24版高中同步新教材選擇性必修第一冊蘇教版數(shù)學(xué)備課5.3.1　單調(diào)性

選擇性必修第一冊

蘇教版高中數(shù)學(xué)1.由導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性對于函數(shù)y=f(x),如果在某區(qū)間上f'(x)>0,那么f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增;如果在某區(qū)間上f'(x)<0,那么f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.若在某個區(qū)間內(nèi),f'(x)≥0,且只在有限個點處f

'(x)=0,則在這個區(qū)間內(nèi),函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增;若在某個區(qū)間內(nèi),f'(x)≤0,且只在有限個點處f

'(x)=0,則在這個區(qū)間內(nèi),函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減.5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

|導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的聯(lián)系知識點必備知識清單破5.3.1單調(diào)性2.由函數(shù)單調(diào)性判斷導(dǎo)數(shù)符號若函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞增,則在該區(qū)間上有f'(x)≥0恒成立(但不恒等于0);若函

數(shù)y=f(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞減,則在該區(qū)間上有f'(x)≤0恒成立(但不恒等于0).知識辨析1.在區(qū)間(a,b)內(nèi),若f'(x)>0,則f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增,反之也成立嗎?2.若函數(shù)f(x)在整個定義域內(nèi)都有f'(x)>0,則f(x)在定義域上一定單調(diào)遞增,對嗎?3.由f'(x)>0或f'(x)<0能求得f(x)的單調(diào)區(qū)間,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間只能寫成開區(qū)間,這種說

法對嗎?4.“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是(a,b)”和“函數(shù)在(a,b)上單調(diào)”說法是一致的嗎?5.導(dǎo)數(shù)的大小反映了函數(shù)在某個區(qū)間或某點附近變化的快慢程度,這個說法正確嗎?一語破的1.不一定.比如f(x)=x3在R上為增函數(shù),但其在x=0處的導(dǎo)數(shù)f'(0)=0.2.不對.比如f(x)=-

,雖然在定義域內(nèi)滿足f'(x)=

>0,但在其定義域(-∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)不具有單調(diào)性.3.不對.若函數(shù)在單調(diào)區(qū)間的端點處有意義,則區(qū)間寫成開區(qū)間或閉區(qū)間都可以,若無意義,

則只能寫成開區(qū)間.4.不一致.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)單調(diào)的完整區(qū)間,而在某區(qū)間上單調(diào)時,這個區(qū)間是函數(shù)單

調(diào)區(qū)間的一個子集.5.不正確.導(dǎo)數(shù)絕對值的大小反映了函數(shù)在某個區(qū)間或某點附近變化的快慢程度.1.導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)圖象的變化,遵循“符號為正,圖象上升;符號為負(fù),圖象下

降”的原則.導(dǎo)函數(shù)圖象在x軸的上方或下方,確定導(dǎo)函數(shù)的正或負(fù).解決問題時,一定要分清

是原函數(shù)圖象還是導(dǎo)函數(shù)圖象.2.一般地,如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大,那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快,

這時,函數(shù)的圖象就比較“陡峭”;反之,函數(shù)的圖象就“平緩”一些.1|導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象間的關(guān)系

定點關(guān)鍵能力定點破典例已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f‘(x),且f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=xf’(x)的圖象可能是

(

)

A

B

C

D解析

由題圖可知函數(shù)f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,則當(dāng)x∈(-∞,-1)時,f'(x)<0,當(dāng)x∈(-1,+∞)時,f'(x)>0,且f'(-1)=0.對于函數(shù)y=xf'(x),當(dāng)x∈(-∞,-1)時,xf'(x)>0;當(dāng)x∈(-1,0)時,xf'(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時,xf'(x)>0,且當(dāng)x=-1時,xf'(x)=0,當(dāng)x=0時,xf'(x)=0,顯然C符合.故選C.

1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的基本步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x);(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f'(x)>0或f'(x)<0;(4)確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.注意:單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子集.2.含參函數(shù)的單調(diào)性問題研究含參函數(shù)的單調(diào)性問題,要依據(jù)參數(shù)對導(dǎo)函數(shù)的影響進(jìn)行分類討論,通?？紤]以下

幾方面:2|利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

定點①導(dǎo)函數(shù)的類型;②導(dǎo)函數(shù)是否存在零點;③導(dǎo)函數(shù)的零點是否在函數(shù)定義域內(nèi);④若導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)有多個零點,則需比較它們的大小關(guān)系.典例已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-

ax2(a∈R),討論f(x)的單調(diào)性.思路點撥

求f(x)的定義域及f'(x)

對a分情況討論

確定f'(x)的符號

得到函數(shù)的單調(diào)性.解析

由已知得f(x)的定義域為R,f'(x)=ex+(x-1)ex-ax=x(ex-a).若a≤0,則當(dāng)x∈(-∞,0)時,f'(x)<0,當(dāng)x∈(0,+∞)時,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.若a>0,令f'(x)=0,得x=0或x=lna.①若a=1,則f'(x)=x(ex-1)≥0,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.②若0<a<1,則lna<0,當(dāng)x∈(-∞,lna)∪(0,+∞)時,f'(x)>0;當(dāng)x∈(lna,0)時,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,lna)和(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(lna,0)上單調(diào)遞減.③若a>1,則lna>0,當(dāng)x∈(-∞,0)∪(lna,+∞)時,f'(x)>0;當(dāng)x∈(0,lna)時,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)和(lna,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,lna)上單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)a≤0時,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)0<a<1時,f(x)在(-∞,lna)和(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(lna,0)上單調(diào)遞減;當(dāng)a=1時,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>1時,f(x)在(-∞,0)和(lna,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,lna)上單調(diào)遞減.已知f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào),求參數(shù)的值(取值范圍)的步驟(1)求導(dǎo);(2)將f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(減)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立處理,即f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)內(nèi)恒

成立;(3)利用最大(小)值解決不等式的恒成立問題,從而確定參數(shù)的值(取值范圍);(4)注意驗證等號能否取到.3|已知單調(diào)性求參數(shù)的值(取值范)

定點典例已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b.(1)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),求實數(shù)a的值.思路點撥

(1)求f'(x)

由f'(x)≥0分離參數(shù)a

確定實數(shù)a的取值范圍.(2)思路一:f'(1)=0

確定實數(shù)a的值.思路二:對參數(shù)a進(jìn)行分類討論

得到實數(shù)a的值.解析

(1)由題易得f(x)的定義域為R,且f'(x)=3x2-a.若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),則f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,因為x>1,所以3x2>3,所以a≤3,即a的取值范圍是(-∞,3].(2)解法一:由題知f'(1)=3-a=0,解得a=3,經(jīng)驗證,a=3滿足條件,所以a=3.解法二:令f'(x)≥0,得x2≥

.若a≤0,則x2≥

恒成立,即f'(x)≥0恒成立,此時,f(x)=x3-ax+b在R上是增函數(shù),與題意不符.若a>0,由f'(x)≥0,得x≥

或x≤-

.因為(1,+∞)是函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間,所以

=1,即a=3.陷阱分析

理解題意時,要注意“(1)函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)”與“(2)函數(shù)f(x)的一個

單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)”的區(qū)別,其中(2)中的區(qū)間(1,+∞)是函數(shù)f(x)的一個完整的單調(diào)遞

增區(qū)間,而(1)中的區(qū)間(1,+∞)是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間的子區(qū)間.1.利用單調(diào)性解不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式,因

此熟悉以下結(jié)論可以達(dá)到事半功倍的效果.(1)對于f'(x)>g'(x),構(gòu)造h(x)=f(x)-g(x),特殊地,若遇到f'(x)>a(a≠0),即導(dǎo)函數(shù)大于某個非零常

數(shù)(若a=0,則無需構(gòu)造),則可構(gòu)造h(x)=f(x)-ax.(2)對于f'(x)+g'(x)>0,構(gòu)造h(x)=f(x)+g(x).(3)對于f'(x)+f(x)>0,構(gòu)造h(x)=ex·f(x).(4)對于f'(x)-f(x)>0,構(gòu)造h(x)=

.(5)對于xf'(x)+f(x)>0,構(gòu)造h(x)=x·f(x).(6)對于xf'(x)-f(x)>0,構(gòu)造h(x)=

.4|構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明(解)不等式

定點(7)對于

>0,分類討論:①若f(x)>0,則構(gòu)造h(x)=lnf(x);②若f(x)<0,則構(gòu)造h(x)=ln[-f(x)].2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的步驟(1)將要證明的不等式f(x)>g(x)(x∈(a,b))移項,構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),轉(zhuǎn)化為證明F(x)>0.(2)確定函數(shù)的單調(diào)性,若F'(x)>0,則F(x)在(a,b)上是增函數(shù);若F'(x)<0,則F(x)在(a,b)上是減函

數(shù).(3)將單調(diào)區(qū)間的端點值代入,若函數(shù)F(x)是增函數(shù),且F(a)≥0,則當(dāng)x∈(a,b)時,f(x)-g(x)>0,即

f(x)>g(x);若F(x)是減函數(shù),且F(b)≥0,則當(dāng)x∈(a,b)時,f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x).典例1已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f(x)<-xf'(x),則不等式f(x+

1)>(x-1)f(x2-1)的解集是

(

)A.(2,+∞)

B.(1,+∞)

C.(1,2)

D.(0,1)解析

設(shè)g(x)=xf(x),則g'(x)=f(x)+xf'(x).∵f(x)<-xf'(x),∴g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù).∵f(x)的定義域為(0,+∞),∴

解得x>1.將原不等式的兩邊同乘x+1,得(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1),即g(x+1)>g(x2-1),∴x+1<x2-1,解得x>2或x<-1(舍去),∴原不等式的解集為(2,+∞).典例2