2.6.2圓與圓的位置關(guān)系課件高二上學期數(shù)學選擇性

圓與圓的位置關(guān)系第2章平面解析幾何初步湘教版

數(shù)學

選擇性必修第一冊課標要求1.理解并掌握圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法;2.掌握圓與圓的位置關(guān)系的代數(shù)判斷方法與幾何判斷方法,能夠利用上述方法判斷兩圓的位置關(guān)系.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點圓與圓位置關(guān)系的判定(1)幾何法:若兩圓的半徑分別是r1,r2(r1≥r2),兩圓圓心的距離為d,則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下:位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1,r2的關(guān)系

d>r1+r2d=r1+r2r1-r2<d<r1+r2d=r1-r2>0

d<r1-r2方程組解的個數(shù)2組1組0組兩圓的公共點個數(shù)2個1個0個兩圓的位置關(guān)系相交內(nèi)切或外切外離或內(nèi)含(3)拓展知識:圓系方程常見圓系方程有如下幾種:①過直線與圓的交點的圓系:過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0;特別地,當直線與圓相切于點P時,上述方程表示與直線和圓都相切于點P的圓.②過兩個圓的交點的圓系:過兩圓x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),此圓系不含圓x2+y2+D2x+E2y+F2=0.③同心圓系:與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+λ=0;或表示為與已知圓(x-a)2+(y-b)2=r2同心的圓系方程為(x-a)2+(y-b)2=R2(其中a,b為定值).名師點睛1.當兩圓外離時公切線的條數(shù)是4條,外切時公切線的條數(shù)是3條,相交時公切線的條數(shù)是2條,內(nèi)切時公切線的條數(shù)是1條,內(nèi)含時兩圓不存在公切線.2.當兩圓相交時,兩圓圓心的連線垂直平分公共弦;當兩圓外切時,兩圓圓心的連線垂直于過兩圓公共點的公切線;當兩圓內(nèi)切時,兩圓圓心的連線垂直于兩圓的公切線.3.對圓系方程可進行以下推廣:對過兩已知圓交點的圓系方程,當λ=-1時,得到(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,此為兩圓公共弦所在直線方程.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解,則兩圓外切.(

)(2)將兩圓的方程組成方程組消元后,得到的一元二次方程.若方程無解,則兩圓外離.(

)(3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓相交.(

)×××2.思考:將兩個相交的非同心圓的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2)相減,可得一直線方程,這條直線方程具有什么樣的特殊性呢?提示兩圓相減得一直線方程,該直線經(jīng)過兩圓的公共點.經(jīng)過相交兩圓的公共交點的直線是兩圓的公共弦所在的直線.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一圓與圓的位置關(guān)系的判斷【例1】

已知圓C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圓C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).試求a為何值時,兩圓C1,C2的位置關(guān)系滿足下列條件:(1)相切;(2)相交;(3)外離;(4)內(nèi)含.分析

將所給圓的方程化為圓的標準方程,求出兩圓的圓心與半徑后結(jié)合兩圓的位置關(guān)系列式求解.解

圓C1,C2的方程,經(jīng)配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,∴圓心C1(a,1),C2(2a,1),半徑r1=4,r2=1.(1)當|C1C2|=r1+r2=5,即a=5時,兩圓外切;當|C1C2|=r1-r2=3,即a=3時,兩圓內(nèi)切.(2)當3<|C1C2|<5,即3<a<5時,兩圓相交.(3)當|C1C2|>5,即a>5時,兩圓外離.(4)當|C1C2|<3,即0<a<3時,兩圓內(nèi)含.規(guī)律方法

判斷兩圓位置關(guān)系的方法判斷兩圓位置關(guān)系的方法有代數(shù)法與幾何法兩種,我們常用幾何法而不用代數(shù)法.因為用代數(shù)法時,若兩圓方程消元后得到的方程只有一個解時,無法直接確定兩圓是外切還是內(nèi)切,因此常用幾何法判斷,其方法如下:(1)將圓的方程化為標準式,求出圓心和半徑;(2)計算圓心距、半徑和、半徑差的絕對值;(3)利用圓心距、半徑和、半徑差的絕對值判定兩圓的位置關(guān)系.變式訓練1已知兩圓C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0的方程,判斷兩圓的位置關(guān)系.解

(方法1

幾何法)把兩圓的方程分別配方,化為標準方程是(x-1)2+y2=4,故r1-r2<|C1C2|<r1+r2,即兩圓相交.(方法2

代數(shù)法)聯(lián)立兩圓方程,得

交點個數(shù)為2,故兩圓相交.探究點二兩圓相交問題【例2】

已知兩圓x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.(1)證明兩圓相交;(2)求兩圓的公共弦所在的直線方程以及公共弦長.分析

將所給圓的方程化為標準式,求出兩圓的圓心坐標與半徑,通過判斷兩圓的圓心距與半徑和、半徑差的關(guān)系證明兩圓相交,而公共弦所在的直線方程以及公共弦的長度需要先將兩方程相減求得公共弦方程,結(jié)合公共弦方程求弦長.(1)證明兩圓方程配方化為標準方程可得C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10.(2)解

將兩圓方程相減,得兩圓公共弦所在的直線方程為x-2y+4=0.變式探究1本例中若兩圓相交于A,B兩點,求經(jīng)過A,B兩點,且面積最小的圓的方程.兩式相減得x=2y-4,③把③代入②得y2-2y=0,解得y1=0,y2=2.經(jīng)過A,B兩點且面積最小的圓的方程即為以線段AB為直徑的圓,其圓心坐標為(-2,1),半徑為r=,故所求的圓的方程為(x+2)2+(y-1)2=5.變式探究2本例中若兩圓相交于A,B兩點,求經(jīng)過A,B兩點,且圓心在直線x+y=0上的圓的方程.解

設(shè)所求的圓的方程為x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),整理可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0.規(guī)律方法

求兩圓的公共弦長及公共弦所在直線的方程的方法求兩圓的公共弦長及公共弦所在直線的方程一般不用求交點的方法,常用如下方法:[提醒]求兩圓的公共弦所在直線的方程,只有兩圓相交時,才能通過消去二次項得到兩圓的公共弦所在直線的方程.變式訓練2兩圓相交于兩點A(1,3)和B(m,-1),兩圓圓心都在直線x-y+c=0上,則m+c的值為

.

3解析

由題意知直線AB與直線x-y+c=0垂直,∴kAB×1=-1,∵AB的中點在直線x-y+c=0上,∴3-1+c=0,解得c=-2,∴m+c=5-2=3.探究點三兩圓相切問題圓的方程.分析設(shè)出圓的方程,利用兩圓外切的條件以及直線與圓相切的條件,建立方程組求解.解

設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由題知所求圓與圓x2+y2-2x=0外切,將圓x2+y2-2x=0化為(x-1)2+y2=1,得該圓圓心為(1,0),半徑為1,規(guī)律方法

求解兩圓相切問題的兩個步驟:(1)定性,即必須準確把握是內(nèi)切還是外切,若只是告訴相切,則必須分兩圓內(nèi)切還是外切兩種情況討論.(2)轉(zhuǎn)化思想,即將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內(nèi)切時)或兩圓半徑之和(外切時).變式訓練3(1)求以(3,-4)為圓心,且與圓x2+y2=64內(nèi)切的圓的半徑;(2)若圓C1:(x-m)2+(y+2)2=9與圓C2:(x+1)2+(y-m)2=4外切,求m的值.解

(1)設(shè)所求圓的半徑為r,則

=|8-r|,所以r=3或r=13.即所求圓的半徑為3或13.(2)由題可得圓C1的圓心為(m,-2),半徑為r1=3,圓C2的圓心為(-1,m),半徑為r2=2.由題意得|C1C2|=5,即(m+1)2+(-2-m)2=25,解得m=2或m=-5.本節(jié)要點歸納1.知識清單:圓與圓的位置關(guān)系2.方法歸納:利用幾何法、代數(shù)法判斷圓與圓的位置關(guān)系、求兩圓的公共弦長及兩圓相切問題,利用代數(shù)法求公共弦所在直線的方程,利用圓系方程求解過兩圓交點的圓的方程.3.注意事項:利用代數(shù)法判斷兩圓位置關(guān)系時,將兩圓方程聯(lián)立后的方程組,消元后,若方程只有一個解,不能判斷兩圓是內(nèi)切還是外切;若所得方程無解,則不能判斷兩圓是內(nèi)含還是外離,此時需要結(jié)合圖形判斷.利用圓系方程求圓的方程時,不要忘記檢驗與參數(shù)結(jié)合的圓是否滿足題意.求解兩圓相切問題,應(yīng)明確是內(nèi)切還是外切.學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練1.已知圓C1:x2+y2=1和C2:x2+y2-5x+4=0,則兩圓的位置關(guān)系是(

)A.內(nèi)切

B.相交

C.外切

D.相離C12345678910111213141516172.若圓C1:(x+1)2+y2=2與圓C2:x2+y2-4x+6y+m=0內(nèi)切,則實數(shù)m=(

)A.-8 B.-19 C.-5 D.6Bm=-19.故選B.12345678910111213141516173.圓心在直線x-y-4=0上,且經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點的圓的方程為(

)A.x2+y2-x+7y-32=0 B.x2+y2-x+7y-16=0C.x2+y2-4x+4y+9=0 D.x2+y2-4x+4y-8=0A解析

設(shè)所求圓的方程為(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)=0,變形可得

則圓的方程為(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192=0,即x2+y2-x+7y-32=0.故選A.12345678910111213141516174.設(shè)圓C1:(x-1)2+(y-1)2=9和圓C2:(x+2)2+(y+1)2=4交于A,B兩點,則線段AB的垂直平分線所在直線的方程為(

)A.3x-2y-1=0 B.2x-3y+1=0C.2x+3y-1=0 D.3x+2y+4=0B解析

由題得,圓心C1的坐標為(1,1),圓心C2的坐標為(-2,-1),兩圓相交于A,B兩點,則線段AB的垂直平分線所在直線就是直線C1C2.因為C1(1,1),C2(-2,-1),即2x-3y+1=0.故選B.1234567891011121314151617D解析

由圓C:x2+(y-4)2=18與圓D:(x-1)2+(y-1)2=R2,可得兩圓公共弦所在直線的方程為2x-6y=4-R2.12345678910111213141516176.(多選題)已知圓C:x2-2ax+y2+a2-1=0與圓D:x2+y2=4有且僅有兩條公共切線,則實數(shù)a的取值可以是(

)A.-3 B.3C.2 D.-2CD解析

根據(jù)題意,圓C:x2-2ax+y2+a2-1=0,即(x-a)2+y2=1,其圓心為(a,0),半徑為R=1,圓D:x2+y2=4,其圓心的坐標為D(0,0),半徑為r=2.若兩個圓有且僅有兩條公共切線,則兩圓相交,則有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3,結(jié)合選項可知符合條件的是2,-2,故選CD.12345678910111213141516177.已知圓(x-a)2+y2=4與圓x2+y2=25沒有公共點,則正數(shù)a的取值范圍為

.

(0,3)∪(7,+∞)解析

根據(jù)題意,圓(x-a)2+y2=4的圓心的坐標為(a,0),半徑為R=2,圓x2+y2=25圓心的坐標為(0,0),半徑r=5,則兩圓的圓心距d=|a|=a.若兩個圓沒有公共點,則有a>R+r=7或a<R-r=3,即正數(shù)a的取值范圍為(0,3)∪(7,+∞).1234567891011121314151617B級關(guān)鍵能力提升練8.已知圓A:x2+y2-2x-4y-4=0,圓B:x2+y2+2x+2y-2=0,則兩圓的公切線的條數(shù)是(

)A.1條

B.2條

C.3條

D.4條B解析

根據(jù)題意,圓A:x2+y2-2x-4y-4=0,即(x-1)2+(y-2)2=9,其圓心A(1,2),半徑R=3,圓B:x2+y2+2x+2y-2=0,即(x+1)2+(y+1)2=4,其圓心B(-1,-1),半徑r=2,則12345678910111213141516179.已知半徑為

的圓M與圓x2+y2=5外切于點P(1,2),則點M的坐標為(

)A.(-6,3) B.(3,6) C.(-3,-6) D.(6,3)B123456789101112131415161710.若直線l與圓C1:(x+1)2+y2=1,圓C2:(x-1)2+y2=4都相切,切點分別為A,B,則|AB|=(

)C解析

如圖所示,設(shè)直線l交x軸于點M.由于直線l與圓C1:(x+1)2+y2=1,圓C2:(x-1)2+y2=4都相切,切點分別為A,B,則AC1⊥l,BC2⊥l,∴AC1∥BC2.∵|BC2|=2=2|AC1|,由中位線定理得C1為線段MC2的中點,則A為線段BM的中點,∴|MC1|=|C1C2|=2.123456789101112131415161711.已知圓O1:x2+y2-2x-3=0與圓O2:x2+y2-4x+2y+3=0相交于點A,B,則四邊形AO1BO2的面積是(

)A.1 B.2

C.3

D.4B123456789101112131415161712.(多選題)點P在圓C1:x2+y2=1上,點Q在圓C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,則(

)A.|PQ|的最小值為0B.|PQ|的最大值為7C.兩個圓心所在的直線斜率為D.兩個圓相交弦所在直線的方程為6x-8y-25=0BC

1234567891011121314151617解析

根據(jù)題意,圓C1:x2+y2=1,其圓心的坐標為C1(0,0),半徑R=1.圓C2:x2+y2-6x+8y+24=0,即(x-3)2+(y+4)2=1,其圓心的坐標為C2(3,-4),半徑r=1,則兩圓的圓心距為|C1C2|==5,即圓C1與圓C2外離,則|PO|的最小值為|C1C2|-R-r=3,最大值為|C1C2|+R+r=7,故A錯誤,B正確;圓心C1(0,0),圓心C2(3,-4),則兩個圓心所在的直線斜率

,故C正確;兩圓圓心距|C1C2|=5,有|C1C2|>R+r=2,兩圓外離,不存在公共弦,D錯誤.故選BC.123456789101112131415161713.(多選題)已知圓O:x2+y2=4和圓M:x2+y2+4x-2y+4=0相交于A,B兩點,則(

)A.直線AB的方程為y=2x+2B.兩圓有兩條公切線BD1234567891011121314151617解析

圓O:x2+y2=4和圓M:x2+y2+4x-2y+4=0作差得4x-2y+4=-4,整理得y=2x+4,即直線AB的方程為y=2x+4,故A錯誤;因為兩圓相交于A,B兩點,則兩圓有兩條公切線,故B正確;圓O:x2+y2=4的圓心O(0,0),半徑為2,123456789101112131415161714.[2024甘肅酒泉高二期中]已知圓C1:(x-a)2+y2=36與圓C2:x2+(y-b)2=4只有一條公切線,則a2+b2=

.

16解析

圓C1:(x-a)2+y2=36的圓心為C1(a,0),半徑r1=6,圓C2:x2+(y-b)2=4的圓心為(0,b),半徑r2=2,因為圓C1:(x-a)2+y2=36與圓C2:x2+(y-b)2=4只有一條公切線,所以兩圓相內(nèi)切,所以|C1C2|=r1-r2,1234567891011121314151617①-②,得-10x-10=0,整理得x+1=0,即x=-1,故公共弦AB所在的直線方程為x=-1.123456789101112131415161715.已知圓C1:x2+y2+2x=0,圓C2:x2+y2