2024年高中數(shù)學(xué)第一章空間幾何體章末綜合測評1含解析新人教A版必修2

PAGE9-章末綜合測評(一)空間幾何體(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(2016·蘭州高一檢測)下列說法中正確的是()A．棱柱的側(cè)面可以是三角形B．正方體和長方體都是特別的四棱柱C．全部的幾何體的表面都能展成平面圖形D．棱柱的各條棱都相等【解析】A不正確，棱柱的側(cè)面都是四邊形；C不正確，如球的表面就不能展成平面圖形；D不正確，棱柱的各條側(cè)棱都相等，但側(cè)棱與底面的棱不肯定相等；B正確．【答案】B2．下列幾何體中，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都相同的幾何體的序號是()【導(dǎo)學(xué)號：09960037】①②③④圖1A．①② B．②③C．③④ D．①④【解析】正方體的三視圖都相同，都是正方形，球的三視圖都相同，都為圓面．【答案】D3．(2016·成都高二檢測)如圖2，A′B′C′D′為各邊與坐標(biāo)軸平行的正方形ABCD的直觀圖，若A′B′＝3，則原正方形ABCD的面積是()圖2A．9 B．3C.eq\f(9,4) D．36【解析】由題意知，ABCD是邊長為3的正方形，其面積S＝9.【答案】A4．(2016·泰安高二檢測)圓臺的一個底面圓周長是另一個底面圓周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面圓的半徑為()A．7 B．6C．5 D．3【解析】設(shè)圓臺較小底面圓的半徑為r，由題意，另一底面圓的半徑R＝3r.所以S側(cè)＝π(r＋R)l＝4πr×3＝84π，解得r＝7.【答案】A5．如圖3所示的正方體中，M、N分別是AA1、CC1的中點，作四邊形D1MBN，則四邊形D1MBN在正方體各個面上的正投影圖形中，不行能出現(xiàn)的是()圖3ABCD【解析】四邊形D1MBN在上下底面的正投影為A；在前后面上的正投影為B；在左右面上的正投影為C；故選D.【答案】D6．已知底面邊長為1，側(cè)棱長為eq\r(2)的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為()【導(dǎo)學(xué)號：09960038】A.eq\f(32π,3) B．4πC．2π D.eq\f(4π,3)【解析】正四棱柱的外接球的球心為上下底面的中心連線的中點，所以球的半徑r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝1，球的體積V＝eq\f(4π,3)r3＝eq\f(4π,3).故選D.【答案】D7．如圖4所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是()圖4①②③④⑤A．①② B．①③C．①④ D．①⑤【解析】當(dāng)該平面過圓柱上、下底中心時截面圖形為①，當(dāng)不過上、下底面的中心時，截面圖形為⑤，故D正確．【答案】D8．(2016·鄭州高一檢測)一個多面體的三視圖如圖5所示，則該多面體的表面積為()圖5A．21＋eq\r(3) B．18＋eq\r(3)C．21 D．18【解析】由幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示．因此該幾何體的表面積為6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,2)))＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝21＋eq\r(3).【答案】A9．若一圓錐與一球的體積相等，且此圓錐底面半徑與此球的直徑相等，則此圓錐側(cè)面積與此球的表面積之比為()【導(dǎo)學(xué)號：09960039】A.eq\r(2)∶2 B.eq\r(5)∶2C.eq\r(3)∶2 D．3∶2【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，則V球＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))3＝eq\f(1,6)πr3，V錐＝eq\f(1,3)πr2h，由于體積相等，∴eq\f(1,6)πr3＝eq\f(1,3)πr2h，∴h＝eq\f(r,2)，∴S球＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2＝πr2，S錐＝eq\f(\r(5),2)πr2，S錐∶S球＝eq\r(5)∶2.【答案】B10．已知三棱錐S-ABC，D、E分別是底面的邊AB、AC的中點，則四棱錐S-BCED與三棱錐S-ABC的體積之比為()A．1∶2 B．2∶3C．3∶4 D．1∶4【解析】由于D、E分別為邊AB、AC的中點，所以eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(1,4)，所以eq\f(S梯形BCED,S△ABC)＝eq\f(3,4)，又因為四棱錐S-BCED與三棱錐S-ABC的高相同．所以它們的體積之比也即底面積之比，為3∶4.【答案】C11．(2016·深圳高一檢測)如圖6是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是()圖6A．26 B．27C.eq\f(57,2) D．28【解析】由三視圖知，該幾何體由棱長為3的正方體和底面積為eq\f(9,2)，高為1的三棱錐組成，所以其體積V＝33＋eq\f(1,3)×eq\f(9,2)×1＝eq\f(57,2).【答案】C12．已知三棱錐S-ABC的全部頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為()A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)【解析】由于三棱錐S-ABC與三棱錐O-ABC底面都是△ABC，O是SC的中點，因此三棱錐S-ABC的高是三棱錐O-ABC高的2倍，所以三棱錐S-ABC的體積也是三棱錐O-ABC體積的2倍．在三棱錐O-ABC中，其棱長都是1，如圖所示，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×AB2＝eq\f(\r(3),4)，高OD＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3)，∴VS-ABC＝2VO-ABC＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).【答案】A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．一個圓臺上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長為12cm，則這個圓臺的母線長為________cm.【解析】如圖，過點A作AC⊥OB，交OB于點C.在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5cm.∴AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．【答案】1314．設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________.【導(dǎo)學(xué)號：09960040】【解析】設(shè)兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，則eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)15．(2016·太原高一檢測)若各頂點都在一個球面上的長方體的高為4，底面邊長都為2，則這個球的表面積是________．【解析】長方體的體對角線長為eq\r(22＋22＋42)＝2eq\r(6)，球的直徑是2R＝2eq\r(6)，所以R＝eq\r(6)，所以這個球的表面積S＝4π(eq\r(6))2＝24π.【答案】24π16．(2016·馬鞍山高一檢測)在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EF＝b(b<a)．若Q是CD上的動點，則三棱錐Q-D1EF圖7【解析】VQ-D1EF＝VD1-QEF＝eq\f(1,3)S△QEF·DD1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)b×a×a＝eq\f(1,6)a2b.【答案】eq\f(1,6)a2b三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)如圖8所示，四邊形ABCD是一個梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，△AOD為等腰直角三角形，O為AB的中點，試求梯形ABCD水平放置的直觀圖的面積.【導(dǎo)學(xué)號：09960041】圖8【解】在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直觀圖仍為梯形，且上底CD和下底AB的長度都不變，如圖所示，在直觀圖中，O′D′＝eq\f(1,2)OD，梯形的高D′E′＝eq\f(\r(2),4)，于是梯形A′B′C′D′的面積為eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(3\r(2),8).18．(本小題滿分12分)一個半徑為1的球體經(jīng)過切割后，剩余部分幾何體的三視圖如圖9所示，求剩余幾何體的體積和表面積．圖9【解】如圖，該幾何體是把球的上半部分平均分為4份后，切去相對的兩部分后剩余的幾何體，體積V＝eq\f(4,3)π－eq\f(4,3)π×eq\f(2,8)＝π，表面積S＝4π－4π×eq\f(2,8)＋eq\f(1,4)π×3×2＝eq\f(9π,2).19．(本小題滿分12分)(2016·河源市高一檢測)已知一個圓柱的側(cè)面綻開圖是邊長為6π和8π的矩形，求該圓柱的表面積．【解】如圖所示，以AB邊為底面周長的圓柱時，底面圓半徑r1＝eq\f(6π,2π)＝3，高h(yuǎn)1＝8π，所以S表＝2πreq\o\al(2,1)＋2πr1h1＝2π·32＋2π·3·8π＝18π＋48π2.以AD邊為底面周長的圓柱時，底面圓半徑r2＝eq\f(8π,2π)＝4，高h(yuǎn)2＝6π，所以S表＝2πreq\o\al(2,2)＋2πr2h2＝2π·42＋2π·4·6π＝32π＋48π2.綜上，所求圓柱的表面積是48π2＋32π或48π2＋18π.20．(本小題滿分12分)(2016·臨沂高一檢測)如圖10所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a，連接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一個三棱錐．求：圖10(1)三棱錐A′-BC′D的表面積與正方體表面積的比值；(2)三棱錐A′-BC′D的體積．【解】(1)∵ABCD-A′B′C′D′是正方體，∴六個面都是正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r(2)a，∴S三棱錐＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，S正方體＝6a2，∴eq\f(S三棱錐,S正方體)＝eq\f(\r(3),3).(2)明顯，三棱錐A′-ABD、C′-BCD、D-A′D′C′、B-A′B′C′是完全一樣的，∴V三棱錐A′-BC′D＝V正方體－4V三棱錐A′-ABD＝a3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,3)a3.21．(本小題滿分12分)(2016·中山高二檢測)如圖11所示，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)依次是AB，AC的中點，AD⊥BC，EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，D，H，G為垂足，若將△ABC繞AD旋轉(zhuǎn)一周，求陰影部分形成的幾何體的體積.【導(dǎo)學(xué)號：09960042】圖11【解】所形成幾何體是一個圓錐挖去一個圓柱，由已知可得圓柱的底面半徑為1，高為eq\r(3)，圓錐底面半徑為2，高為2eq\r(3)，所以V圓錐＝eq\f(1,3)·π·22·2eq\r(3)＝eq\f(8\r(3),3)π，V圓柱＝π·12·eq\r(3)＝eq\r(3)π，所以所求幾何體的體積為V＝V圓錐－V圓柱＝eq\f(8\r(3),3)π－eq\r(3)π＝eq\f(5\r(3),3)π.22．(本小題滿分12分)養(yǎng)路處建立圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供溶化高速馬路上的積雪之用)，已建的倉庫的底面直徑為12m，高4m．養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽．現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m(高不變)；二是高度增加4m(底面直徑不變)．(1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；(2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；(3)哪個方案更經(jīng)濟(jì)些？【解】(1)假如按方案一，倉庫的底面直徑變成16m，則倉庫的體積：V1＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,2)))2×4＝eq\f(256,3)π(m3)．假如按方案二，倉庫