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文檔簡介
第五單元平面向量及其應用、復數(shù)基礎課27平面向量的概念及其線性運算課時評價·提能基礎鞏固練1.(改編)下列說法:①兩個相等向量,若它們的起點相同,則終點也相同;②若a=b,則③若四邊形ABCD滿足AB=DC,則四邊形④若m=n,n=⑤有向線段就是向量,向量就是有向線段;⑥任何一個非零向量都可以平行移動.其中不正確的個數(shù)是(B).A.2 B.3 C.4 D.5[解析]對于①,當兩個向量相等時,若它們的起點相同,則終點也相同,①正確;對于②,若a=b,方向不確定,則a,b不一定是相等向量或相反向量,②對于③,若AB=DC,則AB,DC不一定相等,所以四邊形ABCD不一定是平行四邊形,③對于④,若m=n,n=k,則對于⑤,因為向量沒有固定的起點,所以向量不是有向線段,但向量可以用有向線段表示,⑤錯誤;對于⑥,任何一個非零向量都可以平行移動,⑥正確.綜上,不正確的是②③⑤,共3個,故選B.2.(改編)下列說法正確的是(C).A.零向量沒有方向B.平行向量不一定是共線向量C.對于任意向量a,b,必有aD.若a,b滿足a>b且a與b[解析]對于A,零向量的方向是任意的,故A錯誤;對于B,平行向量就是共線向量,故B錯誤;對于C,若a,b同向共線,則a+b=a+b,若a,b反向共線,則a+b≤a+b,若a,b不共線,則根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊知a+b對于D,兩個向量不能比較大小,故D錯誤.故選C.3.化簡以下各式:①AB+BC+CA;②AB+A.1 B.2 C.3 D.4[解析]對于①,AB+BC+CA=對于②,AB+AC?BD+對于③,OA?OD+AD=對于④,NQ+QP+MN?故結果為零向量的個數(shù)是3.故選C.4.設a,b是單位向量,則下列四個結論正確的是(D).A.a=b B.a//b C.[解析]由a,b是單位向量知,a=b=1,但單位向量的方向不確定,所以A,B和C均錯誤,D正確5.在△ABC中,點D在邊AB上,CD平分∠ACB.若CB=a,CA=b,a=A.23a+13b B.1[解析]因為CD平分∠ACB,所以BDDA=BCAC=ab=26.(改編)如圖,在平面四邊形ABCD中,?2AF=CA,A.EF=12C.EF=?12[解析]由題意可知,F(xiàn)E=又DA+所以FE=12?AB?CD7.(改編)設a,b是兩個不共線的向量,且向量a+λb與3λ+2A.13 B.?1 C.?1或1[解析]因為向量a+λb與3λ+2a+b是平行向量,所以存在唯一的實數(shù)k,使3λ+21=kλ,則3λ+2λ=1,即3λ2+8.如圖,已知平面向量OA,OB,OC滿足OA=OB=OC,?OA,OBA.2OA+OBC.2OA+3[解析]設OF=?OC,過點F分別作OA,OB的平行線,分別交OB,OA于點E,D,不妨設OA=OB=OC=3,因為所以∠EOF=∠OFD=90°,∠從而?OC=OF=OD+OE綜合提升練9.(多選題)設M是△ABC所在平面內一點,則下列說法正確的是(ACDA.若AM=12AB+B.若AM=2AB?ACC.若AM=?BM?CM,則點D.若BM=2[解析]對于A,由AM=12AB+12AC,可得AM?AB=AC?AM,即BM對于B,由AM=2AB?AC,可得AM?AB=AB?AC,即BM=CB,對于C,設BC的中點為D,則AM=?BM?CM=MB+MC=2MD,由三角形重心的性質可知,點M對于D,因為BM=23BC,則AM?AB=23AC?AB10.(多選題)下列說法正確的是(BD).A.若a//b,bB.兩個非零向量a,b,若a?b=a+C.若a//b,則存在唯一實數(shù)λD.若2OA+OB+3OC=0,S[解析]對于A,若a//b,b//c,則當b=0時,不一定有a對于B,兩個非零向量a,b,若a?b=a+b,則a與b共線且反向對于C,若b=0,則不存在唯一的實數(shù)λ,使得非零向量a=λb,對于D,因為2OA+OB+3OC分別取BC,AC的中點E,F,則4OF=?2OE,即2OF=?OE,所以O,E,F(xiàn)三點共線,故OE=2OF,OE=23EF,所以OE=13AB11.關于非零向量a有如下說法:①2a的長度是a的長度的2倍,且2a與a的方向相同;②?13a的長度是a的長度的13,且?13a與a的方向相反;③若λ=[解析]對于①,2a的長度是a的長度的2倍,且2a與a的方向相同,故①正確;對于②,?13a的長度是a的長度的13,且?13a與a的方向相反,故②正確;對于③,若λ=0,則λa=0,不是零,故③錯誤;對于④,若12.(雙空題)已知在△ABC中,M,N分別是邊AB,AC上的點(不包括端點),CM與BN交于點P,若AP=37AB+17AC[解析]設AM=mAB0<m<1,AN=nAC0<n<1,由AP=37AB+17AC,可得AP=37mAM+17AC,AP=37AB+17n應用情境練13.勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的,書中的“勾股圓方圖”被后人稱為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是數(shù)形結合思想的體現(xiàn),是中國古代數(shù)學的圖騰,還被用作第24屆國際數(shù)學家大會的會徽.如圖,大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的,若AB=a,AD=b,E為BF的中點,則AE=4[解析]AE=AB+BE14.某石碑的底座外觀呈正八棱柱形,記正八棱柱的底面是正八邊形ABCDEFGH,如圖所示,若O是正八邊形ABCDEFGH的中心,且AC=xAB+[解析]由圖可知,外角θ=45°,作平行四邊形AHCM,則∠BCM=180°?2θ=90°,設八邊形的邊長為1,則創(chuàng)新拓展練15.已知M為△ABC所在平面內一動點,且M滿足AM=13λAB+231?λAC,AC=[解析]如圖,設AD=13AB,AE因為M滿足AM=13λAB+231?λAC,所以AM=λAD+1?λAE,所以M,D,E三點共線,所以點M的軌跡為直線DE.因為點M的軌跡與直線AB,AC圍成的封閉區(qū)域的面積為32,所以116.已知在△ABC中,P為△(1)若點P在邊BC上,且BP=13PC,用AB,(2)若點P是△ABC①求證:PA+②若35sinA[解析](1)如圖1,過點P作PD//CA交AB于點D,PE//BA交AC于點E,則四邊形所以AP=AD+AE,由BP=13同理,AEAC=BPBC=14(2)①如圖2,延長AP交BC于點F,因為點P是△ABC的重心,所以F為BC的中點,且AP=2PF,所以PA=?又PB+
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