遼寧專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷1（共169題）

遼寧專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷1（共6套）（共169題）遼寧專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第1套一、單項(xiàng)選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)級(jí)數(shù)un收斂(un≠0)，則下列級(jí)數(shù)中必收斂的為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：記(un＋un＋1)的部分和為σn，一般項(xiàng)為vn則σn＝v1＋v2＋…＋vn＝(u1＋u2)＋(u2＋u3)＋…＋(un＋un＋1)＝u1＋2u2＋2u3＋…＋2un＋un＋1＝2(u1＋u2＋…＋un＋1)－u1－un＋1，因?yàn)閡n收斂，所以其部分和數(shù)列{Sn}極限存在，且＝0．令＝A，從而＝2A－u1，所以(un＋un＋1)收斂．故選D．2、若級(jí)數(shù)an收斂，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閍n收斂，所以都收斂．由收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)知收斂．故選D．取an＝，可以驗(yàn)證A、B、C項(xiàng)中的級(jí)數(shù)均發(fā)散．3、下列級(jí)數(shù)中為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：正項(xiàng)級(jí)數(shù)須滿足un≥0，A項(xiàng)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)；B項(xiàng)．－1＜sinn＜1，所以B項(xiàng)也不是正項(xiàng)級(jí)數(shù)；D項(xiàng)，當(dāng)a＜0且n為奇數(shù)時(shí)an／np＜0，故D項(xiàng)也不是正項(xiàng)級(jí)數(shù)；C項(xiàng)，1＋(－1)n≥0。0＜sin(1／n)≤sin1，則≥0，故C項(xiàng)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)．4、下列級(jí)數(shù)中收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：，故由比值審斂法可知A項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；(5／7)n收斂，(7／5)n發(fā)散，故B項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散；發(fā)散，故C項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散；，所以發(fā)散．故選A．5、級(jí)數(shù)是()A、發(fā)散的B、絕對(duì)收斂的C、條件收斂的D、不能確定斂散性的標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：收斂，所以由比較審斂法知絕對(duì)收斂．6、設(shè)級(jí)數(shù)都收斂，則a的范圍為()A、0＜a≤1／2B、1／2＜a≤1C、1＜a≤3／2．D、3／2＜a＜2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于＝1，又對(duì)于，當(dāng)p＞1時(shí)收斂，當(dāng)p≤1時(shí)發(fā)散，因此a－1／2＞1，3－a＞1，解得3／2＜a＜2．7、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是()A、1B、0C、2D、＋∞標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：ρ＝＝0，所以收斂半徑R＝＋∞．8、設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是2，則級(jí)數(shù)在點(diǎn)x＝1處()A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對(duì)收斂D、不能確定斂散性標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為2，則級(jí)數(shù)在｜x＋2｜＜2內(nèi)收斂，在｜x＋2｜＞2內(nèi)發(fā)散，故級(jí)數(shù)在x＝1處發(fā)散．9、函數(shù)f(x)＝1／(3－x)在(－3，3)內(nèi)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于故選B．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、若級(jí)數(shù)un收斂于S，則un收斂于________．標(biāo)準(zhǔn)答案：s－u1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榧?jí)數(shù)un收斂于s，則un＝s，故－u1＝s－u1．11、設(shè)級(jí)un是收斂的，且un≠0，n∈N＋，則級(jí)數(shù)是________的．(填“收斂”或“發(fā)散”)標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：由un收斂可知＝0，則＝∞，所以發(fā)散．12、已知級(jí)數(shù)un收斂，則(un2＋2un＋1)＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由級(jí)數(shù)un收斂可得＝0，故＋1＝1．13、級(jí)數(shù)的斂散性是________．(填“絕對(duì)收斂”、“條件收斂”或“發(fā)散”)標(biāo)準(zhǔn)答案：條件收斂知識(shí)點(diǎn)解析：發(fā)散，所以發(fā)散；但滿足萊布尼茨定理，所以級(jí)數(shù)即條件收斂．14、若級(jí)數(shù)收斂，則a＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，由此可知a＝0．15、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：所給冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)為，所以收斂半徑R＝3．16、若冪級(jí)數(shù)an(x＋3)n的收斂半徑為2，則該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(－5，－1)知識(shí)點(diǎn)解析：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為2，則令｜x＋3｜＜2，得－5＜x＜－1，故其收斂區(qū)間為(－5，－1)．17、＝________，＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e2，0知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?ex，所以當(dāng)x＝2時(shí)，＝e2，則＝0．三、計(jì)算題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)18、判定級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可知通項(xiàng)un＝(3n－1)／3n因?yàn)?，所以根?jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知原級(jí)數(shù)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、判定級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于是公比q＝4／25＜1的等比級(jí)數(shù)，收斂，故由比較審斂法知收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、判定級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：所給級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且令un＝2nn?。痭n，因?yàn)槭諗?，由比較審斂法知原級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、判定級(jí)數(shù)是否收斂，若收斂，是條件收斂還是絕對(duì)收斂?標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椋壹?jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散．又因?yàn)橛扇R布尼茨定理可知收斂，所以級(jí)數(shù)條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)an≥0，且數(shù)列{nan}有界，判定級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于{nan}有界，即存在M＞0，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，有0≤nan≤M，也就是0≤an≤M／n，故an2≤M2／n2．又收斂，則由比較審斂法知級(jí)數(shù)an2收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣眩剑?，所以收斂半徑R＝1，故該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(－1，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求冪級(jí)數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣眩剿允諗堪霃絉＝1／ρ＝1／4，收斂區(qū)間為(－1／4，1／4)．當(dāng)x＝1／4時(shí)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散；當(dāng)x＝－1／4時(shí)，級(jí)數(shù)為，收斂．因此原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇－1／4,1／4)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以?xún)缂?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?－∞，＋∞)．設(shè)所求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x)，則S(x)＝[x(cosx－1)]’＝cosx－1－xsinx，x∈(－∞，＋∞)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、將函數(shù)f(x)＝展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、將函數(shù)f(x)＝(x＋1)／(x2－4x＋3)展開(kāi)成x－5的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、將f(x)＝xarctanx－展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(0)＝0，f’(x)＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析遼寧專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第2套一、單項(xiàng)選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)un＞0(n＝1，2，…)，sn＝ui，則數(shù)列{sn}有界是數(shù)列{un}收斂的()A、充分必要條件B、充分非必要條件C、必要非充分條件D、既非充分也非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于un＞0(n＝1，2，…)，sn＝u1＋u2＋-…＋un。故數(shù)列{sn}單調(diào)遞增，因此數(shù)列{sn}有界時(shí)．?dāng)?shù)列{sn)極限存在，即級(jí)數(shù)un收斂，于是＝0，即數(shù)列{un}收斂于0．反過(guò)來(lái)，當(dāng)數(shù)列{un)收斂時(shí)，數(shù)列{sn)未必有界．例如un＝1．＝1，但sn＝n是無(wú)界的。因此數(shù)列{sn}有界是數(shù)列{un}收斂的充分非必要條件．2、下列命題錯(cuò)誤的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于選項(xiàng)D，舉反例：可取un＝1．un＝－1．則(un＋un)收斂，但是級(jí)數(shù)un和vn均發(fā)散．3、下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A項(xiàng)的通項(xiàng)為un＝2／en．其是公比為q＝1／e＜1的等比級(jí)數(shù)，收斂；B項(xiàng)的通項(xiàng)為un＝1／4n，其是公比為q＝1／4＜1的等比級(jí)數(shù)，收斂；C項(xiàng)的通項(xiàng)為un＝(0．001)1／n，因?yàn)椋?，所以由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知該級(jí)數(shù)發(fā)散；D項(xiàng)的通項(xiàng)為un＝(－1)n－1(3／7)n．其是公比為q＝－3／7，｜q｜＜1的等比級(jí)數(shù)，收斂．4、設(shè){un}是單調(diào)增加的有界數(shù)列，則下列級(jí)數(shù)中收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：取un＝－1／n，則un發(fā)散，故A項(xiàng)不一定收斂．由題意可知{un)是單調(diào)增加的有界數(shù)列，則1／un單調(diào)遞減但不趨于零，故由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知B項(xiàng)發(fā)散．取un＝－1／n，則發(fā)散，C項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于D選項(xiàng)：(un＋12－un2)＝(u22－u12)＋(u32－u22)＋…＝(un＋12－u12)存在，故(un＋12－u12)存在，故選D．5、下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A項(xiàng)中，所給級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且故由比值審斂法知級(jí)數(shù)收斂．B項(xiàng)中，所給級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且當(dāng)n→∞時(shí)，，由于級(jí)數(shù)(1／n3)收斂，故由比較審斂法的極限形式知收斂；C項(xiàng)中，，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，則C項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散；D項(xiàng)中．所給級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，故由比值審斂法知收斂．故選C．6、當(dāng)________時(shí)，無(wú)窮級(jí)數(shù)(－1)nun(un＞0)收斂．()A、un＋1≤un(n＝1．2，…)B、un＝0C、un＋1＜un(n＝1，2，…)且un＝0D、un＋1≥un(n＝1，2，…)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨定理可知，級(jí)數(shù)(－1)nun(un＞0)同時(shí)滿足un＋1-≤un，＝0兩個(gè)條件時(shí)收斂．故選C．7、設(shè)級(jí)數(shù)an滿足0≤an≤1／5n，則下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：級(jí)數(shù)收斂，又0≤an≤1／5n，所以an也收斂，因此A、B項(xiàng)均收斂；C項(xiàng)中，為π＝2／3＜1的P級(jí)數(shù)，發(fā)散，故發(fā)散；D項(xiàng)中，為p＝3／2＞1的p級(jí)數(shù)，收斂，故收斂．8、如果級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是(3，4)，則a＝()A、3B、4C、5D、7標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于級(jí)數(shù)＝1，令－1＜2x－a＜1，得(a－1)／2＜x＜(a＋1)／2，由已知條件可得(a－1)／2＝3，(a＋1)／2＝4，所以a＝7．9、冪級(jí)數(shù)(｜x｜＜1)的和函數(shù)是()A、ln(1＋xz)B、ln(1－x)C、－ln(1＋x)D、－ln(1－x)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：10、函數(shù)f(x)＝sin(x－π／4)在x＝π／4處展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：x∈(－∞，＋∞)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)11、級(jí)數(shù)的和S＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：5／(5－ln2)知識(shí)點(diǎn)解析：此級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，公比q＝ln2／5．首項(xiàng)a＝1．等比級(jí)數(shù)求和公式得S＝12、設(shè)un＝(n＝1，2，…)，則級(jí)數(shù)un是________的，級(jí)數(shù)un2是________的．(填“收斂”或“發(fā)散”)標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散，收斂知識(shí)點(diǎn)解析：是p＝3／4＜1的p級(jí)數(shù)，故發(fā)散，是p＝3／2＞1的p級(jí)數(shù)，故收斂．13、已知級(jí)數(shù)(a≥0)收斂，則a滿足的條件為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0≤a≤1知識(shí)點(diǎn)解析：＝a，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由比值審斂法可知級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)a＝0時(shí)，收斂；當(dāng)a＝1時(shí)，級(jí)數(shù)也收斂，所以a滿足的條件為0≤a≤1．14、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(－6，6)知識(shí)點(diǎn)解析：所以收斂半徑為R＝6，收斂區(qū)間為(－6，6)．15、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是________，收斂區(qū)間是________，收斂域是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1／3，(－1／3，1／3)，[－1／3，1／3]知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋?，所以?xún)缂?jí)數(shù)的收斂半徑是1／3，收斂區(qū)間是(－1／3，1／3)．當(dāng)x＝－1／3時(shí)，原級(jí)數(shù)為，收斂；當(dāng)x＝1／3時(shí)，原級(jí)數(shù)為，收斂，所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇－1／3，1／3]．16、函數(shù)f(x))＝ln(1－x－2x2)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：ln(1－x－2x2)＝ln[(1－2x)(1＋x)]＝ln(1－2x)＋ln(1＋x)，因?yàn)镮n(1＋x)＝收斂域?yàn)?－1，1]．所以In(1－2x)＝，收斂域?yàn)閇－1／2，1／2)，故ln(1－x－2x2)＝，x∈[－1／2，1／2)．三、計(jì)算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)17、討論級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，求其和．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、判定級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：令un＝n／2n，則故由比值審斂法知級(jí)數(shù)收斂，所以由比較審斂法可知也收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、判定級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閡n＝2n／5lnn＞0，且所以由比值審斂法知發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、判定級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楫?dāng)n→∞時(shí)，nln(1＋1／3n)～n／3n，而對(duì)于級(jí)數(shù)由比值審斂法可得級(jí)數(shù)收斂，所以由比較審斂法的極限形式可知級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、根據(jù)常數(shù)a的取值情況，討論級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：將級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)進(jìn)行分子有理化，得到所以有由比較審斂法的極限形式可知：(1)當(dāng)a＋1／2＞1，即a＞1／2時(shí)，由于收斂，因此級(jí)數(shù)收斂；(2)當(dāng)a＋1／2≤1，即a≤1／2時(shí)，由于發(fā)散，因此級(jí)數(shù)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域：22、標(biāo)準(zhǔn)答案：ρ＝＝3，故收斂半徑R＝1／3，則級(jí)數(shù)在｜x｜＜1／3，即－1／3＜x＜1／3時(shí)收斂．當(dāng)x＝－1／3時(shí)，收斂，當(dāng)x＝1／3時(shí)，發(fā)散，故收斂域?yàn)閇－1／3，1／3)；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：ρ＝＝＋∞，故收斂半徑R＝0。級(jí)數(shù)僅在x＝0處收斂；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：ρ＝＝3，故收斂半徑R＝1／3．則級(jí)數(shù)在－1／3＜x－1＜1／3，即2／3＜x＜4／3時(shí)收斂．當(dāng)x＝4／3時(shí)，級(jí)數(shù)為因?yàn)榘l(fā)散，收斂，故發(fā)散；當(dāng)x＝2／3時(shí)，級(jí)數(shù)為因?yàn)闈M足萊布尼茨定理，收斂，由比值審斂法知收斂，故原級(jí)數(shù)收斂．從而冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇2／3,4／3)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：un(x)＝＝(x－3)2．當(dāng)(x－3)2＜1，即｜x－3｜＜I時(shí)級(jí)數(shù)收斂，收斂半徑R＝1．當(dāng)x－3＝1即x＝4時(shí)，收斂；當(dāng)x－3＝－1即x＝2時(shí)，收斂．故收斂域?yàn)閇2，4]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣眩剑?，所以其收斂半徑R＝1，收斂區(qū)間為｜x－1｜＜1，即(0，2)．當(dāng)x＝0或2時(shí)，級(jí)數(shù)均發(fā)散．所以該級(jí)數(shù)的收斂域是(0．2)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、若，求an．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、將f(x)＝ln(4x－5)展開(kāi)成x－2的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)29、設(shè)a1＝2，an＋1＝an／2，且an＞0，證明：級(jí)數(shù)(an－an＋1)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可知an＞0，且＝1／2＜1，所以an＝收斂，則＝0，從而因此級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析遼寧專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第3套一、單項(xiàng)選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、級(jí)數(shù)＝()A、0B、1／5C、1／3D、1／3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)所給級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和為Sn，由于，則2、若級(jí)數(shù)an發(fā)散，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：若an發(fā)散，可能有＝0，如(1／n)，故A項(xiàng)正確；由(1／n)發(fā)散可知B、C項(xiàng)均不成立；由(－1)n發(fā)散知D項(xiàng)不成立．3、下列選項(xiàng)中正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)收斂，但發(fā)散，故B項(xiàng)錯(cuò)誤．設(shè)un＝(1／2n)．雖然正項(xiàng)級(jí)數(shù)un發(fā)散，但1／2n＜1／n，故C項(xiàng)錯(cuò)誤．D項(xiàng)成立的前提條件是un和vn是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，即un≥vn≥0．故D項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)A，由于(un＋vn)2＝un2＋vn2＋2unvn≤2(un2＋vn2)，由題意可知2(un2＋vn2)收斂，故(un＋un)2收斂，故選A．4、下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A項(xiàng)中，，故級(jí)數(shù)收斂；B項(xiàng)中，收斂，故級(jí)數(shù)sin(π／2n)收斂；C項(xiàng)中，，故由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知級(jí)數(shù)發(fā)散；D項(xiàng)中，，故級(jí)數(shù)收斂．5、下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于A項(xiàng)，，因?yàn)?1／n)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)發(fā)散，又滿足萊布尼茨定理，故原級(jí)數(shù)條件收斂；對(duì)于B項(xiàng)，un＝，故｜un｜收斂，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；對(duì)于C項(xiàng)，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知該級(jí)數(shù)發(fā)散；對(duì)于D項(xiàng)，發(fā)散，所以發(fā)散，即D項(xiàng)級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂．6、設(shè)un＞0(n＝1，2，…)，且un收斂，常數(shù)λ∈(0，π／2)，則級(jí)數(shù)()A、收斂B、不能確定斂散性C、發(fā)散D、斂散性與λ有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：n→∞時(shí)，由un＞0，且un收斂可得u2n收斂，從而可得收斂．7、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?)A、(－1，1)B、(－1，1]C、[－1，1)D、[－1，1]標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：級(jí)數(shù)的收斂半徑為R＝＝1，收斂區(qū)間為(－1，1)．又當(dāng)x＝1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散．當(dāng)x＝－1時(shí)，級(jí)數(shù)也發(fā)散，故其收斂域?yàn)?－1，1)．8、設(shè)＝ρ(ρ＞0)，若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑分別為R1、R2、R3，則下列關(guān)系式成立的是A、R3＞R2＞R1B、R3＞R2＝R1C、R3＝R2＜R1D、R1＝R2＝R3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于級(jí)數(shù)＝ρ；對(duì)于級(jí)數(shù)＝ρ；對(duì)于級(jí)數(shù)＝ρ，所以R1＝R2＝R3＝1／ρ，故選D．9、函數(shù)f(x)＝1／(x－6)展開(kāi)成(x－2)的冪級(jí)數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、已知u1＝，u2＝，u3＝，u4＝，…，un＝，…，則un＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：un＝，前n項(xiàng)和Sn＝因?yàn)椋?，所以＝1．11、已知級(jí)數(shù)an＝2，a2n－1＝5，則級(jí)數(shù)(－1)n－1an＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：8知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閍n＝a1＋a2＋…＋an＋…＝2，a2n－1＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋…＝5，且(－1)n－1an＝a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n＋…，所以(－1)n－1an＝2a2n－1－an＝8．12、級(jí)數(shù)的斂散性為_(kāi)_______．(填“收斂”或“發(fā)散”)標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：是p＝1／3＜1的p級(jí)數(shù)，發(fā)散，則原級(jí)數(shù)也發(fā)散．13、設(shè)un≥(n＝1，2，…)，則級(jí)數(shù)是________的．(填“收斂”或“發(fā)散”)標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：un≥1／n2／5＞0(n＝1，2，…)，則發(fā)散．14、若級(jí)數(shù)(a＞0)收斂，則a應(yīng)滿足________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0＜a＜2知識(shí)點(diǎn)解析：，當(dāng)a／2＜1，即a＜2時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)a＝2時(shí)，＝1≠0，原級(jí)數(shù)發(fā)散．又因?yàn)閍＞0，所以a的取值范圍為0＜a＜2．15、已知anxn的收斂半徑為27，則anx3n的收斂半徑是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閍nxn的收斂半徑為27，令x3＝t，則的收斂半徑也為27，故anx3n的收斂半徑為3．16、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(－4，4]知識(shí)點(diǎn)解析：由于則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R＝4，收斂區(qū)間為(－4，4)．而x＝4時(shí)，級(jí)數(shù)收斂x＝－4時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，所以收斂域?yàn)?－4，4]．17、函數(shù)f(x)＝2x在x＝1處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閑x＝，x∈(－∞．+∞)，所以2x＝2×2x－1=＝2e(x－1)ln2＝，x∈(－∞，＋∞)．三、計(jì)算題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)18、判定級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗愿鶕?jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件知級(jí)數(shù)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、判定級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閡n＝4n／n33n＝0，且所以由比值審斂法知發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、判定級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：故由根值審斂法知收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、判定級(jí)數(shù)是否收斂，若收斂，是條件收斂還是絕對(duì)收斂?標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閚→∞時(shí)，，而級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù)收斂，故由比較審斂法知收斂，從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：un(x)＝，故得原冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求冪級(jí)數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：令(x－1)2＝t，則級(jí)數(shù)化為由于ρ＝的收斂半徑R＝1，令｜(x－1)2｜＜1，即0＜x＜2，則級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(0，2)．當(dāng)x＝0或x＝2時(shí)，原級(jí)數(shù)均為，由萊布尼茨定理可知該級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇0，2]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和S．標(biāo)準(zhǔn)答案：由ρ＝＝1得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R＝1／ρ＝1，收斂區(qū)間為(－1，1)．當(dāng)x＝±1時(shí)，級(jí)數(shù)都收斂，故收斂域?yàn)閇－1，1]．設(shè)該冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x)，則S(x)＝其中設(shè)g(x)＝又g(0)＝0，于是g(x)＝∫0xg’(t)dt＝∫0x1／(1－t)dt＝－ln(1－x)，而故S(x)＝(－1≤x＜1且x≠0)．當(dāng)x＝0時(shí)，S(0)＝0．當(dāng)x＝1時(shí)，S(1)＝，故令x＝1／2∈[－1，1)，得S＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、將函數(shù)f(x)＝展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、將函數(shù)f(x)＝arctan[(1－2x)／(1＋2x)]展開(kāi)成關(guān)于x的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閤＝1／2時(shí)級(jí)數(shù)收斂，且函數(shù)f(x)在x＝1／2處連續(xù)，所以令x＝1／2，得f(1／2)＝又因?yàn)閒(1／2)＝0，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、將展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)，并求的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)28、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件證明極限標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然令un＝n／3n，因?yàn)閯t由比值審斂法知級(jí)數(shù)收斂．再由比較審斂法知級(jí)數(shù)收斂，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析遼寧專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第4套一、單項(xiàng)選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、若級(jí)數(shù)an收斂于S，則(an＋an＋1－an＋2)收斂于()A、S＋a1B、S＋a2C、S＋a1－a2D、S－a1＋a2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：a2＝S＋a2，故選B．2、若級(jí)數(shù)(u2n－1＋u2n)收斂，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：級(jí)數(shù)(u2n－1＋u2n)是由un加括號(hào)后所得到的級(jí)數(shù)，由(u2n－1＋u2n)收斂不能得出級(jí)數(shù)un收斂．例如(－1)n－1發(fā)散，但(u2n－1＋u2n)＝(1－1)＋(1－1)＋…＋(1－1)＋…＝0收斂，且不存在．3、下列級(jí)數(shù)收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：＝1≠0，故A項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散；1＝1≠0．故B項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散；極限(－1)n不存在。故C項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散；，此級(jí)數(shù)為q＝－8／9的等比級(jí)數(shù)，由于｜q｜＝8／9＜1．故該級(jí)數(shù)收斂．4、設(shè)un＝，則級(jí)數(shù)()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：n→∞時(shí)，均發(fā)散。所以級(jí)數(shù)un和un2均發(fā)散．5、下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A項(xiàng)中，級(jí)數(shù)(n／3n)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。又所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法知(n／3n)收斂；B項(xiàng)中，級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，而ln(1＋1／n)～1／n(n→∞)，于是為p＝3／2＞1的p級(jí)數(shù)，收斂．因此由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法的極限形式可知收斂；C項(xiàng)中，由于，而正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，根據(jù)萊布尼茨定理知交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，那么由級(jí)數(shù)的性質(zhì)知發(fā)散；D項(xiàng)中，級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，而，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法知級(jí)數(shù)收斂．6、對(duì)任意的n，有an＜0，且＝λ，要使級(jí)數(shù)an收斂，λ應(yīng)滿足()A、λ＞1B、0≤λ＜1C、λ＝1D、λ≥0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由比值審斂法可知，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)－an收斂，即an收斂。故0≤λ＜1．7、設(shè)a為常數(shù)，則級(jí)數(shù)()A、絕對(duì)收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、收斂性與a的取值有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于≤1／n2．又收斂，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知絕對(duì)收斂．故選A．8、設(shè)冪級(jí)數(shù)在x＝6處收斂，則該級(jí)數(shù)在x＝－3處()A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對(duì)收斂D、不能確定斂散性標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：在x＝6處收斂，則R≥6，又因x＝－3在收斂區(qū)間內(nèi)，故該級(jí)數(shù)在x＝－3處必定絕對(duì)收斂．9、已知f(x)＝，則f’(x)＝()A、－2xsinx2B、cosx2C、－cosx2D、2xsinx2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)＝＝cosx2，f’(x)＝－2xsinx2．10、已知f(x)＝，則f(1)＝()A、－1B、0C、1D、π標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閟inx＝＝sinπx，f(1)＝sinπ＝0．故本題選B．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)11、級(jí)數(shù)的和為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識(shí)點(diǎn)解析：，故原級(jí)數(shù)的和為－2．12、若級(jí)數(shù)(un＋a)收斂，且n為常數(shù)，則un＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－a知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知＝－a．13、級(jí)數(shù)的斂散性是________．(填“絕對(duì)收斂”、“條件收斂”或“發(fā)散”)標(biāo)準(zhǔn)答案：絕對(duì)收斂知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)n≥1時(shí)，是公比為1／2＜1的等比級(jí)數(shù)，所以級(jí)數(shù)收斂，故由比較審斂法可知絕對(duì)收斂．14、當(dāng)p________時(shí)，級(jí)數(shù)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：＞1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)P＞1時(shí)收斂，所以由比較審斂法知P＞1時(shí)，收斂．15、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(－1，1)知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣眩剿詢(xún)缂?jí)數(shù)的收斂半徑R＝1／ρ＝1．故收斂區(qū)間為(－1，1)．16、若冪級(jí)數(shù)在x＝0處收斂，則該級(jí)數(shù)在x＝5處________．(填“收斂”或“發(fā)散”)標(biāo)準(zhǔn)答案：收斂知識(shí)點(diǎn)解析：阿貝爾定理知對(duì)于所有滿足的點(diǎn)，即0＜x＜6時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，所以級(jí)數(shù)在x＝5處必收斂．17、函數(shù)f(x)＝x／(2＋x－x2)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、計(jì)算題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)18、討論級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，求其和．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于un＝所以Sn＝u1＋u2＋…＋un知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、判定級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?，而?jí)數(shù)發(fā)散．所以由比較審斂法知所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、判定級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)n≥5時(shí)，un＝＞0，則級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)．取un＝，則由p級(jí)數(shù)的收斂性知發(fā)散，故由比較審斂法的極限形式知發(fā)散，因此級(jí)數(shù)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、判定級(jí)數(shù)是否收斂，如果收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂?標(biāo)準(zhǔn)答案：原級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，并可化為對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散．但滿足萊布尼茨定理，從而條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、若級(jí)數(shù)均收斂，且an≤cn≤bn(n＝1，2，3，…)，判定級(jí)數(shù)的收斂性，并說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：cn收斂，理由如下：因?yàn)閍n≤cn≤bn(n＝1，2，3，…)，所以0≤cn－an≤bn－an．由級(jí)數(shù)an與bn均收斂，可得(bn－an)收斂．由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法可得(cn－an)收斂．又cn＝(cn－an)＋an，所以由收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)知級(jí)數(shù)cn收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x2＝t，先考慮則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R＝3，而的收斂半徑為所以當(dāng)t＜3即時(shí)原級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)x＝時(shí)，發(fā)散；當(dāng)x＝－時(shí)，發(fā)散．故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并求標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所給級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x)，即S(x)＝因?yàn)镾’(x)＝－1＜x＜1，且S(0)＝0，所以S(x)＝∫0xS’(t)dt＝∫0x＝[1／(1＋t2)]dt＝arctanx．當(dāng)x＝－1時(shí)，級(jí)數(shù)是收斂的；當(dāng)x＝1時(shí)，級(jí)數(shù)也是收斂的．于是把x＝代入S(x)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、將f(x)＝cos2x展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求f(x)＝1／(1＋x)2在x＝0處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)27、已知級(jí)數(shù)un滿足un＋1＝(1／4)(1＋1／n)nun(n∈N*)，且u1＝1，證明＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：∵u1＝1，un＋1＝un，∴un＞0，n＝1，2，…，即級(jí)數(shù)un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析遼寧專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第5套一、單項(xiàng)選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為un＝，故前n項(xiàng)和sn＝u1＋u2＋…＋un＝2、已知級(jí)數(shù)un的前n項(xiàng)和Sn＝sinn，級(jí)數(shù)vn的前n項(xiàng)和Tn＝(n＋1)／(n2＋1)，則下列常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中，收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：，不存在，．所以級(jí)數(shù)un發(fā)散，vn收斂，故由級(jí)數(shù)的性質(zhì)可知級(jí)數(shù)均發(fā)散．3、若an＝0，則常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)an()A、收斂且和不為零B、必發(fā)散C、收斂且和為零D、可能收斂也可能發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：＝0是級(jí)數(shù)an收斂的必要條件．但不是充分條件．令an＝1／3n，由(1／3n)收斂可知B項(xiàng)不正確；令an＝1／n．由(1／n)發(fā)散可知A、C項(xiàng)錯(cuò)誤，故選D．4、設(shè)un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由＝λ，得＝λ．因?yàn)閡n為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，λ≠0。級(jí)數(shù)(1／n)發(fā)散，故由比較審斂法的極限形式知級(jí)數(shù)un發(fā)散，故B項(xiàng)正確．取un＝1／nlnn，則nun＝0，但發(fā)散，因此可以排除A項(xiàng)；再取un＝，顯然級(jí)數(shù)收斂(p＞1的P級(jí)數(shù))，但n2un＝＋∞，故排除C項(xiàng)；由于npun存在，不妨設(shè)而當(dāng)P＞1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂．于是由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法的極限形式可知級(jí)數(shù)un收斂．故排除D．5、下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A項(xiàng)中，所給級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且當(dāng)n→∞時(shí)，收斂，故由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法的極限形式知收斂；B項(xiàng)中，所給級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，故由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法知收斂；C項(xiàng)中，所給級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且當(dāng)n→∞時(shí)，arctan(1／n5)～1／n5，由于級(jí)數(shù)(1／n5)收斂，故由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法的極限形式知arctan(1／n5)收斂；D項(xiàng)中，所以由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知級(jí)數(shù)發(fā)散．故選D．6、設(shè)0≤un≤1／n(n＝1，2，…)，則下列級(jí)數(shù)中，一定收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由0≤un≤1／n，可知0≤un2≤1／n2，又級(jí)數(shù)(1／n2)收斂，故由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知級(jí)數(shù)un2收斂，從而(－1)nun2絕對(duì)收斂．7、設(shè)a是常數(shù)，且a＝0，則級(jí)數(shù)()A、發(fā)散B、不能確定斂散性C、收斂D、斂散性與a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由1－cos(a／n)≥0可知是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，因?yàn)槭諗?，故由正?xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法的極限形式可得收斂．8、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?)A、(－1，1)B、[－1，1)C、(－1，1]D、[－1，1]標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因ρ＝，故R＝1／ρ＝1，收斂區(qū)間為(－1，1)．當(dāng)x＝－1時(shí)，原級(jí)數(shù)為，發(fā)散；當(dāng)x＝1時(shí)，原級(jí)數(shù)為，收斂．所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?－1，1]．9、如果＝1／8，則冪級(jí)數(shù)anx3n()A、當(dāng)｜x｜＜2時(shí)，收斂B、當(dāng)｜x｜＜8時(shí)，收斂C、當(dāng)｜x｜＜1／8時(shí)，發(fā)散D、當(dāng)｜x｜＞1／2時(shí)，發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：令t＝x3，則級(jí)數(shù)antn的收斂半徑Rt＝8，故當(dāng)｜t｜＜8時(shí)，級(jí)數(shù)antn收斂，所以有｜x3｜＜8，即｜x｜＜2時(shí)，級(jí)數(shù)anx3n收斂．10、函數(shù)f(x)＝lnx展開(kāi)成(x－2)的冪級(jí)數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：lnx＝ln(2＋x－2)＝x∈(0，4]．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)11、已知常數(shù)a＞0，則a滿足條件________時(shí)，收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：n＞1知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)｜1／a｜＜1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，所以a＞1或a＜－1，又因a＞0，故a＞1．12、設(shè)(－1)n－1un＝2，un＝6，又vn＝3u2n－1－u2n，則vn＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：10知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件有(－1)n－1un＝u1－u2＋u3－u4＋…＋u2n－1－u2n＋…＝(u1－u2)＋(u3－u4)＋…＋(u2n－1－u2n)＋…＝(u2n－1－u2n)＝2．13、級(jí)數(shù)的斂散性為_(kāi)_______．(填“收斂”或“發(fā)散”)標(biāo)準(zhǔn)答案：收斂知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)槭諗?，所以原?jí)數(shù)收斂．14、＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：15、若冪級(jí)數(shù)anxn在x＝5處條件收斂，則其收斂半徑R＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：冪級(jí)數(shù)anxn在x＝5處條件收斂，說(shuō)明x＝5是該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間端點(diǎn)，故R＝5．16、冪級(jí)數(shù)的收斂域是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，2]知識(shí)點(diǎn)解析：＝1，令｜2x－3｜＜1，得1＜x＜2，則冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(1，2)．當(dāng)x＝1時(shí)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散；當(dāng)x＝2時(shí)，級(jí)數(shù)為收斂，故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1，2]．17、函數(shù)f(x)＝2／(2x＋1)展開(kāi)成(x－1／2)的冪級(jí)數(shù)為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、計(jì)算題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)利用級(jí)數(shù)收斂的定義判定下列各級(jí)數(shù)的斂散性：18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、判定級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于0＜un＝是公比q＝＜1的等比級(jí)數(shù)，收斂，因此由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法可知級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、判定級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閡n＝7n／(7n＋6)＞0，且所以由比值審斂法可得原級(jí)數(shù)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、判定級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楣视筛祵彅糠芍?jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、判定級(jí)數(shù)的斂散性，其中a＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令ρ＝當(dāng)0＜a＜1時(shí)，ρ＝a＜1，故級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)a＞1時(shí)，ρ＝1／a＜1，故級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)a＝1時(shí)，．從而級(jí)數(shù)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：ρ＝＝0，所以R＝＋∞，故該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?－∞，＋∞)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)f(x)及其極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)＝f’(x)＝－x／(1＋x2)，令f’(x)＝0，求得唯一駐點(diǎn)x＝0．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f’(x)＜0．當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，f’(x)＞0．故f(x)在x＝0處取得極大值，且極大值f(0)＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、將函數(shù)f(x)＝1／(x2＋2x－8)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)29、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)an收斂，證明級(jí)數(shù)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)bn＝an，則由題意可知bn為正項(xiàng)級(jí)數(shù)．所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法的極限形式知an也收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析遼寧專(zhuān)升本數(shù)學(xué)（無(wú)窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第6套一、單項(xiàng)選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、級(jí)數(shù)()A、收斂于0B、收斂于ln2C、發(fā)散D、無(wú)法判斷斂散性標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于ln(1＋1／n)＝ln[(n＋1)／n]＝ln(n＋1)－lnn則級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和Sn＝In2－In1＋ln3－ln2＋-…＋ln(n＋1)－lnn＝ln(n＋1)，＝＋∞．故級(jí)數(shù)發(fā)散．2、若級(jí)數(shù)un收斂，則下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意可知＝0．從而可知≠0．故由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知B項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散；由收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)可知A、C、D項(xiàng)級(jí)數(shù)均收斂．故選3、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)un收斂，C為非零常數(shù)，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)un＝1／n2，則＝1／n，而(1／n)發(fā)散，所以A項(xiàng)不正確；由題意可得un＝0，(un＋C)2＝C2≠0，(un＋C)＝C≠0．所以C、D項(xiàng)不正確；因?yàn)閡n＝0。故當(dāng)n足夠大時(shí)，0≤un2≤un＜，則由比較審斂法知un2收斂．故選B．4、下列級(jí)數(shù)中收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，且收斂，故根?jù)比較審斂法的極限形式知，級(jí)數(shù)收斂；因?yàn)?，故根?jù)比較審斂法的極限形式知，級(jí)數(shù)發(fā)散；因?yàn)?，故根?jù)比較審斂法的極限形式知，級(jí)數(shù)發(fā)散；因?yàn)閘n(1＋n)＝＋∞，所以由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知級(jí)數(shù)ln(1＋n)發(fā)散．5、下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：A項(xiàng)中，的絕對(duì)值級(jí)數(shù)為，是p＝4／3＞1的p級(jí)數(shù)，故收斂，則絕對(duì)收斂；B項(xiàng)中，，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知，B項(xiàng)所給級(jí)數(shù)發(fā)散，故不絕對(duì)收斂；C項(xiàng)中，因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散，故C項(xiàng)所給級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂；D項(xiàng)中，對(duì)于級(jí)數(shù)由于級(jí)數(shù)(1／n)發(fā)散，故由比較審斂法的極限形式知級(jí)數(shù)發(fā)散，故D項(xiàng)所給級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂．6、設(shè)un≠0(n＝1，2。3，…)，且＝1，則級(jí)數(shù)()A、發(fā)散B、絕對(duì)收斂C、條件收D、不能確定斂散性標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題中極限條件可得且1／un～1／n(n→∞)．因?yàn)榧?jí)數(shù)與均條件收斂，從而收斂；而由發(fā)散可知發(fā)散，從而級(jí)數(shù)條件收斂．7、冪級(jí)數(shù)(1＋2＋3＋…＋n)xn的收斂半徑是()A、1B、0C、2D、＋∞標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：所以級(jí)數(shù)的收斂半徑R＝1．8、設(shè)冪級(jí)數(shù)an(x－1)n在x＝－3處收斂，則級(jí)數(shù)在點(diǎn)