相似三角形解答訓(xùn)練

相似三角形解答訓(xùn)練

1.如圖，在梯形ABCD中，已知AD〃BC,ZB=90°,AB=7,AD=9,BC=12,在線段BC上任取一點(diǎn)E,

連接DE,作EFLDE,交直線AB于點(diǎn)F.

(1)若點(diǎn)F與B重合，求CE的長(zhǎng)；

(2)若點(diǎn)F在線段AB上，且AF=CE,求CE的長(zhǎng).

2.(2016?山西校級(jí)模擬)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P在射線AD上，過P

作PF_LAE于F,設(shè)PA=x.

(1)求證：△PFAs^ABE；

(2)若以P,F,E為頂點(diǎn)的三角形也與AABE相似，試求x的值.

3.(2016?黑龍江二模)在AABC中，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD,點(diǎn)E在BD上，且DE=CD,過點(diǎn)E

作AB的平行線交AD于F,且EF=AC.

(1)如圖①，求證：ZBAD=ZCAD；

(2)如圖②，連接AE,若AC=&CD,AB：AE=3：2,請(qǐng)你探究線段DF與AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你

4

BEDCBEDC

的結(jié)論.圖①圖②

4.(2016?南通)如圖，ZXABC中，4ACB=90°,AC=5,BC=12,COLAB于點(diǎn)0,D是線段OB上一點(diǎn),

DE=2,ED〃AC(ZADE<90°),連接BE、CD.設(shè)BE、CD的中點(diǎn)分別為P、Q.

(1)求AO的長(zhǎng)；

(2)求PQ的長(zhǎng)；

(3)設(shè)PQ與AB的交點(diǎn)為M,請(qǐng)直接寫出|PM-MQ|的值.

B

1

OO

C

5.(2016?廣州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)C,與直線AD交于點(diǎn)A(X

3

5)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,1)

3

(1)求直線AD的解析式；

(2)直線AD與x軸交于點(diǎn)B,若點(diǎn)E是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)，當(dāng)ABOD與aBCE相似時(shí),

求點(diǎn)E的坐標(biāo).

6.(2016?寧波)從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段

把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相

似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線.

(1)如圖1,在AABC中，CD為角平分線，ZA=40°,ZB=60°,求證：CD為AABC的完美分割線.

(2)在AABC中，ZA=48°,CD是AABC的完美分割線，且4ACD為等腰三角形，求/ACB的度數(shù).

(3)如圖2,AABC中，AC=2,BC=&,CD是AABC的完美分割線，且4ACD是以CD為底邊的等腰

7.(2016?懷化)如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上,

頂點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，已知BC=40cm,AD=30cm.

(1)求證：△AEHs^ABC；

(2)求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與面積.

8.(2016?梧州)在矩形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，H為BE上的一點(diǎn)，型連接CH并延長(zhǎng)交AB于

BH

點(diǎn)G,連接GE并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

⑴求匹,鼎;

(2)若NCGF=90。，求例■的值.

BC

9.(2016?長(zhǎng)春)如圖，在回ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，且DF=BE,EF與CD

交于點(diǎn)G.

(1)求證：BD〃EF；

(2)若理:2,BE=4,求EC的長(zhǎng).

GC3

10.(2016?玉林)如圖(1),菱形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)O是四邊形EFGH對(duì)角線FH的中點(diǎn)，四

個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D分別在四邊形EFGH的邊EF、FG、GH、HE±.

(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)如圖(2)若四邊形EFGH是矩形，當(dāng)AC與FH重合時(shí)，已知且菱形ABCD的面積是20,

BD

圖1圖2

11.(2016?陜西)某市為了打造森林城市，樹立城市新地標(biāo)，實(shí)現(xiàn)綠色、共享發(fā)展理念，在城南建起了"望

月閣”及環(huán)閣公園.小亮、小芳等同學(xué)想用一些測(cè)量工具和所學(xué)的幾何知識(shí)測(cè)量"望月閣”的高度，來檢驗(yàn)自

己掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力.他們經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，觀測(cè)點(diǎn)與"望月閣”底部間的距離不易測(cè)得，因此經(jīng)過研

究需要兩次測(cè)量，于是他們首先用平面鏡進(jìn)行測(cè)量.方法如下：如圖，小芳在小亮和“望月閣”之間的直線

BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記，這個(gè)標(biāo)記在直線BM上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn)C,鏡子不動(dòng)，小亮

看著鏡面上的標(biāo)記，他來回走動(dòng)，走到點(diǎn)D時(shí)，看到“望月閣”頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合,

這時(shí)，測(cè)得小亮眼睛與地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后,在陽光下，他們用測(cè)影長(zhǎng)的方法進(jìn)行了第

二次測(cè)量，方法如下：如圖，小亮從D點(diǎn)沿DM方向走了16米，到達(dá)“望月閣”影子的末端F點(diǎn)處，此時(shí)，

測(cè)得小亮身高FG的影長(zhǎng)FH=2.5米，F(xiàn)G=1.65米.

如圖，已知ABLBM,ED1BM,GF±BM,其中，測(cè)量時(shí)所使用的平面鏡的厚度忽略不計(jì)，請(qǐng)你根據(jù)題

中提供的相關(guān)信息，求出"望月閣"的高AB的長(zhǎng)度.

12.(2016?蕭山區(qū)模擬)如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，4ACD和4BCE都是等邊三角形，連結(jié)AE,BD,

設(shè)AE交CD于點(diǎn)F.

(1)求證：4ACE絲Z\DCB；

(2)求證：△ADFsz\BAD.

?B

C

13.(2016?阜陽校級(jí)一模)如圖，ZiABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DC的

延長(zhǎng)線上，且CE=LCD,過點(diǎn)B作BF〃DE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

3

(1)求證：AB=BG；

(2)若點(diǎn)P是直線BG上的一點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使4BCP與ABCD相似.

14.(2016?河南模擬)已知點(diǎn)O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=a.

(1)如圖1,a=60°,探究線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(2)如圖2,a=120。，探究線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)結(jié)合上面的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)探究，請(qǐng)直接寫出如圖3中線段AD與0B的數(shù)量關(guān)系為(直接寫出答案)

圖1圖2圖3

15.（2016?梅州模擬）如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和ADE擺放在一起，A

為公共頂點(diǎn)，ZBAC=ZADE=90°,它們的斜邊長(zhǎng)為2,若AABC固定不動(dòng)，4ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AE、AD

與邊BC的交點(diǎn)分別為F、G（點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合，點(diǎn)G不與點(diǎn)B重合），設(shè)BF=a,CG=b.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D（1）中找出兩對(duì)相似但不全等的三角形，并選取其中一對(duì)進(jìn)行證明.

（2）求b與a的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量a的取值范圍.

（3）以AABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如

圖2）.若BG=CF,求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，猜想線段BG、FG和CF之間的關(guān)系，并通過計(jì)算加以驗(yàn)證.

16.（2016?丹東模擬）如圖1,四邊形ABCD中，NABC=2NADC=2a,點(diǎn)E、F分另ij在CB、CD的延長(zhǎng)線

上，且EB=AB+AD,ZAEB=ZFAD.

（1）猜想線段AE、AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）若將"EB=AB+AD"改為"EB=AB+kAD（k為常數(shù)，且k>0）",其他條件不變（如圖2）,求明的值（用

AB

含k、a的式子表示）.

圖1圖2

17.(2016?梅州模擬)在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共

頂點(diǎn)，ZBAC=ZAGF=90°,它們的斜邊長(zhǎng)為2,若△ABC固定不動(dòng)，ZiAFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊

BC的交點(diǎn)分別為D、E(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合)，設(shè)BE=m,CD=n.

(1)求證：AABE^ADCA；

(2)求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，試判斷等式BD?+CE2=DE2是否始終成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

18.(2016?徐州二模)已知:如圖①在13ABeD中，AB=3cm,BC=5cm,ACXAB,Z\ACD沿AC的方向勻

速平移得到△PNM,速度為lcm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s,當(dāng)點(diǎn)P

與點(diǎn)C重合時(shí)△PNM停止平移，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng).如圖②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).解答下列問題：

(1)當(dāng)t為S時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合；

(2)設(shè)△QMC的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)是否存在某一時(shí)刻t,使PQLMQ?若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.(2016?濱江區(qū)模擬)如圖，RtZ\ABC的兩條直角邊AB=4cm,AC=3cm,點(diǎn)D沿AB從A向B運(yùn)動(dòng)，

速度是1cm/秒，同時(shí)，點(diǎn)E沿BC從B向C運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/秒.動(dòng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)終止.連接DE、

CD、AE.

(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，^BDE與AABC相似？

(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)4ADE的面積為s,求s與t的函數(shù)解析式；

(3)在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在某一時(shí)刻3使CDLDE?若存在，求出時(shí)刻t；若不存在，請(qǐng)說明理由.

20.(2016?棗陽市模擬)如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)M是BC邊上的任一點(diǎn)，連接AM并將

線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段MN,在CD邊上取點(diǎn)P使CP=BM,連接NP,BP.

(1)判斷四邊形BMNP的形狀，并加以證明；

(2)線段MN與CD交于點(diǎn)Q,連接AQ,若△MCQS^AMQ,求PN的長(zhǎng).

21.（2016?撫州校級(jí)模擬）如圖1,點(diǎn)P為/MON的平分線上一點(diǎn)，以P點(diǎn)為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線

OM,ON交于A,B兩點(diǎn)，如果NAPB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足OA?OB=Op2,我們就把/APB叫做NMON

的智慧角.

（1）如圖2,已知/MON=90。，點(diǎn)P為/MON的平分線上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM,

ON交于A,B兩點(diǎn)，且/APB=135。，求證：/APB是NMON的智慧角；

（2）如圖1,已知/MON=a,（0°<a<90°）,OP=2,若NAPB是/MON的智慧角，連結(jié)AB,用含a的

式子分別表示NAPB的度數(shù)和AAOB的面積.

22.（2016?安慶二模）已知^ABC是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，D、E、F分另U是AB、AC和BC邊上的點(diǎn).如

（1）如圖②，當(dāng)必此=毆=工時(shí)，求S^DEF；

ABBCCA3AARC

⑵如圖③，當(dāng)必鞏④工時(shí)，求S^DEF；

ABBCCA4^AABC

求也里的值是多少？直接寫出結(jié)果（用代數(shù)式表示）

(3)猜想:當(dāng)景需*打

SAABC

23.(2016?富順縣校級(jí)一模)如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,過點(diǎn)B作射線BBi〃AC.動(dòng)

點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3

個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)D作DH_LAB于H,過點(diǎn)E作EFXAC交射線BBi于F,G是EF中點(diǎn)，連接DG.設(shè)

點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB,并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)4DEG與4ACB相似時(shí)，求t的值.

CDE

24.(2015?撫順)在RtAABC中，ZBAC=90°,過點(diǎn)B的直線MN〃AC,D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD,

作DE_LAD交MN于點(diǎn)E,連接AE.

(1)如圖①，當(dāng)/ABC=45。時(shí)，求證：AD=DE；

(2)如圖②，當(dāng)NABC=30。時(shí)，線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)說明理由；

(3)當(dāng)/ABC=a時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AD與DE的數(shù)量關(guān)系.(用含a的三角函數(shù)表示)

圖1圖2

25.(2014?深水縣校級(jí)模擬)如圖，在直角梯形OABC中，OA〃:BC,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(13,0),

B(11,12).動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、B兩點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q

以每秒1個(gè)單位的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).線段PQ和OB相交于

點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE〃x軸，交AB于點(diǎn)E,射線QE交x軸于點(diǎn)F.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位：秒).

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PABQ是平行四邊形.

(2)APaF的面積是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)求出aPaF的面積s關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；若不變，請(qǐng)

求出aPQF的面積.

(3)隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，的形狀也隨之發(fā)生了變化，試問何時(shí)會(huì)出現(xiàn)等腰APaF?

2016年10月04日snyong的初中數(shù)學(xué)組卷

參考答案與試題解析

一.解答題(共25小題)

1.(2016?深圳模擬)如圖，在梯形ABCD中，已知AD〃BC,NB=90。，AB=7,AD=9,BC=12,在線段

BC上任取一點(diǎn)E,連接DE,作EFLDE,交直線AB于點(diǎn)F.

(1)若點(diǎn)F與B重合，求CE的長(zhǎng)；

(2)若點(diǎn)F在線段AB上，且AF=CE,求CE的長(zhǎng).

【解答】解：(1)當(dāng)F和B重合時(shí)，

VEFXDE,

VDE1BC,

VZB=90°,

Z.ABXBC,

???AB〃DE,

VAD/7BC,

???四邊形ABED是平行四邊形，

???AD=EF=9,

：.CE=BC-EF=12-9=3；

(2)過D作DMJ_BC于M,

VZB=90°,

???AB_LBC,

???DM〃AB,

VAD//BC,

???四邊形ABMD是矩形，

二?AD=BM=9,AB=DM=7,CM=12-9=3,

設(shè)AF=CE=a,貝BF=7-a,EM=a-3,BE=12-a,

NFEC二NB二NDMB=90°,

AZFEB+ZDEM=90°,ZBFE+ZFEB=90°,

AZBFE=ZDEM,

ZB=ZDME,

.,.△FBE^AEMD,

???里里

**EMDM，

???7一-a-_-1-2--a,

a-37

a=5,a=17,

:點(diǎn)F在線段AB上，AB=7,

.*.AF=CE=17（舍去），

即CE=5.

2.(2016?山西校級(jí)模擬)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AD上，過P

作PF_LAE于F,設(shè)PA=x.

(1)求證：△PFAs/^ABE；

(2)若以P,F,E為頂點(diǎn)的三角形也與aABE相似，試求x的值.

【解答】（1）證明：???四邊形ABCD是正方形,

；.AD〃BC,且/ABE=90。，

ZPAF=ZAEB,

又：PF_LAE,

ZPFA=ZABE=90°

.,.△PFA^AABE；

（2）解：①當(dāng)△EFPs^ABE,且/PEF=NEAB時(shí),

則有PE〃AB

二四邊形ABEP為矩形，

；.PA=EB=2,即x=2.

②當(dāng)△PFES^ABE,且/PEF=NAEB時(shí)，

ZPAF=ZAEB

ZPEF=ZPAF,

；.PE=PA

VPFXAE,

...點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，

AE=VAB^+BE2=V4^+22=V20=2V5

由PEEF

AEEB

即國止

2遙-2

得PE=5,

即x=5

故滿足條件的x的值為2或5.

3.(2016?黑龍江二模)在aABC中，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD,點(diǎn)E在BD上，且DE=CD,過點(diǎn)E

作AB的平行線交AD于F,且EF=AC.

(1)如圖①，求證：ZBAD=ZCAD；

(2)如圖②，連接AE,若AC=J^CD,AB：AE=3：2,請(qǐng)你探究線段DF與AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論.圖①圖②

【解答】解:(1)延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,過C作CG〃AB交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

則EF〃MC,

Z.ZBAD=ZEFD=ZM,

在4EDF和△CMD中，

，ZEFD=ZM

'NEDF=NMDC，

,ED=DC

.,.△EDF^ACMD(AAS),

；.MC=EF=AC,

ZM=ZCAD,

ZBAD=ZCAD；

?ACCE

"CD=AC"

.?.△ACDsAECA,

ZAEC=ZCAD=ZBAD,

AAADE^ABDA

.DE__AD^AE-2

,,AFBD^AFT

;.DE=2AD,AD=2BD,

33

.,.DE=ABD,即：理=_1,

9BE5

VEF/7AB,

.DF_DE_4

,,AFBFT

4.(2016?南通)如圖，ZXABC中，ZACB=90°,AC=5,BC=12,COJLAB于點(diǎn)O,D是線段OB上一點(diǎn),

DE=2,ED//AC(ZADE<90°),連接BE、CD.設(shè)BE、CD的中點(diǎn)分別為P、Q.

(1)求AO的長(zhǎng)；

(2)求PQ的長(zhǎng)；

(3)設(shè)PQ與AB的交點(diǎn)為M,請(qǐng)直接寫出|PM-MQ|的值.

【解答】解：（1）如圖1中,

AZAOC=ZACB=90°,VZA=ZA,

AAABCACO,

?AB-AC；

"ACA0,

'<"AB=7AC2+BCW52+122=13,

AC2-25

：.OA=.

（2）如圖2中，取BD中點(diǎn)F,CD中點(diǎn)Q,連接PF、QF,

則PF〃ED,FQ〃BC,PF±FQ,且PF=J-ED=1,FQ=1BC=6,

22

在RCPFQ中，PQ寸pp2+FQ刊J+6冬歷

（3）如圖3中，取AD中點(diǎn)G,連接GQ,

PF〃ED,

；.PF〃GQ,

.,.△PMF^AQMG,

?PM=PF_2

,,QMQGT

?.,PM+QM=V37,

；.PM=逅,MQ二軍,

77

A|PM-QM|=曳羽.

7

5.（2016?廣州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)C,與直線AD交于點(diǎn)A（且,

3

5）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,1）

3

（1）求直線AD的解析式；

（2）直線AD與x軸交于點(diǎn)B,若點(diǎn)E是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），當(dāng)ABOD與ABCE相似時(shí),

求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【解答】解：（1）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,

45

將A(X$),D(0,1)代入得：1-3k+b='z-

*3，

33b=l

解得：《

b=l

故直線AD的解析式為：y=Lx+l；

2

(2)?.?直線AD與x軸的交點(diǎn)為(-2,0),

；.OB=2,

:點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,1),

；.OD=1,

；y=-x+3與x軸交于點(diǎn)C(3,0),

；.OC=3,

；.BC=5

:△BOD與ABEC相似，

?BDBOOD^OB0D

BC-BE-CEBC-CE

?V5.221

5BECE5-CE

；.BE=2旄，CE=J5，或CE=5,

2

：.E(2,2),或(3,3).

2

6.(2016?寧波)從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段

把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相

似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線.

(1)如圖1,在AABC中，CD為角平分線，ZA=40°,NB=60。，求證：CD為AABC的完美分割線.

(2)在AABC中，ZA=48°,CD是aABC的完美分割線，且4ACD為等腰三角形，求/ACB的度數(shù).

(3)如圖2,AABC中，AC=2,BC=&,CD是AABC的完美分割線，且4ACD是以CD為底邊的等腰

三角形，求完美分割線CD的長(zhǎng).

【解答】解：(1)如圖1中，：/A=40。，ZB=60",

ZACB=80°,

/.△ABC不是等腰三角形，

：CD平分/ACB,

/ACD=/BCD=L/ACB=40。，

2

ZACD=ZA=40°,

...△ACD為等腰三角形，

ZDCB=ZA=40°,ZCBD=ZABC,

/.△BCD^ABAC,

ACD是AABC的完美分割線.

(2)①當(dāng)AD=CD時(shí)，如圖2,ZACD=ZA=48°,

VABDC^ABCA,

ZBCD=ZA=48°,

ZACB=ZACD+ZBCD=96°.

1Op|o—40°

②當(dāng)AD=AC時(shí)，如圖3中，ZACD=ZADC=—.........-_^66°,

2

VABDC^ABCA,

ZBCD=ZA=48°,

ZACB=ZACD+ZBCD=114°.

③當(dāng)AC=CD時(shí)，如圖4中，ZADC=ZA=48°,

VABDC^ABCA,

ZBCD=ZA=48°,

VZADOZBCD,矛盾，舍棄.

/ACB=96?；?14°.

(3)由已知AC=AD=2,

VABCD^ABAC,

；.幽=毀，設(shè)BD=x,

BABC

(>/2)2=x(x+2),

Vx>0,

工x=M-1,

VABCD^ABAC,

?CD_BD_V3-1

??———-==—,

ACBCV2

CD=^-1x2=76-V2.

V2

DB

7.(2016?懷化)如圖，AABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上,

頂點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，已知BC=40cm,AD=30cm.

(1)求證：AAEH^AABC；

(2)求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與面積.

【解答】（1）證明：???四邊形EFGH是正方形,

；.EH〃BC,

AZAEH=ZB,ZAHE=ZC,

/.△AEH^AABC.

（2）解：如圖設(shè)AD與EH交于點(diǎn)M.

；ZEFD=ZFEM=ZFDM=90",

1?四邊形EFDM是矩形，

1.EF=DM,設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為x,

."△AEH^AABC,

-?-E-H_--A-M，

BCAD

-x_30-x

*40~30-,

,?x迎

7

?,正方形EFGH的邊長(zhǎng)為3cm,面積為111四nA

749

8.(2016?梧州)在矩形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，H為BE上的一點(diǎn)，旭=小連接CH并延長(zhǎng)交AB于

BH

點(diǎn)G,連接GE并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：毀普1；

BG-BH

(2)若NCGF=90°,求士殳的值.

BC

【解答】（1）證明：???四邊形ABCD是矩形,

；.CD〃AB,AD=BC,AB=CD,AD〃BC,

.,.△CEH^AGBH,

?ECEH

（2）解：作EM_LAB于M,如圖所示：

則EM=BC=AD,AM=DE,

；E為CD的中點(diǎn)，

；.DE=CE,

設(shè)DE=CE=3a,則AB=CD=6a,

由(1)得：毀普1=3,

BG-BH

.,.BG=lcE=a,

3

；.AG=5a,

VZEDF=90°=ZCGF,ZDEF=ZGEC,

.,.△DEF^AGEC,

?DE_EF.

，，EG^EC，

；.EG-EF=DE?EC,

VCD/7AB,

?EF_DE_=3；

,?而『T

?明，

"EG^

.\EF=JiEG,

2

；.EG?上EG=3a?3a,

2

解得：EG=V6a?

在RtZ\EMG中，GM=2a,

EM=7EG2-GM^Vaa-

BC=、/^a,

AAB_6a__3^

BCV2a

9.(2016?長(zhǎng)春)如圖，在回ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，且DF=BE,EF與CD

交于點(diǎn)G.

(1)求證：BD〃EF；

(2)若地=2,BE=4,求EC的長(zhǎng).

GC3

G

BE

【解答】(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形,

；.AD〃BC.

VDF=BE,

四邊形BEFD是平行四邊形，

；.BD〃EF；

(2)?..四邊形BEFD是平行四邊形，

/.DF=BE=4.

：DF〃EC,

.?.△DFGsCEG,

?DG-DF；

',CG^CE'

>匹

...CE=DFCG4x6.

DG2

10.(2016?玉林)如圖(1),菱形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)。是四邊形EFGH對(duì)角線FH的中點(diǎn)，四

個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D分別在四邊形EFGH的邊EF、FG、GH、HE±.

(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)如圖(2)若四邊形EFGH是矩形，當(dāng)AC與FH重合時(shí)，已知￡￡=2，且菱形ABCD的面積是20,

BD

求矩形EFGH的長(zhǎng)與寬.

【解答】(1)證明：??,點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),

/.OA=OC,OD=OB,

:點(diǎn)O是線段FH的中點(diǎn)，

.,.OF=OH.

'OA=OC

在AACF和△COH中，有，ZA0F=ZC0H-

,OF=OH

.,.△AOF^ACOH(SAS),

ZAFO=ZCHO,

；.AF〃CH.

同理可得：DH〃:BF.

二四邊形EFGH是平行四邊形.

(2)設(shè)矩形EFGH的長(zhǎng)為a、寬為b,則AC=Q商研.

,,AC—9

?1~乙，

BD

山產(chǎn)勺,四產(chǎn)宰,OA.二學(xué).

???四邊形ABCD為菱形,

???AC_LBD,

，ZAOB=90°.

,/四邊形EFGH是矩形,

???NAGH=90°,

???ZAOB=ZAGH=90°,

又YNBAONCAG,

AABAO^ACAG,

解得：a=2b①.

a+b

vsABCD=^-AC?BD=l.Aya2+b2.^^20,

222

.*.a2+b2=80(2).

，a=2b

聯(lián)立①②得:

戶2+匕2=80’

解得：卜=8,或產(chǎn)-8（舍去）.

Ib=4[b=-4

矩形EFGH的長(zhǎng)為8,寬為4.

11.（2016?陜西）某市為了打造森林城市，樹立城市新地標(biāo)，實(shí)現(xiàn)綠色、共享發(fā)展理念，在城南建起了"望

月閣"及環(huán)閣公園.小亮、小芳等同學(xué)想用一些測(cè)量工具和所學(xué)的幾何知識(shí)測(cè)量"望月閣"的高度，來檢驗(yàn)自

己掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力.他們經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，觀測(cè)點(diǎn)與"望月閣”底部間的距離不易測(cè)得，因此經(jīng)過研

究需要兩次測(cè)量，于是他們首先用平面鏡進(jìn)行測(cè)量.方法如下：如圖，小芳在小亮和“望月閣”之間的直線

BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記，這個(gè)標(biāo)記在直線BM上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn)C,鏡子不動(dòng)，小亮

看著鏡面上的標(biāo)記，他來回走動(dòng)，走到點(diǎn)D時(shí)，看到"望月閣"頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合,

這時(shí)，測(cè)得小亮眼睛與地面的高度ED=L5米，CD=2米，然后,在陽光下，他們用測(cè)影長(zhǎng)的方法進(jìn)行了第

二次測(cè)量，方法如下：如圖，小亮從D點(diǎn)沿DM方向走了16米，到達(dá)“望月閣”影子的末端F點(diǎn)處，此時(shí)，

測(cè)得小亮身高FG的影長(zhǎng)FH=2.5米，F(xiàn)G=1.65米.

如圖，已知ABLBM,ED1BM,GF±BM,其中，測(cè)量時(shí)所使用的平面鏡的厚度忽略不計(jì)，請(qǐng)你根據(jù)題

中提供的相關(guān)信息，求出"望月閣"的高AB的長(zhǎng)度.

【解答】解：由題意可得：ZABC=ZEDC=ZGFH=90°,

ZACB=ZECD,ZAFB=ZGHF,

故△ABCs/\EDC,AABF^AGFH,

則延=此，膽=此，

EDDCGFFH

即AB=BCAB=BC+18

T75^T，L65

解得：AB=99,

答："望月閣"的高AB的長(zhǎng)度為99m.

12.(2016?蕭山區(qū)模擬)如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，4ACD和4BCE都是等邊三角形，連結(jié)AE,BD,

設(shè)AE交CD于點(diǎn)F.

(1)求證：Z\ACE絲ZXDCB；

(2)求證：AADFS/XBAD.

【解答】解：⑴:△ACD和ABCE都是等邊三角形,

；.AC=CD,CE=CB,ZACD=ZBCE=60°

ZACE=ZDCB=120°.

.,.△ACE^ADCB(SAS)；

(2)VAACE^ADCB,

ZCAE=ZCDB.

?；ZADC=ZCAD=ZACD=ZCBE=60",

；.DC〃BE,

ZCDB=ZDBE,

ZCAE=ZDBE,

ZDAF=ZDBA.

.?.△ADFS/XBAD.

13.(2016?阜陽校級(jí)一模)如圖，AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DC的

延長(zhǎng)線上，且CE=LCD,過點(diǎn)B作BF〃DE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

3

(1)求證：AB=BG；

(2)若點(diǎn)P是直線BG上的一點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使ABCP與ABCD相似.

c

E,

【解答】(1)證明：：BF〃DE,

.AD_AC_AE

'''^cTW

VAD=BD,

；.AC=CG,AE=EF,

在4ABC和AGBC中：

rAC=CG

<NACB=NGCB，

,BC=BC

/.△ABC^AGBC(SAS),

；.AB=BG；

(2)解：當(dāng)BP長(zhǎng)為2或四時(shí)，Z\BCP與ABCD相似;

25

：AC=3,BC=4,

AB=5,

???CD=2.5,

???NDCB二NDBC,

?.?DE〃BF,

.\ZDCB=ZCBP,

???NDBONCBP,

第一種情況：若/CDB=/CPB,如圖1：

在ABCP與ABCD中

rZCDB=ZCPB

-ZDBC=ZPBC-

.BC=BC

AABCP^ABCD(AAS),

，BP=CD=2.5；

第二種情況：若/PCB=/CDB,過C點(diǎn)作CHLBG于H點(diǎn).如圖2：

G

H

B

ZCBD=ZCBP,

AABPC^ABCD,

VCHXBG,

/.ZACB=ZCHB=90",ZABC=ZCBH,

/.AABC^ACBH,

?AB-BC；

"CBBH，

.\BH=lk,BP=絲.

55

綜上所述：當(dāng)PB=2.5或絲時(shí)，ABCP與ABCD相似.

5

14.（2016?河南模擬）已知點(diǎn)O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=a.

（1）如圖1,a=60°,探究線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（2）如圖2,a=120°,探究線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）結(jié)合上面的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)探究，請(qǐng)直接寫出如圖3中線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系為AD=2sin，L0B（直

_2_

接寫出答案）

【解答】解:(1)AD=OB,

如圖1,連接AC,

VAB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=60°,

.,.△ABC與△(：€?是等邊三角形，

ZACB=ZDCO=60°,

Z.ZACD=ZBCO,

在4ACD與△BCO中,

'AC=BC

<ZACD=ZBC0-

,OC=OD

/.△ACD^ABCO,

.*.AD=OB；

(2)AD=V3OB；

如圖2,連接AC,過B作BF_LAC于F,

VAB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=120°,

ZACB=ZDCO=30°,

ZACD=ZBCO,

/.△ACD^ABCO,

.AD_AC

,?瓦而，

ZCFB=90°,

2CfJ=2sin60°=V3>

BC

.?.AD=^/5OB；

(3)如圖3,連接AC,過B作BF_LAC于F,

VAB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=a,

/.ZACB=ZDCO=__

2

ZACD=ZBCO,

/.△ACD^ABCO,

?AD_AC：

?,瓦而，

,?ZCFB=90°,

?.?-2--C--F-_2nsin-a,

BC2

；.AD=2sin-!l_OB.

2

故答案為：AD=2sin旦OB.

圖3

圖2

A

D

B

圖1

15.（2016?梅州模擬）如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和ADE擺放在一起，A

為公共頂點(diǎn)，ZBAC=ZADE=90°,它們的斜邊長(zhǎng)為2,若AABC固定不動(dòng)，ZXADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AE、AD

與邊BC的交點(diǎn)分別為F、G（點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合，點(diǎn)G不與點(diǎn)B重合），設(shè)BF=a,CG=b.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D（1）中找出兩對(duì)相似但不全等的三角形，并選取其中一對(duì)進(jìn)行證明.

（2）求b與a的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量a的取值范圍.

（3）以AABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如

圖2）.若BG=CF,求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，猜想線段BG、FG和CF之間的關(guān)系，并通過計(jì)算加以驗(yàn)證.

【解答】解：(1)△ACGs/XFAG,AFAG^AFBA.

VZGAF=ZC=45°,

ZAGF=ZAGC,

.,.△ACG^AFAG.類似證明△FAGS/XFBA；

(2)VZCAG=ZCAF+45°,ZBFA=ZCAF+45°,

ZCAG=ZBFA.

ZB=ZC=45°,

.,.△ACG^AFBA,

?CGCA

"BA^FB"_

由題意可得CA=BA='./2-

.bV2.,2

V2aa

自變量a的取值范圍為l<a<2.

(3)由BG=CF可得BF=CG,即a=b.

：b工

a

??a二b二^2.

VOB=OC=1.BC=1,

2

.,.0F=0G=V2-1.

AG(1-V2，0).

線段BG、FG和CF之間的關(guān)系為BG2+CF2=FG2；

VBG=OB-OG=1-(72-1)=2-&=CF,

FG=BC-2BG=2-2(2-V2)=272-2.

VBG2+CF2=2BG2=2(2-V2)2=12-8V2,FG2=(2>/2-2)2=12-

.\BG2+CF2=FG2.

16.（2016?丹東模擬）如圖1,四邊形ABCD中，/ABC=2NADC=2a,點(diǎn)E、F分另ij在CB、CD的延長(zhǎng)線

上，且EB=AB+AD,ZAEB=ZFAD.

（1）猜想線段AE、AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）若將"EB=AB+AD"改為"EB=AB+kAD（k為常數(shù)，且k>0）”,其他條件不變（如圖2）,求明的值（用

AB

證明：在EB上取點(diǎn)G,使得GB=AB,連接AG,

ZABC=2ZADC=2a,

/AGB=/GAB」NABC=a,

2

ZEGA=180°-a=180°-ZADC=ZADF,

VEB=AB+AD,

；.EG=AD,

在AAEG和AFAD中，

'/AEB=NFAD

，EG=AD，

，/EGA=NADF

/.△AEG^AFAD(ASA),

；.AE=AF；

(2)在EB上取點(diǎn)G,使得GB=AB,連接AG,

同理可得/EGA=/ADF,

??ZAEG=ZFAD,

AAAEG^AFAD,

?AG_EG,

''DF^AD'

VEB=AB+kAD,

作BH±AG于點(diǎn)H,

AH=AB?cosa,

即應(yīng)l2=AB?cosa,

2

...DF=2cosa

17.（2016?梅州模擬）在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共

頂點(diǎn)，ZBAC=ZAGF=90°,它們的斜邊長(zhǎng)為2,若AABC固定不動(dòng)，4AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊

BC的交點(diǎn)分別為D、E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），設(shè)BE=m,CD=n.

（1）求證：ZXABEs^DCA；

（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，試判斷等式BD?+CE2=DE2是否始終成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

F

【解答】(1)證明：VZBAE=ZBAD+45°,ZCDA=ZBAD+45°,

ZBAE=ZCDA(2分)，

又/B=/C=45。，

.?.△ABEsADCA(4分)；

(2)解：VAABE^ADCA,

里里(5分)

CA_CD_

由依題意可知CA=BA=如，

■m班

V2n

.?.m=Z(7分)

n

自變量n的取值范圍為l<n<2.(8分)

(3)成立(9分)

證明：如圖，將AACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AABH的位置，則CE=HB,AE=AH,

ZABH=ZC=45°,旋轉(zhuǎn)角NEAH=90°.

連接HD,在4EAD和AHAD中

：AE=AH,ZHAD=ZEAH-ZFAG=45°=ZEAD,AD=AD.

.,.△EAD^AHAD,

/.DH=DE

又ZHBD=ZABH+ZABD=90",

.\BD2+HB2=DH2

即BD2+CE2=DE2.

18.(2016?徐州二模)已知:如圖①在I3ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,AC±AB,ZkACD沿AC的方向勻

速平移得到△PNM,速度為lcm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s,當(dāng)點(diǎn)P

與點(diǎn)C重合時(shí)ARNM停止平移，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng).如圖②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).解答下列問題：

(1)當(dāng)t為4S時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)C重合；

(2)設(shè)△QMC的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)是否存在某一時(shí)刻t,使PQLMQ?若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解答】28,解：(1)在如圖①中，在RT4ABC中，VZBAC=90°,BC=5,AB=3,

AC=7BC2-_32=4'

；.t=4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合.

故答案為4

（2）如圖②中，作PD_LBC于點(diǎn)D,AE_LBC于點(diǎn)E

由SAABCXAC=yAEXBC可得處若'則由勾股定理易求CE=y-

因?yàn)镻D_LBC,AE_LBC,

所以AE〃PD,

所以△CPDs/\CAE,

所以空口上，即4魯粵

CACEAE41k11.

55

田曰12-3t16-4t

求得：PD二--------，CD二-------，

55

因?yàn)镻M〃BC,

所以M到BC的距離h=pD=絲二匹

5

所以AQCH是面積息的xh蕓XtX絲予7t2+裊，

zzbiub

（3）若PQ_LMQ,貝lJ/MQP=/PDQ=90。

因?yàn)镸P〃BC,

所以NMPQ=/PQD,

所以△MQPs/sPDQ,

所以里=里

PQDQ

所以PQ2=PMXDQ,

即：PD2+DQ2=PMXDQ,由CD=l%4t,得DQ=CD-CQ=1，二",

55

故（在二紅）2+（下二竺）2=5X至二注，整理得2t2-3t=。

555

解得t=W或o（舍棄）.

2

答：當(dāng)1=在時(shí)，PQXMQ.

2

19.（2016?濱江區(qū)模擬）如圖，Rt^ABC的兩條