1.1.3集合的基本運算（第1課時交集與并集）課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

1.3集合的基本運算第1課時交集與并集第一章預(yù)備知識北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解兩個集合的并集與交集的含義.2.能求兩個集合的并集與交集.3.能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運算,體會圖形對理解抽象概念的作用.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

交集

缺一不可概念一般地,由既屬于集合A又屬于集合B的所有元素組成的集合,叫作集合A與B的交集,記作A∩B,讀作“A交B”符號表示A∩B={x|x∈A,

x∈B}

圖形表示

性質(zhì)對于任何集合A,B,有A∩B=B∩A,A∩B?A,A∩B?B,A∩A=A,A∩?=?且名師點睛求兩個集合的交集,結(jié)果還是一個集合.當(dāng)兩個集合沒有公共元素時,兩個集合的交集是空集,而不能說兩個集合沒有交集.思考辨析1.A∩B是把集合A與集合B的部分元素組合在一起嗎?

2.兩個集合交集中的元素一定在兩個集合中嗎?3.若兩個集合A,B的交集是空集,則兩個集合有什么特征?提示

A∩B是把集合A,B中的公共元素組合在一起.提示

當(dāng)兩個集合有公共元素時,兩個集合交集中的元素一定在兩個集合中;若兩個集合沒有公共元素,則兩個集合的交集是空集.提示

若兩個集合A,B的交集是空集,則兩個集合中至少有一個集合是空集或者兩個集合不是空集,但是兩個集合沒有公共元素.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)集合A和集合B的公共元素組成的集合就是集合A與B的交集.(

)(2)若A∩B=?,則A,B均為空集.(

)××2.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},則集合A∩B中元素的個數(shù)為(

)

A.5 B.4

C.3 D.2D知識點2

并集

概念一般地,由

屬于集合A

屬于集合B的元素組成的集合,叫作集合A與B的并集,記作A∪B,讀作“A并B”

符號表示A∪B={x|x∈A,

x∈B}

圖形表示

性質(zhì)對任何集合A,B,有∪B=B∪A,A?A∪B,B?A∪B,A∪A=A,A∪?=A所有或或名師點睛并集符號語言中,“x∈A,或x∈B”包括下列三種情況:①x∈A,且x?B;②x?A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下圖形象地表示.思考辨析1.A∪B是把A和B的所有元素組合在一起嗎?2.若兩個集合的并集是空集,則這兩個集合有什么特征?提示

不一定,當(dāng)兩集合沒有公共元素時,A∪B中的元素就是由集合A和集合B的所有元素組成,當(dāng)兩集合有公共元素時,由集合中元素的互異性可知,兩集合的公共元素只出現(xiàn)一次.提示

兩個集合的并集是空集,則這兩個集合都是空集.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1){1,2,3,4}∪{0,2,3}={1,2,3,4,0,2,3}.(

)(2)若x∈A∩B,則x∈A∪B.(

)(3)若A,B中分別有3個元素,則A∪B中最多有6個元素.(

)×√√2.[2024哈爾濱高一期末]已知集合A={x|x<1},B={x|-1≤x≤1},則A∪B=(

)A.{x|-1<x<1}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1≤x<1}D.{x|x≤1}D解析

∵A={x|x<1},B={x|-1≤x≤1},∴A∪B={x|x≤1}.3.[人教A版教材習(xí)題]設(shè)A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求A∩B,A∪B.解

A∩B={x|x是等腰直角三角形};A∪B={x|x是等腰三角形或直角三角形}.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一集合的交集與并集運算角度1并集運算【例1】

(1)設(shè)集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|x2-4x+3=0},則A∪B=(

)A.{1} B.{1,3}C.{-1,1,3} D.{-1,1}C解析

A={-1,3},B={1,3},A∪B={-1,1,3}.(2)已知集合A={x|x<2},B={x≥1},則A∪B=(

)A.{x|x<2} B.{x|1≤x<2}C.{x|x≥1} D.RD解析

在數(shù)軸上表示出集合A,B,則A∪B=R.變式訓(xùn)練1(1)[2024內(nèi)蒙古赤峰高一期末]已知集合A={x∈N|x≤2},B={2,3},則A∪B=(

)A.{x|x≤3} B.{1,2,3}C.{2,3} D.{0,1,2,3}D解析

集合A={x∈N|x≤2}={0,1,2},B={2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.★(2)已知集合P={x|-1<x<3},Q={x|0<x<1},則P∪Q=(

)A.{x|0<x<1} B.{x|-1<x<3}C.{x|-1<x<0,或1<x<3} D.?B解析

∵P={x|-1<x<3},Q={x|0<x<1},∴P∪Q={x|-1<x<3}.故選B.角度2交集運算【例2】

(1)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},則A∩B=(

)A.{3} B.{5}C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}C解析

直接由交集定義可得A∩B={3,5}.(2)設(shè)集合M={x|-3<x<2},N={x|1≤x≤3},則M∩N=(

)A.[1,2) B.[1,2]C.(2,3] D.[2,3]A解析

在數(shù)軸上表示出集合M,N,如圖:∴M∩N={x|1≤x<2}.規(guī)律方法

求兩個集合交集、并集的方法技巧當(dāng)求兩個集合的并集、交集時,對于用描述法給出的集合,首先明確集合中的元素,其次將兩個集合化為最簡形式;對于連續(xù)的數(shù)集常借助于數(shù)軸寫出結(jié)果,此時要注意數(shù)軸上方所有“線”下面的實數(shù)組成了并集,數(shù)軸上方“雙線”(即公共部分)下面的實數(shù)組成了交集,此時要注意當(dāng)端點不在集合中時,應(yīng)用空心圈表示;對于用列舉法給出的集合,則依據(jù)并集、交集的含義,可直接觀察或借助于Venn圖寫出結(jié)果.變式訓(xùn)練2(1)[2024浙江紹興高一期末]已知集合A={-2,0,1,3},B={-1,1,3},則A∩B=(

)A.{-2,-1,0,1,3} B.{-1,1,3}C.{1,3} D.{-2,1}C解析

因為A={-2,0,1,3},B={-1,1,3},所以A∩B={1,3}.★(2)[2024陜西西安高一階段檢測]已知集合A={x|x>1},B={x|x<5},則A∩B=(

)A.R

B.{x|1<x<5}C.{x|x>5} D.{x|x<1}B解析∵A={x|x>1},B={x|x<5},∴A∩B={x|1<x<5}.探究點二已知集合的交集、并集求參數(shù)【例3】

已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}.若9∈A∩B,則實數(shù)a的值為

.

5或-3解析

∵9∈A∩B,∴9∈A,且9∈B,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.當(dāng)a=5時,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合題意;當(dāng)a=3時,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合B不滿足集合中元素的互異性,故a≠3;當(dāng)a=-3時,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合題意.綜上可得實數(shù)a的值為5或-3.變式探究例3中,將“9∈A∩B”改為“A∩B={9}”,其余條件不變,求實數(shù)a的值及A∪B.解

∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.當(dāng)a=5時,A={-4,9,25},B={0,-4,9},由于A∩B={-4,9},不符合題意,故a≠5;當(dāng)a=3時,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合B不滿足集合中元素的互異性,故a≠3;當(dāng)a=-3時,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合題意.綜上可得a=-3.此時A∪B={-8,-4,-7,4,9}.規(guī)律方法

已知兩個有限集運算結(jié)果求參數(shù)值的方法對于這類已知兩個有限集的運算結(jié)果求參數(shù)值的問題,一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系,再列方程求解.另外,在處理有關(guān)含參數(shù)的集合問題時,要注意對求解結(jié)果進(jìn)行檢驗,檢驗求解結(jié)果是否滿足集合中元素的有關(guān)特性,尤其是互異性.【例4】

集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.(1)若A∩B=?,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若A∪B={x|x<1},求實數(shù)a的取值范圍.解

(1)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=?,在數(shù)軸上表示出集合A,B,如圖所示,∴數(shù)軸上點x=a在點x=-1左側(cè),且包含點x=-1,∴a的取值范圍為(-∞,-1].(2)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∪B={x|x<1},在數(shù)軸上表示出集合A,B,如圖所示,∴數(shù)軸上點x=a在點x=-1和點x=1之間,不包含點x=-1,但包含點x=1.∴a的取值范圍為(-1,1].變式探究例4(1)中,把“A∩B=?”改為“A∩B≠?”,求a的取值范圍.解

利用數(shù)軸表示出兩個集合(圖略),可知要使A∩B≠?,需數(shù)軸上點x=a在點x=-1右側(cè)且不包含點x=-1,所以a的取值范圍為(-1,+∞).規(guī)律方法

已知集合運算求參數(shù)的思路此類問題常借助數(shù)軸解決,首先根據(jù)集合間的關(guān)系畫出數(shù)軸,然后根據(jù)數(shù)軸列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解,特別要注意端點值的取舍.當(dāng)集合的元素能一一列舉時,常借助集合的關(guān)系列關(guān)于參數(shù)的方程(組)求解,但求解后要代入檢驗是否符合題意.探究點三集合的交集、并集性質(zhì)的應(yīng)用【例5】

設(shè)集合M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R}.若M∪N=M,則實數(shù)t的取值范圍為

.

(-∞,2]變式訓(xùn)練3[2024陜西寶雞高一期末]已知集合A={x|2a-1<x<a+1},B={x|-1≤x≤2}.(1)若a=-1,求A∪B;(2)若A∩B=A,求實數(shù)a的取值范圍.解

(1)因為當(dāng)a=-1時,A={x|-3<x<0},B={x|-1≤x≤2},所以A∪B={x|-3<x≤2}.(2)因為A∩B=A,所以A?B.當(dāng)A=?,即2a-1≥a+1,即a≥2時,滿足題意;所以0≤a≤1.綜上,實數(shù)a的取值范圍為{x|0≤x≤1或x≥2}.【例6】

設(shè)集合A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0,a∈R}.(1)若A∩B=B,求a的取值范圍;(2)若A∪B=B,求a的值.解

由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.(1)∵A∩B=B,∴B?A,∴B=?或{0}或{2}或{0,2}.當(dāng)B=?時,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;綜上所述,a的取值范圍是{a|a=1,或a≤0}.(2)∵A∪B=B,∴A?B.∵A={0,2},而B中方程至多有兩個根,∴A=B,由(1)知a=1.規(guī)律方法

利用交集、并集運算求參數(shù)的思路

思路一:涉及A∩B=B或A∪B=A的問題,可利用集合的運算性質(zhì),轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系求解,要注意空集的特殊性思路二:將集合中的運算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個集合之間的關(guān)系.若集合中的元素能一一列舉,則可用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系,要注意集合中元素的互異性;與不等式有關(guān)的集合,則可利用數(shù)軸得到不同集合之間的關(guān)系變式訓(xùn)練4已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},(1)當(dāng)m=2時,求M∩N,M∪N;(2)當(dāng)M∩N=M時,求實數(shù)m的值.解

(1)由題意得M={2}.當(dāng)m=2時,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},∴M∩N={2},M∪N={1,2}.(2)∵M(jìn)∩N=M,∴M?N.∵M(jìn)={2},∴2∈N,∴2是關(guān)于x的方程x2-3x+m=0的解,即4-6+m=0,解得m=2.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)交集、并集的概念及運算;(2)交集、并集的性質(zhì);(3)由交集、并集的關(guān)系式求參數(shù)值或范圍.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合、分類討論.3.常見誤區(qū):由交集、并集的關(guān)系求解參數(shù)時漏掉對集合為空集的討論;求解參數(shù)后,易忽視代入原集合進(jìn)行檢驗這一步驟.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234567891011A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點一]A,B是兩個集合,則集合{x|x∈A,且x∈B}可用陰影表示為(

)12D解析

集合{x|x∈A,且x∈B}=A∩B,故D正確.12345678910112.

[探究點一](多選題)

已知集合A={2,3,4},集合A∪B={1,2,3,4,5},則集合B可以為(

)A.{1,2,5} B.{2,3,5}C.{0,1,5} D.{1,2,3,4,5}AD解析

由題意知集合B中必有元素1和5,且有元素2,3,4中的0個、1個、2個或3個.A,D符合.1212345678910113.[探究點一·2024福建福州高一階段檢測]若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},則A∩B=(

)A.{x|-2<x<-1} B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1} D.{x|1<x<3}12A解析

∵A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},∴A∩B={x|-2<x<-1}.故選A.12345678910114.[探究點一]設(shè)集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},則(A∪B)∩C=(

)A.{-1,1} B.{0,1}C.{-1,0,1} D.{2,3,4}C1212345678910115.[探究點一]已知集合A={x|2≤x<4},B={x|y=},則A∪B=(

)A.[3,+∞) B.[3,4)C.[3,4] D.[2,+∞)D解析

A={x|2≤x<4},B={x|y=}={x|x≥3},則A∪B={x|x≥2}.1212345678910116.[探究點二]已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},則2a-b=

.

-4解析

如圖,可知a=1,b=6,∴2a-b=-4.1212345678910117.[探究點二]集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},則a=

.

124解析

∵A={0,2,a},B={1,a2},∴A∪B={0,1,2,a,a2}.又A∪B={0,1,2,4,16},∴a=4.12345678910118.[探究點三·2024江西上饒高一期末]已知集合A={x|-2<x<1},B={x|2m-1<x<m+1}.(1)若m=-1,求A∩B;(2)若A∪B=A,求m的取值范圍.12123456789101112解

(1)當(dāng)m=-1時,B={x|-3<x<0},故A∩B={x|-2<x<0}.(2)因為A∪B=A,所以B?A.當(dāng)B=?時,2m-1≥m+1,解得m≥2;1234567891011A.5 B.6 C.7 D.8CB級關(guān)鍵能力提升練12123456789101110.設(shè)A,B是非空集合,定義A*B={x|x∈A∪B且x?A∩B},已知A={x|0≤x≤3},B={x|x≥1},則A*B等于(

)A.{x|1≤x<3}B.{x|1≤x≤3}C.{x|0≤x<1或x>3}D.{x|0≤x≤1或x≥3}12C解析

由題意知A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1≤x≤3},所以A*B={x|0≤x<