高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第14講泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用(高階拓展)專項(xiàng)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第14講泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年新I卷，第7題,5分泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮比較指數(shù)冪的大小比較對(duì)數(shù)式的大小2022年全國(guó)甲卷理科，第12題,5分泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮比較三角函數(shù)值大小2021年全國(guó)乙卷理科，第12題,5分泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮比較對(duì)數(shù)式的大小2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題不定，難度較大，分值為5分【備考策略】1能理解泰勒公式的本質(zhì)2能運(yùn)用泰勒公式求解【命題預(yù)測(cè)】泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，它貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終．泰勒公式的重點(diǎn)就在于使用一個(gè)次多項(xiàng)式，去逼近一個(gè)已知的函數(shù)，而且這種逼近有很好的性質(zhì)：與在點(diǎn)具有相同的直到階的導(dǎo)數(shù)，所以泰勒公式能很好的集中體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中的“逼近”這一思想精髓．泰勒公式的難點(diǎn)就在于它的理論性比較強(qiáng)，一般很難接受，更不用說(shuō)應(yīng)用了．但泰勒公式無(wú)論在科研領(lǐng)域還是在證明、計(jì)算應(yīng)用等方面，它都起著很重要的作用．運(yùn)用泰勒公式，對(duì)不等式問(wèn)題進(jìn)行分析、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、放縮是解決不等式證明問(wèn)題的常用方法與基本思想．在高中階段，會(huì)基本運(yùn)用即可知識(shí)講解1．泰勒公式：泰勒公式是將一個(gè)在處具有階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)利用關(guān)于的次多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)的方法．【定理1】若函數(shù)在包含的某個(gè)閉區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間上任意一點(diǎn)，成立下式：其中：表示在處的階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)在處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項(xiàng)，是的高階無(wú)窮小量．2．常見函數(shù)的泰勒展開式：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．3．常見函數(shù)的泰勒展開式：結(jié)論1．結(jié)論2．結(jié)論3（）．結(jié)論4．結(jié)論5；；．結(jié)論6；結(jié)論7結(jié)論8．結(jié)論9．考點(diǎn)一、泰勒展開式的綜合應(yīng)用1．（2022年新Ⅰ卷高考真題第7題）設(shè)，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．1．（2023·云南玉溪·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．3．（2023春·廣東肇慶·高三統(tǒng)考期末）若，，，則（

）A． B．C． D．4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)），則（

）A． B．C． D．5．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．【能力提升】一、單選題1．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）已知，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）設(shè)，則（

）A． B．C． D．3．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（

）A． B． C． D．4．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）若，，，則（

）．A． B． C． D．5．（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┰O(shè)，，，則（

）A． B． C． D．6．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知，，，則（

）A． B． C． D．7．（2022秋·河南洛陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（

）①，；②；③．A．0 B．1 C．2 D．38．（2023·云南·校聯(lián)考三模）若，則（

）A． B． C． D．9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．C． D．10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．11．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考三模）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．12．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B． C． D．13．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．14．（2023·廣西桂林·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．C． D．15．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）設(shè)，則（

）A． B．C． D．二、解答題16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．17．（2022春·廣東廣州·高二?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：.18．（2022春·遼寧·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：.19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明：20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若時(shí)，求的最小值．

第14講泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年新I卷，第7題,5分泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮比較指數(shù)冪的大小比較對(duì)數(shù)式的大小2022年全國(guó)甲卷理科，第12題,5分泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮比較三角函數(shù)值大小2021年全國(guó)乙卷理科，第12題,5分泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮比較對(duì)數(shù)式的大小2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題不定，難度較大，分值為5分【備考策略】1能理解泰勒公式的本質(zhì)2能運(yùn)用泰勒公式求解【命題預(yù)測(cè)】泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，它貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終．泰勒公式的重點(diǎn)就在于使用一個(gè)次多項(xiàng)式，去逼近一個(gè)已知的函數(shù)，而且這種逼近有很好的性質(zhì)：與在點(diǎn)具有相同的直到階的導(dǎo)數(shù)，所以泰勒公式能很好的集中體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中的“逼近”這一思想精髓．泰勒公式的難點(diǎn)就在于它的理論性比較強(qiáng)，一般很難接受，更不用說(shuō)應(yīng)用了．但泰勒公式無(wú)論在科研領(lǐng)域還是在證明、計(jì)算應(yīng)用等方面，它都起著很重要的作用．運(yùn)用泰勒公式，對(duì)不等式問(wèn)題進(jìn)行分析、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、放縮是解決不等式證明問(wèn)題的常用方法與基本思想．在高中階段，會(huì)基本運(yùn)用即可知識(shí)講解1．泰勒公式：泰勒公式是將一個(gè)在處具有階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)利用關(guān)于的次多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)的方法．【定理1】若函數(shù)在包含的某個(gè)閉區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間上任意一點(diǎn)，成立下式：其中：表示在處的階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)在處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項(xiàng)，是的高階無(wú)窮小量．2．常見函數(shù)的泰勒展開式：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．3．常見函數(shù)的泰勒展開式：結(jié)論1．結(jié)論2．結(jié)論3（）．結(jié)論4．結(jié)論5；；．結(jié)論6；結(jié)論7結(jié)論8．結(jié)論9．考點(diǎn)一、泰勒展開式的綜合應(yīng)用1．（2022年新Ⅰ卷高考真題第7題）設(shè)，，則（

）A． B． C． D．泰勒公式法：因?yàn)?，所以，所以因?yàn)樗跃C上所述：故選：C其他方法放縮法因?yàn)?，所以，即因?yàn)?，所以，即綜上所述：，故選：C構(gòu)造函數(shù)法假設(shè)成立，即令，則等價(jià)證明：，即證：（原式得證，略）假設(shè)成立，即令，則等價(jià)證明：，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，即：，所以假設(shè)不成立，即，綜上所述：，故選：C2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得,即可得解.【詳解】[方法一]：泰勒展開設(shè)，則，，，計(jì)算得，故選A.[方法二]：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)楫?dāng)故，故，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法三]：不等式放縮因?yàn)楫?dāng)，取得：，故，其中，且當(dāng)時(shí)，，及此時(shí)，故，故所以，所以，故選A[方法四]：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；因?yàn)楫?dāng)，取得，故，所以．故選：A．【整體點(diǎn)評(píng)】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對(duì)a,b的大小作出判定，對(duì)于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳解】[方法一]：由泰勒公式,可知將,分別相應(yīng)代入估算,得.由此可知.[方法二]：，所以；下面比較與的大小關(guān)系.記，則，，由于所以當(dāng)0<x<2時(shí)，，即，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時(shí)，，所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法三]：令，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減令，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增綜上，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問(wèn)題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個(gè)值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問(wèn)題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無(wú)法解決的.1．（2023·云南玉溪·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩個(gè)重要的不等式，說(shuō)明大小即可【詳解】先用導(dǎo)數(shù)證明這兩個(gè)重要的不等式①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，函數(shù)遞減，函數(shù)遞增故時(shí)函數(shù)取得最小值為0故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”②，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，函數(shù)遞增，函數(shù)遞減，故時(shí)函數(shù)取得最大值為0，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”故故選：C2．（2023秋·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而利用單調(diào)性比較大小即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，故?gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增，故，即，故選：A.3．（2023春·廣東肇慶·高三統(tǒng)考期末）若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，可構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)判斷單調(diào)性，即可求解.【詳解】，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，，即，故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)），則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到，即可判斷、的大小關(guān)系；構(gòu)造函數(shù)判斷與0.1的大小，構(gòu)造函數(shù)判斷0.1與大小，從而可判斷b、c大?。驹斀狻苛?，，則，所以當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，所以，即，即，即，令，則，在時(shí)，，則為減函數(shù)，∴，即；令，，則，故在為減函數(shù)，∴，即；∴，令，則，即，∴，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：常用的不等式：，，，，，.5．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過(guò)構(gòu)造，，三個(gè)函數(shù)，將三個(gè)數(shù)與進(jìn)行比較，得到，；再通過(guò)構(gòu)造，，通過(guò)二次求導(dǎo)的方法比較b和c的大小即可得到答案.【詳解】先比較和的大小：構(gòu)造，則對(duì)恒成立，則在單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，則；構(gòu)造，則對(duì)恒成立，則在單調(diào)遞減，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，則；構(gòu)造，則對(duì)恒成立，則在單調(diào)遞減，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，則；則，；下面比較b和c的大?。涸O(shè)，，，設(shè)，，，易知在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞減，，即在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，由，則，即，則.綜上，故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查通過(guò)導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用.比大小問(wèn)題要熟悉各類常見的放縮，找出結(jié)構(gòu)的相同之處，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一工具，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行大小的比較.【能力提升】一、單選題1．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，，再利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，即可比較大小作答.【詳解】設(shè)，則，從而在上單調(diào)遞增，則，即，設(shè)，則，從而在上單調(diào)遞增，則，即，所以．故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問(wèn)題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，細(xì)心挖掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.2．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，對(duì)求導(dǎo)，可得的單調(diào)性和最值，可知，得出，同理構(gòu)造，可得，即可得出答案.【詳解】令，，令，解得：；令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，由可知，設(shè)，則在區(qū)間上是減函數(shù)．且．所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．所以，即．即：．故選：A．3．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，然后利用不等式的基本性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即，因?yàn)?，則，所以，，又因?yàn)?，則，故，故.故選：A.4．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）若，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得，構(gòu)造函數(shù)，利用求導(dǎo)，討論得知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．故，計(jì)算可比較大小,從而可得出結(jié)論.【詳解】令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，從而．因?yàn)?，所以，故．故選：A.5．（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┰O(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出在上單調(diào)遞增，即可得出，即，構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出，即.【詳解】令，，則.令，則.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.又，所以，即，所以.令，則恒成立，所以，在R上單調(diào)遞增.又，所以，即，所以.綜上所述，.故選：A.6．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造，，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可得出，所以，根據(jù)進(jìn)而可判斷.【詳解】令，，則.當(dāng)時(shí)，有，，所以，所以，在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，，即，所以.顯然，，所以：.故選：B.7．（2022秋·河南洛陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（

）①，；②；③．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷大小，從而得解；【詳解】解：令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故③錯(cuò)誤；故選：C8．（2023·云南·校聯(lián)考三模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)并利用其單調(diào)性得出，再構(gòu)造函數(shù)并利用其單調(diào)性得出；構(gòu)造函數(shù)通過(guò)單調(diào)性可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，即當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，即，設(shè)函數(shù)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以；設(shè)函數(shù)，則，令，，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，而，所以，又在成立，所以在上恒成立，所以，即，所以，綜上，.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性判定大小即可.【詳解】設(shè)，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以（時(shí)等號(hào)成立），所以，即，即；設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，綜上．故選：D．10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)觀察，比較大小，可轉(zhuǎn)化為比較和的大小，從而構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性并利用單調(diào)性比較大小；比較大小，可轉(zhuǎn)化為比較和大小，即比較和的大小，從而構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性并利用單調(diào)性比較大小.【詳解】設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，故，即，即．設(shè)，則．令，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，即，所以．綜上可知，．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題中比較a，c的大小是難點(diǎn)，求解時(shí)細(xì)致觀察這兩個(gè)數(shù)的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)0.25這個(gè)題眼非常關(guān)鍵，從而函數(shù)的構(gòu)造也就明顯了，一次求導(dǎo)不能順利解決問(wèn)題時(shí)要注意二次求導(dǎo)．11．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考三模）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正切函數(shù)單調(diào)性借助1比較b，c大?。桓鶕?jù)對(duì)數(shù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)比較a，b大小，即可解答.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，于是，即，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，取，則，所以，即，所以.故選：A12．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過(guò)將，變形，構(gòu)造函數(shù)比較，，將泰勒展開，再與進(jìn)行比較即可.【詳解】由已知，，，設(shè)，，則，其中，令，則，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，，∴當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，∴，即，∴有.對(duì)于與，，將泰勒展開，得，，∴.綜上所述，，，的大小關(guān)系為.故選：C.【點(diǎn)睛】對(duì)于數(shù)值比較大小，可使用等價(jià)變形化同構(gòu)，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.13．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)與，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】由題意可得：∵，利用三角函數(shù)線可得當(dāng)時(shí)，，∴構(gòu)造函數(shù)∴，，即，令∴在上單調(diào)遞增，即，∴，∴，∴．故選：A．14．（2023·廣西桂林·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由于都與有關(guān)系，如果是的話，對(duì)應(yīng)分別是，和，分別構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析運(yùn)算可得，方法一：構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析運(yùn)算可得；方法二：利用常見不等式，，分析可得.【詳解】先比較，構(gòu)建，則，構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對(duì)恒成立，∴在上單調(diào)遞增，則，可得，則，即，構(gòu)建，則在上單調(diào)遞減，且，故在內(nèi)存在零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；且，可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∵，則，可得，且，故在內(nèi)恒成立，則在內(nèi)恒成立，∴在上單調(diào)遞增，則，即，則，所以；再比較，方法一：構(gòu)建，求導(dǎo)，∵，則，即，故在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，即，則，所以；方法二（結(jié)論法）：我們知道，，所以恒成立令，可得，所以；綜上所述：.故選：D.15．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，推出a與1的大小關(guān)系，同理判斷b與1的關(guān)系，判斷的大小范圍時(shí)采用分析的方法，結(jié)合的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可判斷其范圍.【詳解】設(shè)函數(shù),求導(dǎo)得：,∴在上單調(diào)遞減，所以，A錯(cuò)誤；設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故，僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，則時(shí)，，即，所以，D錯(cuò)誤；由，下面證明，，即證,令，即證：，即，構(gòu)造函數(shù)，即證，由，所以在上單調(diào)遞減，則，即證，令，，即在上單調(diào)遞減，故，即成立，故成立，所以，故選：B【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題比較大小，要明確數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定其中的變量，進(jìn)而構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用單調(diào)性進(jìn)行大小比較，難點(diǎn)是本題解答時(shí)要選擇恰當(dāng)?shù)淖兞?，連續(xù)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，進(jìn)行解答.二、解答題16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】【分析】方法一：令，所以，，再對(duì)分和兩種情況討論判斷是否成立即得解.【詳解】[方法一]：由題得，令，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，僅當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以滿足題意；當(dāng)時(shí)，得，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)在上，與已知矛盾，不合題意，所以舍去.綜上所述：.[方法二]：，由指數(shù)不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．得，從而當(dāng)，即時(shí)，，而，于是當(dāng)時(shí)，．由可得從而當(dāng)時(shí)，1），故當(dāng)時(shí)，，而，當(dāng)時(shí)，0，不合題意．綜合得的取值范圍