第11講直線與圓的位置關(guān)系

第11講直線與圓的位置關(guān)系模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系.2．能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題和實際問題.知識點1直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為r(r>0)，圓心到直線的距離為d，則直線與圓的位置關(guān)系如下表所示.位置關(guān)系圖示公共點個數(shù)幾何特征直線、圓的方程組成的方程組的解相離0d>r無實數(shù)解相切1d＝r兩組相同實數(shù)解相交2d<r兩組不同實數(shù)解考點一：判斷直線與圓的位置關(guān)系例1.（2324高二下·上?！て谀┮阎獔A的方程為，點，是圓內(nèi)一點，設(shè)以為中點的弦所在的直線為，方程為的直線為，則（

）A．，且與圓相交 B．，且與圓相離C．，且與圓相交 D．，且與圓相離【答案】B【分析】先計算出直線的斜率，由，可得出直線的斜率，再由點斜式可得出直線的方程，由點在圓內(nèi)得出，據(jù)此可判斷直線、是平行關(guān)系，再利用點到直線的距離可計算出圓心到直線的距離，并與作大小比較，即可得出直線與圓的位置關(guān)系．【詳解】如圖：

直線的斜率為，由垂徑定理可知，，所以，直線的方程為，即，由于點是圓內(nèi)一點，則，又直線的方程為：，所以，.圓心到直線的距離為，因此，直線與圓相離.故選：B【變式11】（2324高二下·陜西榆林·階段練習）直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)直線經(jīng)過定點，定點在圓內(nèi)部即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】直線恒過定點，將定點代入圓的方程，發(fā)現(xiàn)，則定點在圓內(nèi)部，所以直線與圓必相交.故選:B.【變式12】（2324高二下·云南曲靖·期末）已知圓，直線，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線恒過定點 B．直線與圓相切C．直線與圓相交 D．直線與圓相離【答案】C【分析】求出圓的圓心和半徑，直線所過的定點，再由該定點與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的位置即可.【詳解】圓的圓心，半徑，直線恒過定點，顯然，因此點在圓內(nèi)，直線與圓相交，ABD錯誤，C正確.故選：C【變式13】（2324高二下·上?！て谥校┮阎本€與圓，點，則下列說法錯誤的是（

）A．若點在圓上，則直線與圓相切B．若點在圓內(nèi)，則直線與圓相離C．若點在圓外，則直線與圓相離D．若點在直線上，則直線與圓相切【答案】C【分析】利用點與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系求解.【詳解】圓心到直線的距離，若點在圓上，則，所以，則直線與圓相切，故A正確;若點在圓內(nèi)，則，所以，則直線與圓相離，故B正確；若點在圓外，則，所以，則直線與圓相交，故C錯誤；若點在直線上，則，即，所以直線與圓相切，故D正確，故選：C．考點二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)例2.（2324高二下·四川達州·期中）“”是直線和圓相交的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先求出直線與圓相交時的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】圓的圓心，半徑為，若直線和圓相交，則，解得，所以“”是直線和圓相交的必要不充分條件.故選：B.【變式21】（2024·安徽·三模）直線：與圓：的公共點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】C【分析】根據(jù)已知直線與圓的方程，得到直線過定點，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，即可判定.【詳解】由直線，可得直線過定點，又由圓：，可得點在圓C上，因為直線的斜率顯然存在，所以公共點的個數(shù)為2.故選：C.【變式22】（2324高二下·云南昆明·期中）已知圓關(guān)于直線對稱，則實數(shù)（

）A． B．1 C． D．3【答案】D【分析】求出圓心并將其代入直線即可得解.【詳解】由得，則圓心坐標為，又因為圓關(guān)于直線對稱，故由圓的對稱性可知：圓心在直線上，則.故選：D.【變式23】（2324高二下·江西鷹潭·期末）設(shè)點為圓上任意一點，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用表示的幾何意義，作圖先求出兩條切線的斜率，再結(jié)合圖形理解即得其范圍.【詳解】如圖，作出圓，因點是圓上一點，故可看成圓上的點與原點連線的斜率.考慮直線與圓相切時，設(shè)切線斜率為，則圓心到直線的距離為，解得，由圖知要使過原點的直線與圓有公共點，需使直線傾斜角不小于切線的傾斜角，或不超過切線的傾斜角，故直線的斜率或，即的范圍為.故答案為：.考點三：求直線與圓交點坐標例3.（2324高二上·湖北荊州·期末）已知點和，點在軸上，且為直角，則點坐標為（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【分析】為直角，故在以為直徑的圓上，確定圓方程，取計算得到答案.【詳解】為直角，故在以為直徑的圓上，圓心為，半徑為，圓方程為，取得到或，即點坐標為或.故選：B.【變式31】（2324高三下·江蘇蘇州·開學考試）過點作直線l交圓于點，，若，則點的橫坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出點的坐標，結(jié)合題意可得點的坐標，又兩點都在圓上，代入計算即可得點的橫坐標.【詳解】設(shè)，故有，即，由，則點為中點，故，故有，即有，整理得，即.故選：A.【變式32】（2324高二下·云南曲靖·階段練習）已知圓與直線交于，兩點，則經(jīng)過點，，三點的圓的標準方程為．【答案】【分析】先求出兩點坐標，設(shè)出圓的標準方程，代入坐標可得答案.【詳解】聯(lián)立直線和圓，解得，設(shè)圓的標準方程為，則有，解得，所以圓的標準方程為.故答案為：.【變式33】（2324高三下·上海青浦·階段練習）已知圓恒過定點A，B，則直線的方程為．【答案】【分析】由圓的方程化簡，確定的坐標，由此確定直線的方程.【詳解】方程，可化為，所以點為直線與圓的交點，所以若點的坐標為，則點的坐標為，所以直線的方程為，故答案為：.考點四：過圓上一點的切線方程例4.（2324高二上·四川成都·階段練習）過點作圓的切線l，求切線l的方程【答案】【分析】當直線斜率不存在時，直線方程為：，由圓心到直線的距離等于半徑判斷；當直線的斜率存在時：設(shè)直線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑求解.【詳解】當直線斜率不存在時，直線方程為：，圓心到直線的距離為，不成立；當直線的斜率存在時：設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離等于半徑為：，解得，所以直線方程為：，即.故答案為：.【變式41】（2324高二下·北京·期中）已知圓，直線經(jīng)過點，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】點斜式設(shè)出方程，利用相切可求答案.【詳解】顯然斜率不存在時，不合題意；斜率存在時，設(shè)方程為，圓心到直線的距離為，因為與圓相切，所以，即，解得，即的方程為.故選：A【變式42】（2324高三下·福建·開學考試）過點的直線l與圓相切，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，點P在圓C上，由切線性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】由點P在圓C上，又由直線的斜率為，可得直線l的斜率為2，則直線l的方程為．故選：B．【變式43】（2324高二上·廣西南寧·階段練習）過點P作圓的切線，求切線的方程【答案】【分析】由圓的方程求出圓心和半徑，通過計算得到點在圓上，根據(jù)切線幾何性質(zhì)進而可得切線的方程.【詳解】，即，則其圓心，半徑，將點代入圓的方程可得，則點在圓上，則，直線的方程為，則，則切線方程為.考點五：過圓外一點的切線方程例5.（2324高二上·河南焦作·階段練習）已知直角坐標平面上點和圓，一條光線從點射出經(jīng)軸反射后與圓相切，求反射后的光線方程.【答案】或【分析】求得點關(guān)于軸對稱的點，設(shè)反射光線所在直線方程為，結(jié)合圓心到直線的距離為，列出方程，得到的值，即可求解.【詳解】由反射光線過點關(guān)于軸對稱的點，且和圓相切，設(shè)反射光線所在直線方程為，則圓心到直線的距離為1，可得，整理得，解得或；當直線斜率不存在時，直線為，顯然不滿足條件；所以所求直線方程為或.故答案為：或.【變式51】（2324高三上·貴州安順·期末）在平面直角坐標系中，一條光線從點時出，經(jīng)直線反射后，與圓相切，寫出一條反射后光線所在直線的方程.【答案】（答案不唯一，另一條為）【分析】利用軸對稱求出點關(guān)于直線的對稱點，再求出過點的圓的切線即得.【詳解】依題意，點關(guān)于直線的對稱點，由光的反射定理知，從點射出的光線經(jīng)直線反射后，與圓相切，相當于從點發(fā)出的光線與圓相切，顯然該切線斜率存在，設(shè)方程為，因此圓心到直線的距離，解得，所以所求直線方程為或.故答案為：【變式52】（2324高二上·山西大同·階段練習）過點M（2，4）向圓（x－1）2＋（y＋3）2＝1引切線，求其切線的方程．【答案】24x－7y－20＝0或x＝2．【分析】可判斷點M在圓外，分切線斜率是否存在兩種情況可求切線的方程.【詳解】由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50>1，故點M在圓外．當切線斜率存在時，設(shè)切線方程是y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0，由于直線與圓相切，故，解得．所以切線方程為24x－7y－20＝0．又當切線斜率不存在時，直線x＝2與圓相切．綜上所述，所求切線方程為24x－7y－20＝0或x＝2．【變式53】（2324高二上·貴州六盤水·期末）已知半徑為2的圓的圓心在射線上，點在圓上．(1)求圓的標準方程；(2)求過點且與圓相切的直線方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)圓心坐標為，根據(jù)點在圓上列方程可得，可得方程；（2）分斜率存在和不存在求解，當斜率存在時，設(shè)切線的方程為，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程求解可得.【詳解】（1）由圓C的圓心在直線上，可設(shè)圓心C的坐標為，又圓的半徑為2，點在圓上，有，解得（舍去）或，故圓的標準方程為；（2）①當切線的斜率不存在時，直線與圓相切；②當切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為，整理為，由題知，解得，可得切線方程為，整理為，由①②知，過點且與圓相切的直線方程為或.

考點六：圓的切線長問題例6.（2024·新疆·二模）從直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】先求出圓心和半徑，再將切線長的最小轉(zhuǎn)化為直線上的點與圓心的距離最小來求解即可.【詳解】圓化為，圓心為，半徑為1，直線上的點向圓引切線，設(shè)切點為，則，要使切線長的最小，則最小，即直線上的點與圓心的距離最小，由點到直線的距離公式可得，.所以切線長的最小值為.故選：B.【變式61】（2024高三·全國·專題練習）若從圓（x－1）2＋（y－1）2＝1外一點P（2，3）向這個圓引一條切線，則切線長為（）A．1 B． C． D．2【答案】D【詳解】解析：圓心坐標為O（1，1），半徑r＝1，OP＝.因為圓心、切點、點O構(gòu)成直角三角形，所以切線長為＝2【變式62】（2024·全國·模擬預(yù)測）若直線上僅存在一點，使得過點的直線與圓切于點，且，則的值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】先利用圓切線的性質(zhì)求得，再由點的唯一性得到直線與直線垂直，從而利用點線距離公式即可得解.【詳解】依題意，記為坐標原點，連接，如圖，因為圓的圓心為，半徑為，則，又，所以，因為點唯一，使得，所以直線與直線垂直，所以，即.故選：B．【變式63】（2024·四川攀枝花·三模）由直線上的一點向圓引切線，切點為，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，求得，由此可知時，取得最小值，由此即可求解.【詳解】由已知有：圓的圓心，半徑為，直線的一般方程為，設(shè)點到圓心的距離為，則有，所以，所以取最小值時，取得最小值，因為直線上點到圓心的距離最小值為圓心到直線的距離，所以，故的最小值為.故選：B考點七：切點弦及其方程例7.（2324高二上·四川南充·階段練習）已知圓，點為軸上一個動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)題意由四邊形的面積與的面積關(guān)系，設(shè)可得，利用單調(diào)性即可求出的最小值為.【詳解】易知圓的圓心為，半徑為，如圖所示：易知，設(shè)，則由圖可得，又，可得，因為，所以當時，的最小值為.故答案為：.【變式71】（2024·全國·模擬預(yù)測）過直線上一點M作圓C：的兩條切線，切點分別為P，Q．若直線PQ過點，則直線PQ的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，先利用兩圓方程相減得到直線PQ的方程，再利用直線PQ過點求得t的值，進而得到直線PQ的方程.【詳解】圓C：的圓心為，設(shè)，則以為直徑的圓的方程為與圓C的方程兩式相減可得直線PQ的方程為因為直線PQ過點，所以，解得．所以直線PQ的方程為，即．故選：C．【變式72】（2324高三上·云南曲靖·階段練習）過點作圓的兩條切線，設(shè)切點為A，B，則切點弦AB的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求以及切線長，再根據(jù)等面積法即可得結(jié)果.【詳解】圓，即，易知，圓C的半徑，所以切線長．所以四邊形的面積為．所以根據(jù)等面積法知：，所以．故選：B．【變式73】（2024·全國·模擬預(yù)測）是直線上的一個動點，是圓上的兩點，若均與圓相切，則弦長的最小值為．【答案】【分析】由題意結(jié)合等面積法可知，由此可知只需求的最小值即可，結(jié)合點到直線的距離公式即可得解.【詳解】因為，所以，當?shù)拈L最小時，弦長最小，而的最小值為圓心（即原點）到直線的距離，所以，所以．故答案為：.考點八：已知圓的切線求參數(shù)例8.（2324高二上·遼寧撫順·期末）已知圓經(jīng)過三點.(1)求圓的標準方程；(2)若直線與直線垂直，且與圓相切，求在軸上的截距.【答案】(1)(2)或【分析】（1）運用待定系數(shù)法進行求解即可（2）根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合互相垂直的直線的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】（1）設(shè)圓的標準方程為，因為該圓過三點，所以有所以該圓的方程為.（2）由題意得，所以的斜率為.設(shè)，即.由點到的距離為，得或，所以在軸上的截距為或.【變式81】（2324高二上·天津?qū)幒印て谀┤糁本€與圓相切，則實數(shù)的值為.【答案】3【分析】寫出圓的標準方程確定圓心和半徑，根據(jù)直線與圓相切，結(jié)合點線距離公式列方程求參數(shù).【詳解】由可化為且，所以圓心為，半徑為，由直線與圓相切，則，可得.故答案為：3【變式82】（2024·河北邢臺·一模）已知，過點恰好只有一條直線與圓E：相切，則，該直線的方程為．【答案】1【分析】利用點在圓上求解參數(shù)解決第一空，利用得到的垂直關(guān)系求出需要求的斜率，結(jié)合直線上的已知點得到直線方程，求解第二空即可.【詳解】若過點恰好只有一條直線與圓E：相切，則一定在圓上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圓心為，半徑為，又直線斜率為，設(shè)該直線的斜率為，顯然兩直線必定垂直，故得，則直線方程為，化簡得直線方程為，故答案為：1；【變式83】（2324高二上·黑龍江·期中）已知圓C經(jīng)過，兩點，且圓心C在直線l：上．(1)求圓C的標準方程；(2)求過點且與圓C相切的直線的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)圓心C的坐標為，由，求出的值，得到圓心坐標，求出半徑得圓C的標準方程；（2）設(shè)出切線方程，由圓心到直線距離等于半徑，求出未知系數(shù).【詳解】（1）因為圓心C在直線l：上，所以可設(shè)圓心C的坐標為，又，即，解得．所以圓心，圓的半徑，故圓C的標準方程是．（2）直線過點且與圓C相切，斜率不存在時不滿足條件，設(shè)切線斜率為，切線方程為，即．直線與圓相切，則圓心到直線的距離，解得，即過點且與圓C相切的直線的斜率為．考點九：弦長及中點弦問題問題例9.（2324高二上·湖北襄陽·階段練習）已知圓，直線l過點．(1)若直線l被圓M所截得的弦長為，求直線l的方程；(2)若直線l與圓M交于另一點B，與x軸交于點C，且A為BC的中點，求直線l的方程．【答案】(1)或(2)【分析】（1）由題意分析可知：圓心到直線的距離為，分類討論直線斜率是否存在，結(jié)合點到直線的距離公式分析求解；（2）設(shè)，則，根據(jù)點在圓上列式求解即可得，進而可得直線方程.【詳解】（1）由題意可知：圓的圓心為，半徑，若直線l被圓M所截得的弦長為，則圓心到直線的距離為.當直線斜率不存在時，與圓相切，不符合題意，舍去；當直線斜率存在時，設(shè)直線，即，可得，所以，則直線l方程為或.（2）設(shè)，因為A為BC中點，則，由B在圓M上得，解得，則，所以直線，即直線．【變式91】（2324高二下·上?！て谥校┻^點的直線被圓截得的弦長為，則直線的方程為.【答案】或【分析】注意分斜率不存在和存在兩種情況進行討論，結(jié)合點到直線的距離公式以及垂徑定理即可求得答案.【詳解】當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，此時直線l截圓所得弦長為，滿足題意，設(shè)直線l的方程為，即.由垂徑定理，得圓心到直線l的距離，結(jié)合點到直線距離公式，得，化簡得，解得，即直線l的方程為.故答案為：或.【變式92】（2324高二上·北京·期中）已知圓過原點和點，圓心在軸上.(1)求圓的方程；(2)直線經(jīng)過點，且被圓截得的弦長為6，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)圓的圓心坐標為，由已知列出方程，求得，進而求得半徑，即可得出結(jié)果；（2）設(shè)出直線方程，利用垂徑定理，列方程求出直線的斜率即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)圓的圓心坐標為.依題意，在，解得從而圓的半徑為，所以圓的方程為.（2）依題意，圓C的圓心到直線的距離為4，顯然直線符合題意.當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，即所以解得，所以直線的方程為綜上，直線的方程為或.【變式93】（2324高二上·山東青島·期末）已知點，，動點滿足．(1)求動點的軌跡方程(2)一條光線從點射出，經(jīng)軸反射與動點的軌跡交于，兩點，其中，求反射光線所在直線的方程．【答案】(1)(2)．【分析】（1）設(shè)點，由得方程，化簡整理即可（2）求出圓心到直線的距離，對直線的斜率存在討論即可求解．【詳解】（1）設(shè)，由得，化簡得，動點的軌跡方程為：；（2）光線從點射出，經(jīng)軸反射與動點的軌跡交于，兩點，故入射光線的斜率不為0，故反射光線的斜率不為0，當入射光線的斜率不存在時，此時反射光線方程為，此時直線與無交點，不合要求，舍去，當入射光線的斜率存在時，點關(guān)于軸的對稱點由題意知反射光線所在的直線經(jīng)過點，其斜率也一定存在，設(shè)其方程為，即為，設(shè)圓心到反射直線的距離設(shè)為，則，所以，解得舍去或．所以反射光線所在直線的方程為．1．（2024高三·全國·專題練習）過圓x2＋y2－4x＝0上點P(1，)的圓的切線方程為（

）A．x＋y－4＝0B．x－y＝0C．x－y＋2＝0D．x＝1或x－y＋2＝0【答案】C【詳解】注意到P(1，)在圓x2＋y2－4x＝0上，將點(1，)代入公式(x0－2)(x－2)＋(y0－0)(y－0)＝4，得直線方程x－y＋2＝0.2．（2324高二下·山西長治·期末）已知直線被圓心為的圓截得的弦長為，則該圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出圓心到直線的距離，結(jié)合給定的弦長利用勾股定理建立方程求解半徑即可.【詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為，易得直線方程為，而，由勾股定理得，解得，故圓的方程為，故C正確.故選：C3.（2023春·福建福州·高二福建省福州第八中學?？计谀┮阎c在圓上，過作圓的切線，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)點在圓上，求出，考慮的斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合點到直線距離列出方程，求出斜率和傾斜角.【詳解】由題意得，當?shù)男甭什淮嬖跁r，此時直線方程為，與圓相交，不合題意，當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)切線的方程為，則，解得，設(shè)的傾斜角為，故的傾斜角為.故選：D4．（多選）（2024·重慶·三模）已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．直線恒過定點 B．直線與圓相交C．當直線平分圓時， D．當點到直線距離最大時，【答案】ACD【分析】對于A，將直線方程變形即可進一步判斷；對于B，舉反例即可判斷；對于C，將圓心坐標代入直線方程即可驗算參數(shù)；對于D，當點到直線距離最大值時，有，結(jié)合它們的斜率關(guān)系即可判斷.【詳解】對于A，即，令，有，所以直線恒過定點，故A正確；對于B，圓的圓心、半徑為，點到直線的距離為，從而，取，則此時有，故B錯誤；對于C，當直線平分圓時，有點在直線上，也就是說有成立，解得，故C正確；對于D，點到直線距離滿足，等號成立當且僅當，而的斜率為，所以當?shù)忍柍闪r有，解得，故D正確.故選：ACD.5．（多選）（2324高二下·湖南常德·期中）已知直線，圓的方程為，下列表述正確的是（

）A．當實數(shù)變化時，直線恒過定點B．當直線與直線平行時，則兩條直線的距離為C．當時，圓關(guān)于直線對稱D．當時，直線與圓沒有公共點【答案】AD【分析】A選項，變形后得到直線恒過；B選項，先根據(jù)直線平行得到，進而利用兩直線距離公式求出答案；C選項，求出圓心，代入檢驗得到圓心不在直線上，從而C錯誤；D選項，求出圓心到直線的距離，與圓的半徑比較后得到D正確.【詳解】A選項，變形為，，解得，故當實數(shù)變化時，直線恒過定點，A正確；B選項，當直線與直線平行時，，故直線，故兩條直線的距離為，B錯誤；C選項，當時，直線，，故圓心為，其中，故圓心不在上，故圓不關(guān)于直線對稱，C錯誤；D選項，當時，，圓心到直線的距離，的半徑為，由于，故直線與圓沒有公共點，D正確.故選：AD6．（2024·天津南開·二模）過圓C：上的點作圓C切線l，則l的傾斜角為.【答案】150°【分