25屆（新教材QG版）數(shù)學精練案基礎課54排列與組合

基礎課54排列與組合課時評價·提能基礎鞏固練1.（原創(chuàng)）若Am2=2CA.6 B.7 C.8 D.9[解析]由已知得mm?1=2×mm?1m?2m?2.(2024·九省適應性測試)若甲、乙、丙等5人排成一列,且甲不在兩端,乙和丙之間恰有2人,則不同的排法共有(B).A.20種 B.16種C.12種 D.8種[解析]因為乙和丙之間恰有2人,所以乙、丙及中間2人占據(jù)首四位或尾四位.①當乙、丙及中間2人占據(jù)首四位,此時還剩末位,故甲在乙、丙中間,此時排乙、丙有A22種方法,排甲有A21種方法,剩余兩人有A②當乙、丙及中間2人占據(jù)尾四位,此時還剩首位,故甲在乙、丙中間,此時排乙、丙有A22種方法,排甲有A21種方法,剩余兩人有A2由分類加法計數(shù)原理可知,一共有8+8=16種排法.故選B.3.某款軟件主要設有“閱讀文章”“視聽學習”兩個學習版塊和“每日答題”“每周答題”“專項答題”“挑戰(zhàn)答題”四個答題版塊.某人在學習過程中,將六大版塊各完成一次,則“挑戰(zhàn)答題”版塊與其他三個答題版塊在完成順序上均不相鄰的學習方法種數(shù)為（A）.A.144 B.72 C.96 D.36[解析]當“挑戰(zhàn)答題”版塊在首或尾時,與“挑戰(zhàn)答題”版塊相鄰的只能是“閱讀文章”或“視聽學習”版塊,其他任意排,共有A21A21A44=96種不同的排法;當“挑戰(zhàn)答題”版塊不在首或尾時,與“挑戰(zhàn)答題”版塊相鄰的只能是“閱讀文章”和“視聽學習”版塊,其他任意排,共有A22A4.如圖,某城市的街區(qū)由12個全等的矩形組成（實線表示馬路）,CD段馬路由于正在維修,暫時不通,則從A到B的最短路徑有（D）.A.23條 B.24條 C.25條 D.26條[解析]先假設CD是實線,則從A到B,向上3次,向右4次,最短路徑有A77A33A44=35（條）,其中經(jīng)過CD的路徑,即先從A到C,然后C到D,最后D到B的最短路徑有3×3=9（條5.（改編）某市教育局計劃安排市區(qū)學校的5名骨干教師去3所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學校工作一年，每所學校至少安排1人，則不同安排方案的總數(shù)為（D）.A.88 B.100 C.120 D.150[解析]5人分組有2種情況分別是3+1+1和2+2+6.（改編）某校A，B，C，D，E，F(xiàn)六名學生在連續(xù)的6個周末分別去敬老院開展獻愛心活動，每周安排一名同學.若A須安排在B前面去，且A和B都不能安排在第3個周末去，B也不安排在第6個周末，則不同的安排方法有（B）.A.72種 B.144種 C.48種 D.288種[解析]因為A在B的前面去，且A，B都不安排在第3個周末，B也不安排在第6個周末,所以情況如下：①A在第1個周末去，B在第2,4,5個周末去，有3A44=72種安排方法；②A在第2個周末去，B在第4,5個周末去，有2A44=48種安排方法；③A在第4個周末去，B在第5個周末，7.由數(shù)字0,1,2,3,4組成的沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù)共有（B）.A.54個 B.60個 C.72個 D.96個[解析]根據(jù)題意,分2種情況討論：①當個位數(shù)字為0時,將剩下的4個數(shù)字全排列,此時符合題意的五位數(shù)有A44=24（個）;②當個位數(shù)字為2或4時,0不能在首位,則首位數(shù)字有C31種情況,將剩下的3個數(shù)字全排列,此時符合題意的五位數(shù)有2×C31A8.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加某志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，每人安排一項工作，則以下說法正確的是（C）.A.若每項工作不必都有人參加，則不同的方法數(shù)為5B.若每項工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為AC.若每項工作至少有1人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是CD.如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排1人，那么這5名同學全部被安排的不同方法數(shù)為C[解析]對于A，安排5人參加4項工作，每人有4種安排方法，則有45種安排方法，故A錯誤對于B，分2步進行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項工作，有C52A44種安排方法，對于C，分2種情況討論：①從丙、丁、戊中選出1人開車，②從丙、丁、戊中選出2人開車，則有C31C42A33對于D，分2步分析：需要先將5人分為3組，有C53C21A22+C52C32A22種分組方法，將分好的3組安排翻譯、導游、禮儀三項工作，綜合提升練9.（多選題）生命在于運動，小蘭給自己制定了周一到周六的運動計劃，這六天每天安排一項運動，其中有兩天練習瑜伽，另外四天的運動項目互不相同，且運動項目為跑步、爬山、打羽毛球和跳繩，則下列說法正確的是（BCD）.A.若瑜伽被安排在周一和周六，則共有48種不同的安排方法B.若周二和周五至少有一天安排練習瑜伽，則共有216種不同的安排方法C.若周一不練習瑜伽，周三爬山，則共有36種不同的安排方法D.若瑜伽不被安排在相鄰的兩天，則共有240種不同的安排方法[解析]對于A，若瑜伽被安排在周一和周六，則共有A44=24種不同的安排方法，故對于B，若周二和周五至少有一天安排練習瑜伽，則由間接法可得，不同的安排方法種數(shù)為A64?A42對于C，若周一不練習瑜伽，周三爬山，則共有C31A42=36對于D，若瑜伽不被安排在相鄰的兩天，則先排其他四項運動，共有A44種不同的安排方法，再從5個空位里插入2個安排練習瑜伽，故共有A44C52=240種不同的安排方法10.（多選題）在某地實施的新高考改革方案中，選擇性考試科目有物理、化學、生物、政治、歷史、地理6門.學生根據(jù)高校的要求，結合自身特長興趣，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再從政治、地理、化學、生物4門科目中選擇2門，考試成績計入考生總分，作為高考統(tǒng)一招生錄取的依據(jù).某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（BD）.A.若任意選科，則選法總數(shù)為CB.若化學必選，則選法總數(shù)為CC.若政治和地理至少選一門，則選法總數(shù)為CD.若物理必選，化學、生物至少選一門，則選法總數(shù)為C[解析]若任意選科，選法總數(shù)為C21C42，A錯誤；若化學必選，選法總數(shù)為C21C31，B正確；若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為C21C21C21+11.某省農業(yè)農村廳將6名農業(yè)技術專家（4男2女）分成兩組,到該省兩個縣參加工作,若要求女專家不單獨成組,且每組至多4人,則不同的選派方案共有48種.[解析]分兩類：第一類,分為2人、4人的兩組派往兩個縣參加工作,不考慮女專家不單獨成組的情況共有C62C44A22種選派方案,而女專家單獨成組有A22種選派方案,故有C62C44A22?A212.（雙空題）某同學買了一串什錦糖葫蘆,從上往下排共有6個果,每個果都可以在山楂,草莓,橘子中選擇,則不同的糖葫蘆組合結果有729種;如果該同學選了兩個山楂,兩個草莓,兩瓣橘子,要求相鄰的兩個果不能相同,那么不同的組合結果有30種.[解析]第一個問題,每個果子都有3個選擇,所以不同的糖葫蘆組合結果有36=729（種）.第二個問題,從上到下,先考慮前3個,再考慮后3個,前3個,各選一種果,有A33種情況,那第4個有2種情況,第5，6個果,有A22種情況,此時共有A33?2?A22=24種情況；前3個,第1個和第3個相同,有A32種情況應用情境練13.小小的火柴棒可以拼成幾何圖形,也可以拼成數(shù)字.如圖所示,我們可以用火柴棒拼出1至9這9個數(shù)字,比如：“1”需要2根火柴棒,“7”需要3根火柴棒.若將8根火柴棒以適當?shù)姆绞饺糠湃氡砀裰校]有放入火柴棒的空位表示數(shù)字“0”）,則最多可以表示無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為20.[解析]由題意,用2根火柴棒可以拼成數(shù)字1,用3根火柴棒可以拼成數(shù)字7,用4根火柴棒可以拼成數(shù)字4,用5根火柴棒可以拼成數(shù)字2,3,5,用6根火柴棒可以拼成數(shù)字6,9,用7根火柴棒可以拼成數(shù)字8.三位數(shù)中的數(shù)字不重復,因此8根火柴棒只能分成兩組：2和6,3和5,組成兩個數(shù)字,還有一個數(shù)字只能為0,這樣組成的無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為C214.某省示范性高中安排6名高級教師（不同姓）到基礎教育薄弱的甲、乙、丙三所中學進行支教，每所學校至少去1人，因工作需要，其中李老師不去甲校，則分配方案種數(shù)為360.[解析]根據(jù)6名高級教師到甲、乙、丙三所中學進行支教，每所學校至少去1人，可分四種情況：①甲校安排1名教師，分配方案種數(shù)為C5②甲校安排2名教師，分配方案種數(shù)為C5③甲校安排3名教師，分配方案種數(shù)為C5④甲校安排4名教師，分配方案種數(shù)為C5由分類加法計數(shù)原理，可得共有150+140+創(chuàng)新拓展練15.若從5雙不同顏色的手套中任取3只，不同顏色的手套不能配成一雙,則這3只手套中任意2只均不能配成一雙的取法有80種.[解析]根據(jù)題意,先從5雙手套中任取3雙,有C53種取法,再從每雙手套中各取1只,有2×2×2種取法16.男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名.現(xiàn)選派5人外出參加比賽，則在下列情況下各有多少種選派方法？（1）男運動員3名，女運動員2名；（2）至少有1名女運動員；（3）至少有1名隊長；（4）既要有隊長，又要有女運動員.[解析]（1）分兩步完成：第一步，選3名男運動員，有C63第二步，選2名女運動員，有C42由分步乘法計數(shù)原理可得，共有C63C“至少有1名女運動員”的對立事件為“全是男運動員”，可用間接法求解.5也可