25屆（新教材QG版）數(shù)學(xué)新考案培優(yōu)課03函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

培優(yōu)課03函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用培優(yōu)點一函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性結(jié)合典例1若fx是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0,+∞)時，解題觀摩[解析]因為fx是偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0,+∞)時，fx故由fx+解得-13<1.比較大小問題一般解法是利用奇偶性，把不在同一個單調(diào)區(qū)間上的兩個或兩個以上自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為在同一單調(diào)區(qū)間上的有關(guān)自變量的函數(shù)值，然后利用單調(diào)性比較大小.2.解抽象函數(shù)不等式（1）將所給的不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值的大小關(guān)系；（2）利用單調(diào)性脫去符號“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式（組）的問題.變更奇偶性1.若將典例1中的條件“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”，則不等式fx+1[解析]因為fx是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0,+∞)時，fx是增函數(shù)，所以fx在R上單調(diào)遞增.又fx+1+f比較大小問題2.設(shè)fx是R上的偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增，則f-2,f[解析]因為fx是R上的偶函數(shù)，所以f-2=f2,f-π=fπ.又解不等式問題3.已知fx是奇函數(shù)，且在0,+∞上是增函數(shù),f2[解析]由題意知fx在0,+∞上是增函數(shù)且f2=0，所以當(dāng)x∈0,2時，fx<f2=0當(dāng)x∈-∞,-2時，-所以fx所以x,fx,fxx-∞,--02x--++f-+-+f+--+由表可知，不等式fxx<培優(yōu)點二函數(shù)的奇偶性與周期性結(jié)合典例2設(shè)fx是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，已知當(dāng)x∈[2,3]時，fx=x解題觀摩[解析]當(dāng)x∈[-2,-fx=當(dāng)x∈[-1,0]時，-所以f綜上所述，當(dāng)x∈[-2,已知函數(shù)的奇偶性、周期性求函數(shù)值或函數(shù)解析式，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)求解.由fx+a1.（多選題）已知函數(shù)fx的定義域為R，若fx+1與A.fx是偶函數(shù) B.fC.fx+3是偶函數(shù)[解析]由題意知函數(shù)fx的定義域為R，因為fx+1是偶函數(shù)，所以因為fx-1是偶函數(shù)，所以f-x-1=f因為f-x-1=fx-1求解析式變?yōu)榍笾?.已知函數(shù)fx的圖象關(guān)于原點對稱，且周期為4，f3=[解析]由題意得f2025培優(yōu)點三函數(shù)的奇偶性與對稱性結(jié)合典例3函數(shù)y=f2x-1是R上的奇函數(shù)（審題①推出函數(shù)f解題觀摩[解析]因為函數(shù)y=f2x-1則函數(shù)y因為函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)y所以函數(shù)y所以gx解決函數(shù)的奇偶性與圖象的對稱性的綜合問題時，要注意把已知函數(shù)的奇偶性按定義轉(zhuǎn)化，再判斷函數(shù)圖象的對稱軸或?qū)ΨQ中心；也可以利用圖象的變換關(guān)系得出函數(shù)圖象的對稱性.總之，要充分利用已知條件進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化.中心對稱變?yōu)檩S對稱已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)gx=x-2f[解析]因為gx的圖象關(guān)于直線x=2因為y=x是偶函數(shù)，所以fx+2是偶函數(shù)，即fx+2=培優(yōu)點四函數(shù)的單調(diào)性與對稱性結(jié)合典例4已知定義在R上的函數(shù)y=fx+1-2是奇函數(shù)（審題①由奇函數(shù)的性質(zhì)推出圖象的對稱中心），且對任意兩個不相等的實數(shù)x1,解題觀摩[解析]將函數(shù)y=fx+1所以函數(shù)f所以f1又因為對任意兩個不相等的實數(shù)x1,x2，都有即x由不等式f2x+f1-x≤4，即f2x+f函數(shù)的單調(diào)性與對稱性相結(jié)合的題目主要是利用對稱性判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，在軸對稱函數(shù)中，函數(shù)在關(guān)于對稱軸對稱的兩個單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相反；在中心對稱函數(shù)中，函數(shù)在關(guān)于對稱中心對稱的兩個單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相同.解集問題變?yōu)楸却笮栴}已知定義在R上的奇函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且y=fx在[0,1]上單調(diào)遞增.若a=f-A.c<b<a B.b<a[解析]由函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=1對稱可得f3=f-1，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可知，a=f-3=-f3=-f培優(yōu)點五函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性結(jié)合典例5已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx=f1-x（審題①得到對稱軸方程），且函數(shù)f解題觀摩[解析]因為fx=f1又函數(shù)fx+1是奇函數(shù)，所以函數(shù)fx則f2025所以f2025解決此類問題的難點在于推出函數(shù)的周期性，對于函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性，這三者知二便可求一.（詳情可參考基礎(chǔ)課08的知識拓展）由單函數(shù)變?yōu)殡p函數(shù)1.[2022·全國乙卷]已知函數(shù)fx,gx的定義域均為R,且fx+g2-x=5,gxA.-21 B.-22 C.-23[解析]因為y=gx的圖象關(guān)于直線x因為gx-fx-因為fx+g2-x=5，所以fx因為fx+g2-x=所以f2因為gx-f又因為fx+g2-x=5，所以g2-x因為fx+g故∑22k=函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象結(jié)合的綜合問題2.已知定義域為R的偶函數(shù)滿足f2