2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量及其應(yīng)用測評課后習(xí)題含解析北師大版必修第二冊

其次章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分)1.已知在?ABCD中,AD=(2,8),AB=(-3,4),則AC=()A.(-1,-12) B.(-1,12)C.(1,-12) D.(1,12)解析因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AC=AB+AD=答案B2.假如a,b是兩個單位向量,那么下列四個結(jié)論中正確的是()A.a=b B.a·b=1C.a=-b D.|a|=|b|解析兩個單位向量的方向不肯定相同或相反,所以選項A,C不正確;由于兩個單位向量的夾角不確定,則a·b=1不成立,所以選項B不正確;|a|=|b|=1,則選項D正確.答案D3.如圖,a-b等于()A.2e1-4e2 B.-4e1-2e2C.e1-3e2 D.3e1-e2解析a-b=e1-3e2.答案C4.如圖,正方形ABCD中,點E,F分別是DC,BC的中點,那么EF=()A.1B.-1C.-1D.1解析EF=1答案D5.已知A船在燈塔C北偏東70°方向2km處,B船在燈塔C北偏西50°方向3km處,則A,B兩船的距離為()A.19kmB.7kmC.(6+1)kmD.(6-1)km解析根據(jù)題意,在平面直角坐標(biāo)系中作示意圖,如圖所示,易知在△ABC中,BC=3,AC=2,∠BCA=120°,故由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA,解得AB2=19,則AB=19.故選A.答案A6.已知a,b,c是共起點的向量,a,b不共線,且存在m,n∈R使c=ma+nb成立,若a,b,c的終點共線,則必有()A.m+n=0 B.m-n=1C.m+n=1 D.m+n=-1解析設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,因為a、b、c的終點共線,所以設(shè)AC=λAB,即OC-OA=λ(所以O(shè)C=(1-λ)OA+λOB,即c=(1-λ)a+λb.又c=ma+nb,所以1所以m+n=1.答案C7.在100m高的山頂上,測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°和60°,則塔高是()A.4003m B.400C.20033m D.解析如圖所示,山高為AB=100m,塔高為CD,依據(jù)題意可知∠BCA=60°,∠CBD=30°.在Rt△ABC中,BC=ABsin在△BCD中,∠CBD=∠BCD=30°,∠BDC=120°,由正弦定理得CDsin30°=BCsin120°,答案D8.已知|OA|=|OB|=|OC|=1,D為BC的中點,且|BC|=3,則AD·BC的最大值為(A.32 B.32 C.3 D解析因為|OA|=|OB|=|OC|=1,所以A,B,C在以O(shè)為圓心半徑為1的圓上.以O(shè)為原點,OD所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,因為|BC|=3,|OB|=1,D為BC的中點,所以|OD|=12則B-32,-12,C32,-12,D0,-12,設(shè)A(x,y),則AD=-x,-12-y,BC=(3,0),所以AD·BC=-3x,因為-1≤x≤1,當(dāng)A與E重合,即x=-1時,AD·BC的最大值為3.故選答案C二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分)9.已知△ABC的面積為32,且b=2,c=3,則A=(A.30° B.60° C.150° D.120°解析因為S=12bcsinA=3所以12×2×3sinA=3所以sinA=32,因為0°<A<180°所以A=60°或120°.故選BD.答案BD10.下列命題中,正確的是()A.對于隨意向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|B.若a·b=0,則a=0或b=0C.對于隨意向量a,b,有|a·b|≤|a||b|D.若a,b共線,則a·b=±|a||b|解析由向量加法的三角形法則可知A正確;當(dāng)a⊥b時,a·b=0,故B錯誤;因為|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|,故C正確;當(dāng)a,b共線同向時,a·b=|a||b|cos0°=|a||b|,當(dāng)a,b共線反向時,a·b=|a||b|cos180°=-|a||b|,故D正確.故選ACD.答案ACD11.(2024福建寧化第一中學(xué)高一月考)在△ABC中,依據(jù)下列條件解三角形,其中恰有一解的是()A.b=7,c=3,C=πB.b=5,c=6,C=πC.a=6,b=33,B=πD.a=20,b=15,B=π解析A選項,因為C=π6,為銳角,c=3<bsinC=72,B選項,因為C=π4,為銳角,c=6>b=5,所以三角形有一解C選項,因為B=π3,為銳角,b=33=asinB=33,所以三角形有一解D選項,因為B=π6,為銳角,b=15>asinB=10,所以三角形有兩解.故選BC答案BC12.在△ABC中,下列結(jié)論正確的是()A.ABB.AB·BC<|AB|·|C.若(AB+AC)·(AB-AC)=0,D.若AC·AB>0,則△解析AB-AC=CB,設(shè)θ為向量AB與BC的夾角,因為AB·BC=|AB|·|BC|·cosθ,而cosθ<1,故AB·BC<|AB|·|BC(AB+AC)·(AB-AC)=AB2-AC2=所以△ABC為等腰三角形,故C正確;取A=B=π6,C=2滿意AC·AB=|AC||AB|cosA>0,但△ABC為鈍角三角形,故D錯誤.故選答案BC三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,則m=,|b+c|=.

解析因為a=(2,-1),b=(-1,m),所以a+b=(1,m-1).因為(a+b)∥c,c=(-1,2),所以2-(-1)·(m-1)=0.所以m=-1.則b+c=(-2,1),則|b+c|=(-2答案-1514.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,則△ABC的形態(tài)是.

解析依據(jù)余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.因為B=60°,2b=a+c,所以a+c22=a2+c2-2整理得(a-c)2=0,故a=c.又B=60°,所以△ABC是等邊三角形.答案等邊三角形15.(2024北京牛欄山一中高三期中)如圖是以C為圓心的一個圓,其中弦AB的長為2,則AC·AB=解析如圖,作CD⊥AB交AB于點D,則AC=則AC·AB=12AB=12|AB|2答案216.在△ABC中,A=30°,AB=23,4≤BC2≤12,則△ABC面積的范圍是.

解析因為在△ABC中,A=30°,AB=23,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos30°=12+AC2-6AC,又因為4≤BC2≤12,4≤12+AC2-6AC≤12,解得0<AC≤2,或4≤AC≤6,而S△ABC=12AB·AC·sin30°=32所以0<S△ABC≤3或23≤S△ABC≤33,故△ABC面積的范圍是(0,3]∪[23,33].答案(0,3]∪[23,33]四、解答題(本題共6小題,共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知a=(1,0),b=(2,1).(1)當(dāng)k為何值時,ka-b與a+2b共線?(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb且A,B,C三點共線,求m的值.解(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因為ka-b與a+2b共線,所以2(k-2)-(-1)×5=0,解得k=-12(2)因為A,B,C三點共線,a與b不共線,所以存在實數(shù)λ,使得AB=λBC(λ∈R),即2a+3b=λ(a+mb),整理得(8,3)=(λ+2mλ,mλ),所以λ+2mλ=8,18.(12分)已知O,A,B是平面上不共線的三點,直線AB上有一點C,滿意2AC+CB=(1)用OA,OB表示(2)若點D是OB的中點,證明四邊形OCAD是梯形.(1)解因為2AC+CB=所以2(OC-OA)+(OB-OC2OC-2OA+OB-所以O(shè)C=2OA-(2)證明如圖,DA=DO=12(2OA-故DA=12OC.即DA∥OC,且故四邊形OCAD為梯形.19.(12分)(2024山東高一月考)已知長方形AOCD中,OA=3,OC=2,E為OC中點,P為AO上一點,利用向量學(xué)問推斷當(dāng)點P在什么位置時,∠PED=45°.解如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則O(0,0),C(2,0),D(2,3),E(1,0).設(shè)P(0,y),則ED=(1,3),EP=(-1,y),所以|ED|=10,|EP|=y2+1,ED·代入cos45°=ED·解得y=2y=-12舍去.所以當(dāng)點P在靠近點A的AB的三等分處時,∠PED=45°.20.(12分)在△ABC中,AB=3,AC=1,∠A=60°.(1)求sin∠ACB;(2)若D為BC的中點,求AD的長度.解(1)因為在△ABC中,AB=3,AC=1,∠A=60°.所以由余弦定理可得BC=A=32所以由正弦定理ABsin∠sin∠ACB=AB·(2)因為D為BC的中點,所以CD=12BC=7又因為cosC=AC2+所以在△ACD中,由余弦定理可得AD=A=1+721.(12分)為了測量兩山頂M,N之間的距離,飛機沿水平方向在A,B兩點進行測量,A,B,M,N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如示意圖).飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A,B間的距離,請設(shè)計一個方案,包括:①指出須要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示,并在圖中標(biāo)出);②用文字和公式寫出計算M,N間的距離的步驟.解①須要測量的數(shù)據(jù)有:A點到M,N點的俯角α1,β1;B點到M,N點的俯角α2,β2;A,B間的距離d(如圖所示).②第一步:計算AM.由正弦定理得AM=dsin其次步:計算AN.由正弦定理得AN=dsin第三步:計算MN.由余弦定理得MN=AM22.(12分)(2024海南高二期末(理))如圖,在△ABC中,AB=2,AC=4,線段BC的垂直平分線交線段AC于點D