《離散型隨機(jī)變量及其分布列》-教學(xué)實錄及點(diǎn)評

《離散型隨機(jī)變量及其分布列》教學(xué)實錄及點(diǎn)評《離散型隨機(jī)變量及其分布列》教學(xué)實錄及點(diǎn)評執(zhí)教：山東省濱州實驗中學(xué)蘇洪普（256600）點(diǎn)評：山東省濱州市教研室王文清（256600）摘要：“問題驅(qū)動”教學(xué)模式是打造高效課堂教學(xué)的有效手段之一，該“離散型隨機(jī)變量及其分布列”的教學(xué)設(shè)計從學(xué)生熟悉的、簡單的“隨機(jī)試驗”的展開。從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”開始，以隱含的“函數(shù)關(guān)系”為主線，設(shè)置了一系列具有簡潔性、針對性、探究性、開放性、思維價值高的“問題串”。引領(lǐng)學(xué)生自主構(gòu)建“離散型隨機(jī)變量”、“離散型隨機(jī)變量的分布列”的概念，建立“兩點(diǎn)分布”模型。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，取得了很好的課堂教學(xué)效果。關(guān)鍵詞：離散型隨機(jī)變量；隨機(jī)變量;分布列；兩點(diǎn)分布1教學(xué)目標(biāo)與重點(diǎn)、難點(diǎn)1.1教學(xué)目標(biāo)：（1）通過對具體實例的分析、歸納，會將隨機(jī)試驗的結(jié)果“數(shù)量化”，體會引入隨機(jī)變量的必要性.（2）經(jīng)歷隨機(jī)變量的概念和離散型隨機(jī)變量的分布列的構(gòu)建過程，通過歸納、抽象、類比，感受映射與函數(shù)在生活中的應(yīng)用，并從函數(shù)角度理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力、抽象思維能力和創(chuàng)新意識.（3）通過“兩點(diǎn)分布”的建模過程，體會類比、函數(shù)和轉(zhuǎn)化等思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)其辯證唯物主義世界觀.1.2教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的分布列的概念.難點(diǎn)：從映射的角度理解隨機(jī)變量的概念，從函數(shù)角度理解離散型隨機(jī)變量的分布列.2教學(xué)過程實錄2.1設(shè)計問題，創(chuàng)設(shè)情境師：在《數(shù)學(xué)》（必修三）中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了概率的一些基礎(chǔ)知識，請大家看下面的問題：問題1請說出下列每個隨機(jī)試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果.（1）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣；（2）某籃球運(yùn)動員罰球1次；（3）從含有4件次品，6件合格品的10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽出1件產(chǎn)品.生1：（1）正面向上，反面向上；（2）罰進(jìn)，沒有罰進(jìn)；（2）取出正品，取出次品.教師把學(xué)生回答結(jié)果多媒體展示（圖1）師：這些隨機(jī)試驗有什么共同特征？生：每個隨機(jī)試驗都有兩個試驗結(jié)果.師：你還能列舉一些生活中類似的隨機(jī)試驗嗎？生2：買彩票，是否中獎；從四選一的選擇題中隨機(jī)選一個選項，是否正確；……師：很好！是的，我們生活中大量存在“是與非”、“對與錯”、“成功與失敗”的隨機(jī)試驗.是不是可以建立一個統(tǒng)一的概率模型來刻畫這些隨機(jī)事件呢？這就需要我們學(xué)習(xí)一些新的概率知識，也就是“第二章”（板書）.在本章中，我們將在已學(xué)過的概率知識的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探究、分析、描述某些隨機(jī)現(xiàn)象，并構(gòu)建概率模型，解決一些簡單的實際問題，進(jìn)一步體會概率模型的作用及運(yùn)用概率思想思考和解決問題的能力.點(diǎn)評：立足學(xué)生思維的起點(diǎn)，注重在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)設(shè)置問題.便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出問題.而且，（2）的設(shè)計便于學(xué)生將試驗結(jié)果“數(shù)量化”.這里的“低起點(diǎn)”為本節(jié)課學(xué)生的高參與度奠定了基礎(chǔ).同時，也為后面深刻探究、理解隨機(jī)變量的概念節(jié)省出時間和空間.將試驗結(jié)果用圖示法直觀表示，為后面深刻探究試驗結(jié)果與隨機(jī)變量的對應(yīng)關(guān)系埋下了伏筆.問題2如何將這些隨機(jī)試驗的共同特征從數(shù)學(xué)角度來描述呢？生3：對于“罰球一次”這個隨機(jī)試驗，可以用“0”和“1”這兩個數(shù)字刻畫這些隨機(jī)試驗的結(jié)果.師：很好！把隨機(jī)試驗的結(jié)果數(shù)量化，為用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)現(xiàn)象奠定基礎(chǔ).那么其它兩個隨機(jī)試驗?zāi)兀可?：規(guī)定“正面向上”用1表示，“反面向上”用0表示；“取出正品”用1表示，“取出次品”用0表示.教師多媒體展示試驗結(jié)果與兩個數(shù)字之間的對應(yīng)關(guān)系（圖2）.問題3寫出下列每個隨機(jī)試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果，將結(jié)果用相應(yīng)的數(shù)字表示，并用圖示法表達(dá)出來.（1）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子；（2）從含有4件次品，6件合格品的10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽出3件產(chǎn)品.2.2信息交流，揭示規(guī)律展示生5的解答（圖3）.師：這位同學(xué)的解答是否正確？你的解答也是這樣嗎？生6：對于（2）我的解答是這樣的.（圖4）師：兩位同學(xué)的解答中，隨機(jī)試驗的結(jié)果和數(shù)字都是一樣的，但是為什么有不同的表示呢？生7：上面的兩種表示中，雖然都用的相同的數(shù)字，但是這些數(shù)字的實際含義不同.前者表示“3件產(chǎn)品中的次品數(shù)”，后者表示“3件產(chǎn)品中的正品數(shù)”.師：很好！我們一旦確定了一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示。在這個對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變化而變化。像這種隨著試驗結(jié)果的變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用字母X，Y，ξ，η，…等表示.（板書）師：請大家將剛才的解答完善一下吧！展示學(xué)生完善的情況，并予以糾正（圖5）.點(diǎn)評：在課堂教學(xué)中，合理地運(yùn)用學(xué)生出現(xiàn)的不完善的解法，甚至錯誤解法，通過展示，讓學(xué)生辨析、交流、討論，實質(zhì)上是抓住了概念構(gòu)建中的一個非常重要的“生長點(diǎn)”.使得學(xué)生對隨機(jī)變量的概念有了一個主動辨別、探究、構(gòu)建的過程，把本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)“拋”給了學(xué)生，通過有效的信息交流，使學(xué)生對隨機(jī)變量有了深刻的認(rèn)識，真正把課堂“還”給了學(xué)生.這就要求我們教師在平時的課堂教學(xué)中，有意識的去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造這種機(jī)會——讓學(xué)生出現(xiàn)“美麗的錯誤”.問題4設(shè)集合A={隨機(jī)試驗的結(jié)果}，集合B={隨機(jī)變量的取值}.那么，集合A與集合B之間有什么關(guān)系呢？生（眾）：映射.師：既然它們之間的關(guān)系是映射關(guān)系，那么隨機(jī)變量的取值由哪些因素確定呢？生（眾）：隨機(jī)試驗結(jié)果和對應(yīng)關(guān)系.師：在這些問題中，對應(yīng)關(guān)系是誰呢？生（眾）：隨機(jī)變量在具體問題中的含義.師：隨機(jī)變量的取值集合類似于函數(shù)中的什么？生：值域.問題5如果在問題3的第（2）題中，我們關(guān)心正品數(shù)與次品數(shù)的差，你能給出這個隨機(jī)變量的所有可能的取值嗎？生8：用ξ表示取出的3件產(chǎn)品中正品數(shù)與次品數(shù)的差，則ξ的所有可能取值為3，1，-1，-3.師：很好！那么在本題中ξ=1表示什么事件（含義）呢？生：ξ=1表示事件“2件正品，1件次品”.師：引入隨機(jī)變量后，我們可以將事件“2件正品，1件次品”用{ξ=1}簡潔的表示.那么“{ξ<0}”在本題中表示什么事件（含義）呢？生9：表示{ξ=-1}∪{ξ=-2}；或者說，表示“正品數(shù)小于次品數(shù)”.點(diǎn)評：發(fā)現(xiàn)了映射關(guān)系，并將隨機(jī)變量取值問題有效的遷移，體現(xiàn)了類比在教學(xué)中的重要作用.以問題驅(qū)動學(xué)生的思維，進(jìn)一步加深學(xué)生對隨機(jī)變量概念的理解.另外，也為今后學(xué)生在實際操作中，如何快速、準(zhǔn)確的確定隨機(jī)變量的取值，求解分布列指明了方法，那就是分析試驗結(jié)果（集合A）與隨機(jī)變量的對應(yīng)關(guān)系及其對應(yīng)的概率.2.3運(yùn)用規(guī)律，解決問題問題6下列隨機(jī)試驗的結(jié)果能否用隨機(jī)變量來表示？若能，請寫出各隨機(jī)變量的所有可能的取值.（1）某籃球運(yùn)動員罰球2次的得分X；（2）一袋中有大小相同的4個小球，分別標(biāo)有1，2，3，4，現(xiàn)從中隨機(jī)取一球，記下號碼后放回，連續(xù)取兩次.兩球的得分之和Y；（3）某射手向目標(biāo)連續(xù)射擊，直到擊中目標(biāo)時的射擊次數(shù)ξ（4）隨機(jī)抽取一只電燈泡，這只電燈泡的壽命η.生10：（1）X的可能取值為0，1，2；（2）Y的可能取值為2，3，4，5，6，7，8.（3）ξ的可能取值為1，2，3，…，n，…；（4）η的取值為任意正實數(shù).師：像前三個題中描述的能夠一一列舉的隨機(jī)變量我們稱之為離散型隨機(jī)變量；最后一個問題中的隨機(jī)變量我們稱之為連續(xù)型隨機(jī)變量.師：對于（4）中的燈泡的壽命問題，我們關(guān)注η取某個確定值的情形嗎？生：不！應(yīng)該關(guān)注η在某個范圍內(nèi)的取值情況.問題7如果規(guī)定：壽命不小于1500小時的燈泡為一等品；壽命不小于1000小時，且小于1500小時的燈泡為二等品；壽命在1000小時以下的為不合格品．如果我們關(guān)心燈泡的等次，如何定義隨機(jī)變量呢？如果我們關(guān)心燈泡是否為合格品如何定義隨機(jī)變量呢？生10：用Y表示燈泡的等次，則有用Z表示燈泡的是否為合格品.則點(diǎn)評：通過練習(xí)，在鞏固隨機(jī)變量的概念的同時，又創(chuàng)設(shè)出新的問題情境（如問題6（3）），培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識.這樣設(shè)計又使得整個教學(xué)環(huán)節(jié)緊緊相扣，提高了課堂效率.通過變式訓(xùn)練（問題7）溝通了“連續(xù)”與“離散”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，同時培養(yǎng)了學(xué)生辯證唯物主義世界觀.2.4變練演編，深化提高師：現(xiàn)在隨機(jī)試驗的結(jié)果能用離散型隨機(jī)變量來表示了，對于隨機(jī)事件我們最關(guān)心的是它發(fā)生的可能性有多大——即概率。請看下面的問題：問題8拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，用X表示正面向上的點(diǎn)數(shù)．那么，X的所有可能取值有哪些？當(dāng)X值確定時，對應(yīng)事件的概率值確定嗎？為什么？生11：X的所有可能的取值為1，2，3