2019-2020學(xué)年北京市海淀區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析）

2019-2020學(xué)年北京市海淀區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（4分）設(shè)集合，，1，，則A． B．， C．，1， D．，0，1，2．（4分）不等式的解集是A． B． C． D．3．（4分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上是增函數(shù)的是A． B． C． D．4．（4分）某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員各13場(chǎng)比賽得分情況用莖葉圖表示如下：根據(jù)上圖，對(duì)這兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)進(jìn)行比較，下列四個(gè)結(jié)論中，不正確的是A．甲運(yùn)動(dòng)員得分的極差大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差 B．甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù) C．甲運(yùn)動(dòng)員的得分平均值大于乙運(yùn)動(dòng)員的得分平均值 D．甲運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)比乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)穩(wěn)定5．（4分）已知，，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（4分）已知函數(shù)若關(guān)于的函數(shù)有且只有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．7．（4分）“函數(shù)在區(qū)間，上不是增函數(shù)”的一個(gè)充要條件是A．存在滿(mǎn)足（a）（1） B．存在滿(mǎn)足（a）（2） C．存在，，且滿(mǎn)足（a）（b） D．存在，，且滿(mǎn)足（a）（b）8．（4分）區(qū)塊鏈作為一種革新的技術(shù)，已經(jīng)被應(yīng)用于許多領(lǐng)域，包括金融、政務(wù)服務(wù)、供應(yīng)鏈、版權(quán)和專(zhuān)利、能源、物聯(lián)網(wǎng)等．在區(qū)塊鏈技術(shù)中，若密碼的長(zhǎng)度設(shè)定為256比特，則密碼一共有種可能，因此，為了破解密碼，最壞情況需要進(jìn)行次哈希運(yùn)算．現(xiàn)在有一臺(tái)機(jī)器，每秒能進(jìn)行次哈希運(yùn)算，假設(shè)機(jī)器一直正常運(yùn)轉(zhuǎn)，那么在最壞情況下，這臺(tái)機(jī)器破譯密碼所需時(shí)間大約為（參考數(shù)據(jù)，A．秒 B．秒 C．秒 D．28秒二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分，把答案填在題中橫線(xiàn)上.9．（4分）函數(shù)且的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為．10．（4分）已知，則的定義域?yàn)?，不等式的解集為?1．（4分）已知，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為．12．（4分）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，不等式的解集為．13．（4分）某大學(xué)在其百年校慶上，對(duì)參加校慶的校友做了一項(xiàng)問(wèn)卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在20世紀(jì)最后5年間畢業(yè)的校友，他們2018年的平均年收入約為35萬(wàn)元．由此（填“能夠”或“不能”推斷該大學(xué)20世紀(jì)最后5年間的畢業(yè)生，2018年的平均年收入約為35萬(wàn)元，理由是．14．（4分）對(duì)于正整數(shù)，設(shè)函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)．①則；②設(shè)函數(shù)，則在函數(shù)的值域中所含元素的個(gè)數(shù)是．三、解答題：本大題共4小題，共44分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15．（11分）某校2019級(jí)高一年級(jí)共有學(xué)生195人，其中男生105人，女生90人．基于目前高考制度的改革，為了預(yù)估學(xué)生“分科選考制”中的學(xué)科選擇情況，該校對(duì)2019級(jí)高一年級(jí)全體學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查．現(xiàn)采用按性別分層抽樣的方法，從中抽取13份問(wèn)卷．已知問(wèn)卷中某個(gè)必答題的選項(xiàng)分別為“同意”和“不同意”，下面表格記錄了抽取的這13份問(wèn)卷中此題的答題情況．選“同意”的人數(shù)選“不同意”的人數(shù)男生4女生2（Ⅰ）寫(xiě)出，的值；（Ⅱ）根據(jù)上表的數(shù)據(jù)估計(jì)2019級(jí)高一年級(jí)學(xué)生該題選擇“同意”的人數(shù)；（Ⅲ）從被抽取的男生問(wèn)卷中隨機(jī)選取2份問(wèn)卷，對(duì)相應(yīng)的學(xué)生進(jìn)行訪(fǎng)談，求至少有一人選擇“同意”的概率．16．（11分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）已知，且在，上恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，，求的取值范圍．17．（12分）如圖，在射線(xiàn)，，中，相鄰兩條射線(xiàn)所成的角都是，且線(xiàn)段．設(shè)．（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，在圖1中作出點(diǎn)的位置（保留作圖的痕跡）；（Ⅱ）請(qǐng)用，寫(xiě)出“點(diǎn)在射線(xiàn)上”的一個(gè)充要條件：；（Ⅲ）設(shè)滿(mǎn)足“且”的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形為，①圖形是；．線(xiàn)段．射線(xiàn)．直線(xiàn)．圓②在圖2中作出圖形．18．（10分）已知函數(shù)的圖象在定義域上連續(xù)不斷．若存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的，恒成立，稱(chēng)函數(shù)滿(mǎn)足性質(zhì)．（Ⅰ）若滿(mǎn)足性質(zhì)（2），且（1），求（4）的值；（Ⅱ）若，試說(shuō)明至少存在兩個(gè)不等的正數(shù)，，同時(shí)使得函數(shù)滿(mǎn)足性質(zhì)和．（參考數(shù)據(jù)：（Ⅲ）若函數(shù)滿(mǎn)足性質(zhì)，求證：函數(shù)存在零點(diǎn)．四、附加題：（本題滿(mǎn)分0分.所得分?jǐn)?shù)可計(jì)入總分，但整份試卷得分不超過(guò)100分）19．在工程實(shí)踐和科學(xué)研究中經(jīng)常需要對(duì)采樣所得的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行函數(shù)擬合．定義數(shù)據(jù)點(diǎn)集為平面點(diǎn)集，，2，，，尋找函數(shù)去擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)集，就是尋找合適的函數(shù)，使其圖象盡可能地反映數(shù)據(jù)點(diǎn)集中元素位置的分布趨勢(shì)．（Ⅰ）下列說(shuō)法正確的是．（寫(xiě)出所有正確說(shuō)法對(duì)應(yīng)的序號(hào)）．對(duì)于任意的數(shù)據(jù)點(diǎn)集，一定存在某個(gè)函數(shù)，其圖象可以經(jīng)過(guò)每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)．存在數(shù)據(jù)點(diǎn)集，不存在函數(shù)使其圖象經(jīng)過(guò)每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)．對(duì)于任意的數(shù)據(jù)點(diǎn)集，一定存在某個(gè)函數(shù)，使得這些數(shù)據(jù)點(diǎn)均位于其圖象的一側(cè)．?dāng)M合函數(shù)的圖象所經(jīng)過(guò)的數(shù)據(jù)點(diǎn)集中元素個(gè)數(shù)越多，擬合的效果越好（Ⅱ）衡量擬合函數(shù)是否恰當(dāng)有很多判斷指標(biāo)，其中有一個(gè)指標(biāo)叫做“偏置度”，用以衡量數(shù)據(jù)點(diǎn)集在擬合函數(shù)圖象周?chē)姆植记闆r．如圖所示，對(duì)于數(shù)據(jù)點(diǎn)集，，，在如下的兩種“偏置度”的定義中，使得函數(shù)的偏置度大于函數(shù)的偏置度的序號(hào)為；①；②．（其中代表向量的模長(zhǎng)）（Ⅲ）對(duì)于數(shù)據(jù)點(diǎn)集，，，，用形如的函數(shù)去擬合．當(dāng)擬合函數(shù)滿(mǎn)足（Ⅱ）中你所選擇的“偏置度”達(dá)到最小時(shí)，該擬合函數(shù)的圖象必過(guò)點(diǎn)．（填點(diǎn)的坐標(biāo)）

2019-2020學(xué)年北京市海淀區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（4分）設(shè)集合，，1，，則A． B．， C．，1， D．，0，1，【解答】解：，，1，，，．故選：．2．（4分）不等式的解集是A． B． C． D．【解答】解：，，，不等式的解集為．故選：．3．（4分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上是增函數(shù)的是A． B． C． D．【解答】解：在上單調(diào)遞減，不符合題意；為非奇非偶函數(shù)，故不符合題意；為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故正確；由于的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，故非奇非偶，不符合題意；故選：．4．（4分）某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員各13場(chǎng)比賽得分情況用莖葉圖表示如下：根據(jù)上圖，對(duì)這兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)進(jìn)行比較，下列四個(gè)結(jié)論中，不正確的是A．甲運(yùn)動(dòng)員得分的極差大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差 B．甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù) C．甲運(yùn)動(dòng)員的得分平均值大于乙運(yùn)動(dòng)員的得分平均值 D．甲運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)比乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)穩(wěn)定【解答】解：首先將莖葉圖的數(shù)據(jù)還原：甲運(yùn)動(dòng)員得分：19181826212035333230474140乙運(yùn)動(dòng)員得分：17171919222526272929303233對(duì)于，極差是數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，由圖中的數(shù)據(jù)可得甲運(yùn)動(dòng)員得分的極差為，乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差為，得甲運(yùn)動(dòng)員得分的極差大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差，因此正確；對(duì)于，甲數(shù)據(jù)從小到大排列：18181920212630323335404147處于中間的數(shù)是30，所以甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是30，同理求得乙數(shù)據(jù)的中位數(shù)是26，因此甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)，故正確；對(duì)于，不難得出甲運(yùn)動(dòng)員的得分平均值約為29.23，乙運(yùn)動(dòng)員的得分平均值為25.0，因此甲運(yùn)動(dòng)員的得分平均值大于乙運(yùn)動(dòng)員的得分平均值，故正確；對(duì)于，分別計(jì)算甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員得分的方差，方差小的成績(jī)更穩(wěn)定．可以算出甲的方差為：，同理，得出乙的方差為：因?yàn)橐业姆讲钚∮诩椎姆讲?，所以乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)比甲運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)穩(wěn)定，故不正確．故選：．5．（4分）已知，，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：，或．“”是“”的既不充分也不必要條件．故選：．6．（4分）已知函數(shù)若關(guān)于的函數(shù)有且只有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如圖：若方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，故選：．7．（4分）“函數(shù)在區(qū)間，上不是增函數(shù)”的一個(gè)充要條件是A．存在滿(mǎn)足（a）（1） B．存在滿(mǎn)足（a）（2） C．存在，，且滿(mǎn)足（a）（b） D．存在，，且滿(mǎn)足（a）（b）【解答】解：“函數(shù)在區(qū)間，上不是增函數(shù)”的一個(gè)充要條件是：存在，，且滿(mǎn)足（a）（b）．故選：．8．（4分）區(qū)塊鏈作為一種革新的技術(shù)，已經(jīng)被應(yīng)用于許多領(lǐng)域，包括金融、政務(wù)服務(wù)、供應(yīng)鏈、版權(quán)和專(zhuān)利、能源、物聯(lián)網(wǎng)等．在區(qū)塊鏈技術(shù)中，若密碼的長(zhǎng)度設(shè)定為256比特，則密碼一共有種可能，因此，為了破解密碼，最壞情況需要進(jìn)行次哈希運(yùn)算．現(xiàn)在有一臺(tái)機(jī)器，每秒能進(jìn)行次哈希運(yùn)算，假設(shè)機(jī)器一直正常運(yùn)轉(zhuǎn)，那么在最壞情況下，這臺(tái)機(jī)器破譯密碼所需時(shí)間大約為（參考數(shù)據(jù)，A．秒 B．秒 C．秒 D．28秒【解答】解：設(shè)這臺(tái)機(jī)器破譯密碼所需時(shí)間大約為秒，則：，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得：，，，，，，而，，，故選：．二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分，把答案填在題中橫線(xiàn)上.9．（4分）函數(shù)且的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為．【解答】解：由題意可得：，，故答案為：．10．（4分）已知，則的定義域?yàn)?，不等式的解集為．【解答】解：函?shù)的定義域?yàn)?；由，得，得，即．不等式的解集為．故答案為：；?1．（4分）已知，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為．【解答】解：由，，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為；又，，．故答案為：；．12．（4分）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，不等式的解集為．【解答】解：由題意，可將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，與兩個(gè)函數(shù)圖象如下：根據(jù)圖象，可知與兩個(gè)函數(shù)圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．不等式，即的解集，結(jié)合圖象，可知不等式的解集為，，．故答案為：1；，，．13．（4分）某大學(xué)在其百年校慶上，對(duì)參加校慶的校友做了一項(xiàng)問(wèn)卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在20世紀(jì)最后5年間畢業(yè)的校友，他們2018年的平均年收入約為35萬(wàn)元．由此不能（填“能夠”或“不能”推斷該大學(xué)20世紀(jì)最后5年間的畢業(yè)生，2018年的平均年收入約為35萬(wàn)元，理由是．【解答】解：某大學(xué)在其百年校慶上，對(duì)參加校慶的校友做了一項(xiàng)問(wèn)卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在20世紀(jì)最后5年間畢業(yè)的校友，他們2018年的平均年收入約為35萬(wàn)元．由此不能推斷該大學(xué)20世紀(jì)最后5年間的畢業(yè)生，2018年的平均年收入約為35萬(wàn)元，理由是參加校慶的校友年收入不能代表全體畢業(yè)生的年收入．故答案為：不能，參加校慶的校友年收入不能代表全體畢業(yè)生的年收入．14．（4分）對(duì)于正整數(shù)，設(shè)函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)．①則1；②設(shè)函數(shù)，則在函數(shù)的值域中所含元素的個(gè)數(shù)是．【解答】解：①對(duì)于正整數(shù)，設(shè)函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)．，②函數(shù)．，，則．，，則．，則．，則．．因此函數(shù)的值域?yàn)椋?，3，，集合所含元素的個(gè)數(shù)是4．故答案為：1，4．三、解答題：本大題共4小題，共44分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15．（11分）某校2019級(jí)高一年級(jí)共有學(xué)生195人，其中男生105人，女生90人．基于目前高考制度的改革，為了預(yù)估學(xué)生“分科選考制”中的學(xué)科選擇情況，該校對(duì)2019級(jí)高一年級(jí)全體學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查．現(xiàn)采用按性別分層抽樣的方法，從中抽取13份問(wèn)卷．已知問(wèn)卷中某個(gè)必答題的選項(xiàng)分別為“同意”和“不同意”，下面表格記錄了抽取的這13份問(wèn)卷中此題的答題情況．選“同意”的人數(shù)選“不同意”的人數(shù)男生4女生2（Ⅰ）寫(xiě)出，的值；（Ⅱ）根據(jù)上表的數(shù)據(jù)估計(jì)2019級(jí)高一年級(jí)學(xué)生該題選擇“同意”的人數(shù)；（Ⅲ）從被抽取的男生問(wèn)卷中隨機(jī)選取2份問(wèn)卷，對(duì)相應(yīng)的學(xué)生進(jìn)行訪(fǎng)談，求至少有一人選擇“同意”的概率．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得，抽取的男生數(shù)為人，應(yīng)抽取的女生數(shù)為人，，．（Ⅱ）估計(jì)2019級(jí)高一年級(jí)學(xué)生該題選擇“同意”的人數(shù)為．（Ⅲ）男生問(wèn)卷共有7份，選擇“同意”的有4份，選“不同意”的有3份，從中隨機(jī)選取2份問(wèn)卷，這2份都是“不同意”的概率為，故至少有一人選擇“同意”的概率為．16．（11分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）已知，且在，上恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由解得或；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以在，上單調(diào)遞增，要使在，上恒成立，只需（3），所以的取值范圍是；（Ⅲ）因?yàn)橛袃蓚€(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，，所以，解得，所以的取值范圍是，因?yàn)?，所以，的取值范圍是?7．（12分）如圖，在射線(xiàn)，，中，相鄰兩條射線(xiàn)所成的角都是，且線(xiàn)段．設(shè)．（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，在圖1中作出點(diǎn)的位置（保留作圖的痕跡）；（Ⅱ）請(qǐng)用，寫(xiě)出“點(diǎn)在射線(xiàn)上”的一個(gè)充要條件：且，；（Ⅲ）設(shè)滿(mǎn)足“且”的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形為，①圖形是；．線(xiàn)段．射線(xiàn)．直線(xiàn)．圓②在圖2中作出圖形．【解答】（Ⅰ）圖中點(diǎn)即為所求．（Ⅱ）且，．（Ⅲ）①；，圖中線(xiàn)段即為所求．故答案為：（Ⅱ）且，．（Ⅲ）①．18．（10分）已知函數(shù)的圖象在定義域上連續(xù)不斷．若存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的，恒成立，稱(chēng)函數(shù)滿(mǎn)足性質(zhì)．（Ⅰ）若滿(mǎn)足性質(zhì)（2），且（1），求（4）的值；（Ⅱ）若，試說(shuō)明至少存在兩個(gè)不等的正數(shù)，，同時(shí)使得函數(shù)滿(mǎn)足性質(zhì)和．（參考數(shù)據(jù)：（Ⅲ）若函數(shù)滿(mǎn)足性質(zhì)，求證：函數(shù)存在零點(diǎn)．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)闈M(mǎn)足性質(zhì)（2），所以對(duì)于任意的，恒成立．又因?yàn)椋?），所以，（2）（1），（4）（2），由可得，由可得，所以，；（Ⅱ）若正數(shù)滿(mǎn)足，等價(jià)于，記，顯然（1），（2），因?yàn)椋?，，即，因?yàn)榈膱D象連續(xù)不斷，所以存在，，使得，因此，至少存在兩個(gè)不等的正數(shù)，，使得函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足性質(zhì)和；（Ⅲ）證明：①若（1），則1即為的零點(diǎn)；②若（1），則（1），（1），可得（1），，取即可使得，所以，存在零點(diǎn)；③若（1），則由，可得，由，可得，由，可得，取即可使得，所以，存在零點(diǎn)．綜上，存在零點(diǎn)．四、附加題：（本題滿(mǎn)分0分.所得分?jǐn)?shù)可計(jì)入總分，但整份試卷得分不超過(guò)100分）19．在工程實(shí)踐和科學(xué)研究中經(jīng)常需要對(duì)采樣所得的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行函數(shù)擬合．定義數(shù)據(jù)點(diǎn)集為平面點(diǎn)集，，2，，，尋找函數(shù)