【7】（參考答案）2023高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練七

2023高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)強(qiáng)化專題訓(xùn)練(七)

解析幾何

基礎(chǔ)知識(shí)

橢圓的基本量

1.如圖(1),過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦AB=,稱為通徑.

2.如圖(2),P為橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)i，尸2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且則△HP/2

的面積為.

3.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為,最小值為.

4.設(shè)P,4,B是橢圓上不同的三點(diǎn)，其中4,8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則直線網(wǎng)與尸8的斜

率之積為定值________.

0

1.—2.Z?2,tanz3.a+ca-c4.—,

a2a1

直線與橢圓

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量得到關(guān)于M或)，)的一元方程：加+法

+c=0(或ay2+Z?y+c=0).

(1)若可考慮一元二次方程的判別式』，有：

①4>0元直線與圓錐曲線;

②4=0元直線與圓錐曲線;

③4Vo宛直線與圓錐曲線.

2.圓錐曲線的弦長(zhǎng)

設(shè)斜率為網(wǎng)�)的直線/與圓錐曲線C相交于4(孫川)，8(小以)兩點(diǎn)，則A8=.

1.(1)①相交②相切③相嘀

2.4+出|X2-X1|=院一川

雙曲線的基本量運(yùn)算

1.過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長(zhǎng)為.

2.如圖，尸為雙曲線上的點(diǎn)，F(xiàn)|,尸2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且/尸1尸尸2=仇則△尸1尸尸2

的面積為.

3.焦點(diǎn)到漸近線的距離為.

4.設(shè)P,A,8是雙曲線上的三個(gè)不同的點(diǎn)，其中A,8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則直線布與

PB的斜率之積為.

.2b2h2b2

1.1a2.-----8T3.b4.出—

tan

拋物線

設(shè)A8是過(guò)拋物線爐=2〃八3>0）焦點(diǎn)尸的弦，若A3,#）,8。2,J2），貝小

1

（I）XIX2=4，y\y2=—p\

（2）4尸=1，a，所=1+北a，弦長(zhǎng)48=k+及+0=焉（a為弦AB的傾斜

角）；

小」-」=2

⑶FA十尸8一p；

（4）以弦48為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

（5）以A尸或3F為直徑的圓與y軸相切；

（6）過(guò)焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上.

直線與I員I錐曲線

1.已知橢圓C：5+E=lm>b>0）上任意一點(diǎn)M（除短軸端點(diǎn)外）與短軸兩端點(diǎn)S,B1

的連線分別與x軸交于P,。兩點(diǎn)，。為橢圓的中心，則OP?OQ=〃

2.已知橢圓C：+￡=l（a>b>0）上任意一點(diǎn)M（除短軸端點(diǎn)外）與短軸兩端點(diǎn)8“&

的連線的斜率分別為M，5則秘2=一1.

3.過(guò)拋物線V=2pNp>0）的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),且4（內(nèi)，y）,8（孫

丫2），則工/2=4，）V2=-P2.

4.過(guò)拋物線）2=2px（p：>（））的頂點(diǎn)0作兩條互相垂直的直線交拋物線于4,8兩點(diǎn)，則直

線48過(guò)定點(diǎn)（2p,0）.

1.（南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試）

已知拋物線爐=4%的焦點(diǎn)為尸，直線/過(guò)點(diǎn)尸且與拋物線交于A,8兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作拋物線

準(zhǔn)線的垂線,垂足為M,NMAF的角平分線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P,線段A8的中點(diǎn)為Q.若

忸陰=16,則儼。|=

A.2B.4C.6D.8

【?彳案】D

【的析］設(shè)/“：J'=?(x-l),JUI'/-1*=>42r-(2A:+4)x+Jt2=0=>

所以|/必二|”|+回1=2+.口+與=2+笠*=16,解得A'=；,即。（7,±2"）

由對(duì)梆性，僅研究A=李時(shí)，此時(shí)即

所以，伊|叫"，小00宅=（1+~>^^=（8+40）（2一工卜4,即J/=2>5

廂"（-1.2母°（7,2處即聞=8

2.（南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試）

（多選題）已知科，尸2分別為橢圓C：弓+尸=1的左、右焦，不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為1的直

線/與橢圓。交于P,Q兩點(diǎn),則下列結(jié)論正確的有

A.橢圓。的離心率喈B.橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

C.若點(diǎn)M是線段尸。的中點(diǎn)，則MO的斜率為一；D.△OP。狗面積的最大值為坐

【捽案】ACD

【肝析】A./=2,/=in，=lne=￡=4=①，SOfJ

a422

B.。=應(yīng)=2。=2近，故錯(cuò)

6?I

C.心氣=-了nA”-?故對(duì)

4m

I:y=x+m|x?+Je=--

D.=3x2+4〃JX+2M-2=0=

12nr-2

g=—^—

53=扣卜"70卜*葉楞衛(wèi)^=y-9（"叫

當(dāng)〃l=g時(shí)，S“也，取最大值孝，故對(duì)

3.(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試)

己知人，人分別為雙曲線。：1￡=l(a>0,>0)的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B且斜率為1的

直線/與雙曲線。的右支交于P,Q兩點(diǎn),若△BPQ是等腰三角形，則雙曲線C的離心率

為.

［答案］:向購(gòu)

2

【M析】設(shè)PF】=m、0Fi=n,由雙曲線定義可得/￥；:%+也。石=勿+〃

①尸耳=0。時(shí)，m+2a=m^n,即2。=〃，因?yàn)橹本€斜率為I,所以傾斜角為:，即/。瑪?shù)?￡.

44

在三角形QEE中，由余弦定理可洱(2￡『=(2乃/+(KE)*-2QF,-gcos/Q6￡

即/+歷-3=0,解得e=叵嚴(yán)，此時(shí)宜線于雙曲線的兩支相交，舍；

-J?+Vl4

②。6=戶。時(shí)，同理可-e=,，此時(shí)滿足題意；

③時(shí)，由對(duì)稱可得不存在，舍

4.(江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題)

已知橢圓c：捺+g=ig>b>o)經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(-75凈，°。令.

(1)求橢圓c的方程；

(2)過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)的直線/交橢圓于4,B兩點(diǎn),交直線”=4于點(diǎn)O.設(shè)直線04,QD,

k+k

3的斜率分別為即知q若玲/0,證明：七色為定值.

2i.解：(1)相點(diǎn)火-6季,點(diǎn)ai,|)代入橢圓方程］+親?=ig>>>o)

_3_+J_=1,

得T4f，解得=1所以橢圓方程為g+g=］............................4分

I296-=343

后莪=1

(2)由題意直線IB的斜率?定存在，設(shè)直線48方程為：y=A(x-l),。坐標(biāo)為(4,3A).

所以U............................................................................................................6分

24-12

與橢圓方程聯(lián)立得(3+4犬*-8入+4爐-12=0

8公

△>0恒成立，由韋達(dá)定理知8分

4二一12

卬"WF

必一：必一'A（x/l）-1*（Jr2-D-131I

A.+JL=——Z+——1=------------2+-------------1=2k--（—J—+'一）

X]-I^2-1演一1x2-I2$一]/一]

8-

3.不+'-2_=2%_3____3+41_____

2玉七一（玉+X2）+124k2-128A2

3+4爐―3+4爐+

2_x

2k-^------------------------r=11分

24爐一12-8公+3+4公

?+—_21_,

故一丁-丁T-（定值）.............................................................................................12分

4K----

2

5.(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試)

已知拋物線八,二52的焦點(diǎn)為F.

(1)求拋物線「的準(zhǔn)線方程：

(2)若過(guò)點(diǎn)尸的直線/與拋物線「交于A,8兩點(diǎn)，線段A8的中垂線與拋物線「的準(zhǔn)線交于

4

點(diǎn)C,請(qǐng)問(wèn)是否存在直線/,使得tanZACB=?若存在，求出直線!的方程；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(1)由已知得產(chǎn)=4y，即拋物線的準(zhǔn)線方程為y=7；

(2)由逆意得產(chǎn)(0,1),且/斜率一定存在，設(shè)/:y=h+l,

設(shè)力（不乂）,85,必），AB中點(diǎn)為M,設(shè)ZACF=a/BCF=0.則4加a”,

AMBAIAB

即tan〃CB=tan（a+3）=媽空螞/=.再后=

'1-tana-tan/7.4MBMAB"

~~CF"CF4CF1

4

若存竦的酸，則tan（a+/?）=],即43?-3/8,CF-/"=0,

所以(4b+/B)(CP-/IB)=0,又因?yàn)镃T>0,/8>0,即CF=/IB

因此有J+即Nf|=2

y=kx+1,Jx1+Jt,=4A

\=>r-4fcv-4=0=>{2卜]-與卜+J-4.t12=d6A?+1624

x=4y[x吊=-4

所以Jl6犬+16=2無(wú)解,即不存在滿足題意的直線

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1.（江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）

當(dāng)把一個(gè)任意正實(shí)數(shù)N表示成N=axl（r（14avl0,“wZ）的時(shí)候，就可以得出正實(shí)數(shù)N的位

數(shù)是〃+1,如：235=2.35xl02,則235是一個(gè)3位數(shù).利用上述方法，判斷1850的位數(shù)是

（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010,lg3*0.4771）

A.61B.62C.63D.64

答案：C

2.（江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）

已知Q=sin，,b=3,c=lnl.l,則

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD,b<c<a

答案：A

3.（鹽城市2023屆高三年級(jí)第一學(xué)期期中考試）

（多選題）對(duì)于函數(shù)風(fēng)。若在區(qū)間/上存在刈，使得的）=刈，則稱式工）是區(qū)間/上的“3

函數(shù)”.下列函數(shù)中，是區(qū)間/上的函數(shù)”的有

A.7=（0,+oo）B.?x）=ln（x+l）,Z=（-l,+oo）

C.J（x）=sinx,1=[0,+oo）D.y（x）=lg（sinx）,/=（一2%，一冗）

答案：ABD

4.（江蘇省連云港市2022?2023學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）（多選題）

已知曲線/（勸=；/+，-女在點(diǎn)尸（孫/?））處的切線為《，貝IJ

4

A.當(dāng)°=0時(shí)，/（%）的極大值為孑

B.若玉=1,4的斜率為2,貝lja=l

C.若/（x）在R上單調(diào)遞增，則aNT

D.若存在過(guò)點(diǎn)尸的直線4與曲線/（x）相切于點(diǎn)。（馬，/（￡）），則芍+2馬=3

答案：AB

5.（南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試）

（多選題）已知函數(shù)?r）=hu-一，，則下列結(jié)論正確的有

A.當(dāng)時(shí)，y=/U）有2個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)時(shí)，凡0W0恒成立

C.當(dāng)4=3時(shí)，X=1是丁=凡。的極值點(diǎn)

D.若汨，X2是關(guān)于X的方程?r）=o的2不等實(shí)數(shù)根，則為X2>e

［谷案】BC

【桿析】/（x）=0n竽=%易知g（x卜竽在（0,?）熠，在（△,+?）減，好圖，故力錯(cuò)，B對(duì),

,I】一2zzx'|_T2

C./(x)=lnx-ax2n/*(jr)=-2ax=-------=------,故對(duì)

D./(x)=0n〃(x)=誓-a=0,即不妨設(shè)0＜玉＜y/e＜x2

若x吊＜e,則玉＜工，則人(玉)＜力(工］,則則呼＜廣3,

X2\*X3)\X2)X3

Wlnx,-＜0

設(shè)則乎一一二<0,

4/+e*

設(shè)二竽一73，則〃「(')=：_(-、/>0，即〃)(，)在(『,+8)上單調(diào)遞增,

又〃?e2)=o,所以〃j(z)>o故x吊>e,即中2<0錯(cuò)

6.(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試)

已知函數(shù)丁=/)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x>0時(shí)，/)=2'—1,且函數(shù)y=/x+l)

關(guān)于點(diǎn)4—1,0)對(duì)稱，則滿足4〃-3)+於2)W0的取值范圍是.

【捽案】［-3,1］

【解析】y=/(x+l)關(guān)于r(-l,0)對(duì)稱，則/卜)為奇函數(shù)，目由題意可得/(x)單調(diào)遞增,

聽以/(213)+/，)&0=/任)0/(3-2工)=/03-2工=>-3。41

7.(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試)

設(shè)函數(shù)/(x)=siar—x+于P.

⑴若相斗求函數(shù)/㈤在［0,+8)上的最小值；

(2)若對(duì)任意的x￡［0,+oo),有兀Q20,求〃?的取值范圍

【桿析】(I)/(x)=sinx-x+gpn/(x)=cosx-l+(r)=-sinx+x=>/*(x)=-cosx+1

因?yàn)?”(x)N0,所以廣(X)在［0,內(nèi))單調(diào)遞增，

又因?yàn)?"(0)=0,所以/?。)之0,所以/'(X)在口位)單調(diào)遞增，

所以/'(X)在［0,+8)上的最小值為/'(0)=0;

(2)/(x)=sinx-x+yjr5/'(jr)=cosjr-l+mx2=/■(?)=-sinx+2/nx

=>/*(x)=-cosx+2w

①—40時(shí),/'(x)wo,即/(X)在［0,y)單調(diào)遞減，

又因?yàn)?(0)=0,所以/(x)40,與已知矛盾，舍；

②析23時(shí)，/e(x)=-cosx+2/n21-cosx20,所以/"(x)在［0,+<?)單增,

又因?yàn)??(0)=0,所以/?(x)?0,所以/'(x)在［0,x)單調(diào)遞增，

又因?yàn)?'(0)=0,所以/'(同之0,所以/(X)在［0,x)單調(diào)遞增，

又因?yàn)?(0)=0,所以/(力20,滿足題??；

③0<m<；時(shí)，/“X)在0,y上單調(diào)遞胤

又因?yàn)??(0)=2吁1<0,"0=2閉>0,所以存在,《0,3?/"(/)=0,

當(dāng)0。々時(shí)，/“卜)40,所以/"(x)在［0,，伸詡遞減，

又因?yàn)??(0)=0,所以/?(x)40,所以/'(x)在［。用單調(diào)遞減，

又因?yàn)?'(0)=0,所以/'。)40,所以/")在［0可單調(diào)遞減，

又因?yàn)?(0)=0,所以/。)<0,與已知矛盾,舍；

綜上所述，用的取值范圍為

三角函數(shù)

L(江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題)

已知sin(2a-y3)=-3sin￡,且。-￡=1+桁，aw格,其中JtwZ,則則皎一回)

22tana

A.1B.2C.3D.4

答案：B

2.（南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試）

點(diǎn)。為△ABC邊45上一點(diǎn)，滿足AQ=2,DB=8,記NA8C=a,ZBAC=fi.

（1）當(dāng)且￡=2a時(shí)，求8的值；

JT

（2）若a+￡=w，求△AC。的面積的最大值.

CDCD

tana=—tana=-----

【答案】（I）由已知得*n8

rCD

tan2a----tan2a=——

AD2

―—且.2tana_CD

又因?yàn)閠an2a=--------,所以二-,解得。。=46；

l-tan"a2

(2底三角形ABC中，NC/IB=”-a-/?=電，

4

由正弦定理得手=」V，即/C=IOasina,

sinaS”

sin—

4

所以S.“A=；/C?/OsinA=10板sinasin(:-a)

loVisinaa-------sina10(sinacosa-sin2a)=5gin2a+cos2a-l)

2

5Csin(2a+?)-5

當(dāng)2a+￡=：,即a=￡時(shí)，取最大值5五-5.

42o

排列組合

1.（常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)業(yè)水平檢測(cè)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）

若（1—ar+f（）1—》8的展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為21,則。=

A.-3B.-2C.-1D.1

【答案】C

【解析】（1-X）8展開式第尸+1項(xiàng)尸，

公的系數(shù)l?（一l）2c；-a?（-l）C；+l?（一l）°C；=21,???。=-1,選C.

統(tǒng)計(jì)概率

1.（江蘇省南京市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）

某收費(fèi)站統(tǒng)計(jì)了2022年中秋節(jié)前后車輛通行數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站中秋節(jié)前后車輛通行數(shù)量

J~N（1000Q2）,若PG>1200）=a,P（800<<<1200）=Z?,則當(dāng)8成力+為時(shí)下列說(shuō)法正

確的是（）

A.a=—B.b=-C.a+b=—D.a-b=—

2442

答案：C

2.（南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試）

史明理，學(xué)史增信，學(xué)史崇德，學(xué)史力行.近年來(lái)，某市積極組織開展黨史學(xué)習(xí)教育的

活動(dòng)，為調(diào)查活動(dòng)開展的效果，市委宣傳部對(duì)全市多個(gè)基層支部的黨員進(jìn)行了測(cè)試，并從中

抽取了1（X）0份試卷進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)這1000份試卷的成績(jī)（單位：分，滿分100分）得到如下

頻數(shù)分布表：

成繳分[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

頻數(shù)40902004001598040

（1）求這1000份試卷成績(jī)的平均數(shù)?（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.

（2）假設(shè)此次測(cè)試的成績(jī)X服從正態(tài)分布扭），其中從近似為樣區(qū)平均數(shù)，/近似為樣

本方差V,已知s的近似值為6.61,以樣本估計(jì)總體，假設(shè)有84.14%的學(xué)生的測(cè)試成績(jī)高

于市教育局預(yù)期的平均成績(jī)，則市教育局預(yù)期的平均成績(jī)大約為多少（結(jié)果保留一位小數(shù)）？

（3）該市教育局準(zhǔn)備從成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)的120份試卷中用分層抽樣的方法抽取6份，再?gòu)?/p>

這6份試卷中隨機(jī)抽取3份進(jìn)行進(jìn)一步分析，記丫為抽取的3份試卷中測(cè)試成績(jī)?cè)冢?5,100］

內(nèi)的份數(shù)，求丫的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：若X~N"M）,則P（/LOVXW"+（7）Q0.6827,2a）^0.9545,

p（p-3。VXW"+3。）=0.9973.

【的析】（I）由已知得

—?67.5+--72.5+--77.5+—.82.5+--87.5+--92.5+--97.5=82.15

1000100010001000100010001000

⑵由已知得P(x>p-(r)=P(x>75,54)=1+'("一°+。84135,

答：市委宣傳部預(yù)期平均成績(jī)大約為萬(wàn).5分；

（3）由分層抽樣得抽取的6分試卷中2份在［95,100）內(nèi)，4份在［90,95）內(nèi)，Y的可能取值為0JZ

則?（y=0）=等=，（丫=1）=魯="（丫=2）=等J

666

即Y的分布列為:

Y012

P￡3￡

555

所以員y）=i.

立體幾何

1.（2022?2023蘇州市高三上學(xué)期期中調(diào)研試卷）（多選題）

在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M,N分別是棱48,AD的中點(diǎn)，線段MN上有動(dòng)點(diǎn)P,棱CG

上點(diǎn)E滿足GC=3GE.以下說(shuō)法中，正確的有

A.直線GP與是異面直線

B.直線C/〃平面5OE

C.三棱錐C-GMZV的體積是1

D.三棱錐C-GMN的體積是3

答案：ABC

2.(江蘇省南京市南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷)

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=BC=CD=2,AD=4,點(diǎn)E為線段49的中點(diǎn)，將

△CDE沿著CE折起到△CPE位置，M為EC的中點(diǎn).

(1)求證：平面5PM_L平面A3CE；

(2)當(dāng)平面CPE_L平面A8C七時(shí)，求二面角4一/＜一￡的余弦值.

P

E

[VPiJ(I)由已知得三角形PEC和三角形BEC均為等邊三角形

因?yàn)镸是EC中點(diǎn)，所以1ECtPM1EC

又因?yàn)锽AIcPM=M,BMu而u而PBW,所以CE1面P6”

又因?yàn)镃fuID/BCE,所以而H6CEJL面尸8V；

(2)以A1為原點(diǎn)，MB所在直線為x軸，ME所在宜線為y怕，ZP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由已知得A(5/5QO),P(O,O,G1C(O,TO),即麗=卜6,0,9,反^卜逝一叫

-.,、n-BP=Q-島+岳=0

設(shè)面3PC的法向量n=(atb,c),貝叫_____n

ii'BC=0-y/ia-b=Q

令a=l有〃

由(1)可知麗=(G,0,0)為面PCE的一個(gè)法向量，所以儂值畫=而贏=/3邛

答：二面角B-PC-E的余弦值為y.

3.(江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題)

如圖,在四棱錐P-ABCD中，R4J■平面ABCD,PB與底面ABCD所成角為45°，四邊形ABCD

是梯形，AD1.AB,BC//AD,ZD=2,PA=BO\,

(1)證明：平面以CJ?平面PCD;

(2)若點(diǎn)7是8的中點(diǎn)，點(diǎn)M是尸T的中點(diǎn)，求點(diǎn)尸到平面43M的距離.

20?(1)證明：由24J.平面48CD,4Bu平面,C0u平面力BCD

得21_L/1&R4_LC￡>,08與底面43CO所成角為NPK4=45。.

所以三角形月仍為等腰直角三角形,AB=AP=\..............................................................1分

又由四邊形ABCD是直角梯形，BC//AD,可知力BJJ3C,三角形ABC為等腰直角三角形,

/C=.在直角梯形力品。中，過(guò)C作垂足為E,可知/E=8C=CE=L

所以。E=l,在等腰直角三角形CDE中，CD=O.

AC2+Clf=2+2=4=AD2,所以0C_L4C.....................................................................3分

又因?yàn)镼4_LQC,24rMe=/，/Mu面R4C,/Cu面24c.

所以。CJ?平面E4C..............................................................................................................5分

因?yàn)椤鎢平面PCD,所以平面P/CJL平面PCD................................................................6分

(2)以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以48,AD,4P所在

的直線為x,乃z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系.

則40,0,0),K0,0,l),B(l,0,0),￡)(0,2,0),C(1,l,0).

因?yàn)?是8的中點(diǎn)，點(diǎn)M是PT的中點(diǎn),,所以

..................8分

22442

設(shè)平面ABM的法向量為

一一.---131

〃=(x,y,二)，48=(1,0,0),

x=0

n-AB=0力

則.一得131人,

n-AM=O-x+-y+-r=0

44Z2

取歹=4,則==-6.得平面48M的一個(gè)法向量為〃=(Q4,Y).........................I。分

所以點(diǎn)尸到平面ABM的距離為\AP-中n\==^=嚕

12分

數(shù)列

L(鹽城市2023屆高三年級(jí)第一學(xué)期期中考試)

首項(xiàng)為4的等比數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和記為工，其中Ss、S4、S6成等差數(shù)歹U.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

I100

⑵令兒=10g2M_#log2M+J求

解：(1)等比數(shù)列｛《』中，4=4.

?.?$5,54,56成等差數(shù)列，」.55+56=254，....................................................................................2分

2%+。6=。，即公比4=/二一2,...............................................................................................4分

%

得?！岸?(一2)”-，.............................................................................................................................6分

2w2n+2

(2)由(1)可得41=4?(-2產(chǎn)―2=22”,a2rt+1=4-(-2)=2.......................................8分

,11141、

?"=-----------------------------------，=——jIf\Zk,

"log21a2”Jl°g2la2“+il(2〃)(2〃+2)4nn+1'

2.(江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題)

己知數(shù)列｛勺｝和色｝滿足。產(chǎn)2…4=(4)"，血｝為等比數(shù)列，且。2=4，bA-b3=8.

(1)求與勿；

(2)設(shè)，.=迫，求數(shù)列￡｝的前〃項(xiàng)和

n

解：(1)由。任…勺=(④)"，得-1=(1)*，,

兩式相除,得見=(應(yīng)盧一1=2工,(〃22)............................................................................2分

因?yàn)椤耙?=8,所以4=16.設(shè)｛叫的公比為4,由%=4,4=16,得爐=4,

由題意知｛4｝是正項(xiàng)數(shù)列，所以9=2.故q=4./-2=4?2>2=2".....................................4分

由《生…可=(6廣，知(4戶_21.22.....2"=21+2*"",*"=22所以“=〃(〃+1)...........................6分

(2)4=地>=(〃+1)2”..........................................................................................................8分

n

、p?=2-2'+3-22+4-23+……+5+1)2”

"卜工=2-22+3-23+4-24+……+(?+1)2"“'

由錯(cuò)位相減得:-S,=22+22+23+~i+2"—(〃+l)2"“=2+'-：

所以S”=〃2"7......................................................................................................................12分

3.(鹽城市2023屆高三年級(jí)第一學(xué)期期中考試)

數(shù)列｛〃”｝中，ai=2,小+?！?|=2”+1,〃￡N*.

(1)求｛?。耐?xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛瓦｝滿足仇=皿-「2嗎ziGN*,求｛6｝的前〃項(xiàng)和.

解：數(shù)列｛%｝中，4=2,〃"+〃”+]=2〃+1,neN*.

a[+a2-3,得a2一1?........................................................................................................................1分

由/+為+1=2〃+1(〃21),%_[+%=2〃一1(〃22)

得%+1-《1=2(〃？2)?..........................................................................................................................3分

「?當(dāng)〃為正奇數(shù)時(shí)，4=2+(等-1"2=〃+1；

當(dāng)〃為正偶數(shù)時(shí)，4=1+(]-l)x2=〃-l.

[n+l,〃為正奇數(shù)

綜上‘"”"|〃一1,〃為正偶數(shù)..........................................................6分

(2)由(1)可得。2〃-I=2〃，%,=2〃一1.

b”=々“I?2嘰=2n-221=〃-4”?......................................................................................8分

記仍〃｝的前〃項(xiàng)和為S”.

S”=1x4+2x42+…+5-l)x4""+〃x4”，

得4s“=1X42+2X4/-+(〃-1)X4"+〃X4"|.

兩式相減，得35.=—(4+42+43+…+4")+〃x4向=一^-^+〃乂42

3

整理得導(dǎo)=空-4用+1,................................................................................................12分

圓錐曲線

——2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題

出題背景

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

(1)阿基米德三角形

拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形這個(gè)三角形又常被稱為

阿基米德三角形。因?yàn)榘⒒椎伦钤缋帽平乃枷胱C明了拋物線的弦與拋

物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的2/3.

近年全國(guó)以及各地高考以此為背景的頗多。

v-2|

(20】9年川卷理科21)已知曲線C:尸w，。為直線尸一萬(wàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)。作C的兩條

切線，切點(diǎn)分別為力，B.

(1)證明：直線4月過(guò)定點(diǎn)：

(2)若以￡(0,1)為圓心的圓與直線力用相切，旦切點(diǎn)為線段.48的中點(diǎn)，求四邊形

ADBE的而積.

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

（2）阿波羅尼斯圓

平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（不為1）的點(diǎn)的軌跡為圓。

1994年全國(guó)高考題

（24）（本小題滿分12分）4

已知比角坐標(biāo)平面上點(diǎn)。（2,0）和例C：/+/=],動(dòng)點(diǎn)乂到阿/卜、

C的切線長(zhǎng)與必。1的比等于常數(shù)[（4X））.求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說(shuō)（0）~

明它表示什么曲線.

對(duì)條件的討論

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

（2）阿波羅尼斯圓

（2008年江蘇理科題）滿足條件45=247=近跋的AABC的面積的最大值是

切線的方程，S1

<2>若HIC上存在點(diǎn)M?使

MA-2MO.求■!心C的橫生標(biāo)。的取值位國(guó).

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

（2）阿波羅尼斯圓

平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離

之比為常數(shù)（不為1）的點(diǎn)的軌跡為圓.

阿波羅尼斯圓可以向圓錐曲線中推廣

定理設(shè)「為一非退化的二次曲線，P是一

個(gè)不在「上的定點(diǎn)（當(dāng)「是有心二次曲線時(shí),尸

不是中心）?過(guò)P任作直線交「于A、8,則存在另

一定點(diǎn)Q，使得倍富=號(hào)翁恒成立.

從圓到橢圓的推廣

（2015四川理第20題）如圖?桶圓E：4+^=

ao

l（a>6>0）的離心率是過(guò)點(diǎn)P（0,l）的動(dòng)直線I

與橢圓相交于A.B兩點(diǎn).當(dāng)直線/平行于n軸時(shí)，

直線,被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2笈

（I）求橢圓E的方程；

（n）在平面直角坐標(biāo)系/Oy中，是否存在與

點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得圈=作筌恒成立？

若存在，求出若不存在.請(qǐng)說(shuō)明

理由.

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

（3）“垂徑定理”在圓錐曲線中推廣

橢圓或雙曲線任意一條弦所在直線的斜率與該弦中點(diǎn)與橢圓（或雙曲線）中心

連線的斜率之積為常數(shù).

設(shè)點(diǎn)M是有心圓錐曲線C:mx2+萬(wàn)2=i（肛〃同正或異號(hào)）上異于

直徑48的兩個(gè)端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則田〃%=一；.

逆命題就是所謂的第三定義（軌跡不包的端點(diǎn)）

設(shè)而不求

點(diǎn)差法

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

（3）“垂徑定理”在圓錐曲線中推廣

《2018年全國(guó)卷HD已知斜率為2的直線，與橢圓C：:?[-I交于A，B兩點(diǎn).線殷出的中點(diǎn)為

^（l,WXw>0）.

（1）證明：Ar<-1；

（2）設(shè)尸為。的右焦點(diǎn)，P為。上一點(diǎn)，且用+石+而=6.證明：2|百口可卜|豆

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

(3)“垂徑定理”在圓錐曲線中推廣

(2019全國(guó)H卷)日晾，(-2fo)，研2,0),動(dòng)點(diǎn)嵐X,.、)；有足以線出加調(diào)率之積為:，

記U緘跡為曲線C

⑴求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線J

⑶過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，。兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PEL、?軸，垂足為E,連結(jié)。E并延

長(zhǎng)交C于點(diǎn)G

①證明：△射是直角三角開、

②^APgG的面積的最大值

第1問(wèn)和第(2)問(wèn)

的⑴

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

(4)“張直角弦''問(wèn)題

圓中"張直角弦”是圓的直徑；過(guò)圓的中心即圓心；

橢圓、雙曲線、拋物線有類似性質(zhì)嗎？?jī)尚甭手e為其他常數(shù)如何？

直角弦定理

設(shè)點(diǎn)P(x。,”)在圓錐曲線上，旦為直角的頂點(diǎn)。

X2y2a2-b2

(1)橢圓二十-=l(a>b>0)張角為宜角的弦所在的總線過(guò)定點(diǎn)(、,一%)，其中f=_-

aba+b

r2V2

(2)雙曲線?一，=1(。>0,8>0,4/6)張角為直角的弦所在的直線過(guò)定點(diǎn)(、,一%)

ab

(4)“張直角弦”問(wèn)題

2020年新高考I卷第22題

22.已知橢圓GW+E=l(〃>b>0)的離心率為也，且過(guò)點(diǎn)4(2,1).

a-b22

(1)求亦方程：

(2)點(diǎn)M臨6±,且皿4MAD1MN,煙垂足.證明：存在定點(diǎn)0,使得I聞為定值.

若不是張直角，而是斜率之乘積為常數(shù)，也有類似結(jié)論

定理2設(shè)A/(x0,y0)是給定有心圓錐曲線

+在2=1上的定點(diǎn)，點(diǎn)力，8是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，若

S與"6的斜率之積為2，貝IJ:

①當(dāng)2X”時(shí)，動(dòng)直線48過(guò)定點(diǎn)

n

(An+7w)x0+)

An—mAn-m

②當(dāng)｛='時(shí)，動(dòng)直線46的斜率為定值

n%

(4)“張直角弦”問(wèn)題

若不是張直角，而是斜率之和為常數(shù)，也有類似結(jié)論

2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷I理科第20題為：

已知橢圓C：￡+￡=l(a>6>0),四點(diǎn)PJ1,

1)12(。，1)/3(—1,空)，匕(1,g)中恰有三點(diǎn)在

橢圓C上。

(I)求C的方程；

(II)設(shè)直線/不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B

兩點(diǎn)。若直線P2A