中考數(shù)學(xué)押軸題備考復(fù)習(xí)測試題

二次函數(shù)的押軸題解析匯編一

二次函數(shù)

1.（2011黑龍江綏化，19,3分）已知二次函數(shù)丁=以2+法+式。*0）的

圖象如圖所示，現(xiàn)有下列結(jié)論：①。2—4ac>0②a>0③b>0④c>0

⑤9a+3b+c<0,則其中結(jié)論正確的是（）

【解題思路】因圖象與x有兩上交點，所以。2一4呢>0,①正確；圖

象開口向上，a>0,②正確；因?qū)ΨQ軸x=-2>0,a、b異號，所以

2a

b<0,③錯；圖象與y軸交于負(fù)半軸，c<0,④錯；根據(jù)對稱性，圖象與

x軸正半軸的交點的橫坐標(biāo)應(yīng)大3而小于4,所以當(dāng)x=3,y<0,即

9a+3b+c〈0,⑤正確；綜上可知正確的是①②⑤。

【答案】B

【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，理解圖象與系數(shù)的關(guān)系

是解題的關(guān)鍵。難度較大。

2、（2011山西，12,2分）已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖像如圖

所示，對稱軸為直線x=l,則下列結(jié)論正確的是（）

A、ac>0B、方程ax2+bx+c=0的兩根是Xi=T,x2=3

y*

C、2a-b=0D、當(dāng)x>0時y隨x的增大而減小。1I：

【解題思路】由圖像可知a<0,c〉0所以ac〈O,因此A是錯誤的。因

為對稱軸為直線x=l,圖像與x軸的一個交點是（3,0）根據(jù)對稱性圖

像與X軸的另一個交點是（-1,0）所以方程ax?+bx+c=0的兩根是

X1=-1,X2=3因此B是正確的。因為對稱軸為直線x=l,即-匕=1所

2a

以2a+b=0,因此C是錯誤的。因為對稱軸為直線x=l,根據(jù)圖像0<x<l

時y隨x的增大而增大，因此D是錯誤的。

【答案】B

【點評】本題主要考察二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：1、當(dāng)a>0時，拋物線

向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口，拋物線與y軸交于（0,c）o

2、方程ax2+bx+c=0的根即是丫=ax?+bx+c與x軸的交點。3、對稱

軸為直線x=--o4、a<0時，在對稱軸左邊y隨x的增大而增大，

2a

在對稱軸右邊y隨x的增大而減小。難度中等。

3.（2011河北?。┮恍∏虮粧伋龊?，距離地面的高度用（米）和飛行

時間才（秒）滿足下面的函數(shù)關(guān)系式：/z=—5?—1>+6,則小球距離

地面的最大高度是

A.1米B.5米C.6米D.7米

【分析與解】小球距離地面的最大高度即為h的最大值，由關(guān)系式不

難確定方=1時，"的最大值為6,故答案選C.

【點評】本題屬于容易題，主要考查學(xué)生對二次函數(shù)最值的掌握與計

算.

4（2011廣西桂林，11,3分）.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線

y=f+2戈+3繞著它與y軸的交點旋轉(zhuǎn)180°,所得拋物線的解析

式是（）.

A.y=-(x+l)2+2B.y=-(x-l)2+4

C.y=-(x-l)2+2D.y=—(x+iy+4

【解題思路】由題易知與Y軸交點為(0,3)即所得拋物線經(jīng)過

點(0,3)可排除選項A、C,再由旋轉(zhuǎn)知頂點由第二象限旋轉(zhuǎn)至第

一象限，頂點橫坐標(biāo)為正可排除D。

【答案】B

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)知識、拋物線中的系數(shù)a、b、c的各自

作用即a決定拋物線的開口方向及開口大小、b結(jié)合a決定拋物線的

對稱軸位置、c確定拋物線與y軸的交點位置，難度中等.

5、(2011四川樂山，5,3分)將拋物線＞=-犬向左平移2個單位后,

得到的拋物線的解析式是

(A)y=-(X+2)2(B)y=-必+2(C)y=-(x-2甘(D)y=-2

【解題思路】：根據(jù)題意可得：A中函數(shù)是由＞向左平移2個單

位后得到的函數(shù)，滿足題意；B中函數(shù)是由y=-2向上平移2個單位

后得到的函數(shù)，不滿足題意；C中函數(shù)是由＞=-必向右平移2個單位

后得到的函數(shù)，不滿足題意；D中函數(shù)是由y=-2向下平移2個單位

后得到的函數(shù)，不滿足題意。

【答案】Ao

n，k<h

C.m>n,k=hD.m<.n,k=h

【解題思路】因為兩條拋物線有相同的對稱軸，所以m=n；因為

y=+左在拋物線y=-；（》一7篦尸的上方，所以左>/z,所以形狀

Ao

【答案】A

【點評】拋物線的圖象信息題是久考不衰的題目類型，解決本體的關(guān)

鍵就是弄清函數(shù)關(guān)系式中每個數(shù)字、字母的含義。本題難度中等。

7.（山東省威，7,3分）二次函數(shù)y=x?2x3,圖像如圖所示，當(dāng)y<0

時，自變量x的取值范圍是（

A.l<x<3B,x<lU/

C.x>3D.x<l或x>3D

【解題思路】當(dāng)y<0時，對應(yīng)圖像就是x軸下面的部分，根據(jù)圖形

確定自變量的取值范圍.

【答案】A.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖像的識別，是數(shù)形結(jié)合相互轉(zhuǎn)換的一個

題目，通過圖形很容易確定變量的取值.難度較小.

8.（2011四川廣安，10,3分）若二次函數(shù)y=（x-加）2_「當(dāng)xWl

時，y隨x的增大而減小，則機的取值范圍是（）

A.m=1B.m>1C.三1D.mW1

【解題思路】本題主要考察二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，因a=l>0,所以

當(dāng)xWm時y隨X的增大而減小，當(dāng)x》m時y隨X的增大而減大，由

題意得m21,故選C.

【答案】C

【點評】本題主要考察二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，和變量取值范圍結(jié)合

是一道較好的題目，中等難度

5.（山東省威，12,3分）如圖，在正方形ABCD中，AB=3cm,

動點M自A點出發(fā)沿AB方向以每秒1cm的速度運動，同

時動點N自A點出發(fā)沿折線ADDCCB以每秒3cmAAMN的

AM

面積y（cm2），運動時間x（秒），則下列圖像中能大致

反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）.

【解題思路】分三種情況，即N在AD、DC、CB上分別表示出AAMN,

即y與x的關(guān)系，結(jié)合表達式來判斷圖形.

【答案】B.

【點評】分三種情況，點N在AD上時，y」XAM?AN」x?3x=Nx2(0

222

WxWl);N在DC上時，y--XAM?AD=-x?3=-x(l<x<2)小在

222

CB上時，y=-XAM?BN=lx?(93x)--x

222

+-x(2<x<3).結(jié)合三個解析式得到相應(yīng)圖形.難度較小.

2

9.(2011四川綿陽12,3)若%1,%2(%iV%2)是方程(%—a)(x—6)=l(a<b)

的兩個根，則實數(shù)用，％2,a,8的大小關(guān)系為()

A.xi<X2<a<bB.xi<a<X2<b

C.xi<a<b<X2D.a<xi<b<xi

【解題思路】作出二次函數(shù)y=(x—a)(x—b)與直線y=l的圖象,

兩圖象的交點的橫坐標(biāo)就是方程(%—a)(x—勿=1的兩個根，即xi,X2,

而a,b是二次函數(shù)y=(%—a)(x—Z?)與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，由

圖象知，xi<a<b<x2.故選C.

【答案】B

【點評】某個方程的解，可以看作是兩個函數(shù)的交點的橫坐標(biāo),

畫出圖象即可得解.

10.（2011山東聊城9,3分）下列四個函數(shù)圖象中，當(dāng)x<0時,

函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小的是（）.

【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象，可以判斷A選項是一次函數(shù)，函數(shù)值y

隨自變量x的增大而增大，B選項是反比例函數(shù)，在每一象限內(nèi)函數(shù)

值y隨自變量x的增大而增大，C開口向上的二次函數(shù)，當(dāng)x<0時，

有一部分是減小的，另一部分是增大的。

【答案】D

【點評】本題主要考查了根據(jù)圖象判斷函數(shù)增減性的知識，解決問題

的關(guān)鍵是根據(jù)圖像的變化趨勢做出判斷。

11.（2011山東濟寧12、3分）將二次函數(shù)y=x?4x+5化成y=（xh>+k

的形式，貝Iy=°

【角軍題思路】止匕題要將y=x?4x+5配方，y=x24x+5=x24x+4+l=（x2）

2+1

【答案】y=（x2>+l

【點評】此題考查將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化成頂點式，實質(zhì)是把代數(shù)

式化成含有完全平方式，重點考查配方法。難度中等。

12.（2011山東濱州，7,3分）拋物線丁=（%+2）2—3可以由拋物線>=/

平移得到,則下列平移過程正確的是()

A.先向左平移2個單位,再向上平移3個單位B,先向左平移2個單

位，再向下平移3個單位

C.先向右平移2個單位,再向下平移3個單位D.先向右平移2個

單位，再向上平移3個單位

【解題思路】拋物線y=￡向左平移兩個單位變?yōu)閥=(x+2>,再向下

平移3個單位變?yōu)閥=(x+2『—3。

【答案】B

【點評】主要考察拋物線平移的理解，左右平移變化橫坐標(biāo)，上下平

移變化縱坐標(biāo)。特別注意符號的不同。難度較小。

13.(2011山東荷澤，8,4分)如圖為拋物線丁=以2+法+。的圖像A、

B、C為拋物線與坐標(biāo)軸的交點，且OA=OC=1,則下列關(guān)系中正確

的是()

A.a+b=—lB.a—b=—lC.b<2a

D.ac<0

【解題思路】由題意可知A(l,0),C(0,1),于是有『一"。=°，

所以ab=l,答案D正確

【答案】B

【點評】二次函數(shù)的性質(zhì)是二次函數(shù)中非常重要的一個內(nèi)容，充分

借助圖形獲取相關(guān)的信息是解題的關(guān)鍵。難度中等。

14.(2011山東濰坊，12,3分)已知一元二次方程以2+法+c=o5〉o)

的兩個實數(shù)根X]、%滿足X]+々=4和中%2=3，那么二次函數(shù)

y=以2+法+(:(4>0)的圖象有可能是()

【解題思路】因為X|-X2=3,所以兩根應(yīng)全正或全負(fù)，即Xl<0,

X2<0或Xl>0,X2>0,又因為Xl+X2=4,所以兩根應(yīng)全為正數(shù)，即

X1〉O,X2>0,所以二次函數(shù)圖象為C選項.

【答案】C.

【點撥】本題考查了二次函數(shù)y=ax2+bx+c,與一元二次方程

ax2+bx+c=0的關(guān)系.解決此題的關(guān)鍵是：一元二次方程

ax2+bx+c=0的兩根是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸兩交點的橫坐

標(biāo).難度中等.

15.(2011山東德州，6,3分)已知函數(shù)1=(%-〃)(%-8)(其中的圖象如下面

【答案】D

【點評】對于拋物線圖像與a,b,c有如下關(guān)系：a決定開口，開口

向上a>0,開口向下，a<0；b看對稱軸，左同右異（與a的符號）；c

看與y軸的交點，正半軸c>0,負(fù)半軸c<0,過原點c=0.本題是一

次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合題，考查了學(xué)生對圖象的理解運用能力，有

一定難度.

16.（2011山東泰安，20,3分）若二次函數(shù)yuaf+bx+c的％與y

的部分對應(yīng)值如下表：

x

765432

V353

27133

則當(dāng)x-1時y的值為

)

A.5B.-3C.-13D.—

27

【解題思路】由于當(dāng)％=—4與一2時,y的值總等于3,結(jié)合拋物線

的軸對稱性，得拋物線的對稱軸為直線產(chǎn)一3.顯然當(dāng)

x-1與x--l的函數(shù)值也相等.

【答案】D

【點評】本題假如從三組小y的值求出此題解答，那么較繁.根據(jù)拋

物線的對稱性巧妙求解當(dāng)％=1時y的值.，這里滲透了數(shù)形

結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.難度較高.

17.（2011山東聊城12,3分）某公園草坪的防護欄是由100段形

狀相同的拋物線組成的，為了牢固起見，每段防護欄需要間距加設(shè)

一根不銹鋼的支柱，防護欄的最高點距底部（如圖），則這條防護欄

需要不銹鋼支柱的總長度為（）.

A.50mB.100mC.160mD.200m

【解題思路】建立如上圖所示的直角坐標(biāo)系，可以求得拋物線解析式

為產(chǎn)」/+'A點的坐標(biāo)為（L0）,C點坐標(biāo)為（3,0）。把.工代

,22555

入拋物線解析式得交上，即=上把x=?代入拋物線解析式得

■25255

y=這條防護欄需要不銹鋼支柱的總長度為

'25

128

（—+—）x2x100=160.

2525

【答案】C

【點評】首先根據(jù)題意建立合適的平面直角坐標(biāo)系，確定拋物線解析

式，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性進行解決，本題主要考查了學(xué)生建立

合適的坐標(biāo)系，運用二次函數(shù)解決實際問題的能力，具有一點難度.

18（2011山東濟寧8、3分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，其函數(shù)

y與自變量x之間的部分對應(yīng)值如下表所示：

X01234

y???41014???

點A(xi,yi)、B(x2,y2)在函數(shù)的圖象上,則當(dāng)1<XI<2,3<X2<4時，yi與

y2的大小關(guān)系正確的是

A.yi>y2B.yi<yiC.yi2yiD.yi<y2

【解題思路】觀察表格當(dāng)x=2時y=0,x=l、x=3時y=l,x=0、x=4

時y=4可以看出拋物線的對稱軸為x=2,并且x離對稱軸x=2距離越

大，y值越大，所以答案選B。

【答案】B

【點評】此題考查二次函數(shù)圖象的增減性，關(guān)鍵是通過表格分析對稱

軸的位置以及函數(shù)值隨自變量變化的規(guī)律。難度中等。

19.(2011山東棗莊，18,4分)拋物線丁=以2+法+c上部分點的橫坐

標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：

X???-2—1012???

y???04664???

從上表可知，下列說法中正確的是.(填寫序號).

①拋物線與％軸的一個交點為(3,0)；②函數(shù)>=依2+法+c的最大值

為6；

③拋物線的對稱軸是x=L④在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增

2'

大.

【解題思路】先用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式為y=—x2+x+6,

由此可知，拋物線與x軸的2個交點分別為(一2,0)、(3,0),拋物

線最大值為絲，故③不正確，又拋物線的對稱軸是X=*—1,

42

，在對稱軸左側(cè)y隨x增大而增大.因此①③④正確.

【答案】①③④.

【點評】本題綜合考察了二次函數(shù)的有關(guān)知識，由于考察的知識點較

多，因此難度相應(yīng)也增加了，解題的關(guān)鍵是確定二次函數(shù)的解析式，

掌握二次函數(shù)的有關(guān)圖像、性質(zhì)，難度較大.

20.（2011內(nèi)蒙古呼和浩特,8,3分）已知一元二次方程/+陵-3=0的一

根為-3,在二次函數(shù)y*+小3的圖象上有三點V，%）、T，%）、

（￡，%），%、〃2、%的大小關(guān)系是（）

O

B.y2VC.%<%<%D.yj<y3<y2

【解題思路】把根-3代入一元二次方程可求出匕的值,從而得出二次函

數(shù)的對稱軸為直線x=-l,當(dāng)時，y隨x（T，%）關(guān)于

對稱軸了=-1的對稱點為（-小%），從而比較出力、％、73

的大小.

【答案】A

【3評】本題是考查二次函數(shù)圖象特征的題目，亮點是所給的三個點

不在對稱軸的同一側(cè)，要利用對稱的特征將比較的點放在對

稱軸的同一側(cè)，或結(jié)合二次函數(shù)圖象描點解決此題.難度中

等.

21.（2011山東日照，17,5分）如圖，是二次函數(shù)y=ax2+bx+c

（aWO）的圖象的一部分，給出下列命題：

①a+Z?+c=O；②b>2a；@ax2+bx+c-0的兩根分別為3和1；

@a2b+c>0.其中正確的命題是.（只要求填寫正確

命題的序號）

【解題思路】由圖像可以知道，a>0,b>0,c<0,當(dāng)x=l時，y=0,

所以〃+b+c=O；①正確。對稱軸％=—=-1?所以b=2a②錯誤。有

2a

圖像可以確定y=ax2+bx+c（?#0）的圖象與x軸的兩個交點分別

為（3,0）,（1,0）。所以a%2+b%+c=0的兩根分別為3和1；由b=2a。a

>0,b>0,c<0可以知道必+C=3Q+CVO.

【答案】①③

【點評】這道題重點考察了運用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，以

及運用二次函數(shù)圖象求解不等式的問題，這是新教材編寫時增加的內(nèi)

容，設(shè)計本題，有利于檢查師生對教材新增內(nèi)容的理解及教學(xué)情況.

22.（2011廣東省，15,6分）已知拋物線+c與x軸沒有交

2

點.

（1）求C的取值范圍；

（2）試確定直線y=cx+l經(jīng)過的象限，并說明理由.

【解題思路】（1）已知拋物線尸L/+X+C與*軸沒有交點，可知△

2

<0即可；（2）直線y=cx+l過定點（0,1）只要知道。的范圍即可

【答案】（1）因為拋物線y」x2+x+c與*軸沒有交點，即方程

2

工x?+x+c=O無實數(shù)根，所以△=〃—4ac=l-2c<0,解得c>，

22

（2）因為c>L所以函數(shù)y=cx+l為增函數(shù)，因為直線y=cx+l過定

2'

點（0,1）,所以直線y=cx+l過一、二和三象限。

【點評】本題是考查二次函數(shù)的增減性，同時也考查函數(shù)圖像的象限。

本題考查了函數(shù)到方程的轉(zhuǎn)化。難度中等.

23如圖，拋物線y=ar+bxCa>0）與雙曲線y--相交于點A,B.已

知點5的坐標(biāo)為（2,2）,點A在第一象限內(nèi)，且tanNA0%=4.過點4作直

線AC〃入軸，交拋物線于另一點C

（1）求雙曲線和拋物線的解析式；

（2）計算△人與。的面積；

（3）在拋物線上是否存在點D,使△人與。的

面積等于的面積.若存在，請你寫出點。的

坐標(biāo)；若不存在，請你說明理由.

【解題思路】解：（1）把點5（2,2）的坐標(biāo)，代入產(chǎn)￡

X

得：2=幺，.?.仁4.

-2

即雙曲線的解析式為：產(chǎn)色.............................2

X

分

設(shè)A點的坐標(biāo)為（m,八）。點在雙曲線上，...機〃=4.…①

又,.,tan/A0x=4,--4,即機=4”.…②

n

又①，②，得：n2-1,.'.n-+1.

TA點在第一象限，."=1,冽=4,，A點的坐標(biāo)為（1,4）

把4、5點的坐標(biāo)代入》二辦耳0％,得：解得a=l,b-3；

—2—4Q—2Z?

工拋物線的解析式為]

y=x2+3x；...............................4分

（2）'：AC//x^,.?.點。的縱坐標(biāo)尸4,

代入產(chǎn)必臼工,得方程%2+3%4=0,解得％i=4,檢=1（舍去）.

點的坐標(biāo)為（4,4）,且AC=5,.......................................................

6分

又△A5C的高為6,AABC的面積

=1x5x6=15；...............7分

2

（3）存在。點使△A5Z）的面積等于△A5C的面積.

過點。作CD//AB交拋物線于另一點D.

因為直線AB相應(yīng)的一次函數(shù)是：y=2%+2,且。點的坐標(biāo)為（4,4）,

CD//AB,

所以直線CD相應(yīng)的一次函數(shù)是：

y-2x+12............................................9分

解方程組卜=一+3羽得尸=3,所以點口的坐標(biāo)是⑶18）-10

y=2x+12,[y=18,

分

【答案】

【點評】這是一道典型的數(shù)形結(jié)合的試題，綜合考查了二次函數(shù)、一

次函數(shù)、點的坐標(biāo)、方程、平行線以及特殊的四邊形菱形的判定，知

識的綜合運用能力強，要求學(xué)生有直覺猜想、空間想象、合情推理、

抽象概括、符號表示、運算求解、演繹證明等綜合能力.

24.(2011山東濰坊，22,10分)2010年上半年，某種農(nóng)產(chǎn)品受

不良炒作的影響，價格一路上揚，8月初國家實施調(diào)控措施后，

該農(nóng)產(chǎn)品的價格開始回落.其中，1月份至7月份，該農(nóng)產(chǎn)品的

月平均價格y元/千克與月份％呈一次函數(shù)關(guān)系；7月份至12月

份，月平均價格元/千克與月份％呈二次函數(shù)關(guān)系.已知1月、7

月、9月和12月這四個月的月平均價格分別為8元/千克、26元

/千克、14元/千克、11元/千克.

(1)分別求出當(dāng)1W后7和7WxW12時，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系

式；

(2)2010年的12個月中，這種農(nóng)產(chǎn)品的月平均價格哪個月最低？

最低為多少？

(3)若以12個月份的月平均價格的平均數(shù)為年平均價格，月平

均價格高于年平均價格的月份有哪些？

【解題思路】因為1月份至7月份，該農(nóng)產(chǎn)品的月平均價格y元

/千克與月份x呈一次函數(shù)關(guān)系，所以可設(shè)出其關(guān)系式為：

y=kx+m,再利用1月和7月對應(yīng)的平均價格分別為8元/千克、

26元/千克，即（1,8）、（7,26）求得解析式；同樣的思路可求

得7月份至12月份的二次函數(shù)關(guān)系式.（2）分別利用這兩個函

數(shù)的增減性確定2010年的12個月中，這種農(nóng)產(chǎn)品的月平均價格

最低月及最低價格.（3）先求得這12個月的平均價格，及各月

的月平均價格，進而確定符合要求的月份.

【答案】解：（1）當(dāng)1WZ7時，設(shè)丁=自+7%，將點（1,8）、（7,

26）分別代入,=履+根，得

m=5,

k=3.

???函數(shù)解析式為y=3x+5.

當(dāng)7WxW12時，設(shè)y=ax2+bx+c,

將（7,26）、（9,14）、（12,11）分別代入丁二爾+以+?得:

49。+7。+。=26,a=l,

81a+9b+c=14,解之，得＜b=-22,

144a+126+c=H.c=131.

J函數(shù)解析式為y=必-22x+131.

（2）當(dāng)1WXW7時，函數(shù)y=3x+5中y隨工的增大而增大,

,,當(dāng)》最小值=1時，丁最小值=3xl+5=8.

當(dāng)7WXW12時，y=￡—22x+131=（x—nJ+lO,

..當(dāng)尤=11時，y最小值=10.

所以，該農(nóng)產(chǎn)品平均價格最低的是1月，最低為8元/千克.

(3)..T至7月份的月平均價格呈一次函數(shù)，

/.%=4時的月平均價格17是前7個月的平均值.

將x=8和x=10分另U代入y=f—22X+131,得y=19和y=11.

.?.后5個月的月平均價格分別為19,14,11,10,II.

???年平均價格為G=17X7+19+；；+11+10+11=*=I5,3(元/千克).

當(dāng)x=3時，y=14<15.3,

???4,5,6,7,8這五個月的月平均價格高于年平均價格.

【點撥】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)、平均數(shù)等知識.此題

以現(xiàn)實生活問題為背景綜合考查相關(guān)知識，解決此類問題，要注

意把實際問題數(shù)學(xué)化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，利用相關(guān)知識解決..難

度中等.

25.(2011山東荷澤，20,9分)我市一家電子計算器專賣店每只進

價13元，售價20元，多買優(yōu)惠；凡是一次買10只以上的，每多買

1只，所買的全部計算器每只就降低元，例如，某人買20只計算器,

于是每只降價X(2010)=1(元)，因此，所買的全部20只計算器都按照

每只19元計算，但是最低價為每只16元.

(1).求一次至少買多少只，才能以最低價購買？

(2).寫出該專賣店當(dāng)一次銷售x(時，所獲利潤y(元)與x(只)之間的

函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)若店主一次賣的只數(shù)在10至50只之間，問一次賣多少只獲得

的利潤最大？其最大利潤為多少？

【解題思路】(1)設(shè)一次購買x(x>10)只，可得到每只應(yīng)降低0.1(x10)

元，若按最低價購買,則應(yīng)就降低2016=4元,即有0.l(xl0)=4；(2)

應(yīng)根據(jù)x的取值情況分成三種情況，當(dāng)0〈xW10時，每只售價為20

元，所以y=20xl3x=7x；當(dāng)10〈x〈50時，每只售價為200.1(xlO)元，

所以y=[200.1(xlO)]X13X=4X2+8X；當(dāng)x>50時，每只售價為16元，

所以y=16xl3x=3x；(3)由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最大利潤。

【答案】(1)設(shè)一次購買x只，才能以最低價購買，則有：

0.1(x10)=2016,解這個方程得x=50;

答一次至少買50只，才能以最低價購買；

,20x-13x=7x(0W0)

(2)<[(20-13)-0.1(^-10)]-x=--%2+8x(10<x<50)

16x-l3%=3x(%250)

(說明：因三段圖象首尾相連，所以端點10、50包括在哪個區(qū)間均

可)；

⑶將丁=-+8x配方得y=-￡(X-40)2+160,所以店主一1次賣40只時

可獲得最高利潤，最高利潤為160元。(也可用公式法求得)。

【點評】在實際問題中，要充分借助相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式。

解本題的關(guān)鍵是對x的取值進行討論，從而求出每只計算器的實際售

價。難度較大。

26（2011山東濱州，25,12分）如圖，某廣場設(shè)計的一建筑物造型

的縱截面是拋物線的一部分，拋物線的頂點。落在水平面上，對稱軸

是水平線OC。點A、B在拋物線造型上，且點A到水平面的距離AC=40

米，點B到水平面距離為2米，0C=8米。

（1）請建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）為了安全美觀，現(xiàn)需在水平線OC上找一點P,用質(zhì)地、規(guī)格已

確定的圓形鋼管制作兩根支柱PA、PB對拋物線造型進行支撐加

固，那么怎樣才能找到兩根支柱用料最?。ㄖеc地面、造型

對接方式的用料多少問題暫不考慮）時的點P?（無需證明）

（3）為了施工方便，現(xiàn)需計算出點0、P之間的距離，那么兩根支柱

用料最省時點0、P之間的距離是多少？（請寫出求解過程）

【解題思路】問題一、建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系：以點。為原點、射線

0C為y軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系使的二次函數(shù)的解析式最簡單。

只要A點的坐標(biāo)即可求出函數(shù)的解析式。

問題二、求在0C上一點到A、B兩點距離之和最短，需做A關(guān)于0C的

對稱點D,在連接對稱點D和另外一點B與0C的交點即為所求。

問題三、求0、P之間的距離就是直線DB與y軸交點縱坐標(biāo)的長度，

需要求出DB的解析式。

【答案】

解：（1）以點0為原點、射線0C為y軸的正半軸建立直角坐標(biāo)

系...........1分

設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為>=依2,..........2分

由題意知點A的坐標(biāo)為（4,8）o且點A在拋物線上，...........3

分

所以8=aX42,解得a=』，故所求拋物線的函數(shù)解析式為

2

y=-x2..........4分

2

（2）找法：延長AC,交建筑物造型所在拋物線于點D,..........

5分

則點A、D關(guān)于0C對稱。

連接BD交0C于點P,則點P即為所求。...........6分

（3）由題意知點B的橫坐標(biāo)為2,且點B在拋物線上，

所以點B的坐標(biāo)為（2,2）..........7分

又知點A的坐標(biāo)為（4,8）,所以點D的坐標(biāo)為（4,8）..........

8

設(shè)直線BD的函數(shù)解析式為y=kx+b,..........9

2k+b=2

則有10

-4k+b=8

解得k=l,b=4.

故直線BD的函數(shù)解析式為y=x+4,.........................11

把x=0代入y=x+4,得點P的坐標(biāo)為（0,4）

兩根支柱用料最省時，點0、P之間的距離是4米。............12

【點評】本題為二次函數(shù)、幾何作圖相聯(lián)系的一個問題，學(xué)生只有對

這兩部分掌握的比較好才能順利完成，注意作圖和坐標(biāo)系的聯(lián)系，還

有坐標(biāo)和線段長度的聯(lián)系。難度較大。

27.（2011山東泰安，28,10分）某商店經(jīng)營一種小商品，進價為

每件20元，據(jù)市場分析，在一個月內(nèi)，售價定為每件25元時，

可賣出105件，而售價每上漲1元，就少賣5元.

（1）當(dāng)售價定為每件30元時，一個月可獲利多少元？

（2）當(dāng)售價定為每件多少元時，一個月的獲利最大？最大利潤是

多少元？

【解題思路】（1）一個月的獲利等于該月每件小商品的利潤與售出的

小商品的數(shù)量之積，即：禾U潤=（售價一進價）X銷售量;

（2）先構(gòu)造二次函數(shù)，然后通過配方或利用頂點坐標(biāo)公

式求出最值.

【答案】（1）獲利：（30-20）[105-5（30-25）]=800（元）；

（2）設(shè)售價為每件工元時，一個月的獲利為y元.

由題意,得：y=（x—20）[105—5（%—25）]

=-5x2+330x-4600

=—5(%—33)2+845

當(dāng)％=33時，y的最大值是845.

故當(dāng)售價為定價格為33元時，一個月獲利最大，最大利潤是

845元.

【點評】利用二次函數(shù)解決最優(yōu)化問題時，首先要根據(jù)題意構(gòu)建二次

函數(shù)關(guān)系式，然后再求出的其最值.本題以實際生活中商品

買賣為問題情景，考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，滲透了數(shù)學(xué)來源

于生活的理念.難度較小.

28.如圖,拋物線y=ax?物x+c交x軸于點A(3,0),點B(1,0),交y

軸于點E(0,3),點C是點A關(guān)于點B的對稱點，點F是線段BC的

中點，直線1過點F且與y軸平行，直線y=x+m過點C,交y軸于點

D.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于

點H,與拋物線交于點G,求線段HG長度的最大值；

圖夕m

【解題思路】第(1)小題用交點式表示出二次函數(shù)的表達式，再將

拋物線與y軸的交點坐標(biāo)代入求得a的值，得出二次函數(shù)的表達式；

第(2)小題中，H、G的橫坐標(biāo)相同，用一字母t表示出H、G兩點

的坐標(biāo)，其長度就是兩點縱坐標(biāo)之差，這樣得到長度關(guān)于t的二次三

項式，結(jié)合t的取值范圍，求的HG的最大值；第(3)小題要分AC

是對角線和邊兩種情況來討論，AC為邊時，點M、N的左右位置不一

樣，結(jié)果又不一樣，考慮要周到，運算一定要仔細(xì).

【答案】解：(1)設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=a(xl)(x+3).

二?拋物線交y軸于點E(0,3),將該點坐標(biāo)代入得a=l,

拋物線的函數(shù)表達式為y=(xl)(X+3)=X2+2X3.

(2),點C是點A關(guān)于點B的對稱點，點A的坐標(biāo)為(3,0),

點B的坐標(biāo)(1,0),

...點C的坐標(biāo)(5,0).

將點C的坐標(biāo)代入y=x+m,得m=5,

J直線CD的函數(shù)表達式為y=x+5.

設(shè)K點的坐標(biāo)為(t,0),則H點坐標(biāo)為(t,t+5),點G的坐標(biāo)為

(t,t2+2t3).

?.?點K為線段AB上一動點，...3WtWL

HG=(t+5)(t2+2t3)=t23t+8=(t+-)2+—.

24

???當(dāng)t=3時，線段HG的長度有最大值色.

24

(3)?.?點F是線段BC的中點.點B(1,)),點C(5,0),

???點F的坐標(biāo)為(3,0),

???直線1過點F且與y軸平行，

???直線1的函數(shù)表達式為x=3,

..?點M在直線1上，點N在拋物線上，

設(shè)點M的坐標(biāo)為(3,m)，點N的坐標(biāo)為(n,n+2n3).

?.?點A(3,0),點C(5,0)..*.AC=8.

分情況討論：

①若線段AC是以點A,C,M,N為頂點的平行四邊形的邊，則須

MN〃AC,且MN=AC=8,當(dāng)點N在點M的左側(cè)時，MN=3n,.*.3n=8,解得

n=5,...點N的坐標(biāo)為(5,,1)；

當(dāng)點N在點M的右側(cè)時，MN=n3,.*.n3=8,解得n=ll,.?.點N

的坐標(biāo)為(11,140).

②若線段AC是以點A,C,M,N為頂點的平行四邊形的對角線，

由“點C是點A關(guān)于點B的對稱點”知：點M與點N關(guān)于點B中心對

稱，取點F關(guān)于B的對稱點P,則P的坐標(biāo)為(1,0),過P作NPLx

軸，交拋物線于點N,

將x=l代入y=x2+2x3.得y=4,“

過點N,B作直線NB交直線1于點M,\sJjI

在4BPN與4BFM中，)

ZNBP=ZMBFTn

BF=BP

ZBPN=ZBFM=90°

.?.△BPN^ABFM,.*.NB=MB.

二.四邊形ANCM為平行四邊形，

???坐標(biāo)為（1,4）的點N符合條件.

...當(dāng)N點的坐標(biāo)為（5,12）,（11,140）,（1,4）時,以點A,C,M,N

為頂點的四邊形是平行四邊形.

【點評】本題屬于有一定難度的代數(shù)與幾何的綜合型問題，具有一定

的挑戰(zhàn)性.它綜合考查了用變量t表示點的坐標(biāo)、直線拋物線的解析

式的求法、平行四邊形的判別及相關(guān)情況的討論.重點考查學(xué)生審題,

挖掘出題目中的隱含條件，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，

以及運用轉(zhuǎn)化的思想、方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思

想解決實際問題的能力.由于此題入口比較高，不少學(xué)生在第（2）

小題中就受到阻力；在第（3）小題中更是“畏縮不前”了，尤其是

這一問中AC位邊為對角線的討論、AC為邊時點M、N位置的考慮，

讓一些學(xué)生思維紊亂，糊涂難做.難度較大.

29、（2011年四川省南充市20題8分）某工廠在生產(chǎn)過程中要消耗

大量電能，消耗每千度電產(chǎn)生利潤與電價是一次函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過測算，

工廠每千度電產(chǎn)生利潤y（元/千度）與電價雙元/千度）的函數(shù)圖象如圖：

（1）當(dāng)電價為600元千度時，工廠消耗每千度電產(chǎn)生利潤是多

少？

（2）為了實現(xiàn)節(jié)能減排目標(biāo)，有關(guān)部門規(guī)定，該廠電價％（元/

千度）與每天用電量皿千度）的函數(shù)關(guān)系為％=107〃+500,且該工廠每天

用電量不超過60千度，為了獲得最大利潤，工廠每天應(yīng)安排使用多

少度電？工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤最大是多少元？

【解題思路】由函數(shù)圖象上的兩個點很容易用代定系數(shù)法求出一次函

數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。

【答案】解：（1）工廠每千度電產(chǎn)生利潤y（元/千度）與電價（元/千度）

的函數(shù)解析式為：

y=kx+b

該函數(shù)圖象過點（0,300）,（500,200）

「f1

.500k+b=200々刀乙曰k=——.1/、

??<，解得15??y=——x+300（x>0）

人=300-25V7

i[/?=300

當(dāng)電價x=600元/千度時，該工廠消耗每千度電產(chǎn)生利潤

^=-1x600+300=180（元/千度）

（3）設(shè)工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤為w元，由題意得：

w=my=mf--^-x+300二m-1(10m+500)+300

化簡配方，得：w=-2（m-50）2+5000

由題意，m<60,...當(dāng)機=50時，w最大=5000

即當(dāng)工廠每天消耗50千度電時,工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤為5000元。

【點評】試題充分體現(xiàn)了函數(shù)知識在生活中的廣泛應(yīng)用，用函數(shù)知識

可以解決生活中的很多問題。

30.（2011山東荷澤，21,9分）如圖，拋物線2與

乙

X軸交于4夕兩點，與y軸交于。點，且/（—1,0）.

（1）求拋物線的解析式及頂點〃的坐標(biāo)；

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；

（3）點M（加0）是x軸上的一個動點，當(dāng)心I■必9的值最小時，求力的

值.

（第21題

【解題思路】（1）將A點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可求出字母b的值，

從而求出函數(shù)解析，進而求出點D的坐標(biāo)；（2）先由對稱性求出AB

的長，確定點B的坐標(biāo)，利用勾股定理分別求出AC?,BO?,由勾股定

理的逆定理可確定它是一個直角三角形；（3）作出點C關(guān)于x軸的對

稱點C’,連接。力，與x軸的交點就是要求的點M；利用相似三角形的

性質(zhì)或先求出直線C力的解析式，都可以求出m的值。

【答案】(1)把點/(—1,0)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式

2

bx—2,整理后解得人=/，所以拋物線的解析式為y=-X-^x-2,

222

頂點(2)AB=5.AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,

AC~+BC2=AB-,

.?.△ABC是直角三角形；(3)作出點C關(guān)于x軸的對稱點C,則C(0,2),

OC=2.連接CD交x軸于點根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短

可知，MC+MD的值最小.

設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點E.ACOMsADEM.

OMOCm224

--------?----=?m——o

EMED-3-m2——541

2-------8

【點評】解綜合題時，可先科其劃分成若干個小問題，然后采取各個

擊破的方式來進行。難度較大。

36.(2011年四川省南充市22題8分)拋物線y=a/+Zu+c與入軸的

交點為A(m—4,0)和B(m,0),與直線產(chǎn)-x+p相交于點A和點C(2m

—4,m—6).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點P在拋物線上，且以點P和A,C以及另一點Q為頂點

的平行四邊形ACQP面積為12,求點P,Q的坐標(biāo)；

(3)在(2)條件下，若點M是入軸下方拋物線上的動點，當(dāng)

/PQM的面積最大時，請求出/PQM的最大可邛及點M的坐標(biāo)。

【解題思路】(1)求函數(shù)關(guān)系式的三種方法是一般式，頂點式和交點

式。此題可由A,C兩點在一次函數(shù)圖象上，求得m值，從而得出A,C

兩個點的坐標(biāo)，進一步確定出B的坐標(biāo)，然后選取任意一種方法求

出拋物線的解析式。

(2)由平行四邊形的面積，及一邊長，很容易求得高，再由特殊角求

出PQ與y軸的交點。結(jié)合二次函數(shù)求出P,Q的坐標(biāo)?？赡苡袃煞N情

況，分別討論。

(3)4PQM中PQ一定，只需PQ上的高最大則△PQM的面積最大。

【答案】解：點A(m-4,0)和C(2帆-4,帆-6)在直線產(chǎn)一%+夕上

一(jn—4)+p—0,m=3

，J〈解得AA(-l,0),B(3,0),C(2,-3)

_(2機—4)+p=加—6[〃=一17v7v7

設(shè)拋物線y=tzr2+fox+c=a(x-3)(x+l)VC(2,-3)a=l

/.拋物線解析式為y=f—2x-3

(2)AC=3應(yīng)，AC所在直線的解析式為：y=-x-l,NBAC=45°

:「ACQP的面積為12

/.ACQP中AC邊上的高為與=20

3A/2

過點D作DKXAC與PQ所在直線相交于點K,DK=20,，DN=4

「ACQP的邊PQ所在直線在直線AC的兩側(cè)可能各有一條，

???滿足條件的P,Q點是6(3,0),Q(6,-3)或由-2,5),Q2。，2)

(3)設(shè)M(才-2”3),(-1</<3),過點M作y軸的平行線，交PQ所

在直線點T,貝！JT(7,T+3),MT=(-z+3)-(r-2?-3)=-r+?+6

過點M作MSXPQ所在直線于點S,

MS=比"T=烏一產(chǎn)+,+6)=—①

22''2J8

.?.當(dāng)ug時，M、,-△PQM中PQ邊上高的最大值為竽

【點評】本題綜合性較強，考查了很多基礎(chǔ)知識、還要具備較高的空

間想象能力、必須考慮到各種情況，此題的運算量和難度都比較大。

37.(2011四川廣安，30,12分)如圖9所示，在平面直角坐標(biāo)系

中，四邊形45CD是直角梯形，BC//AD,ZBAD=90°,BC與

y軸相交于點M,且〃是5。的中點，A、B、。三點的坐標(biāo)分別

是A(1.0),B(1.2),D(3.0),連接。并把線段。河沿D4

方向平移到。V,若拋物線產(chǎn)QP+"+C經(jīng)過點M、No

(1)求拋物線的解析式

(2)拋物線上是否存在點P.使得B4=PC.若存在，求出點尸

的坐標(biāo)；若不存在.請說明理由。

(3)設(shè)拋物線與％軸的另一個交點為E.點。是拋物線的對稱

軸上的一個動點，當(dāng)點Q在什么位置時有QC|最大？并

求出最大值。

【解題思路】1)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

2)求線段AC垂直平分線與拋物線的交點

3)為直線上一點到直線外兩點距離差最小利用軸

對稱解題

【答案】(1)解：由題意可得"(0.2),N(3.2)

2=c

2=9〃-3Z?+c

0=9〃+3Z?+c

解得

c=2

???y-一---1x2---11c-2

93

（2）?.?%=PC，P為AC的垂直平分線上，依

題意，AC的垂直平分線經(jīng)過（1.2）（1.0）所在

的直線為y--x+l

y=-x+l

121c

y二——x——x+2

93

%=3+3A/2x,=3-3\/2

解得：

=-2-3A/2%=—2+3A/2

/.Pi（3+3應(yīng),-2-3應(yīng)）尸2（3-3后2+30）

CD所在的直線y--x+3

.?.yQ=4.5AQ（1.5.4.5）

|QE—QC|最大值為QC=V2.52+2.52=|72

【點評】本題綜合性較強。為難題

38.（2011四川內(nèi)江，加7,12分）如圖，拋物線一蛆+“

3

與入軸交于4、5兩點，與y軸交與點。（0,1）且對稱軸是％=1.

(1)求拋物線解析式及4,5兩點的坐標(biāo);

(2)在x軸下方拋物線上是否存在點。，使四邊形A5DC的面積是

3?若存在，求出點。的坐標(biāo)，若不存在，說明理由（使用圖1）；

(3)點。在y軸上，點尸在拋物線上，要使。、尸、A、5為頂點的

四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點尸的坐標(biāo)（使

用圖2）.

【思路分析】（1）根據(jù)對稱軸公式可求解7況代入C點坐標(biāo)可求

解”；（2）將四邊形分割成三角形AO。、OCD、OBD,三角形AOC

面積可求，三角形OCD、OBD,的底已知，高分別為點。的橫坐標(biāo)

和縱坐標(biāo)的相反數(shù)，根據(jù)三個三角形面積和是3列方程求解；（3）通

過畫圖可觀察以Q、P、4、5為頂點的四邊形是平行四邊形時，點。

只能在y