第三章　第二節(jié)　第2課時　函數的奇偶性與周期性

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第2課時函數的奇偶性與周期性【課標解讀】【課程標準】1.了解函數奇偶性的概念和幾何意義.2.會運用基本初等函數的圖象分析函數的奇偶性.3.了解函數周期性、最小正周期的含義,會判斷、應用簡單函數的周期性.【核心素養(yǎng)】數學抽象、邏輯推理、直觀想象.【命題說明】考向考法高考命題常以基本初等函數為載體,考查函數的奇偶性、周期性和圖象的對稱性及其應用.函數的奇偶性與單調性、周期性的綜合問題是高考熱點,常以選擇題的形式出現.預測預計2025年高考仍會考查函數的單調性、單調區(qū)間及函數最值的確定與應用;題型既有選擇題、填空題,又有解答題.【必備知識·逐點夯實】知識梳理·歸納1.函數的奇偶性奇偶性定義圖象偶函數設函數f(x)的定義域為D,如果?x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫做偶函數關于y軸對稱奇函數設函數f(x)的定義域為D,如果?x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函數f(x)就叫做奇函數關于原點對稱微點撥奇、偶函數定義域的特點是關于原點對稱,函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件.2.函數的周期性(1)周期函數:設函數f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數T,使得對每一個x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函數f(x)就叫做周期函數.非零常數T叫做這個函數的周期.(2)最小正周期:如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小的正數就叫做f(x)的最小正周期(若不特別說明,T一般就是指最小正周期).微點撥存在一個非零常數T,使f(x+T)=f(x)為恒等式,即自變量x每增加一個T后,函數值就會重復出現一次.常用結論1.函數周期性的常用結論對f(x)定義域內任一自變量的值x:(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a>0).(2)若f(x+a)=1f(x),則T=2a(3)若f(x+a)=-1f(x),則T=2a2.對稱性的四個常用結論(1)若函數y=f(x+a)是偶函數,則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.(2)若函數y=f(x+b)是奇函數,則函數y=f(x)的圖象關于點(b,0)中心對稱.(3)若函數y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x),則y=f(x)的圖象關于直線x=a+b2對稱;特別地,當a=b時,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)時,則y=f(x)的圖象關于直線x=(4)若函數y=f(x)滿足f(x)+f(2a-x)=2b,則y=f(x)的圖象關于點(a,b)對稱.特別地,當b=0時,即f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0時,則y=f(x)的圖象關于點(a,0)對稱.基礎診斷·自測類型辨析改編易錯高考題號14321.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)函數y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函數.(×)(2)若函數f(x)為奇函數,則一定有f(0)=0.(×)(3)若T是函數f(x)的一個周期,則nT(n∈Z,n≠0)也是函數f(x)的周期.(√)(4)若函數f(x)滿足關系f(a+x)=-f(b-x),則函數f(x)的圖象關于點(a+b2,0)對稱.(提示:(1)由于偶函數的定義域關于原點對稱,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性.×(2)由奇函數定義可知,若f(x)為奇函數,且在x=0處有意義時才滿足f(0)=0,故錯誤.×2.(2023·上海高考)下列函數是偶函數的是()A.y=sinx B.y=cosxC.y=x3 D.y=2x【解析】選B.對于A,由正弦函數的性質可知,y=sinx為奇函數;對于B,由余弦函數的性質可知,y=cosx為偶函數;對于C,由冪函數的性質可知,y=x3為奇函數;對于D,由指數函數的性質可知,y=2x為非奇非偶函數.3.(忽略奇偶函數定義域關于原點對稱)已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數,那么a+b的值是()A.-13 B.13 C.12 D【解析】選B.因為f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數,所以a-1+2a=0,所以a=13又f(-x)=f(x),所以b=0,所以a+b=134.(必修第一冊P86習題T11·變設問)已知函數f(x)是定義域為R的奇函數,當x≥0時,f(x)=x(1+x),則f(-1)=.

【解析】f(1)=1×2=2,又f(x)為奇函數,所以f(-1)=-f(1)=-2.答案:-2【核心考點·分類突破】考點一函數奇偶性的判斷[例1]判斷下列函數的奇偶性.(1)f(x)=x3-1x【解析】(1)函數的定義域為{x|x≠0},關于原點對稱,并且對于定義域內的任意一個x都有f(-x)=(-x)3-1-x=-(x3-1x)=-f(x),所以f((2)f(x)=x2-1【解析】(2)f(x)的定義域為{-1,1},關于原點對稱.又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函數又是偶函數.(3)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4];【解析】(3)因為f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定義域不關于原點對稱,所以f(x)是非奇非偶函數.(4)f(x)=-x【解析】(4)方法一(定義法):當x>0時,f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);當x<0時,f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).所以f(x)為奇函數.方法二(圖象法):作出函數f(x)的圖象,由奇函數的圖象關于原點對稱的特征知函數f(x)為奇函數.(5)f(x)=(x-1)1+x1-x,【解析】(5)已知f(x)的定義域為(-1,1),關于原點對稱.因為f(x)=(x-1)1+x1-所以f(-x)=-(1+x)(1-x)=f(解題技法1.判斷函數的奇偶性的方法(1)定義法:若函數的定義域不是關于原點對稱的區(qū)間,則可立即判斷該函數既不是奇函數也不是偶函數;若函數的定義域是關于原點對稱的區(qū)間,再判斷f(-x)是否等于±f(x).(2)圖象法:奇(或偶)函數的充要條件是它的圖象關于原點(或y軸)對稱.(3)性質法:偶函數的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數;奇函數的和、差仍為奇函數;奇(偶)數個奇函數的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數;一個奇函數與一個偶函數的積為奇函數.(注:利用上述結論時要注意各函數的定義域)2.一些重要類型的奇偶函數模型(1)函數f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)是偶函數.(2)函數f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)是奇函數.(3)函數f(x)=ax+1ax-1(4)函數f(x)=logax-bx+b(對點訓練1.(多選題)下列命題中正確的是()A.奇函數的圖象一定過坐標原點B.函數y=xsinx是偶函數C.函數y=|x+1|-|x-1|是奇函數D.函數y=x2【解析】選BC.對于A,只有奇函數在x=0處有意義時,函數的圖象過原點,所以A不正確;對于B,因為函數y=xsinx的定義域為R且f(-x)=(-x)sin(-x)=f(x),所以該函數為偶函數,所以B正確;對于C,函數y=|x+1|-|x-1|的定義域為R,關于原點對稱,且滿足f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),即f(-x)=-f(x),所以函數為奇函數,所以C正確;對于D,函數y=x2-xx-所以該函數為非奇非偶函數,所以D不正確.2.已知函數f(x)=sinx,g(x)=ex+e-x,則下列結論正確的是()A.f(x)g(x)是偶函數B.|f(x)|g(x)是奇函數C.f(x)|g(x)|是奇函數D.|f(x)g(x)|是奇函數【解析】選C.選項A,f(x)g(x)=(ex+e-x)sinx,f(-x)g(-x)=(e-x+ex)sin(-x)=-(ex+e-x)sinx=-f(x)g(x),是奇函數,結論錯誤;選項B,|f(x)|g(x)=|sinx|(ex+e-x),|f(-x)|g(-x)=|sin(-x)|(e-x+ex)=|sinx|(ex+e-x)=|f(x)|g(x),是偶函數,結論錯誤;選項C,f(x)|g(x)|=|ex+e-x|sinx,f(-x)|g(-x)|=|e-x+ex|sin(-x)=-|ex+e-x|sinx=-f(x)|g(x)|,是奇函數,結論正確;選項D,|f(x)g(x)|=|(ex+e-x)sinx|,|f(-x)g(-x)|=|(e-x+ex)sin(-x)|=|(ex+e-x)sinx|=|f(x)g(x)|,是偶函數,結論錯誤.考點二函數奇偶性的應用角度1利用奇偶性求值(解析式)[例2](1)(2023·海南模擬)已知函數f(x)為奇函數,g(x)為偶函數,且f(x)-g(x)=ex,則f(1)A.e2+1e B.e2-1e 【解析】選C.根據題意,f(x)-g(x)=ex,則f(1)-g(1)=e①,f(-1)-g(-1)=-f(1)-g(1)=e-1=1e,變形可得f(1)+g(1)=-1e聯立①②可得,f(1)=e-1e2,g(1)=-e+1e2(2)設f(x)為奇函數,且當x≥0時,f(x)=ex-1,則當x<0時,f(x)=()A.e-x-1 B.e-x+1C.-e-x-1 D.-e-x+1【解析】選D.依題意得,當x<0時,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1.角度2利用奇偶性解不等式[例3](1)函數f(x)是定義域為R的奇函數,f(x)在(0,+∞)上單調遞增,且f(2)=0.則不等式f(x)-A.(-2,2)B.(-∞,0)∪(0,2)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)【解析】選D.因為f(x)是定義域為R的奇函數,所以f(0)=0,又f(x)在(0,+∞)上單調遞增,且f(2)=0,所以f(x)的大致圖象如圖所示.由f(-x)=-f(x)可得,f(x)-2f因為x在分母位置,所以x≠0.當x<0時,只需f(x)<0,由圖象可知x<-2;當x>0時,只需f(x)>0,由圖象可知x>2.綜上,不等式的解集為(-∞,-2)∪(2,+∞).(2)已知偶函數f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調遞增,則滿足f(2x-1)<f(13)的x的取值范圍是【解析】因為f(x)為偶函數,所以f(x)=f(|x|),所以f(2x-1)<f(13)即f(|2x-1|)<f(13又f(x)在[0,+∞)上單調遞增,所以|2x-1|<13,解得13<x<答案:(13,2角度3利用奇偶性求解析式中的參數[例4](1)(一題多法)(2023·新高考Ⅱ卷)若函數f(x)=(x+a)ln(2x-12xA.-1 B.0 C.12 【解析】選B.解法一:由2x-12x+1>0,得x>12或x<-12,因為f(x)是偶函數,所以f(-x)=f(x),得(-x+a)ln(即(-x+a)ln(2x+12x-1)=(即(-x+a)ln(2x-12x+1)-1=(則(x-a)ln(2x-12x+1)=(所以x-a=x+a,得-a=a,得a=0.解法二:f(x)為偶函數,則有f(-1)=f(1),即(-1+a)ln3=(1+a)ln13,解得a=0解法三:g(x)=ln2x-12x+1,g(-則g(x)為奇函數,若f(x)=(x+a)·ln2x-12x+1為偶函數,則h(x)=x(2)(2022·全國乙卷)若f(x)=ln|a+11-x|+b是奇函數,則a=,b【解析】若a=0,則函數f(x)的定義域為{x|x≠1},不關于原點對稱,不具有奇偶性,所以a≠0.由函數解析式有意義可得,x≠1且a+11所以x≠1且x≠1+1a因為函數f(x)為奇函數,所以定義域必須關于原點對稱,所以1+1a=-1,解得a=-1所以f(x)=ln|1+x2(1-x)|+b,定義域為{由f(0)=0得ln12+b所以b=ln2,即f(x)=ln|-12+11-x|+ln2=ln|1+x1-x|,在定義域內滿足f綜上,a=-12,b=ln2答案:-12解題技法已知函數奇偶性可以解決的三個問題(1)求函數值:將待求值利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數值求解.(2)求解析式:將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的參數:利用待定系數法求解,根據f(x)±f(-x)=0得到關于參數的恒等式,由系數的對等性得參數的方程或方程組,進而得出參數的值.對點訓練1.(一題多法)(2023·全國乙卷)已知f(x)=xexeax-A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】選D.解法一:因為f(x)=xexeax-1的定義域為{x|所以f(-x)=f(x),所以-xe-xe-ax-1=xexeax-解法二:由f(x)為偶函數得f(-1)=f(1),故-e-1e又-e-1e-a-1=e-11-e-a故a=2,經檢驗,滿足f(x)為偶函數.2.若函數f(x-2)為奇函數,f(-2)=0,f(x)在區(qū)間[-2,+∞)上單調遞減,則f(3-x)>0的解集為.

【解析】因為f(x-2)為奇函數,所以f(x-2)的圖象的對稱中心為(0,0).又因為f(x)的圖象可由f(x-2)的圖象向左平移2個單位長度得到,所以f(x)的圖象關于點(-2,0)中心對稱.因為f(x)在[-2,+∞)上單調遞減,所以f(x)在(-∞,-2]上也單調遞減,所以f(3-x)>0=f(-2),即3-x<-2,解得x>5,所以解集為(5,+∞).答案:(5,+∞)考點三函數周期性及應用[例5](1)(2023·長沙模擬)定義在R上的函數f(x)滿足f(x+1)=f(x)-2,則下列是周期函數的是()A.y=f(x)-x B.y=f(x)+xC.y=f(x)-2x D.y=f(x)+2x【解析】選D.依題意,定義在R上的函數f(x)滿足f(x+1)=f(x)-2,所以f(x+1)+2(x+1)=f(x)+2x,所以y=f(x)+2x是周期為1的周期函數.(2)函數f(x)滿足f(x-2)=f(x+2),當x∈(0,2)時,f(x)=x2,則f(2025)=.

【解析】由f(x-2)=f(x+2)知f(x)的周期為4,故f(2025)=f(506×4+1)=f(1)=1.答案:1(3)已知f(x)是定義在R上的函數,并且f(x+3)=-1f(x),當1<x≤3時,f(則f(2024)=.

【解析】由已知可得f(x+6)=f((x+3)+3)=-1f(x+3)=-1故函數f(x)的周期為6,所以f(2024)=f(6×337+2)=f(2).又f(2)=cos2π3=-12,所以f(2024)=-答案:-1解題技法函數周期性有關問題的求解策略(1)判斷函數的周期性只需證明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函數是周期函數,且周期為T,函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題.(2)根據函數的周期性,可以由函數局部的性質得到函數的整體性質,即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉化到已知區(qū)間的功能.對點訓練1.(2023·石家莊模擬)函數f(x)滿足f(x)f(x+2)=13,且f(1)=2,則f(2023)=.

【解析】因為f(x)f(x+2)=13,所以f(x),f(x+2)均不為0,所以f(x+2)=13f(x),所以f(x+4)=13f(x+2)=13所以f(2023)=f(3)=13f(1答案:132.設f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數,當x∈[0,1]時,f(x)=log2(x+1),則函數f(x)在[1,2]上的解析式是.

【解析】令x∈[-1,0],則-x∈[0,1],結合題意可得f(x)=f(-x)=log2(-x+1),令x∈[1,2],則x-2∈[-1,0],故f(x)=f(x-2)=log2[-(x-2)+1]=log2(3-x),故函數f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)=log2(3-x).答案:f(x)=log2(3-x)考點四函數的對稱性及應用[例6](1)(多選題)已知函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱,則下列結論成立的是()A.f(x+1)為偶函數B.f(1+x)=f(1-x)C.f(1+x)+f(1-x)=0D.f(1)=0【解析】選AB.由于y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱,則f(1+x)=f(1-x),所以f(x+1)為偶函數,故A,B選項正確,C選項錯誤;如f(x)=(x-1)2+1,函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱,但f(1)=1≠0,故D選項錯誤.(2)(2023·?？谀M)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,函數g(x)=|x-2|·f(x)的圖象關于直線x