個一個地相加，那是極麻煩，也極費時間（很多年都難于算出結(jié)果）的。怎么辦呢？我們不妨在這10億個自然數(shù)的前面添上一個“0”，改變數(shù)字的個數(shù)，但不會改變計算的結(jié)果。然后，將它們分組：0和999，999，999；1和999，999，998；2和999，999，997；3和999，999，996；4和999，999，995；5和999，999，994；………………依次類推，可知除最后一個數(shù)，1，000，000，000以外，其他的自然數(shù)與添上的0共10億個數(shù)，共可以分為5億組，各組數(shù)字之和都是81，如0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=811+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81………………最后的一個數(shù)1，000，000，000不成對，它的數(shù)字之和是1。所以，此題的計算結(jié)果是（81×500，000，000）＋1=40，500，000，000＋1=40，500，000，001【由小推大】“由小推大”是一種數(shù)學思維方法，也是一種速算、巧算技巧。遇到有些題數(shù)目多，關(guān)系復雜時，我們可以從數(shù)目較小的特殊情況入手，研究題目特點，找出一般規(guī)律，再推出題目的結(jié)果。例如：（1）計算下面方陣中所有的數(shù)的和。這是個“100×100”的大方陣，數(shù)目很多，關(guān)系較為復雜。不妨先化大為小，再由小推大。先觀察“5×5”的方陣，如下圖（圖4.1）所示。根據(jù)這一關(guān)系，我們也可以簡化運算過程。例如【先借后還】“先借后還”是一條重要的數(shù)學解題思想和解題技巧。例如做這道題，按先通分后相加的一般辦法，勢必影響解題速度。現(xiàn)在從“湊整”著眼，采用“先借后還”的辦法，很快就將題目解答出來了?！緝煞謹?shù)相除】有些分數(shù)相除，可以采用以下的巧算方法：（1）分子、分母分別相除。在個別情況下，分數(shù)除法可沿用整數(shù)除法的做法：用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。不過，這只有在被除數(shù)的分子、分母，分別是除數(shù)的分子、分母的整數(shù)倍數(shù)的情況下，計算才比較簡便。例如小數(shù)的速算與巧算——湊整【知識精要】湊整法是小數(shù)加減法速算與巧算運用的主要方法。用的時候主要看末位。但是小數(shù)計算中“小數(shù)點”一定要對齊?！纠}精講】<一>湊整法例1、計算5.6+2.38+4.4+0.62?！痉治觥?.6與4.4剛好湊成10，2.38與0.62剛好湊成3，這樣先湊整運算起來會更加簡便?！窘獯稹吭?（5.6+4.4）+（2.38+0.62）=10+3=13【評注】湊整，特別是“湊十”、“湊百”等，是加減法速算的重要方法。例2、計算：1.999+19.99+199.9+1999。【分析】因為小數(shù)計算起來容易出錯。剛好1999接近整千數(shù)2000，其余各加數(shù)看做與它接近的容易計算的整數(shù)。再把多加的那部分減去?！窘獯稹?.999+19.99+199.9+1999=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1=2222-1.111=2220.889【評注】所