2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)歸納與方法總結(jié) 第04練 基本不等式及其應(yīng)用（精練：基礎(chǔ)+重難點(diǎn)）（含解析）

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第04練基本不等式及其應(yīng)用（精練）1.了解基本不等式的證明過程．2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題．3.理解基本不等式在生活實(shí)際問題中的應(yīng)用．一、單選題1．（2022·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)?，所?故選：A.【點(diǎn)評(píng)】法一：通過基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．二、多選題2．（2022·全國·高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻茫O(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題3．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示；若，則的最大值為．【答案】【分析】空1：根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合為的中點(diǎn)進(jìn)行求解；空2：用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式求解.【詳解】空1：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；空2：因?yàn)椋瑒t，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，則時(shí)，有最大值.故答案為：；.

四、解答題4．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，即，而，所以；?）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．【A級(jí)

基礎(chǔ)鞏固練】一、單選題1．（23-24高二下·福建三明·階段練習(xí)）若，則的最小值是（

）A． B． C．4 D．2【答案】C【分析】利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選：C2．（2024高二下·湖南株洲·學(xué)業(yè)考試）已知，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．3【答案】D【分析】利用基本不等式直接求出最大值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為3.故選：D3．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知，則的最大值是（）A． B．3 C．1 D．6【答案】B【分析】利用基本不等式，直接計(jì)算即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號(hào)，滿足題意.故選：B.4．（23-24高一下·河南周口·階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C【分析】利用基本不等式和不等式的加法性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8.故選：C.5．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）若且，若的最大值為，則正常數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】借助基本不等式計(jì)算即可得.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，故.故選：B.6．（23-24高一下·云南麗江·開學(xué)考試）已知a，b為正數(shù)，，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【詳解】正數(shù)a，b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值4.故選：C7．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】由題意可得，根據(jù)“1”的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋傻?，且，，可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為1.故選：B.8．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）已知向量，，若向量，共線且，則的最大值為（

）A．6 B．4 C．8 D．3【答案】A【分析】由平面向量共線的坐標(biāo)表示得到，再由基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋遗c共線，所以，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.故選：A9．（23-24高一下·浙江·期中）已知實(shí)數(shù)，，滿足（），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助已知可變形得，借助基本不等式可求范圍.【詳解】根據(jù)已知，可得，則，因?yàn)?，所以，所以上式，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的取值范圍是.故選：D10．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】借助不等式的性質(zhì)與基本不等式逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】對(duì)A：由，故，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由，，則，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，故B正確；對(duì)C：由，故，即有，又由B可得，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由，故，即，故D錯(cuò)誤.故選：B.11．（2024·山東棗莊·一模）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式與不等式的性質(zhì)，對(duì)兩個(gè)條件進(jìn)行正反推理論證，即可得到本題的答案．【詳解】若，，，則，充分性成立；若，可能，，此時(shí)，所以必要性不成立．綜上所述，“”是“”的充分不必要條件．故選：A．12．（23-24高一下·遼寧撫順·階段練習(xí)）已知均為正實(shí)數(shù)，，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】由不等式的性質(zhì)以及基本不等式即可求解.【詳解】由題意均為正實(shí)數(shù)，，所以，左邊第一個(gè)不等號(hào)成立的條件是，右邊第二個(gè)不等號(hào)成立的條件是，綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，且.故選：B.二、多選題13．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知x≥1，則下列函數(shù)的最小值為2的有（）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】因?yàn)閤≥1，所以(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)取等號(hào))；，但是等號(hào)取不到；因?yàn)楹瘮?shù)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以≥2，當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)；因?yàn)閤≥1，所以(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)).故選：ACD.14．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A． B．a(chǎn)與b可能相等C． D．的最小值為【答案】BD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合基本不等式及“1”的妙用逐一判斷即得.【詳解】由正數(shù)a，b滿足，得，A錯(cuò)誤；若，則，而a為正數(shù)，則，B正確；顯然，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：BD15．（23-24高二下·浙江·期中）已知正數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)已知可直接得到A；根據(jù)換元法得B；乘“1”法得到C；基本不等式判斷D即可.【詳解】對(duì)于A，由題可得，即，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B不正確；對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D不正確.故選：AC.三、填空題16．（23-24高一上·北京·期中）已知，則當(dāng)時(shí)，取最小值為．【答案】514【分析】利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取最小值為.故答案為：；.17．（2024·上海徐匯·二模）若正數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)基本不等式求解．【詳解】由已知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故所求最小值是．故答案為：．18．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）若正數(shù)滿足，則的最小值是．【答案】4【分析】由基本不等式求解即可．【詳解】因?yàn)闉檎龜?shù)，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：4．19．（23-24高二下·云南·階段練習(xí)）設(shè)，若直線過曲線（，且）的定點(diǎn)，則的最小值為．【答案】2【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榍€過定點(diǎn)，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)取“”，所以的最小值為2．故答案為：220．（23-24高一上·廣西百色·期末）若，則的最小值為.【答案】9【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最小值.【詳解】由，得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9.故答案為：921．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某人沿圍墻修建一個(gè)直角梯形花壇，設(shè)直角邊米，米，若米，問當(dāng)米時(shí)，直角梯形花壇的面積最大．

【答案】【分析】先求出面積的表達(dá)式，再根據(jù)基本不等式即可得解.【詳解】由題意米，則直角梯形花壇的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)米時(shí)，直角梯形花壇的面積最大．故答案為：.22．（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知，則的最小值為．【答案】【分析】利用均值定理即可求得的最小值.【詳解】，因?yàn)?，故，（?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．）則的最小值為,故答案為：四、解答題23．（23-24高二下·全國·期中）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用32年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位；）滿足關(guān)系：，設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與32年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，并求最小值．【答案】(1)(2)當(dāng)隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用最小，最小值為萬元【分析】（1）由建造費(fèi)與能源消耗費(fèi)求和可得；（2）利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）每年能源消耗費(fèi)用為，建造費(fèi)用為，∴.（2）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，∴當(dāng)隔熱層修建6cm厚時(shí)，總費(fèi)用最小，最小值為112萬元.24．（23-24高一上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知，，，求證：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】運(yùn)用基本不等式對(duì)（1）（2）進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）∵，，，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.∴；（2）∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；累加，得，證畢.25．（23-24高一上·浙江·期末）為了進(jìn)一步增強(qiáng)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，某公司計(jì)劃在2024年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款運(yùn)動(dòng)手表，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)此款運(yùn)動(dòng)手表全年需投入固定成本100萬，每生產(chǎn)（單位：千只）手表，需另投入可變成本萬元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，每部手機(jī)售價(jià)萬元，且全年生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完.（利潤(rùn)=銷售額-固定成本-可變成本）(1)求2024年的利潤(rùn)（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：千只）的函數(shù)關(guān)系式．(2)2024年的年產(chǎn)量為多少（單位：千只）時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)(2)年的年產(chǎn)量為千只時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是萬元【分析】（1）依題意可得，再分、分別求出的解析式；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式分別求出每一段上的最大值，再取兩者較大的即可．【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故；（2）若，，當(dāng)時(shí)，，若，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，，又，故年的年產(chǎn)量為千只時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是萬元．26．（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）完成下列不等式的證明：(1)對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，，，證明：；(2)設(shè)，，為正實(shí)數(shù)，且，證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由基本不等式得到，相加后得到答案；（2）由基本不等式得到，相加后得到答案.【詳解】（1）由基本不等式可得，所以，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等；（2）因?yàn)樗裕?，因?yàn)樗裕?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等【B級(jí)

能力提升練】一、單選題1．（23-24高一下·遼寧葫蘆島·開學(xué)考試）已知，且，則的最小值為（

）A．5 B． C．4 D．【答案】A【分析】由基本不等式中“1”的妙用代入計(jì)算即可得出最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為5.故選：A.2．（2023·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）若，則函數(shù)有（

）A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值【答案】D【分析】由題意，，，利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)椋裕?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)有最大值.故選：D.3．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為（

）A． B．8 C． D．【答案】A【分析】由題意得，進(jìn)一步表示出，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，從而，等?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最小值為.故選：A.4．（2024·遼寧·一模）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，，將所求式子變形，利用基本不等式求解.【詳解】由，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：A.5．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列不等式中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)于AB，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于CD，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到，結(jié)合基本不等式即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?，?duì)于A，易得，所以，故A成立.對(duì)于B，因?yàn)椋?，故B成立.對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，顯然等號(hào)不成立，所以，故C不成立.對(duì)于D，因?yàn)榍遥?，故D成立.故選：C.6．（2024·遼寧大連·一模）若奇函數(shù)，則的最小值為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】利用奇函數(shù)的定義與對(duì)數(shù)運(yùn)算可得，結(jié)合奇函數(shù)的定義域可得，在利用基本不等式即可得的最小值.【詳解】若為奇函數(shù)，則，所以，則，整理得，又因?yàn)?，奇函?shù)的定義域滿足，即，結(jié)合可得，即，故所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值.故選：B.7．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習(xí)）故宮博物院收藏著一幅《梧桐雙兔圖》.該絹本設(shè)色畫縱約，橫約，掛在墻上最低點(diǎn)離地面，小蘭身高(頭頂距眼睛的距離為.為使觀測(cè)視角最大，小蘭離墻距離應(yīng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意只需最大，設(shè)小蘭眼睛所在的位置點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)做直線的垂線，垂足為，求出，，設(shè)，則，求出，，代入，利用基本不等式求解即可.【詳解】由題意可得為銳角，故要使最大，只需最大，設(shè)小蘭眼睛所在的位置點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)做直線的垂線，垂足為，如圖，則依題意可得（cm），（cm），，設(shè)，則，且，，故所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故使觀賞視角最大，小蘭離墻距離應(yīng)為cm.故選：C.8．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由基本不等式和可得，化簡(jiǎn)可得，令，利用換元法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．因?yàn)?，令，則，，所以，由對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)函數(shù)取到最小值，所以當(dāng)時(shí)，，所以.故選：B．9．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）為提高市民的健康水平，擬在半徑為200米的半圓形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)健身廣場(chǎng)，該健身廣場(chǎng)（如圖所示的陰影部分）分休閑健身和兒童活動(dòng)兩個(gè)功能區(qū)，圖中區(qū)域是休閑健身區(qū)，以為底邊的等腰三角形區(qū)域是兒童活動(dòng)區(qū)，P，C，D三點(diǎn)在圓弧上，中點(diǎn)恰好在圓心O，則當(dāng)健身廣場(chǎng)的面積最大時(shí)，的長(zhǎng)度為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】先設(shè)，然后將健身廣場(chǎng)的面積表示為的函數(shù)，再使用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)確定取得最大值時(shí)的取值，最后求出此時(shí)的長(zhǎng)度.【詳解】如圖，設(shè)半圓的半徑是，并設(shè)，則，由知.

由于，故四邊形和四邊形都是上底為，下底為，高為的梯形.所以，健身廣場(chǎng)的面積.從而，健身廣場(chǎng)的面積最大的時(shí)候，恰好就是最大的時(shí)候，而我們又有：，第一個(gè)不等號(hào)使用了基本不等式.等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)且，即且.由于時(shí)，故等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).以上結(jié)論表明，的最大值是，且取到最大值當(dāng)且僅當(dāng).由，我們得到當(dāng)健身廣場(chǎng)的面積最大時(shí)，的長(zhǎng)度為.最后，由是半圓的半徑，再根據(jù)題目條件，知等于200米，所以的長(zhǎng)度為米，D選項(xiàng)正確.故選：D.二、多選題10．（2023·浙江紹興·二模）已知，，，則（

）A．且 B．C． D．【答案】ABD【分析】由，可得，即可判斷，同理判斷，判斷A；利用基本不等式可判斷B，C，D；【詳解】對(duì)于A，，，，則，故，同理可得，A正確；對(duì)于B，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，，，，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，故，D正確，故選：ABD11．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則下列說法正確的是（

）A．有最小值4 B．有最小值C．有最小值 D．的最小值為【答案】ABD【分析】利用基本不等式可判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由A的分析知且，時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故D選項(xiàng)正確；故選：ABD．12．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知．則下列結(jié)論正確的有（）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為3 D．

【答案】BD【分析】對(duì)于A：求關(guān)于b的函數(shù)的最值并驗(yàn)證等號(hào)的取得；對(duì)BC：使用基本不等式求最值并驗(yàn)證等號(hào)的取得；對(duì)D：求關(guān)于b的函數(shù)的最值并驗(yàn)證等號(hào)的取得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，?duì)于A：，當(dāng)，即時(shí)，有最大值，而，取不到最值，故A錯(cuò)，對(duì)于B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以B正確，對(duì)于C：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，而，所以取不到最值，故C錯(cuò)，對(duì)于D：因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，，則，所以在上遞減，所以，所以，故D正確，故選：BD三、填空題13．（23-24高一下·河北保定·開學(xué)考試）若正數(shù)滿足，則的最大值為．【答案】10【分析】利用基本不等式求積的最大值即可.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，故的最大值為10．故答案為：1014．（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·期末）若，，，則的最大值為.【答案】/【分析】根據(jù)基本不等式求最大值即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為為,故答案為：.15．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最小值是．【答案】/．【分析】利用“1”的巧用及基本不等式即可求解.【詳解】由，得，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是．故答案為：．16．（2024·陜西西安·三模）已知，，則的最小值為．【答案】/【分析】依題意可得，再由基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為．故答案為：．17．（2024·上海普陀·二模）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.【答案】【分析】由已知，，，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.18．（23-24高一上·浙江·期末）已知，則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合換元法，以及基本不等式的公式，即可求解．【詳解】因?yàn)椋栽O(shè)，則，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．故答案為：．四、解答題19．（2024·全國·二模）已知實(shí)數(shù)，滿足.(1)求證：；(2)求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將兩邊平方后利用基本不等式證明；（2）將變形后將條件代入，然后利用基本不等式求最值.【詳解】（1）由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以；（2）由已知，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即一個(gè)為，一個(gè)為時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值.20．（23-24高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知，，且．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用即可得證．（2）將代入“”中，從而利用基本不等式即可得證．【詳解】（1）由，所以．所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，由此得證．（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，由此得證．21．（23-24高一下·甘肅白銀·期中）養(yǎng)魚是現(xiàn)在非常熱門的養(yǎng)殖項(xiàng)目，為了提高養(yǎng)殖效益，養(yǎng)魚戶們會(huì)在市場(chǎng)上購買優(yōu)質(zhì)的魚苗，分種類、分區(qū)域進(jìn)行集中養(yǎng)殖．如圖，某養(yǎng)魚戶承包了一個(gè)邊長(zhǎng)為100米的菱形魚塘（記為菱形）進(jìn)行魚類養(yǎng)殖，為了方便計(jì)算，將該魚塘的所有區(qū)域的深度統(tǒng)一視為2米．某養(yǎng)魚戶計(jì)劃購買草魚苗、鯉魚苗和鯽魚苗這三種魚苗進(jìn)行分區(qū)域養(yǎng)殖，用不銹鋼網(wǎng)將該魚塘隔離成，，三塊區(qū)域，圖中是不銹鋼網(wǎng)露出水面的分界網(wǎng)邊，E在魚塘岸邊上（點(diǎn)E與D，C均不重合），F(xiàn)在魚塘岸邊．上（點(diǎn)F與B，C均不重合）．其中△的面積與四邊形的面積相等，△為等邊三角形．

(1)若測(cè)得EC的長(zhǎng)為80米，求的長(zhǎng)．(2)已知不銹鋼網(wǎng)每平方米的價(jià)格是20元，為了節(jié)約成本，試問點(diǎn)E，F(xiàn)應(yīng)如何設(shè)置，才能使得購買不銹鋼網(wǎng)所需的花費(fèi)最少？最少約為多少元？（安裝費(fèi)忽略不計(jì)，?。敬鸢浮?1)62.5米(2)E，F(xiàn)分別在DC，DB上距離C點(diǎn)70.7米，6828元．【分析】（1）由，結(jié)合三角形的面積公式求解即可.（2）設(shè)米，米，，．由余弦定理和三角形的面積公式可求出，再由基本不等式求解即可.【詳解】（1）依題意得平方米，由米，得平方米，解得米，即CF的長(zhǎng)為62.5米，（2）設(shè)米，米，，．在△ECF中，由余弦定理可得，因?yàn)槠椒矫?，所以米，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故當(dāng)E，F(xiàn)分別在DC，DB上距離C點(diǎn)70.7米時(shí)，EF最短，此時(shí)購買的不銹鋼網(wǎng)面積最小，花費(fèi)最小．當(dāng)時(shí)，不銹鋼網(wǎng)的面積為平方米，所需的花費(fèi)最少為元．22．（2023·貴州黔西·一模）設(shè)，，均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由，則，根據(jù)，，，即可得證；（2）由已知得若證，即證，再根據(jù)，，，即可得證.【詳解】（1）由，得，又由基本不等式可知當(dāng)，，均為正數(shù)時(shí)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述不等式等號(hào)均成立，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；（2）因?yàn)?，，均為正?shù)，所以若證，即證，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式等號(hào)均成立，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.23．（23-24高一上·山東·階段練習(xí)）已知，．(1)若，證明：．(2)若，求的最小值．(3)若，求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）依題意可得，要證，即證，利用基本不等式計(jì)算可得；（2）利用基本不等式得到關(guān)于的不等式，解得即可；（3）依題意可得，再利用基本不等式得到關(guān)于的不等式，解得即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，，則，要證，即證，即證，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以原命題得證；（2）因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.（3）因?yàn)?，所以，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以，顯然，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為.【C級(jí)

拓廣探索練】一、單選題1．（22-23高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將代入后剩下關(guān)于的二元不等式，經(jīng)齊次化處理后使用基本不等式在時(shí)最大值時(shí)，將代入所求關(guān)系式，得到二次函數(shù)利用配方法即可求得其最大值.【詳解】，，又均為正實(shí)數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取"=")，，此時(shí).，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得"="，滿足題意.的最大值為1.故選：B.【點(diǎn)睛】對(duì)含有多元變量的函數(shù)求最值時(shí)通常要減少變量的個(gè)數(shù)，減少變量的個(gè)數(shù)方法有:①代入消元，把其中一個(gè)變量用其它變量表示后代入消元;②對(duì)齊次式可通過構(gòu)造比值消元.2．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知x為正實(shí)數(shù)，y為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】變形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由x為正實(shí)數(shù)，y為非負(fù)實(shí)數(shù)，得，由，得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為中最大的數(shù).已知正實(shí)數(shù)，記，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)定義可知，，，再由基本不等式可得當(dāng)時(shí)，取得最小值2.【詳解】由，得，，，所以，即，因?yàn)?，所以；由基本不等式可得，所以，所以，，?dāng)，即時(shí)，取得最小值2.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)定義得出，，，再結(jié)合基本不等式求得.4．（22-23高一上·河南·階段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：因式分解后根據(jù)式子特征，設(shè)，，從而表達(dá)出，結(jié)合基本不等式去除最小值；法二：采用三角換元，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，利用三角函數(shù)有界性求出最小值.【詳解】法一：∵，∴可設(shè)，，∴，代入所求式子得，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.法二：設(shè)，，代入已知等式得，，∴，其中，.∴，所以的最小值為.故選：D二、多選題5．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，則（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ABD【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算，結(jié)合基本不等式即可判斷A；結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，利用基本不等式可判斷B；將化為關(guān)于x的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可判斷是C；通過變量代換，令，得到，根據(jù)“1”的巧用，將變形后