專題4-2向量四心及補(bǔ)充定理綜合歸類 （原卷版）

專題4.2向量四心及補(bǔ)充定理綜合歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01“奔馳定理” 1題型02極化恒等式 3題型03極化恒等式求最值范圍 4.題型04等和線題型：基礎(chǔ) 6題型05等和線題型：型 6題型06等和線題型：型 7題型07等和線題型：分?jǐn)?shù)型 8題型08等和線題型：與數(shù)列 9題型09奔馳定理與重心型軌跡 10題型10三角形四心向量：內(nèi)心 11題型11三角形四心向量：外心 12題型12三角形四心向量：重心 12題型13三角形四心向量：垂心 13題型14向量點(diǎn)域綜合 14高考練場 16題型01“奔馳定理”【解題攻略】奔馳定理：為內(nèi)一點(diǎn)，，則.重要結(jié)論：，，.結(jié)論1：對于內(nèi)的任意一點(diǎn)，若、、的面積分別為、、，則：.即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對的三角形的面積.結(jié)論2：對于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)在的外部，并且在的內(nèi)部或其對頂角的內(nèi)部所在區(qū)域時(shí)，則有.結(jié)論3：對于內(nèi)的任意一點(diǎn)，若，則、、的面積之比為.即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.結(jié)論4：對于所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)，，則、、的面積分別為.即若三角形平面內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對應(yīng)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)的絕對值之比.各向量所對應(yīng)的三角形是指另外兩個向量所在的三角形.【典例1-1】（2022春·全國·高三模擬）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：，則（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，，則△APB，△APC，△BPC的面積之比為（）A． B． C． D．四川省三臺中學(xué)2021-2022學(xué)年高三4月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【變式1-1】如圖所示，設(shè)為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，并且，則與的面積之比等于（）A． B． C． D．【變式1-2】已知是等邊三角形，且,那么四邊形ABCD的面積為()A． B． C． D．【變式1-3】是所在平面上的一點(diǎn),滿足,若,則的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．8題型02極化恒等式【解題攻略】極化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]【典例1-1】（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一.即如圖所示：，我們稱為極化恒等式.在△中，是中點(diǎn)，，，則（

）A．32 B．-32 C．16 D．-16【典例1-2】如圖,在中,已知,點(diǎn)分別在邊上,且,若為的中點(diǎn),則的值為________【變式1-1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點(diǎn)，則eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝________．【變式1-2】（2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預(yù)測）在中，，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮赃呴L為2的等邊三角形ABC每個頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點(diǎn)，且，則的值為（

）

A． B．C． D．題型03極化恒等式求最值范圍【解題攻略】極化恒等式的模型：平行四邊形模式：如圖，平行四邊形ABCD，O是對角線交點(diǎn)．則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．三角形模式：如圖，在△ABC中，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．（1）推導(dǎo)過程：由.三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決．記憶規(guī)律：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差．【典例1-1】如圖,在平面四邊形中,,則的最大值為____【典例1-2】已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為圓的內(nèi)接正三角形，則的最小值為_________．【變式1-1】在銳角中，已知，則的取值范圍是____________．【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相切于點(diǎn)，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，則的最大值為______．【變式1-3】半徑為4的圓上有三點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．.題型04等和線題型：基礎(chǔ)【解題攻略】等和線基礎(chǔ)：系數(shù)為1型形如，求值或者范圍，其中可以理解對應(yīng)系數(shù)如，稱之為“和”系數(shù)為1.這種類型，可以直接利用“基底線”平移，做比值即可求得【典例1-1】.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點(diǎn)P是以C為圓心且與BD相切的圓上，若，則的最大值為（）A.3B.C.D.2【典例1-2】已知在內(nèi)，且，，則____．【變式1-1】在△ABC中，∠BAC=，以AB為一邊向△ABC外作等邊三角形ABD，∠BCD=2∠ACD，則____________．【變式1-2】已知在中，，，，P為BC上任意一點(diǎn)（含B，C），以P為圓心，1為半徑作圓，Q為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為A． B． C． D．【變式1-3】如圖，A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外一點(diǎn)D，若，則λ+μ的取值范圍是A．(-∞,-1) B．(-1,0) C．(0,1) D．(1,+∞)題型05等和線題型：型【解題攻略】形如，求值或者范圍.一般動點(diǎn)多在圓上，則可以通過三角換元，構(gòu)造三角函數(shù)輔助角形式求最值?？蓸?gòu)建直角坐標(biāo)系并設(shè)且()，應(yīng)用平面向量線性關(guān)系的坐標(biāo)表示求得關(guān)于參數(shù)的函數(shù)式求最值.【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）O是的外心，，，則（

）A． B． C． D．或【典例1-2】在矩形ABCD中，，，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且若，則的最大值為A． B． C． D．【變式1-1】（2022春·江蘇無錫·高三江蘇省天一中學(xué)?？迹┰谥校?，，，為的外心，若，、，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正三角形的邊長為2，D是邊的中點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，且，其中，則的最大值為．題型06等和線題型：型【解題攻略】形如，求值或者范圍，有如下思維：如果動點(diǎn)P在圓上運(yùn)動，可以通過圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為輔助角求解。可以借助等和線，找到=定值，然后代入消元求解單元變量范圍或最值【典例1-1】如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動．若，其中，則的取值范圍是A． B．C． D．【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知銳角滿足，且O為的外接圓圓心，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2022·四川·校聯(lián)考三模）在直角梯形中，，，，，分別為，的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長線于點(diǎn)，，點(diǎn)在上運(yùn)動（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是A． B． C． D．【變式1-2】（2019·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考一模）在中，點(diǎn)滿足.若存在點(diǎn)，使得，且，則的取值范圍是．【變式1-3】（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考）將兩個直角三角形如圖拼在一起，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動時(shí)，若，當(dāng)取最大值時(shí)，的值是．題型07等和線題型：分?jǐn)?shù)型【解題攻略】形如，求值或者范圍，一般情況下，則可以通過等和線或者，然后對采用均值不等式中的“1”的代換技巧?！镜淅?-1】（2021·遼寧大連·大連八中校考一模）在中，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為A． B． C． D．【典例1-2】（2023春·江蘇南通·高三江蘇省南通中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且，點(diǎn)F為線段BD上的一動點(diǎn)（包含端點(diǎn)），若，則的取值范圍為．【變式1-2】（2023春·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高三?？迹┮阎钦龑?shí)數(shù)，的三邊長為，點(diǎn)是邊(與點(diǎn)不重合)上任一點(diǎn)，且．若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為等邊三角形，點(diǎn)G是的重心．過點(diǎn)G的直線l與線段AB交于點(diǎn)D，與線段AC交于點(diǎn)E．設(shè)，，則；與周長之比的取值范圍為．題型08等和線題型：與數(shù)列【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平面四邊形中，點(diǎn)D為動點(diǎn)，的面積是面積的3倍，數(shù)列滿足，，當(dāng)時(shí)，恒有，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為（

）．A．2020 B．1818 C．911 D．912【典例1-2】（2022秋·安徽合肥·高三階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，，為邊上的一列點(diǎn)，滿足，若，則（）A． B．C． D．【變式1-1】．（2022秋·河北石家莊·高三正定中學(xué)階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，，為邊上的一列點(diǎn)，滿足，其中實(shí)數(shù)列中，，，則A．46 B．30 C．242 D．161【變式1-2】（2023秋·遼寧沈陽·高三新民市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四邊形ABCD，為邊BC邊上一點(diǎn)，連接交BD于，點(diǎn)滿足，其中是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，，則的前n項(xiàng).

題型09奔馳定理與重心型軌跡【解題攻略】向量型求動點(diǎn)軌跡：利用向量幾何意義與坐標(biāo)運(yùn)算，尋找轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)。①直接法，設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.【典例1-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面上的4個定點(diǎn)，不共線，若點(diǎn)滿足，其中，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【典例1-2】（2022春·重慶·高三統(tǒng)考）已知是三角形所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)軌跡一定通過三角形的A．重心 B．外心 C．垂心 D．內(nèi)心【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過（

）A．△ABC的內(nèi)心 B．△ABC的垂心C．△ABC的重心 D．AB邊的外心【變式1-2】（2023春·全國·高三專題練習(xí)）已知，，是不在同一直線上的三個點(diǎn)，是平面內(nèi)一動點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的軌跡一定過的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心.題型10三角形四心向量：內(nèi)心【解題攻略】四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)且；若為內(nèi)心，則；【典例1-1】（2020春·山西運(yùn)城·高三臨猗縣臨晉中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為所在平面上動點(diǎn)，點(diǎn)滿足,,則射線過的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【典例1-2】（2022秋·重慶·高三重慶一中?？迹┮阎獮榈膬?nèi)心，，若，則的最大值為A． B． C． D．【變式1-1】（2021春·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若是的重心，則 B．若是的內(nèi)心，則C．若是的垂心，則 D．若是的外心，則【變式1-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為的內(nèi)心，，，，則（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，則點(diǎn)是的（

）A．重心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．外心題型11三角形四心向量：外心【解題攻略】設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)且；若為外心，則；【典例1-1】（2021春·湖北武漢·高三統(tǒng)考）中，，點(diǎn)為的外心，若，則實(shí)數(shù)．【典例1-2】（2023春·廣東珠海·高三統(tǒng)考）在中，，，為的外心，，，分別為，，的中點(diǎn)，且，則.【變式1-1】（2023春·湖北武漢·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)的外心為，且滿足，，則的面積為.【變式1-2】（2023春·山東青島·高三統(tǒng)考）記的三個內(nèi)角的對邊分別為，，，且，，若是的外心，則．【變式1-3】（2023春·廣東汕頭·高三金山中學(xué)?？家阎獮榈耐庑?，若，則最小值.題型12三角形四心向量：重心【解題攻略】重心四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)且；若為重心，則；解決該類問題常用如下方法：（1）根據(jù)條件，利用正、余弦定理直接解三角形；（2）利用向量，結(jié)合向量的數(shù)量積進(jìn)行求解；（3）建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)進(jìn)行求解.【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O為△ABC的外心，G為△ABC的重心，則OG的最小值為A．1 B． C．1 D．【典例1-2】（2022春·陜西西安·高三長安一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)為的重心，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2020春·天津·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，為的重心，則A． B． C． D．【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過的重心作直線，已知與、的交點(diǎn)分別為、，，若，則實(shí)數(shù)的值為A．或 B．或C．或 D．或【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是的重心，，若，，則的最小值是A． B． C． D．題型13三角形四心向量：垂心【解題攻略】四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)且；若為垂心，則.【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則(

)A． B． C． D．【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則直線必經(jīng)過的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則點(diǎn)是的（

）A．重心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．外心【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知H為的垂心，若，則（

）A． B．C． D．【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，D為邊BC上的一點(diǎn)，H為的垂心，，則（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022題型14向量點(diǎn)域綜合【典例1-1】如圖，在中，點(diǎn)是線段及、的延長線所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的任意一點(diǎn)，且，則在直角坐標(biāo)平面上，實(shí)數(shù)對所表示的區(qū)域在直線的右下側(cè)部分的面積是A． B．C．4 D．5【典例1-2】如圖，A、B分別是射線上的兩點(diǎn)，給出下列向量：①;②；③；④；⑤這些向量中以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的是________（填序號）．【變式1-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為正八邊形的中心，軸，若坐標(biāo)軸上的點(diǎn)（異于點(diǎn)）滿足（其中，且、），則滿足以上條件的點(diǎn)的個數(shù)為（）A． B． C． D．【變式1-2】如圖，OM//AB，點(diǎn)P在由射線OM、線段OB及AB的延長線組成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動，且，當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是________【變式1-3】在中，，，D是內(nèi)切圓圓心，設(shè)P是外的三角形區(qū)域內(nèi)的動點(diǎn)，若，則點(diǎn)所在區(qū)域的面積為______.高考練場1.已知等邊邊長為4，為其內(nèi)一點(diǎn)，且，則的面積為（）A． B． C． D．2.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點(diǎn)．eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值為________．3.設(shè)點(diǎn)P為正三角形△ABC的邊BC上的一個動點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，sin∠PAC的值為____．4.如圖所示，矩形ABCD的邊AB=4，AD=2，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓與C